Исследование локальной особенности волновых характеристик около угловой точки линий раздела составного тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ ОСОБЕННОСТИ ВОЛНОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОКОЛО УГЛОВОЙ ТОЧКИ ЛИНИЙ РАЗДЕЛА СОСТАВНОГО ТЕЛА

© 2004 г. Л.П. Вовк

The paper is devoted to development of a scheme for determining of the dynamic stress component’s local peculiarity nearly singular point of complex region.

Знание характера поведения компонентов напряженно-деформированного состояния вблизи особых точек внешних и внутренних границ кусочнонеоднородных тел позволяет при численном анализе наилучшим образом аппроксимировать решение и построить приближенный процесс для его нахождения. Вопросам поведения решений задач теории упругости в окрестности угловых точек, принадлежащих линии раздела двух различных упругих сред, посвящено достаточно много работ, среди которых отметим [1-5]. Характер особенности напряжений в угловой точке стыка трех различных сред рассматривался в [6]. В настоящей работе исследуется характер распределения динамических напряжений в окрестности угловой точки линии раздела областей поперечного сечения тела, составленного из четырех различных призматических упругих тел, спаянных между собой по боковым поверхностям. Рассматривается плоское деформированное состояние составного тела.

Постановка задачи

Пусть сечение бесконечной в направлении оси а3 кусочно-неоднородной упругой призмы занимает в системе координат область D = G(1> 'uG('1'> иО(3) uG(4>,

где G (п> склеены друг с другом и определяются неравенствами

G (1> = {|а| < с;

а2 є [-b,-d] и ^, Ь]};

G (2> = {а1 є [-a,-c] и [с, а];

с2| < d};

изменяющаяся во времени с частотой а вибронагрузка переменной интенсивности q . В каждой

области G(т) рассматриваем уравнения движения Ляме, записанные в безразмерных перемещениях

г7-(т> т/-(m> / /т/-(т>

U в Vв / a (Vв — амплитудные компоненты вектора перемещений, р = 1,2 > и координатах

х = а1 / a, у = а2 / a . Учитывая симметрию области D, возможно рассматривать волновое поле части области, расположенной в первой четверти. Эта часть области изображена на рисунке в безразмерных координатах.

Для удобства в области сечения введены локаль-

А

ные безразмерные координаты х = (а1 - с> / a,

А

у = (а2 - d> / a и геометрические параметры т) = Ь / a , 8 = c/a,Y = d /a, 82 = 1 -8, у2 = d -у .

Отнесенные к /и('гп> безразмерные амплитудные компоненты тензора напряжений связаны с безразмерными, отнесенными к а перемещениями и в

соотношениями закона Гука для изотропного тела и зависят от безразмерного частотного параметра

П(п> =ааЦіл(п'> /р(п> .

Y2

а 2

G(3) = {а1 е [—а,—с] и [с, а]; а2 е [—Ь,—ё] и [ё, Ь]};

G(4) = {Щ < с; |а2| < ё}.

Материал областей G(т) предполагается изотропным и определяется модулем сдвига /-1('т), коэффициентом Пуассона у(~т') и плотностью р(т).

Здесь и далее верхний индекс будет определять принадлежность механической характеристики или упругого модуля к области

G (т)(т = 1,4).

Пусть на внешних сторонах сечения а1 =±а , а2 = ±Ь задана гармонически

y

y

А

В

О

.(1)

О

.(3)

О

.(2)

C

1

б

б

б

2

3S

Граничные условия задачи включают в себя силовые условия нагружения на внешней границе сечения и условия жесткого сцепления областей G(m).

2. Построение общего решения

Общее решение U в , удовлетворяющее системе

уравнений движения внутри области G(m), конструируем по методу суперпозиции в виде суммы двух частных решений этой системы, каждое из которых описывает колебания бесконечных полос, образующих при своем пересечении область G(m). Четность или нечетность этих частных решений определяется видом граничных условий. При этом необходимо

