Анализ локальной особенности по динамическим напряжениям в окрестности сингулярных точек границы неоднородного прямоугольника с внутренним отверстием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.371

АНАЛИЗ ЛОКАЛЬНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПО ДИНАМИЧЕСКИМ НАПРЯЖЕНИЯМ В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА С ВНУТРЕННИМ ОТВЕРСТИЕМ

© 2004 г. Л.П. Вовк

The qualitative peculiarities of the dynamic stress’s concentration in the internal corner meeting-point of the three-component region with several elastic properties are considered. The numerical results are represented.

В данной работе ставится задача определения качественного и количественного характера особенности волнового поля, возникающей в окрестности угловой точки стыка трех разнородных областей прямоугольной формы. Подобные задачи связаны с расчетом прочностных параметров сварных и паяных стыковых соединений, имеющих угловые швы [1]. В [2, 3] указанная особенность исследована в угловой точке стыка двух областей с различными упругими свойствами. Общее решение задачи о гармонических колебаниях неоднородного прямоугольника с внутренним отверстием построено в [4] при помощи модификации метода суперпозиции, использующей асимптотическое поведение волновых характеристик в особых точках границы.

Постановка задачи. Пусть сечение бесконечной в направлении оси а3 кусочно-неоднородной упругой призмы занимает в системе координат а1Оа2 область

Б = О(1) и О(2) и О(3), где области О(т) склеены друг с другом и определяются неравенствами

О(1) = {(а1,а2): |а| < с; а2 є [-Ь,-і] и [і,Ь]};

О(2) = {(а1,а2): а1 є [-а,-с] и [с, а]; |а2| < і};

О(3) = {(а1,а2):а1 є [-а,-с] и [с, а]; а2 є [-Ь,-і] и [і, Ь]}.

Материал областей О(т) предполагается изотропным и определяется модулем сдвига /л('т), коэффициентом Пуассона у('т) и плотностью р(т). Здесь и далее верхний индекс будет определять принадлежность механической характеристики или упругого модуля к области О(т)(т = 1,2,3).

а1 = ±а ,

А

П-У

G(3)

8

x

C

Рис. 1

Асимптотический анализ особенности. В работе [4] при помощи модификации метода суперпозиции все характеристики волнового поля, определяемого безразмерным частотным параметром

О(1) = со а^р(1) / (и(1) , выражаются через 10 введенА

ных вспомогательных функций /1 (у), /2 (х),

/3 (х), /4 (у), /5 (у), /6 (х) /7 (УХ /8 (х) Ф\ (УХ ^2 (х) ,

определяющих перемещения и касательные напряжения на границах раздела областей О(т) и на внешней границе составной области Б . Именно,

П ± и(1) (8,У) = и Г(0,У) = / (У), иГ(х,Гг) = /2(х)

Пусть на внешних сторонах сечения = ±а, 1 1 1 2 2 2

; = ±Ь задана гармонически изменяющаяся во вре- и2)(х,0) = /з(х), и\ )(82,у) = /4(у), и\ )(0,у) = /5(у)

,-тг(3)

0),

а

мени с частотой со вибронагрузка переменной интенсивности q, а внутренняя граница сечения свободна. Учитывая симметрию области О, возможно рассматривать волновое поле части области, расположенной в первой четверти. Она изображена на рис. 1 в безразмерных координатах (обозначения аналогичны введенным в [3, 4])

А А

х = а1 / а, у = а2 / а, х = (а1 - с) / а, у = (а2 - ё) / а,

8 = с / а, у = ё / а,п = Ь / а, 82 = 1 - 8, у2 = ц — у .

U 22)( x,y) = U И x,0) = f6( x),

U (3)

Ul(3) (82, У) - f7 (У), U2> (x, У2) - f8 (x)

(3),

a

(!)/

(8, у) - r3lCT1(2) (0, у) - p (у),

(x, у) - Г32СТ® (x,0) - P2 (x), rtj - /л(і) I Ц

(j)

Здесь U(m) - v(m)Ia,a12> - С I- безраз-

областях G(m),

j

(m) - t(m) / ,,(m)

(1)

мерные перемещения и напряжения в

В

(l)

G

(2)

У

G

x

0

соответствующие амплитудным компонентам вектора

” -.,(т) - *(т)

перемещений уі и тензора напряжений .

