CC BY
12
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2004 р. Вип.№14
УДК 539.3
Вовк Л.П.1 ,Лупаренко Е.В.2
ОСОБЕННОСТИ ЛОКАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Представлено обобщение понятия параметра локальной особенности по напряжениям в нерегулярной точке сопряжения анизотропных сред и исследование закономерностей его изменения в зависимости от упругих параметров составных частей сечения.
Решение задач динамической прочности деталей машиностроения сложной внутренней структуры, которое сводится прежде всего к прогнозированию надежной работы на установленный срок, экспериментальным путем практически невозможно. Особый интерес и большое научное и практическое значение имеют результаты численно-аналитических исследований прочности таких неоднородных деталей, позволяющие выделить опасные зоны их сечения и учесть особенности возникающей в этих зонах локальной концентрации напряжений. Вопросам анализа особенностей локальной концентрации напряжений в окрестности внешних и внутренних сингулярных точек границы изотропного сечения, в том числе вблизи границ раздела разнородных сред составного сечения детали посвящены работы [1-4]. Анализ научных работ, посвященных исследованию динамического напряженного состояния анизотропных тел показывает [5], что мало изученной следует считать задачу о влиянии меры анизотропии на краевые и граничные динамические эффекты при вибронагружении деталей составного сечения. Практически полностью отсутствуют результаты анализа взаимосвязи мер анизотропии составных частей сечения с его геометрическими и структурными параметрами, а также не введены параметры локальной особенности по напряжениям (ПЛО) для случая сопряжения анизотропных сред. Между тем, зная эти зависимости и значения ПЛО, можно дать рекомендации по подбору материалов, составляющих сечение, для каждого конкретного режима вибронагружения детали, а также оптимизировать геометрические параметры составного анизотропного сечения.
В настоящей работе проводится численно-аналитический анализ изменения значения ПЛО в зависимости от жесткостных параметров сечения.
Пусть сечение бесконечной в направлении оси а3 поперечно-однородной упругой
анизотропной призмы занимает в системе координат сс10сс2 область /) = (I'1' и (' 2 • где области (}'"'> сварены друг с другом, анизотропные, имеют различные упругие постоянные С(™)Е (т = 1,2) и определяются неравенствами:
С(Х>= {(^ а2)\ \ах\<с; \а2\ <Ь},С(2) = {(ах а2)\ ах е [- а, с] и [с, а]; \а2\ <Ь). Вибронагружение сечения осуществляется самоуравновешенной гармонически изменяющейся во времени с частотой со нормальной вибронагрузкой, приложенной к внешней границе сечения ах = ±а, а2=+Ь и имеющей интенсивность £/, (а2) и £/2 (а,) соответственно. Предполагаются выполненными условия плоской упругой деформации.
В работах [6,7] при помощи модификации метода суперпозиции все характеристики волнового поля, определяемого безразмерными частотными параметрами [О""']2 = а2со2р('т> /С-"''1' , выражаются через введенные вспомогательные функции (здесь и
1 ДонНТУ, канд. физ. - мат. наук, доцент
2 ПГТУ, ассистент
далее использованы обозначения, принятые в работах [6,7]) fx (у), /2 (х), /3 (у), /4 (х), <р1 (у) .
Эти функции определяют перемещения и касательные напряжения на границе раздела сред и на внешней границе области. Именно,
Му) = U?\S,y) = U^2)(0,y), г21 = С£Е !С<£\ ср^у) = <jV(S,y) = г21а£\0,у),
f2(x) = U?\x,77), ^Ш = и?\52,у\ f4(x) = U^(x).
Здесь U'ß!) = U^ / а, ö"1(2"!) = t^ / С (6™)Е - безразмерные перемещения и напряжения в областях G^m>, соответствующие амплитудным компонентам вектора перемещений
Л л г i
и тензора напряжений, r¡ = Ыа, х = аг /а,у = а2 /а, х = (аг - с)!а, х е [0,ö2 J, д2 = 1 - 5 ,
ö - с I а , С^"рЕ - упругие константы [5,6] материала области G('m>, ß = 1,2. т = 1,2 . Верхний
индекс (т) означает принадлежность соответствующей характеристики к области (./" '"''.