Л (1) л

учитывать, что по координате у функции Uу (x, у),

(3) л л л (2) л

Uу(х,у), а по координате x - функции Uу (х, у),

(3) л л

U у (х, у) являются функциями общего вида. Таким

образом, общее решение задачи в областях G(m) запишется в виде

U1(1) = Я1(1) sh(t(1) x)cos0('1'> (у-у2) +

+ (R1(1)sh(l(1) у) + S®ch(l(1) y))sinx(1)(x-8),

U 21) = H 21) ch(t(1) x^m#1-1-1^ - y2) +

+ (R®sh(l(1) у) + S®ch(l(1) у))cosx(1)(x-8);

U12) = (H1(2)sh(t(2) x) + 01(2)ch(t(2) x»cos $(2)(у-у) +

+ R12) ch(l(2) у) sin x(2) (x- 82),

U22) = (H22)sh(t(2) x) + e22)ch(t(2) x» sin$(2) (у -y) +

+ R22) sh(l(2) у) cos x(2)( x-82); (1)

U 13) = (H 13)sh(t(3) x) + Q1(3)ch(t(3) x^os^^-Y^ +

+ (R13)sh(l(3) у) + S(3)ch(l(3) у))sinx(2)(x-82),

U23) = (H23)sh(t(3) x) + ef ch(t(3) x))sin0(1)(y-y2) +

+ (Rf sh(l(3) у) + S23)ch(l(3) у)) cos x(2)(x-82);

U 14) = H1(4) sh(t(4) x) cos0(2) (у - y) +

+ R1(4) ch(l(4) у) sin x(1) (x - 8),

U24) = H24)ch(t(4)x^in^2^ -y) +

+ R24) sh(l(4) у) cos x(1)( x -8).

Набор констант Hв , , R^, Sв в форму-

лах (1) обеспечивает необходимую степень произвола для удовлетворения граничных условий и условий сопряжения в рассматриваемой составной области. В качестве значений 0(в), х(в) целесообразно выбрать

такие последовательности чисел в((в),х(в), чтобы системы соответствующих функций были полными и

ортогональными на соответствующих отрезках [7, 8]. Из этого требования в качестве возможных следуют

значения в® = кп/^2, в® = кп/Y , Ху1"1 = )п/ 8,

Х(2) = Уп/82, к = 1, 2,...; ) = 1, 2,...

Подставляя выражения (1) в системы уравнений движения, получаем для каждого значения к и ) системы линейных однородных уравнений относительно

коэффициентов Н(т) и Н2т),., R1(m) и R2т). Из условия существования нетривиального решения этих систем находим значения параметров t(т) и I(т)

(в?)2=(в кт))2—(О?0)2; () = (Хт))2—(О?0)2;

(Ц(т))2 = (О(т))2 /С^ ; О2т) = О(т);

С^ = 2(1 — Ит))/(1 — 2^(т)); в® = в®; в(к2) =вк4);

(1) (4) (2) (3)

Х ) = Х) ; Х) = Х ) и связь между упомянутыми

коэффициентами, что полностью определяет общее решение задачи во всех областях G(т) и позволяет удовлетворить условиям сопряжения и силовым граничным условиям.

3. Решение вспомогательных задач В соответствии с алгоритмом модифицированного метода суперпозиции, впервые предложенного в [9] и распространенного на неоднородные области в [6, 7], заменим часть исходных граничных условий вспомогательными. Это позволит получить аналитическое решение вспомогательной задачи. Решение исходной краевой задачи будет выражено через дополнительные функции, определяющие введенные граничные условия. Закономерности изменения этих функций в окрестности сингулярных точек области позволят исследовать особенности концентрации напряжений и выделить медленно сходящиеся части в рядах для всех волновых характеристик. По сравнению с [6, 7, 9] граничные условия этой вспомогательной задачи значительно усложнятся ввиду наличия четырех внутренних линий раздела областей G(т) и примут вид

G(1) = {|х| < 8;0 < у <^2}: и0-1 (8, у) = / (у), ст1(2) (8, у) = ф (у),

и21-1 (х,Y2) = /2(х), (х,У2) = 0,

и 21 (х,0) = /3 (х), ст® (х,0) = ф (х);

G(2) = {0 < х < 82; |у\ <Y}: и12)(82, у) = /4 (у), ст®^, у) = 0, и 1(2) (0, у) = /5(уХ ст1(22) (0, у) = Ф(y), и22) (х, Y) = /б (х), ст® (х, Y) = Ф2 (х); (2)

