Краевая задача об установившихся колебаниях однородной анизотропной прямоугольной области Текст научной статьи по специальности «Физика»

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

2004 р.

Вип.№14

УДК 539.3

Лупаренко Е.В.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Предлагается развитие метода решения задач об установившихся колебаниях однородных упругих анизотропных областей прямоугольной формы, использующего поведение характеристик волнового поля в угловых точках области. Успех в решении подобных задач в значительной мере обусловлен использованием связи между особенностями волновых полей в окрестности угловых точек и скоростью сходимости рядов в общих решениях.

Природная, конструкционная и деформационная анизотропия физико-механических свойств присуща в определенной мере большинству материалов. Учет анизотропии при исследовании динамических процессов деформирования дает адекватные представления о качественном характере напряженного состояния упругих тел и их волноводных свойствах, позволяет получить более достоверные количественные оценки. Отмеченное обстоятельство приобретает важное практическое значение в связи с постоянно расширяющимся применением в различных отраслях промышленности и строительства конструкционных элементов из анизотропных материалов. Во многих случаях это подвергающиеся высокочастотным вибрациям ответственные и дорогостоящие детали несущих конструкций, к которым предъявляются повышенные требования надежности и экономичности. В электротехнике, электронике и приборостроении расширяется применение компонентов устройств преобразования энергии и обработки сигнальной информации, выполненных из анизотропных по физико-механическим свойствам пьезоэлектрических кристаллов и поляризованной пьезокерамики. С исследованием динамических процессов в анизотропных упругих средах связаны также многие теоретические и прикладные проблемы акустической дефектоскопии, горной механики, сейсмологии. Таким образом, широкий круг приложений наряду с логикой внутреннего развития механики деформируемого твердого тела является стимулом дальнейших исследований в области краевых задач динамической теории упругости для анизотропных сред.

В настоящее время сформировались два аналитических подхода к построению точных решений указанного типа задач - метод однородных решений [2] и метод суперпозиции [1]. Применение метода суперпозиции приводит к бесконечным системам алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье характеристик волнового поля. Исследование асимптотики неизвестных этих систем позволяет выделить главную часть частотного определителя и построить эффективные алгоритмы определения резонансных частот и динамической напряженности рассматриваемого тела [4]. С помощью такого подхода удалось решить много задач для изотропных тел конечных размеров.

В настоящей работе проводится обобщение метода суперпозиции на упругие анизотропные прямоугольные области.

Пусть сечение бесконечной в направлении оси 0С3 однородной упругой анизотропной призмы

занимает в системе координат СХ| 0а2 область

где а1за2 - декартовы координаты; а, Ь - постоянные величины.

ПГТУ, ассистент

Далее, пусть на границе области ах = ±а задана вибронагрузка переменной интенсивности д , гармонически изменяющаяся во времени с частотой ш . Объектом исследования будут волновые движения, полностью характеризующиеся двухмерным полем в плоскости а, Оа2.

Для описания поведения области О используем уравнения движения сплошной среды

записанные в безразмерных функциях и координатах

а.

х =

У = ■

а.

Сцип +и22 +(С12 +1)У12 +02и = 0; (С12 +1)иД2 + УД1 +С22У22 +П2У = 0.

при следующих граничных условиях:

а11 (±1; у) = я(у); а12 (±1; у) = 0; |у| < Л;

^22(х;±л) = 0; ^12(х;л) = 0; N<1,

(2)

(3)

2 2 ~2 а со р

где £ 2 =--—, а р - плотность материала в области О . При этом

г Е

^66

и

V

Л = -;и = — ;У = — ;аар =

»ар .

Я .

—

С

а ■ С?6";С1=СЕ '"аР

«Р ,н

д£

д£

'66

= —, а,Р = 1,2, где и,V

С б6 ох ду

ЕЕ ~

- компоненты вектора перемещений, С ар, С бб - упругие модули среды, о- компоненты

амплитудного тензора напряжений, С[(у) - функция, характеризующая способ нагружения боковой поверхности х = ±1.