Проанализируем особенности, возникающие у динамических напряжений в угловой точке области B(\r¡) и в угловой точке стыка областей A(S,r¡). Это эквивалентно
предположениям о том, что функция (pl(¿) имеет особенность в угловой точке стыка областей
A(S,Tj):<p1(£) = Ot(n-ty-\ Ц^г, (1)
а функции f] (¿;) непрерывны в своих областях определения, но их производные также терпят разрывы в угловых точках. В окрестности точки A(ö, г/)
f[^) = FlA{r,-^rl при ^г,- f2{^) = F2A{8-^rl при
ЛЪ^Г"1 при £ 0. (2)
В окрестности угловой точки В( 1, г/) области G (2)
= при г,/Л£) = Р?(32-£У-1 при (3)
Через ос и у обозначены параметры, характеризующие особенности искомых функций в указанных точках, которые в дальнейшем будем называть параметрами локальной особенности (ПЛО), а через 1'\'1,1'2'',..., /''f - произвольные постоянные. Определяя асимптотику коэффициентов Фурье рассматриваемых функций в окрестности точек А и В и учитывая отсутствие у внешней нагрузки особенностей в этих точках, приходим к системе однородных уравнений, определяющих характер особенностей характеристик волнового поля в этих точках [6,7]. Особенность этой системы состоит в том, что она распадается на две части, одна из которых позволяет определить ПЛО в точке В, а вторая во внутренней нерегулярной точке границы сечения А. Из условия существования нетривиального решения системы однородных
уравнений, в точке А имеем: А (ос, C¡p, C¡p ) = 0 (4)
Анализ зависимости корней уравнения (4), определяющего ПЛО во внутренней угловой точке сечения, от упругих характеристик и мер анизотропии стыкуемых областей будет предметом дальнейшего обсуждения в данной работе. Его наименьшие положительные корни отвечают условию ограниченности внутренней энергии. Условию наличия особенности в точке А будет отвечать выполнение неравенства 0 < Rea < 1.
При численном исследовании трансцендентного уравнения (4) были рассмотрены различные случаи сочетаний анизотропных свойств материалов стыкуемых областей сечения и изучены закономерности изменения значения ПЛО в зависимости от жесткостных параметров сечения. В таблицах 1 и 2 представлены данные расчетов значений ПЛО для случаев сопряжения различных конкретных материалов трансверсально изотропных (таблица 1) и ортотропных (таблица 2) сред с изотропными. Значения упругих постоянных анизотропных материалов, их названия и обозначения взяты из [8,9]. В каждой ячейке таблицы под значением ПЛО приведены значения параметра жесткости г21 для соответствующей пары материалов.
Таблица 1 - Значение ПЛО при соп
жжении транстропных и изотропных материалов
Материал ВаТЮз Сй Со М§ Ъп Те02 А1Р04 Германо-силленит УАС
А1 0.970 0.988 0.917 1.000 0.938 0.717 1.000 0.980 0.866
\¥ 0.901 0.899 0.947 0.871 0.979 0.630 0.963 0.916 0.993
Аи 0.968 1.000 0.904 1.000 0.935 0.709 1.000 0.984 0.849
Вг 0.995 1.000 0.968 0.990 0.979 0.686 1.000 1.000 0.919
Си 1.000 1.000 0.980 0.979 0.990 0.677 1.000 1.000 0.936
РЬ 0.773 0.800 0.727 0.878 0.751 0.900 0.851 0.791 0.702
81 0.970 0.956 0.995 0.926 1.000 0.649 0.995 0.974 0.990
А§ 0.970 0.989 0.912 1.000 0.937 0.712 1.000 0.982 0.860
Т1 1.000 0.993 0.988 0.974 0.992 0.676 1.000 1.000 0.946
Из анализа данных таблицы 1 следует, что при сочетании изотропных и трансверсально изотропных сред значение параметра жесткости г21 играет определяющую роль при вычислении ПЛО. Именно: чем ближе значение этого параметра к единице, тем большее значение принимает наименьший положительный корень уравнения (4). Особенно ярко эта закономерность просматривается при сопряжении с трансверсально изотропными материалами «мягкого» свинца (6-я строка таблицы) и «жесткого» вольфрама (2-я строка таблицы). Этот вывод аналогичен сделанному ранее при анализе изменения ПЛО на стыке двух изотропных сред. Добавим, что аналогично предыдущему, для всех рассмотренных сочетаний материалов всегда существует корень ос = 1, но в случае возникновения локальной концентрации напряжений этот корень не является наименьшим положительным корнем, а существуют корни, меньшие единицы.
