CC BY
11
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2008 р. Вип. № 18
УДК 539.3
Лупаренко Е.В.*
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОНЦЕНТРАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД С РАЗЛИЧНЫМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
Рассмотрено влияние соотношения упругих и геометрических параметров кусочно-неоднородной прямоугольной области на характер концентрации динамических напряжений в окрестности нерегулярных точек границы. Представлены данные численных расчетов спектра резонансных частот и коэффициентов концентрации напряжений в зависимости от соотношений жесткостей стыкуемых областей.
Важным этапом при численном решении задач теории упругости является определение характера поведения компонентов напряженно-деформированного состояния вблизи особых точек внешних и внутренних границ рассматриваемого тела, что позволяет при численном анализе наилучшим образом аппроксимировать решение и построить эффективный алгоритм его нахождения. Наиболее актуальной эта проблема является в задачах вибронагружения элементов конструкций, когда напряженное состояние может претерпевать качественные изменения в зависимости от частоты внешней нагрузки.
В работах [1-3] разработаны методы исследования волновых полей в упругих областях данной геометрии, использующие асимптотическое поведение общих решений в особых точках границы. Коэффициенты при особенности в сингулярных слагаемых асимптотики решения исследовались в работах [1,4] только для случая однородной прямоугольной области.
Задачей данной работы является исследование коэффициентов интенсивности напряжений, определяющих величину локальной особенности по напряжениям в нерегулярных точках границы конечной кусочно-неоднородной прямоугольной области.
В работах [2, 3] на основе модифицированного метода суперпозиции построено решение задачи об установившихся колебаниях составной кусочно-неоднородной области, которая в безразмерных координатах описывается неравенствами
D = G(1) uG(2) = {(х,у) : |х| < |>>| < г,} и{(х,у) : х е [~ö20] и[0,ö2l \у\ < г,} Здесь х,у,х - отнесенные к а декартовы координаты в областях (./"'"''. 5 = с /а,77 = Ыа,32 = \-5 , 2ах2Ъ - размеры всей составной области, 2сх2Ь - размеры её внутренней части, т = 1,2. Предполагается, что волновое поле возбуждается вибронагрузкой интенсивности q, гармонически изменяющейся во времени с частотой со и приложенной к внешним границам составной области, а на границе контакта реализуются условия жесткого сцепления. Исследование проводится в рамках гипотез упругой плоской деформации.
Характер сингулярности волнового поля в угловой точке стыка областей A(5,T¡} определяется параметром а , для определения которого в [3] получено характеристическое уравнение, корни которого зависят от отнесенных к модулю сдвига Ц'"'' безразмерных упругих параметров ' внутренней области (/ ^ и наплавок
G(2)
(верхний индекс определяет
принадлежность соответствующей характеристики к области G('m>, да = 1,2). Если 0 < а <1, то волновые характеристики терпят разрыв в точке А, если а > 1 - разрыва нет. Например, асимптотическое исследование решения во внешней угловой точке B{52,r¡^, проведённое в
*ПГТУ, канд. техн. наук, доц.
[2, 3], позволяет утверждать, что перемещения n напряжения в этой точке даже в случае анизотропии материалов областей G(-m> сохраняют непрерывность, что соответствует выводам работ [1, 5].
Предполагая закон изменения всех характеристик волнового поля в окрестности особой точки A(8,r¡) известным [3], изучим количественные характеристики концентрации
динамических напряжений в этой точке. Именно, предположим, что отнесенные к ц безразмерные амплитудные компоненты тензора напряжений в окрестности точки А изменяются по закону
<7?> = Л0) ((* -хУНл-у)2 Г1)/2, trf = 42) ((х)2 + (77 - .у)2 . (1)
Множители А^, называемые в теории упругости коэффициентами при особенности,
определяют, в конечном итоге, вместе с параметром ос степень концентрации напряжений в окрестности угловой точки А. В дальнейшем остановимся на вопросе определения множителей А--т).
U
В работе [3] построено приближенное решение (7^(х,у),(7^2\х,у), достаточно точно описывающее решение поставленной задачи вблизи особой точки А составной области, исключая зону ее предельной близости. В области G(V) исследуем поведение напряжений С-,1' при стремлении к особой точке А{5,r¡) по лучам, описываемых в выбранной системе
координат уравнениями у = k(r> (х —8) +r¡. В зоне предельной близости точки А , когда ряды для напряжений становятся медленно сходящимися, приравниваем полученные значения динамических напряжений выражениям (1) и определяем из полученных равенств константы
Ду1"1. Изменяя значения угловых коэффициентов при условии кп> > О, будем при разных
значениях к(~г> получать вдали от зоны предельной близости точки А различные значения
констант при особенности А^ . По мере приближения к точке А значения этих констант при
различных значениях угловых коэффициентов будут сближаться. За их окончательные значения примем те, при которых имеет место гладкий переход от формул (1) к ранее построенному приближенному решению.
Аналогично поступаем при определении коэффициентов А(Г). В области (г'1''
V
стремление в приближенном решении к особой точке ^4(0,77) осуществляем по лучам с уравнениями у = к(2)х + r¡, изменяя угловые коэффициенты в области к(2) < 0. В остальном поступаем аналогично предыдущему.
Изложенный прием определения множителей при нерегулярных слагаемых позволяет изучить их зависимость от соотношения упругих констант стыкуемых областей и от параметра
частота Q''1 = oajс'11 (с'11 - скорость сдвиговых волн в области G(1)).
В качестве параметров концентрации напряжений можно выбрать отношение напряжений, вычисляемых по формулам (1), к напряжениям о\™а>, вычисленным в
окрестности точки А для случая одинаковых материалов областей (/" "" (в этом случае в точке А локальной особенности по напряжениям не возникает [6]).