В соответствии с методом суперпозиции [1] общее решение задачи (2)-(3), конструируем в виде суммы частных решений системы (2), каждое из которых описывает симметричные колебания бесконечных полос, образующих, при пересечении, область О . Применяя стандартные преобразования [3], получим следующие выражения для безразмерных компонент вектора перемещений:

( 2

Л

00 ( 2

Л

и = Е 1Хквка8Мракх) созак(у-л) + 2 ЕЯрЛрск(Яр]У) 8тр^х-1) + Ао8тк1Х

к=1Ча=1 ) j=llvP=1 )

( 2

Л

00 ( 2

Л

У = ^ ЕВк«сЬ(ракх) зтак(у-л) + 2 Х^Р^^У) совр^х -1) + мп к2у (4)

к=1Ча=1 ) j=llvP=l )

где

Ри =

Я1,2 =

'ак 1

Рак ~С22ак + ^

% " "

2С„ 1

(С12+1)акРак (С12 + 1)Р ^р]

(Сп +1)02 -гак2 О! = (Сп -1)204 +Ц!2ак4 + у2ак202;

2С

22

; В2=(С22-1)204+ц2р/+у2р/02;

г = С2и + 2С12 - СПС22; ц? = г2 - 4С„С22 ; V,2 = 2г(Сп +1) + 4СП (С22 +1);

(5)

а

кл;

у2 =2г(С22 +1) + 4С22(Сп +1), ^ =-=; к2 = 0;ак = —; ^ = а =1,2; Р = 1,2 .

л/Сп 11

Непосредственное удовлетворение граничных условий (3) не дает возможности определить в явном виде произвольные постоянные, входящие в общее решение задачи. Поэтому введем в рассмотрение более простые граничные условия, которые, конечно, не отвечают исходной краевой задаче, однако позволяют аналитически определить произвольные постоянные в общем решении

системы (2). Естественно в правых частях вспомогательных граничных условий будут стоять неизвестные функции, удовлетворяющие лишь общим требованиям (четность, непрерывность, дифференцируемость и т.п.). Возврат к исходным граничным условиям дает возможность определить эти введенные функции и в конечном итоге получить решение начальной краевой задачи

(2)-(3).

В соответствии с вышесказанным рассмотрим решение системы (2) при следующих граничных условиях:

Щ+^у) = ±Г1(у);а12(±1;у) = 0;и2(х;±Л) = ±Г2(х);а12(х;±Л) = 0. (6)

Здесь ^ (у) и (х) - неизвестные функции, причём ^ (у) = ^ (-у), (х) = (—х) . Раскладывая их в ряды Фурье на соответствующих отрезках и удовлетворяя граничным условиям (6), получим решение вспомогательной задачи. Принимая во внимание неиспользованные граничные условия <тп(± 1, у) = С](у);ст22(х,+Г|) = 0 и применяя соответствующие разложения в ряд Фурье, сведём исследуемую задачу (2)-(3) к решению следующей системы интегральных уравнений относительно функций ^ (у) и (х):

1^21^1 + L22f2 = 0.

где, вид интегральных операторов Ь^. легко восстанавливается при помощи формул (4) и обобщенного закона Гука.

Исследование поведения решения системы интегральных уравнений (7) в угловых точках области Б позволяет определить асимптотику коэффициентов Фурье ^ и f2j искомых функций при к —> со, ] —> ао и удачно подобрать координатные функции в методе Бубнова - Галеркина при решении системы (7).

Предположим, что упомянутые функции и (с,) непрерывны в рассматриваемой

области, а их производные имеют особенность в угловых точках, т.е.

ь (0 = ±Аг (л+^, $ -> ±л; = + (8)

Здесь X - параметр, характеризующий особенности функций ^ (с,) и (с,). а А, и В, -произвольные постоянные. Тогда, производя интегрирование в формулах для ^ и {2-, можно показать, что при к —> оо, ] —> оо (Г(х) - гамма-функция):

Ак А = 2А1Г(Я,)8Ш^; ^ « -^Г, где В = гВ^зт (9)

Лак 2 Р) 2

Пользуясь методикой получения асимптотических формул, используемой в статье [3], и, учитывая отсутствие особенностей в угловых точках правых частей системы интегральных уравнений, можно привести ее к алгебраической системе двух уравнений для определения констант А и В:

А^©^ +0з04)81п^ + в(уТу^1 -уТу^О;

(10)

А(- ^©зУз"1 + М204у^"1)+ в(ы3Т - ^Т^т ^ = 0.