G(3) = {0 < х< 82 ;0 <у <Y2}:

и®(82, у) = /7 (у), ст®^, у) = 0,

и 1(3) (0, ,у) = /100; ст1(33) (0, у) = ^13^1 (уХ

U 23) (x, Y2) = fs (x), а'{2> (x, Y2) = 0;

(3)(

U 23) (x,0) = fб (x), СТ((^ (x,0) = Г2зР2 (X); G(4) = {|X <б;| У <Y}:

(3)

U l(4) (6, У) = f5(У), ап(6, У) = Г24Рз (У), U24) (X, Y) = f3 (x), а('2') (x, Y) = r(4P4 (x).

(4)(

Здесь через Г) = /и(',) / ^(;) обозначено отношение модулей сдвига сопрягаемых областей, а через

АЛ Л

/1 (у), Ф1 (у),.../8 (х) — неизвестные вспомогательные

функции. Отметим, что выбор граничных условий вспомогательной задачи в виде (2) позволяет автоматически удовлетворить часть граничных условий исходной краевой задачи, затрагивающих нормальные перемещения и касательные напряжения на внешних и внутренних границах области. Раскладываем вспомогательные функции в ряды Фурье на соответствующих отрезках и, используя общее решение задачи, составляем условия (2). Получающиеся наборы линейных систем допускают аналитическое решение и позволяют в явном виде выразить характеристики волнового поля во всей составной области сечения через коэффициенты Фурье /10,/1к,/20,/2),ф1к,... введенных вспомогательных функций. Например, выражения для перемещений в области G(4) имеют вид

и 14) = £ {2(вк ) /5к Л(4)(х 8 в(2))

( j),

к=1

(Q (4))2

-Д(64)( x, б,вк) I

вк2) r24P3k

(Q 24))2

д(54)( x,s,ek2))}cosek2)( y-y) I

+ L{2(Xi (4)) f31 Д(з4)(y, y, xf) I j=1 (q 24))2

x(()r

х r(4P4j д(4)(v у „ОКі- „,(1)(г б) I f sinQl x

Д4 (v,y,Zi )}sin(x-S)I

U(4) = L {2(в^2))2 f5k Д(4)(x s в(2)) I

2 Ll{ (q24))2 3 (, , k )

ek '>r24p3k

(q 24))2

/ (()) 2

Д(44)( x,S,ek2))}sinek2)( y-Y) I

+ £{2(Xj ) f3j д(64)(y y x®)I

Li (q24))2 б j

(1)

I X (1,^P,41 д(54) (y,y, x(1))}cos x(1) (x -S) I

(Q (4))2

sin q(4) y sin Q(4)y

( ) sh a (m ^ u

где Д(б (u, v, z,.) =-------------------------——

б j sh a(m) v

a(m)2 a3 j

sh aj"•'u

Д(3m)(u, v, Zj) =

( )2 3j

2j

ch al™) u

2z 2 sh a1(j)v

( ) 2j

ch a( j) u

2zja1(j} sh aj}v

sh a(j)v

1 (m) (m) 1 (m)

z- ch a(. u a(. ch a(. u

Л(m) (u v z ) =____і__________i1_________2і___________2j

4 ( , , j) a« sh amv z3 sha(m)v

Д(5m)(u, v, Zj) =

sh a(m) u sh aj mu

sh a 2m) v sh a1(”) v

“в) “в

Представленная форма записи решения вспомогательных задач предполагает исключение из рассмотрения тех значений частоты, при которых имеет место обращение в нуль выражений

вН(/в]у),«8),....Как отмечено в [8, 9], эти значения частоты не связаны с какими-либо физическими особенностями в поведении упругого тела, а требуют лишь некоторого изменения формы записи общего решения.

4. Асимптотический анализ

Примем во внимание 12 неиспользованных граничных условий и условий сопряжения исходной краевой задачи, которые представляют собой систему интегральных уравнений для определения введенных вспомогательных функций, а именно:

а® (б, y) = Гз( Ст((^ (0, y), а,, (x, y) = (x,0)

(3)

(2)

(3)

и «(8, у) = и2» (0, у), и(х, у) = Щ» (х,0), ст1(12) (0, у) = Г42 стЦ (8, у), СТ^ (х,0) = Г41 ст22 (х, у), и 22) (0, у) = и 24) (8, у), и® (х,0) = и 1(4) (х, у), (3)

ст22 (х Г2) = q(1), ст1~2) (82, у) = q(2),

ст1(3)(82,у) = q(3), ст2^3)(х,^2) = q(3), q(т) = q/^(т).