Таблица 2 - Значение ПЛО при сопряжении ортотропных и изотропных материалов
Материал СТПК N=00 СТПК N=5 СТПК N=2 СТПК N=1 БФК Ниобат Ва-Ка Германат лития Галлат лития 8Ь81
А1 1.000 1.000 1.000 1.000 0.828 0.919 0.970 0.948 0.957
\¥ 0.989 0.979 0.950 0.909 0.714 0.956 0.952 0.997 0.811
Аи 1.000 1.000 1.000 1.000 0.821 0.908 0.976 0.949 0.972
Вг 1.000 1.000 1.000 1.000 0.79 0.967 1.000 0.987 0.913
Си 1.000 1.000 1.000 1.000 0.778 0.980 1.000 0.995 0.899
РЬ 1.000 1.000 1.000 1.000 0.988 0.731 0.775 0.763 1.000
81 1.000 1.000 0.988 0.945 0.741 0.994 0.996 1.000 0.848
А§ 1.000 1.000 1.000 1.000 0.824 0.915 0.973 0.949 0.959
Т1 1.000 1.000 1.000 1.000 0.776 0.985 1.000 0.995 0.894
Рассмотрим данные, представленные в таблице 2. Увеличение числа независимых упругих постоянных в случае ортотропного материала одной из стыкуемых областей значительно уменьшает влияние параметра жесткости на значение ПЛО. Во-первых, в четырех столбцах таблицы 2 представлены рассчитанные значения ПЛО для случая, когда в качестве материала ортотропной области выбирались намоточные стеклопластики (СТПК) при различных соотношениях N ортогонально уложенных волокон [8]. Приведенные результаты показывают, что локальной концентрации напряжений при сопряжении стеклопластиков с изотропными материалами не возникает для большинства рассмотренных сочетаний материалов. Значение ПЛО, меньшее единицы, появляется только при очень больших значениях параметра жесткости (г21 > 16). К тому же, это значение получается очень близким к
единице. Практически возникновение локальной концентрации напряжений возможно только при сопряжении стеклопластиков со сталью или вольфрамом.
Несколько иные результаты имеем при анализе сочетаний акустических кристаллов [9] с изотропными материалами, представленных в таблице 2 в столбцах с пятого по девятый. Здесь значение параметра г21 оказывает гораздо большее влияние на ПЛО. Однако это влияние не является определяющим. Например, для сочетания ниобат бария-натрия - сталь (г21 = 1.066) ПЛО а = 0.994 < 1. В то же время для некоторых сочетаний материалов с большим значением параметра жесткости г21 имеем значение ос = 1. В качестве примеров можно привести сочетания германат лития - титан, галлат лития - сталь и др. Однако для данных сочетаний материалов можно считать доказанным: если значение г21 существенно отличается от единицы, то с его увеличением значение ПЛО уменьшается.
Выводы
Разработанный математический метод анализа волновых полей в кусочно-однородных анизотропных средах предполагает введение ПЛО по напряжениям, который определяет характер локального разрыва волновых характеристик в угловых точках стыка разнородных материалов составного сечения и имеет ярко выраженный механический смысл. Знание ПЛО позволяет прогнозировать интенсивность локальной концентрации напряжений в опасных зонах сечения, что позволяет применить полученные результаты при сопряжении металлов с клеевыми, керамическими и т.п. материалами.
Перечень ссылок
1. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В. Т. Гринченко, В.В. Мелешко. - Киев: Наук, думка, 1981. - 283 с.
2. Гетман И. П. Об отражении изгибных волн Лэмба от границы раздела двух состыкованных полуполос I И.П. Гетман, О.П. Лисицкий // Прикл. механика. - 1991. - Т. 27. - №8. - С.54-59.
3. Гринченко В. Т. Отражение волн Лэмба от границы раздела в составном волноводе / В. Т. Гринченко, Н.С. Городецкая II Прикл. механика. - 1985. - Т.21. - №5. - С.121-125.
4. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединенных вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора / Д.. Боджи II Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков // Прикл. механика. - 1971. - Т.38. - №2. - С.87-96.
5. Космодамианский А. С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / A.C. Космодамианский, В.И. Сторожев. - Киев: Наукова думка, 1985. - 176с.
6. Вовк Л. П. Об особенностях волнового поля в зоне скачкообразного изменения упругих свойств кусочно-неоднородных областей / Л.П. Вовк II Известия вузов. Сев. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. - 2003. - №3. - С. 25-28.
7. Вовк Л. П. О влиянии анизотропии на характеристики волнового поля прямоугольных областей / Л.П. Вовк, Е.В. Лупаренко II Вестник Донского государственного университета. - 2002. - Т. 2. - №3(13). - С. 238-244.
8. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. -416с.
9. Акустические кристаллы / A.A. Блистанов, B.C. Бондаренко, В.В. Чкалов и др. - М.: Наука, 1982. - 632с.
Статья поступила 24.03.2004
