CC BY
11
МЕХАНИКА
УДК 539.3
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА СУПЕРПОЗИЦИИ В ЗАДАЧАХ О ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ
© 2003 г. Л.П. Вовк
Approach for solution of the problem on determination of the elastic rectangular regions’ wave fields, that consist of the arbitrary number of the isotropic rectangles with different elastic properties is developed in the frames of the superposition method.
Предлагается развитие метода решения задач об установившихся колебаниях кусочно-неоднородных упругих областей прямоугольной формы, использующего поведение характеристик волнового поля в угловых точках области [1, 2]. Трудности решения задачи о волновых движениях в упругом однородном клине общеизвестны [1]. В связи с этим следует отметить, что успех в решении подобных задач в значительной мере обусловлен использованием связи между особенностями волновых полей в окрестности угловых точек и скоростью сходимости рядов в общих решениях [2-4].
Постановка задачи. Рассмотрим волновые движения, полностью характеризующиеся двухмерным полем1 в плоскости а\Оа2 в бесконечной вдоль оси (7«з призме V. Предполагаем, что сечение призмы занимает в плоскости щОа2 область О = {(«[., а2):
|ог11 < <аг, |аг21 — • Пусть (от = 1;2,...,//) - прямые,
имеющие в выбранной системе координат уравнения
а.\ = ±ат и разделяющие сечение О на области
и В^ = £>1"^ и В^ (т = 2,3,...,Ы), причем <
<«2 <... < Ддг = а. Области в[т^ и в[т^ располагаются симметрично относительно начала координат, имеют одинаковую толщину й(т)=ат-ат _1 и определяются неравенствами
В[т) = {(от,, а2 ): ах е [~ат ,-ат_х ], \а2 \ < Ь),
в[т) = {(ау, а2): а, € [ат_х, ат ], \а21 < Ь},
а область В^ является внутренней прямоугольной односвязной областью с центром тяжести в начале координат:
В{]) = {(а},а2): \щ| < а1 ,\а2\ < Ь).
Каждая из перечисленных N областей В^ занята своим однородным и изотропным упругим мате-
риалом с модулем сдвига , коэффициентом Пуассона и плотностью . Предположим, что волновое поле в области сечения В возбуждается действием на границах а\ = ±а,а2 - ±Ь нормальными, гармонически изменяющимися во времени с частотой со, самоуравновешенными нагрузками интенсивности д\{а2) и д2(сщ) соответственно. В последующих выкладках общий для всех характеристик
волновых полей временной множитель е1Ш опускается. С учстоц симметрии области возможно рассматривать волновое поле части области сечения призмы, расположенной в первой четверти.
Амплитудные смещения и напряжения точек упругих сред областей В^ обозначим через и
соответственно (р = 1,2; у = 1,2 ). Общую краевую задачу определения собственных частот и собственных форм колебаний кусочно-неоднородной области В формулируем в следующем безразмерном
виде. Во всех областях В^ вводим безразмерные локальные координаты х^ и ищем функции и^\х^-т\у), удовлетворяющие уравнениям движения
+ (С,(£г) +1ХС/Р +и2а\/3 +(0("1))2(7д') = 0 ,(1) где ЦЫ = иУ / а, С#0 = С(^ - 2, С1(5в)=2(1-*'(,я))/(1-21/(,")),
дх(т)’ ду
х^ ^ ~х — х = СС\ Ia,Sm — ат /ci,Sq ~ 0,
у = а2/а, х{т) ъ[0,дт-дт_х],у ц-Ыа, m-\,2,...,N.