Klr = Xim\o^{8,y)lo^{8,y± Y = 1,2. (2)
Следует отметить, что значение показателя особенности по напряжениям ос в точке А не зависит от геометрических характеристик составной области [3, 5], а определяется лишь
упругими параметрами (v^ - коэффициент Пуассона материала области G(m>),
число которых может быть сокращено до двух [7]:
а =
//-(1 У ) V (\ у ) , // !'(1 Г ) // (1 V- ) 0,5(
Если параметр Дандерса 0* а (а 2у0 ) ~ О - в угловых точках возникает локальная
особенность по напряжениям, и мы имеем один вещественный корень 0 < а < 1. Если I) < 0 -особенности нет (а >1). В процессе проведения анализа были подсчитаны коэффициенты Дандерса для большинства сочетаний известных материалов и выделены пары материалов-концентраторов напряжений.
На рис. 1 сплошной линией представлена зависимость коэффициента концентрации Л" [
от частоты для пары материалов сталь-свинец (/)* = 0,539) при 1] = 0,5 , 5 = 0,7 .
К,,
16 14 12 10 8 6 4 2 0
\ Ш
0 \
= Ф== 41*. 4_- -
0,7 0,8 0,9
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
Рис. 1 - Зависимость коэффициента концентрации от частотного параметра
В окрестности частоты Г2П) = 1,330 наблюдается довольно резкий скачок коэффициента концентрации, что объясняется возникновением интенсивных колебаний, локализованных в окрестности границы раздела областей. Подобные частоты естественно называть частотами граничного резонанса.
Величина максимума значения /\"| | существенно зависит от упругих свойств контактирующих материалов. Так, для пары материалов сталь - магний (£)* =0,231) интенсивность колебаний на частоте граничного резонанса снижается (штриховая линия на рис. 1). При этом сама частота граничного резонанса несколько смещена по сравнению с предыдущим случаем, что связано с изменением параметров. Для обычных пар материалов скачок величины концентрации напряжений практически не наблюдается. На рис.1 штрих-пунктирной линией обозначена зависимость А (£: ) для пары материалов сталь-алюминий (]У 0,003),
Если геометрические параметры и материал внутренней области (сталь) оставить неизменными, а упругие параметры наплавок варьировать, приходим к данным рис. 2, где показана зависимость нормированного коэффициента концентрации Кп при особенности
А}^ = АЦУД')"' С^п"' ~ коэффициент при особенности, соответствующий паре материалов
сталь - сталь) от жесткостного параметра г = ¿г2*1 /]цт на первых трех резонансных частотах
(кривые 1, 2, 3 соответственно). С увеличением значения г имеем рост А}^ на всех частотах,
однако на третьей резонансной частоте этот рост происходит гораздо быстрее, что свидетельствует в конечном итоге об интенсификации волновых движений на границе раздела сред.
Несомненный практический интерес представляет вопрос о влиянии на концентрацию напряжений толщины внешних наплавок. На рис. 3 представлена зависимость К}} (д) при >1 = 0,2 для пар материалов сталь-свинец (кривая 1), сталь-магний (кривая 2) и сталь-алюминий (кривая 3). Расчеты проведены в окрестности третьей собственной частоты.
7(1) ли
1\ — 3
1 \
\
— 2
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75
Рис. 2 - Зависимость коэффициента при особенности от параметра жесткости
ки
— 3
2
1/х
1
0,01 0.015 0,02 0.025 о,о:
Рис. 3 - Зависимость коэффициента концентрации от размера внутренней области.
Из данных этого рисунка следует, что наиболее интенсивная концентрация напряжений наблюдается при значениях 0,012 < 5 < 0,020. Однако, и в данном случае большое значение
для каждой исследуемой пары материалов имеет учет значения параметра Дандерса D*.
Данная методика исследования без принципиальных изменений может быть перенесена на случай кинематических граничных условий и другого вида условий сопряжения. В перспективе решение задачи о колебаниях анизотропных кусочно-однородных областей, где не существует аналогов параметра Дандерса, и показатель особенностей по напряжениям необходимо находить отдельно.
Выводы
Полученные результаты исследования коэффициентов концентрации позволяют подобрать геометрические и упругие параметры составной области для минимизации интенсивности волновых движений в окрестности раздела сред.
Перечень ссылок
1. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. - К.: Наук, думка, 1981. - 283 с.
2. Вовк Л.П. Численно-аналитический анализ вибродеформирования прямоугольных поперечно-неоднородных в плане деталей / ./7.77. Вовк, E.H. Лупаренко, Б.В. Соболь II Труды 6-й Междунар. научно-техн. конференции. - Ростов н/Д: ДГТУ,2001. - С. 76 - 82.
3. Вовк Л.П. Особенности гармонических колебаний кусочно-неоднородной прямоугольной области / ./7.77. Вовк И Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств.науки. - 2002. -№4.-С. 9-13.
4. Белоконъ A.B. Об установившихся колебаниях электроупругой пластины переменной толщины / A.B. Белоконъ. Л.П. Вовк II Прикл. механика. - 1982. - Т. 18. - № 5. - С. 101 - 105.
5. Лобода В.В. О контактном взаимодействии упругой прямоугольной пластины и полосы / В.В. Лобода II Прикл. механика. - 1989. - Т. 25. -№ 4. - С. 69 - 76.
6. Боджи Д. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединённых вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора / Д. Боджи II Гр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. - 1971. -Т. 38. -№ 2. -С. 87-96.
7. Diindurs J. Discussion / J. Dundurs II Ibid. - 1969. - V. 36. - № 3. - P. 650 - 652.
Рецензент: Ю.Е. Коляда
д-р физ.-мат. наук, проф., ПГТУ
Статья поступила 27.03.2008