Поставим задачу определения особенности волнового поля во внутренней точке Б(8,у) стыка трех областей. Для этого, используя методику выделения особенности, предложенную для конечных областей в [5], предполагаем, что асимптотически значимые в окрестности этой точки функции (1) имеют особенности следующего вида / (£) = Fi%Cl—, р.(£) = Ф/^а-1

(i -1,6; j - 1,2) при 4 ^ 0; f (4) - F38 -4)с

при

#^8; /5^ = е5(у-#)а 1 при .

В этих формулах через а обозначен параметр, определяющий особенности указанных функций в точке О , а через ^, Ф(/' = 1,3,5,6; ] = 1,2) - произвольные постоянные. Определяя асимптотику коэффициентов Фурье рассматриваемых функций, записываем неиспользованные во вспомогательных задачах граничные условия и условия сопряжения областей О(т) в окрестности точки О , т.е.

оЦ (8,у) = (0,у), (х,у) = (х,0),

(2)

Uf (5, у) = U23) (0, y), Ui(2) (х, Г) = Ui(3) (х,0), ст1(12)(0> у) = 0, а(^( х,0) = 0.

Переобозначая константы и учитывая отсутствие у внешней нагрузки разрывов в этой точке, сводим условия (2) к системе однородных уравнений, определяющих характер особенностей характеристик волнового поля в точке D

-m13 sin~~Ф 1 + r21(1 + )Ф2 +

+ 2(d1(11) + r31dj(3))sin naF1 - 2d1(j)aF3 + 2r31d<(3') aF6 = 0,

Гі2 (1 + а/}1))Ф1 - Ш23 sin—^ Ф2 + 2r32dl(1)аFl -- 2d1(12) aF5 + 2(d1(12) + r32 d1(3) )sin — F6 - 0,

-(пЦ + r13n[^)si^^2"Ф1 + r23d11'1 аФ2 -2m13 sin-^"F1 +

+ 2(1 - ad1(1) )F3 - 2(1 - ad1(3))F6 - 0 ,

(3) ч • па

(3Ъ

. па

(3)

rudfl OJ?l -(«У + ^«[lOsm— Ф2 -2(1-ad}j )Fi +

+ 2(1 -ad1(12))F5 -2m23 sin —C-F6 -0,

1 па

(—— + а)Ф 2 - 2sin------F, + 2aF6 - 0 ,

d1(12) 2 2 5 6

(a + 1I d®) Ф1 + 2aF1 - 2 sin(na 12)F3 - 0,

где d1(1m) -

2(1 -v(m))

(m) - 3 - 4v

(m)

2 - 3(v(i) +v( ■'О + 2v(i)v

mj- ■

( j ) )

2(1 -v(m))

,«„( j )

2(1 -v(i))(1 -v( j))

( j )

Параметр а, характеризующий особенность волновых характеристик во внутренней угловой точке составной области, можно определить из условия существования нетривиального решения системы (3)

Д(а, /л(т\у(т)) = 0. (4)

Следует отметить, что этот параметр не зависит от частоты и геометрических параметров у,8,п и определяется только значениями модуля сдвига и коэффициента Пуассона стыкуемых областей. Этот вывод следует из вида уравнения (4) и определяется локальным характером особенности, что подтверждается также тем фактом, что уравнение (4) не изменит свой вид при

замене /и('Г),у('Г) на ^(2),^(2) и обратно. Это можно доказать при помощи элементарных преобразований строк и столбцов определителя системы (3).

Численные результаты. При численном анализе задач рассматриваемого типа основное внимание уделяется исследованию спектра резонансных частот и максимальных динамических напряжений. Однако несомненный интерес представляет также численное исследование уравнения (4) с целью определения параметра локальной особенности во внутренней угловой точке сечения. Оно показало, что при некоторых соотношениях упругих констант стыкуемых в

точке О областей О (т) уравнение (4) имеет вещественный корень 0 < а < 1. Это характеризует возникновение локальных особенностей в напряжениях в этой точке. Поскольку в точке О мы имеем сопряжение сразу трех разнородных областей, то нет возможности ввести компактные параметры, аналогичные коэффициентам Дандерса [2], определяющие наличие особенности в сингулярной точке границы при стыке двух областей.

В таблице представлены данные расчетов корней уравнения (4) при различных сочетаниях упругих

свойств материалов областей О (т) . При этом рассмотрен наиболее часто встречающийся на практике случай одинаковых материалов областей О(1) и О (2) .