(»>) ’
Безразмерные амплитудные компоненты тензора напряжений / //т^ вычисляются по соот-
ношениям закона Гука:
°П ~Ч\ и\,\ +Ч2 2,2 * ffЙ) = cff)^/1(l7)+c1(“Vй),
ст1(2) = ^(,2)+^2?-
На прямых Б(+т^ должны быть выполнены условия контакта областей с различными упругими свойствами. Именно,на стыке всех областей =
= {(х^т\у):0<х^т) <Зт-8т^,0<у<г]} и ^т+1) (т = 1,2,..., N — 1) принимаются выполненными условия жесткого сцепления
а$\8т-6т-х,у) = гм<7^+,)(0^),
иу\3т-3т_ьу) = иу+'\0,у), Гт=М^/М^К
На внешней границе сечения предполагаем заданными силовые граничные условия
= я^\х^), (3)
= 0, ФГ = Чу Ы
Построение общего решения. Следуя алгоритму метода суперпозиции [2, 3], общее решение С/^, удовлетворяющее системе уравнений (1) внутри области , конструируем в виде суммы двух частных решений этой системы, каждое из которых описывает симметричные колебания бесконечных полос
о[т) = {(Х(т\у): 0 < х« < Зт-5т_х,\у\ <со\ И
'= {(х^т\у):|х(т) <к>,\у\<г]}, образующих при
своем пересечении область . Четность или нечетность этих частных решений определяется видом граничных условий (3). При этом необходимо учитывать, что по координате х^ и^\х^т\у) являют-
ся функциями общего вида. Поэтому продолжим эти функции по координате х^ на отрезок [—8т—8т_\\. Эти продолжения для функций
и[т\х^,у) предполагаем нечетными, а для функции и[тНх{т\у)~ четными. Тогда, складывая построенные для слоев и частные решения системы уравнений (1), будем иметь общее решение задачи в области В^т\т - 2,3,...,Ы) в виде
и[т) = (П{т\К1{т)х(т)) + д(т)сК1(т)х(т))) х
хссва(у-п)+к1т)сКгМу)*ш(х1”Чх1я)-8т + 8т_х)),
.(»»)/■ "Л
и(2т) = (Н(тЩ(т^{т))+д(т^К^т)Мпа(у-т1)+ + л(т)5А(г(т)Я соз(Х(т\х(т) -8т + 8т_0). (4)
Для области решение строится аналогично случаю симметричных колебаний однородного прямоугольника и имеет вид [5]
1/^ = Н ) соб а(у - ф +
+ Л^с/г(г^у)5тх^(х^ —
)8та(_у-7;) + (5)
+ Д^5Й(г^.у)со5;£^(х^ -^1),
Набор констант Н^т\н^^^т\...,К^ в формулах (4), (5) обеспечивает необходимую степень произвола для удовлетворения граиичных условий и условий сопряжения в рассматриваемой составной
(2) области. В качестве значений а,х^ целесообразно выбрать такие последовательности чисел а^,х^,
чтобы системы соответствующих функций были полными и ортогональными на отрезках |у( < ?7 и
х^ е[0,8т-8т_х]. Из этого требования в качестве возможных следуют вначения а^-кл/т], X™ = ]яЦ8т-Зт_1), * = 1, 2,...; ] = 1, 2,....
Подставляя выражения (4), (5) в систему (1), получаем для каждого значения к и у системы линейных однородных уравнений относительно коэффициентов
Н(т) и Я(т),..., 1{т) и Д(т).Из условия существования нетривиального решения этих систем находим значения параметров и
(‘%])2 = а2к-(1^)2, (/а])2 = (4т))2 -(/?})2.
/<*) = /(*) = Д(«), А = 1,2
и связь между упомянутыми коэффициентами, что полностью определяет общее решение задачи во всех
областях и позволяет удовлетворить условиям
сопряжения (2) и силовым граничным условиям (3).