Исследуем особенности волнового поля в окрестности нерегулярных точек границы сечения [6—9]. В рассматриваемой задаче такими точками (рисунок) являются угловые точки стыка областей Л,С,Б и внешняя угловая точка сечения В. Характер локальных особенностей динамических напряжений в точках А,С и В был изучен в работах [6,7]. В данной работе детально рассмотрим характер локализации динамических напряжений в точке Б стыка четырех разнородных сред. Для этого нужно провести асимптотический анализ первых восьми уравнений системы (3). Принимая во внимание, что введенные вспомогательные функции представляют собой перемещения и касательные напряжения на границах областей, предположим, что их особенности в точке Б определяются формулами

фр(^)=Фв (Л)а—1, /! (Л)=р? (Л)а—1,.

в = 1,2; I = 1,6) при Л^ 0;

(3)

(2)

(3)

Рз л) = фD (y - z)a-1, f5 л)=F5D (y - z)a-1

при Л^у,

Р4 (Л) = фD (б - Z)a-1, f3I (Л) = F3D (S - Z)a-1

(4)

при Л ^ 8 .

Здесь через а обозначен параметр, характеризующий особенности искомых функций в точке Б, а через

z

Фв,..., ^ — произвольные постоянные. Производя

интегрирование в формулах (4), определяем, переобо-значая константы при особенности, асимптотику коэффициентов Фурье вспомогательных функций при больших значениях индексов в окрестности точки Б

/1к = (—1)к+1 ^у^в Г-“,ф1к = (—1)* Ф^'в)

/3) = ^3 8-1(Х^1))—1—а, Ф4) =Ф48^1(Х^1))Л

/6) = (—1))+1 ^6 8— (х(2))—1—а,

/5к = Р5у-\в™)-1-а, Ф3к =Ф3Г^:(в^2))Л

Ф2) = (—1)) Ф48—Чх?) —а .

Граничные условия задачи (3) таковы, что обеспечивают ограниченность правых частей системы интегральных уравнений во всей области. Требуя поэтому ограниченности левых частей системы и используя полученные асимптотики, приходим к следующей однородной системе уравнений

— т13 Бт(0,5па)Ф1 + г21(1 + п(3)а)Ф2 — (1 + п(1)а)Ф4 —

— 2(п(1) + г31п(3) )81и(0,5па)^! — 2п (1)а/73 —

— 2г31п (3)аР6 = 0,

-1 (1) -a

31

r12- (11 n (3)а)Ф1 - m 23 sin(0,5na^ 2 -- (11 n(2)a)Ф3 - 2r32n(3)aF( - 2n(1)aF5 -

- 2(n(2) I r32n(3)) sin(0,5пa)Fб = 0,

- (s(1) I r13s(3))sin(0,5пa)Ф1 I r23n(3)aФ2 -

- n(1)a<D4 12m13 sin(0,5na)F( 12(1 - n(1)a)F3 I 12(1 - n (3)a) F6 = 0,

r13n(3)aФ1 - (s(2) I r23s(3)) sin(0,5пa)Ф2 -

- n^Ф3 12(1 - n(3)a)F( 12(1 - n(2)a)F5 I 12m,3 sin(0,5na)F6 = 0,

(11 n(2)a)Ф2 I m24 sin(0,5я■a)Ф3 - r12 (11 n(4)a)Ф4 -

- 2r42n(4)aF3 - 2(n(2) I r42n(4)) sin(0,5na)F5 -

- 2n (2)aF(5 = 0, (5)

(11 n (1)a)Ф1 - r21 (11 n (4)a)Ф 3 + Im14 sin(0,5пa)Ф4 -

-2n(1)aF( -2(n(1) Ir41nw)sin(0,5na)F3 -

- 2r4(n (4)aF5 = 0,

- n (2)aФ 2 - (s(2) I r24s(4))sin(0,5na^3 I I r14n(4)aФ4 - 2(1 - n(4)a)F3 -

-2m24 sin(0,5na)F5 -

- 2(1 - n (2)a)F6=o,

(4))

- n(1)a<D2 I r4(n'*>aФ3 -

42

(4)

3

- (s(1) I r14s(4) )sin(0,5пa)Ф4 -

- 2(1 - n (1)a)F1 - 2m14 sin(0,5na)F3 -

- 2(1 - n (4)a) F5 = 0.

