Анализ интенсивности локальной концентрации напряжений в деталях, изготовленных из функционально градуированных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

2007 р.

Вип.№ 17

УДК 539.3

Лупаренко Е.В.*

АНАЛИЗ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛОКАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ДЕТАЛЯХ, ИЗГОТОВЛЕННЫХ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНО ГРАДУИРУЕМЫХ

МАТЕРИАЛОВ

Рассмотрены установившиеся симметричные колебания упругой детали поперечно-неоднородного прямоугольного сечения, составные части которого изготовлены из функционально градуируемых материалов. На основе методов динамической теории упругости исследована зависимость порядка сингулярности поля напряжений на границе раздела от комбинаций упругих постоянных стыкуемых материалов и от характера их микроструктуры.

Как правило, в конструкциях имеются слабые узлы, наиболее склонные к разрушению в резонансном режиме работы. Таковыми для составных деталей являются окрестности границы раздела сред, которые можно трактовать как деформационные концентраторы. Сложные механические явления локальной концентрации напряжений (ЛКН), граничного и краевого резонансов [1], возникающие при работе паяных и сварных деталей в вибрационном поле, вносят существенные поправки в общепринятые методы расчета прочности [2, 3].

Задачами данной работы является подбор наиболее экономичного варианта сочетания пар стыкуемых функционально градуируемых материалов (ФГМ) с целью повышения прочности детали путем минимизации влияния локальной концентрации напряжений. В работах [1,4,5] разработаны методы исследования волновых полей в упругих областях данной геометрии, использующие асимптотическое поведение общих решений в особых точках границы и введены параметры локальной особенности (ПЛО) по напряжениям, характеризующие интенсивность ЛКН.

Рассмотрим задачу вибродеформирования бесконечной в направлении оси г призматической детали, составное сечение которой в безразмерных координатах описывается неравенствами

5 = с / а, 77 = b / a,ö2 = 1 - 5 , 2ах2Ъ - внешние размеры всего сечения, 2сх2Ь - размеры внутренней области, т = 1,2 .

Предполагается, что волновое поле возбуждается вибронагрузкой интенсивности q, гармонически изменяющейся во времени с частотой со и приложенной к внешним границам сечения, а на границе контакта реализуются условия жесткого сцепления. Исследование проводится в рамках гипотез упругой плоской деформации.

Для описания поведения детали используем уравнения движения сплошной среды:

л

л

£(»)£/(») + ¿/С») + (qC») + \)v™ + [ГГ" ] U(m) = 0;

Л

(С™ + \)U%> +Vjf +C^}V(2f +[Q(m) ]2V(m) = 0

ПГТУ, канд. техн. наук, доцент

р(и!) - плотность области С('т\ и(-т> у(-т> _ амплитудные компоненты вектора перемещений,

С(сф)Е,С66>Е - упругие модули среды, а = 1,2, [3 = 1,2 . т = 1,2 .

Используя метод суперпозиции [1, 4], все характеристики волнового поля, определяемого безразмерным частотным параметром = соа!с(р (' - скорость сдвиговых волн в

области б^1"1), можно выразить через вспомогательные функции

л

/, (у), /2 (х), /3 (у), /4 (х), (рг (у). Эти функции определяют перемещения и касательные

напряжения на границе раздела шва и основного материала и на внешней границе детали. Именно,

/Лу) = и(1)(8,у),

<7^(ё,у) = <7(122\0,у) = (Р1(у),

/2(х) = Г(1\х,г,), (3)

' 2

Ш = и™(52,у),

f4(x) = V(2\x).

Проанализируем особенности, возникающие у напряжений в угловой точке A(S,T]) стыка материала. Это эквивалентно предположению о наличии особенностей у функций (рх, fi следующего вида:

ъ 00 = P¿'7 - .уГ1 , /; 00 = QÁV- УГ1 при у -> п-

/г(х) = йг(8-х)а-1 приХ^5; (4)

Через о; обозначен параметр локальной особенности, характеризующий, в конечном итоге, интенсивность J1KH, а через P\,Q\,... - произвольные постоянные. Определяя асимптотику коэффициентов Фурье рассматриваемых функций в окрестности точки А, приходим к системе однородных уравнений, определяющих характер особенностей характеристик волнового поля:

-mu sin —Н1 + 20(1) + r2rí1))ún—Rl + 2nmaR2+2n(1)r2aR4 = О

(1 + ^ту + ^ (1 + -^Г»sin 2щ2 sin - 2(1 - nma)R2 - 2(1 -n^a)R4 = О

С„ С„ 2 2 (5)

((и0))-1 +а)Нх +2 ocR, +2 sin— R2 = О

r2\(n{2)yl +a)Hl +2 ccRx +2 sin— R4 = 0

2

2

Здесь

,(« - (Cn } ~и --O РГЛпЛ «« —

'11

n = ' Я1 = -2^r(a)sin —,

(2)

r2 =E^,Ri=2QiT(a)sm7^-, R4 = 2Q4Y(a)ún^,

¡Uy' 2 2

Г(а)- гамма-функция, - безразмерные параметры областей 0(т): С ^ - - 2.

(т) ,,(т)

2(1 -у(т))

1 - 2У(и!)

Сц =---; V - коэффициенты Пуассона; / = 1,2; ¡5 = 1,2 .