Решение вспомогательных задач. Аналитическое определение в явном виде произвольных постоянных,
входящих в выражения для перемещений при
/
непосредственном удовлетворении условий (2), (3) невозможно. Поэтому, аналогично [3, 5], введем в рассмотрение вспомогательную краевую задачу. При данных граничных условиях вид этой вспомогательной задачи значительно усложняется, поскольку при ее формулировке необходимо не только добиться аналитического решения, но и ввести в граничные условия и условия сопряжения как можно больше условий из (2), (3). Это позволит максимально упростить вид последующей системы интегральных уравнений. Итак, рассмотрим решение системы (1) при следующих вспомогательных граничных условиях.
Области 0*-т\т = 2,...,И-1,Ы): и\т\5т-8т_ьу) = /{т\у), °\г\8т-8т-ъу)-<р\т\у),
9[Ы)(у) = Ъ,и{”'Хх{т\т1) = /(гт\х{т)), о\г\^т\ф = Ъ. (6)
и[т)ф,у) = /,(т~1)00, ст%Н0,у) = гГ„1<р1т-])(у). Область £>^:
и11](Зиу) = Дт(у), а$(8ьу) = <р\1){у),
= /2(1)(х(1)), = 0. (7)
Здесь /{т\у), (р\т^(у), /^(эс^) - неизвестные
вспомогательные функции. Раскладываем эти (ЗЛМ) функции в ряды Фурье на соответствующих отрезках и, используя общее решение задачи, составляем условия (6) и (7). Тогда условия на вертикальных участках границы х - 8т дадут при каждом значении индекса к (4Ы -2) линейных уравнений для определения
такого же количества коэффициентов , Н^\ = 2) в общем решении зада-
чи. Остальные 2Ы коэффициентов при каждом значении у _ определятся из 2ЛГ граничных условий при у = г]. Получающиеся наборы линейных систем допускают аналитическое решение и позволяют в явном виде выразить характеристики волнового поля во всей составной области сечения через коэффициенты
Фурье /[(0т)./цт)’Аа*>/2(7)><Р{\к введенных вспомогательных функций. Например, выражения для перемещений в области имеют вид и0) = ак
Щ’У
+ q$ Д(Р (х(|) ,5иак )] cos ак {у-ф +
/$ Д(Р (у, TJ, Xf) sin Xf (*(,)-^l) +
2{xf)2
+y?. (41*)2
, A О sin/l(1V
/l0 sin/}»* ’
r/( 1) _ у ak
2 ~m?)2
n0)
[2akflfA^(xm,81,ak) +
^aTi2-A3)(x(l)’ ^ ’ ak sin аь (У-^ +
Ф2)
”2M1))2
+i
Я (4,})2
+ /20
Здесь /ю.Лк’—’Фи - коэффициенты Фурье соответствующих функций
sh с№и
А<m\u,v,Zj)= . -
sh a\j’v Лт) 2
(от) 2
7У
sh а\^и
2 z) sh a\fv
A(2m)(M,v,Zy) = —37
ch aWu a\m> ch aWu
j
(m)
2Zja\f shaf^v
2j
2j
zj sh a(2fv
1 \ z; cha\”pu
^\u,v,zj) = --—r a^j ’ sh a^j ’v
,(»)
2j
cha^M
zy shagV
A(4m)(«,v,zy) =
sh a^jU sh
sh a
(«0,
sha-
-'гу - а““1у
Л™)2 _ 2 _ Ат)2 (от)2 _ (тя)2 , 2
аУ ~ ) Т ’ ЙЗУ — 2 у + 2/ •
Вывод системы интегральных уравнений и ее асимптотический анализ. Для определения введенных вспомогательных функций примем во внимание ( ЗЛГ — 1) неиспользованных граничных условий и условий сопряжения из (2), (3), а именно:
<г{и)(8т~8т-ьУ) = гтст1?+'\0,у),
и$п\8т-Зт^у) = и$п+'\0,у),
<г%\х<т\п) = 4тЧ*{т)) (« = 1,2....N-1),
^n’(}-8N-hy) = q[N)(y),
(8)
m,<Nu
Поскольку все компоненты волнового поля, фигурирующие в (8), выражены через коэффициенты Фурье вспомогательных функций, то эти условия представляют собой систему интегральных уравнений для их определения. Для построения эффективного алгоритма ее решения и последующего удачного подбора координатных функций в асимптотическом методе исследуем особенности волнового поля в окрестности нерегулярных точек границы [2—4]. В рассматриваемой задаче такими точками являются угловые точки стыка областей Ат(8т -8т^,7]) и внешняя угловая точка сечения В( 1 - ,77). Учитывая механический
смысл вспомогательных функций, предположим, что их особенности в точках Ат определяются формулами (/и = 1,2,...,Ы-\)
9\т\4) = Ф{{п\Т]-^Рт~\
//т)/(£) = ^'”)(7-<?)р'"-1 при £77;
/2(м)/(£) = Р\т\3т-8т_х (9)
при 4->5т-дт_и
/2(т+1)/(£) = ^2(т+1,£Л"~1 при £ 0.