Здесь введены обозначения n(m) = 0,5(1 -v(m))

(m) -1

2 - 3(v(i) Iv(j)) 14VVj) 2(1 -v(i))(1 -v( j))

в(т) = 0,5(3 — 4^(т))/(1 — ^(т)).

Для существования нетривиальных решений однородной системы (5) необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю

Д(гу. ,^(т),а) = 0. (6)

Из соотношений закона Гука и формул (4) следует, что если 0 < Яе а < 1, то напряжения при приближении к угловой точке линии раздела областей неограниченно возрастают. Порядок особенности при этом равен |Яе а —1|. Таким образом, исследование особенностей напряженного состояния около угловой точки линий раздела четырех областей приводит к отысканию корня с наименьшей действительной частью трансцендентного уравнения (6) в зависимости

от упругих параметров областей G(т).

5.Численные результаты

Как показали вычисления, имеющий наименьшую положительную действительную часть корень уравнения (6) - действительный для всех рассматриваемых комбинаций упругих параметров областей G(т). В таблице приведены некоторые значения первого корня уравнения (6) для случая, когда упругие параметры областей G(1) и G(2) фиксированы и соответствуют стали, а упругие параметры областей G(3) и G(4) варьируются.

Из таблицы следует, что при данном сочетании материалов областей G(т) чем больше различаются модули сдвигов смежных областей, тем все более вероятно возникновение локальной особенности по напряжениям в исследуемой точке Б. Этот вывод следует считать справедливым при любых сочетаниях значений коэффициента Пуассона V® и И4) уже при значениях параметров тр3, г^4 больших трех.

Если коэффициенты Пуассона материалов областей G(3) и G(4) равны, то вне зависимости от значений же-сткостных параметров г) показатель а принимает

наибольшие значения. При различных значениях V® и v(4) показатель особенности уменьшается. Причем чем более близки жесткостные параметры к единице, тем сильнее проявляется указанная закономерность.

Отметим, что значение параметра а не изменится,

если поменять местами материалы областей G(3) и G(4) , оставляя неизменными упругие характеристики областей G(1) и G(2). Исследуя уравнение (6) при одинаковых значениях /л('т) и v(m) всех четырех областей G(т), можно аналитически показать, что в этом частном случае параметр а принимает только целые значения, из которых при исследовании волновых характеристик следует учитывать значение а = 1. Подобный вывод справедлив, как известно [1, 2, 7], при сопряжении двух областей.

Значения показателя особенности в зависимости от материалов контактирующих сред

4 II 2r 4 v(3) v(4) r13 = r23

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 5,0

(,20 0,2 0,2 1,071 (,092 (,054 (,073 (,028 0,994

0,2 0,4 (,044 (,059 (,05 і (,045 (,009 0,989

0,4 0,3 (,055 1,0б8 1,0б0 1,05б 1,011 0,992

5,0 0,2 0,2 0,877 0,908 0,901 0,8б9 0,854 0,809

0,2 0,4 0,8б3 0,897 0,883 0,851 0,830 0,797

0,4 0,3 0,8б9 0,88б 0,875 0,854 0,842 0,80б

Литература

1. Аксентян О.К. // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 31. С. 178-186.

2. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., 1981.

3. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. // ПМ. 1985. Т. 21. № 5. С. 121-125.

4. Боджи Д. // Тр. Амер. общества инженеров-механиков. ПМ. 1971. Т. 38. № 2. С. 87-96.

5. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. // ПМ. 1991. Т. 27. № 8. С. 54-59.

6. Вовк Л.П. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. С. 29-33.

7. Вовк Л.П. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 4. С. 9-13.

8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981.

9. Белоконь А.В. // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233. № 1. С. 56-59.

Донецкий национальный технический университет, Украина_________________________________5 сентября 2003 г.