Практический интерес вызывает вопрос зависимости изучаемого параметра особенности по напряжениям от соотношения жесткостей стыкуемых областей. Если упругие параметры областей О(1) и О(2) зафиксировать (^(1) = у(-Т) = И3), )ы(1) = ^(2), г32 = г31) и принять их равными упругим параметрам стали, а варьировать только модуль сдвига угловой области

О(3)

, то приходим к данным рис. 2, где показана зависимость а = а(г32).

1

Материал областей О(1) и О(2) Материал области G(3)

Олово Свинец Латунь Платина Цинк

Сталь 20 0,942 0,902 0,991 0,995 1,009

Никель 0,951 0,878 0,993 0,997 1,018

Алюминий 0,971 0,952 0,985 0,9б8 0,994

Медь 0,981 0,908 0,98б 0,994 1,10б

Магний 0,992 0,897 0,984 0,979 0,971

Серебро 0,987 0,922 0,971 0,975 0,993

Вольфрам 0,97б 0,901 0,9б5 0,9б2 0,990

0,75---------------------------------------------------

0,5----------------------------------------------------

0,25---------------------------------------------------

0

0 2 4 6

Рис. 2

Из анализа представленной зависимости следует, что максимальное значение параметр особенности принимает в случае, когда области О(1), О(2) и

О(3) состоят из одного материала. В этом случае локальной особенности по напряжениям во внутренней угловой точке не возникает, а появляется она только при значениях г32 > 1,4. Этот вывод позволит уже на этапе проектирования оптимально подобрать жесткости материалов составных элементов конструкций с целью уменьшения концентрации напряжений в проблемных точках их сечения.

Установим асимптотику параметра особенности а при больших значениях модуля сдвига угловой области /и('У>. Для этого вводим малые безразмерные параметры е. = ц(■>> / ^(3> = г (] = 1,2). Разыскивая решение уравнения (4> в виде ряда по степеням этого параметра

а = а0 +е1а11 + е2а12 +..., (5)

можно достаточно просто получить последовательность уравнений для определения а0,а11,а12,.... Например, первый член разложения а0 удовлетворяет уравнению

І

—

0 2 4 6

Рис. 2

(8Ш2(па0 /2) -а02) х

хП(а02 -(3-4V^ш2(па0 /2)-4(1 - V(г)>2> = 0. (6)

1=1

Первый сомножитель в уравнении (6) совпадает с левой частью известного уравнения [2-5], определяющего особенность компонент тензора напряжений в вершине однородного клина с углом раствора 900. Его корни не зависят от упругих постоянных материала и при построении асимптотики решения следует учитывать только вещественный корень а0 = 1 этого уравнения и счетное множество комплексных корней [3,6] с положительной вещественной частью. Второй и третий сомножители, как показывает численный анализ, имеют корни 0 < а0 < 1 только при V1-;) > 0,62, что не соответствует упругим параметрам реальных материалов. Таким образом, можно утверждать, что при больших значениях г3}- параметр локальной особенности

а ^ 1. Отметим также, что полученные результаты носят лишь качественный характер, поскольку определение следующих членов асимптотики а11 , а12 в разложении (5) приводит к уравнениям, содержащим сумму четырех определителей с элементами, зависящим от а0 и а1. Его численное решение гораздо

сложнее решения уравнения (4).

Выводы. Определение вещественных корней уравнения (4) позволяет прогнозировать характер динамической концентрации напряжений в опасных зонах сечения призматических составных тел. Подбирая упругие характеристики стыкуемых областей, соответствующие максимальным значениям параметра локальной особенности а, можно минимизировать динамические напряжения в сингулярных точках границы сечения, соответствующих внутренним угловым точкам стыка разнородных областей. Полученные результаты могут быть применены на этапе проектирования сварных, паяных и клеевых угловых стыковых соединений, работающих в вибрационном поле

Литература

1. Аснис А.Е., Мосенкис Ю.Г. Снижение металлоемкости сварных швов стальных конструкций. Киев, 1987.

2. Боджи Д. // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Прикладная механика. 1971. Т.38. № 2. С. 87-96.

3. Вовк Л.П. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 1. С. 9-13.

4. Вовк Л.П. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. С. 29-33.

5. Белоконь А.В. // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233. № 1.

С. 56-59.

6. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л., 1967.

Донецкий национальный технический университет, Украина___________________________________15 июля 2003 г