В окрестности точки В области £)^:
при #->!;, • (10)
= при -»■ 1-^_,.
Здесь через рт обозначены параметры, характеризующие особенности искомых функций в указанных точках, а через ф\т^ ,...,Р^ - произвольные постоянные. Производя интегрирование в формулах (9), (10), определяем асимптотику коэффициентов Фурье вспомогательных функций в окрестности всех нерегулярных точек границы. Это позволяет, используя методику работ [3-5], исследовать поведение полученной системы интегральных уравнений при подходе к нерегулярным точкам. Граничные условия задачи (8) таковы, что обеспечивают ограниченность правых частей системы интегральных уравнений во всей области. Требуя поэтому ограниченности левых частей системы и используя полученные асимптотики, можно для каждой нерегулярной точки получить систему уравнений для определения параметров рт. При этом в точках Ат асимптотически значимыми будут слагаемые, содержащие коэффициенты Фурье функций ^т\<р\т\/2ОТ\/2ОТ+^. В окрестности внешней угловой точки В поведение характеристик волнового ПОЛЯ будет определяться функциями //^,/2^. Пе-
реобозначая константы при особенностях в (12), (13), в результате для их определения приходим к следующим системам однородных уравнений. В точках Ат (« = 1,2,...,ЛГ-1):
-$т 8т^-ф{м) + 2(ят +гтпт+1)5т^-Р1{т) +
+ 2птРтр2(т) + 2пт+\РтгтЦт^) = 0 , .
(^(С^)-1 +^(1 + (С1(1от+1)Г1)5т^-ф[т) +
+ 2лимп ^,(т)-2 1
-2(1 -птРт)Р^ -2(1 -пт+1Рт)Цт+» =0,(11) (и* +^)Ф1т) +2ртГ1{т) + 2sin^-F2('”) = 0,
Гт (и*+1 + РшАт) + *Рп?1т) +2*шЩв-р1я+1) = о,
где зт =(С1(^)Г1 +(С1(р,))-1, пт .
В точке В:
*т^Р^+р„Р^=0,
ркр}Ы) + ъ\п^-Р^) = 0. (12)
Очевидно, что константы р[М\р2Ы^ в системе (12) не будут равны нулю, если параметр р^ удовлетворяет уравнению
5тг^--р1 = 0. (13)
Ранее в [6] для различных граничных условий была исследована зависимость порядка сингулярности поля статических напряжений в вершине одиночного клина от его угла раствора. Уравнение (13) соответствует уравнению (12) этой работы для одиночного клина с незакрепленными гранями и углом раствора 90°. Как видим, характер особенности механического поля в точке В не зависит от упругих постоянных областей . Учитывая механический смысл функций /^\%),/2М\<ъ) и требуя ограниченности энергии всей системы, приходим к выводу, что в уравнении (16) следует учитывать только вещественный корень Рн = 1 и счетное множество комплексных корней [3,7] с положительной вещественной частью.