где 0Х;02; 03; 04; Т; Т; у; у; 1Ч2; N3; 1Ч4; ух; у2; у3; у4 - постоянные величины,

зависящие от упругих констант области О .

Условие разрешимости системы (10) имеет вид:

(уТу^1 -уТу^Ь©^"1 -Щ^Уз'1 )-(0304 -0102)(мзт-м4т)81п2^ = о. (11)

Численный анализ уравнения (11) показал, что для всех известных анизотропных материалов существуют два вещественных корня = 0, Х2 =1 и корень Х3, определяющий главную часть

асимптотических коэффициентов Фурье flk и f2¡. Учитывая механический смысл функций f| (у) и f2 (х). и требуя ограниченности энергии всей системы, приходим к выводу, что в уравнении (11) можно учитывать вещественные корни X > 1 и счетное множество комплексных корней X k. Естественно, должно выполняться условие >0.

Гиперболические и тригонометрические функции, входящие в разложения операторов L^. из системы (7) переразлагаем по cosak(y -r|),sinak (у — r|), cosPj (х -1) . Получим бесконечную систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов flk и f2j .Эта система имеет следующий вид:

sin k2r|

Сцх0 coskj + С12Уо Г х SÍnk

Л

к 2 ^

j=i

СО ( гт-1 ^ V

уТ уТ х i

12л0

, 1 + С22УоС08к2л + ^'X kj 2

2©4

= -q;

2 00 ^N->0

к=1

Plk

P2k

_Ук_ av

= -q;

?r v „ sink2ri 2 0304 -0!02 2

2Ч2к2У0 I7~i-Vj^ + к2Ук-—-+ k

(k?-a2

2С12ктХ

sin k¡

00

2-Z

j=1

f

yTqij yTq2j

(12)

2 2 qjj+ctj

2 2 q2j +a

xi — = 0:

J J

fink

+ k2x^-

Здесь xn =

sin kj

; y0 =

n3t-n4t

f \c

20 2

sin k2r)

f

k=l

N204Pik Nj02P2k

pfk+pk

PÍk+Pk

Ук ak

= 0.

xj =

2p2f2j . 2a^ ' Ук ~ ,2

к^Л

(13)

Проведённый асимптотический анализ позволяет свести бесконечную систему (12) к конечной. Соотношения (9) и найденные значения корней уравнения (11) позволяют при больших значениях j и к заменить и {2- в формулах (13) их асимптотикой. При этом выбор конкретных

значений ] и к можно проводить численно по известной методике [3], проверяя выход решения системы (12) на асимптотику (9).

Выводы

Предложенный метод решения задачи об установившихся колебаниях однородной упругой анизотропной области прямоугольной формы позволяет для каждого фиксированного значения геометрического параметра г|, исследуя частотный определитель системы (13), найти набор

резонансных частот и построить формы собственных колебаний области.

Перечень ссылок

1. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. - Киев: Наук, думка, 1981. - 284с.

2. Вороеич И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек / И.И.Вороеич II Тр. II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Механика твёрдого тела (Москва, 1966 г.).- М.: Наука, 1968. - С. 116-136.

3. Вовк Л. П. Симметричные колебания электроупругой пластины / Л. П. Вовк II Известия СКНЦ ВШ. - 1982,- №3,- С.42-45.

4. Вовк Л.П. Асимптотический анализ краевой задачи о колебаниях электроупругой пластины / Л.П. Вовк; Ростовский университет. - Ростов-на-Дону, 1981. - 20с.- Деп. в ВИНИТИ 01.12.81, № 5449-81.

Статья поступила 24.03.2004