ПЛО о;, характеризующий особенность во внутренней угловой точке детали, определяется из условия существования нетривиального решения системы (5),

А(а,у(1),у(2),г2) = 0 (6)

Данное уравнение симметрично относительно упругих параметров областей (}'"'>. Это легко доказать, если после взаимной замены упругих параметров стыкуемых областей в определителе этой системы поменять местами третью и четвертую строку, а затем третий и четвертый столбец.

Таким образом, из уравнения (6) можно численно найти параметр ос и тем самым определить характер поведения волнового поля при подходе к точке А. Если Ока <1, то волновые характеристики, как следует из формул (4), имеют локальную особенность в точке А, что соответствует возникновению ЛКН.

Предположим, что внутренняя область сечения (}пвыполнена из ФГМ, содержащего две смешанные, отличные друг от друга материальные фазы. На практике информация о размерах, форме и объемах материальных частиц каждой фазы отсутствует, и эффективные модули среды могут быть оценены только статистическими методами, основанными на распределениях доли и объемов рассеянных фракций. Рассмотрим здесь один из основных методов для оценки эффективных приведенных свойств ФГМ - метод Мори-Танаки [6]. Метод Мори-Танаки применим к средам градуированной микроструктуры, имеющих выраженную непрерывную матрицу и дискретные включения. При этом принимается во внимание природа взаимодействия упругих полей между соседними включениями. Примем, что механические параметры непрерывной матрицы имеют индекс 1, а включений - 2. Обозначим через У\ объемную долю фракции матрицы в композите, а через У2=\ — У1 - объемную долю фракции включений. Следующие оценки для приведенного модуля объемного сжатия К и приведенного модуля сдвига ¡л справедливы в предположении изотропии механических свойств обеих фаз композитной среды:

кт=к+ г^зк.+^Хк.-к,)

1 ЪКг + 41и1 + (\-У2 \К2 -К^)

(7)

=)Л + (3Кх + 4/л, )У2{/л2 - /л!)

5/и,(ЗК, +4/и,) + 6(К, + 2/и,)(1 - Xи2 - /и,)

Модуль объемного сжатия К и модуль сдвига ¡л связаны с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V соотношениями

к_ Е

3(1 -2УУ Е

¡и =-. (8)

2(1 + у)

Выберем в качестве составляющих ФГМ А1 и 8¡С со следующими упругими свойствами. Для А1: Еу=10СРа, ^=0,3, для 8¡С: Е2 = 421 СРа, у2=0,17. Предполагаем, что объемная доля керамической фазы во всем объеме плиты дается степенной функцией

(V

0,5(9)

Здесь У-} и - доли объемных фракций керамической фазы на верхней и нижней границах области С ® соответственно, а п - параметр, определяющий распределение доли

включений по толщине области. В таблице представлены при У~2 = 0 результаты расчетов указанного параметра ОС для различных характеристик микроструктуры керамической фазы.

Таблица - Значения ПЛО в зависимости от параметров микроструктуры керамической фазы

п F2+=0,1 F2+ = 0,25 F2+=0,5 F2+ = 0,75 II

0,25 0,742 0,754 0,833 0,895 0,901

0,5 0,754 0,768 0,826 0,869 0,878

1 0,757 0,772 0,814 0,848 0,871

1,5 0,761 0,778 0,816 0,829 0,865

2 0,744 0,771 0,801 0,824 0,859

3 0,732 0,757 0,785 0,814 0,854

4 0,720 0,741 0,775 0,803 0,850

Таким образом, из результатов, представленных в таблице, следует, что удачный

подбор параметров F2 , F2 , п, соответствующий максимальному значению ОС, позволит еще

на стадии проектирования свести к минимуму концентрацию динамических напряжений в

опасных зонах сечения.

Выводы

1. Определение параметра локальной особенности по напряжениям ос играет первоочередную роль в прочностном расчете, поскольку именно он определяет, в конечном счете, интенсивность локальной концентрации напряжений в сингулярной точке A(ö,rj) .

2. Предложенный метод исследования волновых полей в поперечно-неоднородных деталях прямоугольного сечения позволяет определить характер локального разрыва волновых характеристик во внутренней угловой точке стыка разнородных функционально градуируемых материалов.

Перечень ссылок

1. Вовк Л. П. Особенности гармонических колебаний кусочно-неоднородной прямоугольной области I Л.П. Вовк // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. - 2002. -№4.-С. 9- 13.

2. Кузнецов O.A. Прочность паяных соединений / O.A. Кузнецов, А.И. Погалов. - М.: Машиностроение. 1987. - 112 с.

3. Касаткин Б. С. Напряжения и деформации при сварке / Б. С. Касаткин, В.М. Прохоренко, И.М. Чертов. - К.: Вища школа, 1987. - 246 с.

4. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В. Т. Гринченко, В.В. Мелешко. - К.: Наук, думка, 1981. - 283 с.

5. Вовк Л.П. Численно-аналитический анализ вибродеформирования прямоугольных поперечно-неоднородных в плане деталей / Л.П. Вовк, Е.В. Лупаренко, Б.В Соболь II Труды 6-й Междунар. научно-техн. конференции. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2001. - С. 16- 82.

6. Benveniste Y. A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory of composite materials / Y. Benveniste II Mechanics of Materials. - 1987. - V. 6. - P. 147 - 157.

Рецензент: Ю.Е. Коляда

д-р физ.-мат. наук, проф., ПГТУ

Статья поступила 02.04.2007