Параметры рт, характеризующие особенности во внутренних угловых точках составной области, определяются из условия существования нетривиального решения системы (11)
А{рт,^т\у(т\^\у(т^) = 0, . (14)
которая симметрична относительно упругих параметров соседних областей , £)(-т+» и не будет изменяться при замене значений на ,
у('я+1) и наоборот. Это легко доказать при помощи элементарных преобразований строк и столбцов определителя системы (11). При определенных соотношениях механических свойств материалов стыкуемых областей [8] уравнение (14) имеет вещественный корень 0 < рт < 1, что характеризует возникновение локальных особенностей в значениях напряжений в точках Ат.
Численные результаты. Применим для решения системы интегральных уравнений (8) метод Бубнова-Галеркина, учитывая при выборе координатных функций характер поведения характеристик волнового поля в окрестности нерегулярных точек границы [4, 5]. В результате приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений с известной асимптотикой неизвестных, которая определяется корнями уравнений (13), (14). Следует отметить, что если стоит задача исследования только характера особенности напряженного состояния в окрестности точек Ат и В, а не во всей области сечения в целом, то нет необходимости строить решения для конечных прямоугольных областей и решать краевую задачу (1) —.(3). Используя методы выделения особенностей [9], можно понизить
ст(2)
°11
размерность исходной задачи и определить Р2
параметры, характеризующие особенность из соответствующих граничных условий. Численное исследование полученных решений проведено для случая двух разнородных
наплавок к области , что соответствует значению N = 3 . Учитывая многопарамет-ричность задачи, ограничимся в данной работе исследованием некоторых особенностей краевых и граничных эффектов в областях рассматриваемой геометрии. Прежде всего отметим, что неоднородность существенно усложняет природу краевого резонанса [2], так как плато на частотном спектре не так ярко выражены, протяженность горизонтальных участков спектра больше. Следовательно, распределение энергии при неоднородности носит менее ярко выраженный «угловой» характер. Однако признаки краевого резонанса наличествуют на больших протяженностях частотного спектра.
На рис. 1 показаны результаты вычисления зависимости степени особенно-сти р2(г2) от жесткостного параметра в окрестности нерегулярной точки границы А2(32 ~^1’?7) на стыке областей
и . Вычисления проведены при условии, что упругие свойства области
зафиксированы и соответствуют упругим модулям стали. Как показывают расчеты, локальная особенность по на- . пряжениям в этом случае возникает в точке А2 уже при значениях параметра г2, близких к 1,5.
На рис. 2 показаны результаты вычисления контактных напряжений, обусловленных действием на вертикальные стороны сечения х = ±1 нормальной нагрузки постоянной интенсивности
ч\1^00 = ч\о = сот1 ■
Расчеты проведены для квадратного сечения (77 = 1), когда материал области - сталь и соответствуют трем значения параметра отношения жесткостей г2 = 0,3 (кривая 1), г2 =3 (кривая 2) и г2-Ь (кривая 3).
В заключение отметим, что в рамках предлагаемого подхода без каких-либо принципиальных изменений возможно рассмотрение задач о кинематическом возбуждении колебаний.
г2
Рис. 1
Рис. 2 Литература
1. У литко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев, 1979.
2. Гритенко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981.
3. Белоконь А.В., Вовк Л.П. II ПМ. 1982. Т. 18. №5. С. 101-105.
4. Вовк Л.П. II Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. № 1.С. 29-33.
5. Вовк Л.П. II Проблеми трибології (Problems of tribology). 2000. № 1. С. 118-122.
6. Williams M.L. И J. of Appi. Mech. 1952. Vol. 74. P. 526-528.
7. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. JL, 1967.
8. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. II ПМ. 1985. Т. 21. №5. С. 121-125.
9. Аксентян O.K. // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 31. С. 178-186.
Донецкий национальный технический университет (Украина)
7 марта 2003 г.
