Алгоритмы идентификации параметров моделей горной отрасли при ненаблюдаемых траекториях Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕМИНАР 13

ДОКЛАД НА СИМПОЗИУМЕ "НЕДЕЛЯ ГОРНЯКА -2000"

МОСКВА, МГГУ, 31 января - 4 февраля 2000 г.

© Л.А. Бахвалов, Я.Е. Тейменсон,

2001 -х

УДК 622.001.572

Л.А. Бахвалов, Я.Е. Тейменсон АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ГОРНОЙ ОТРАСЛИ ПРИ НЕНАБЛЮДАЕМЫХ ТРАЕКТОРИЯХ

где хг[п] - значение данного временного ряда (конкретного показателя) в текущем году; а^ - неизвестные параметры модели, определяемые по статистическим данным.

В более общем виде уравнение (1) может быть записано в виде нелинейного уравнения:

q А q q А

хДп+1] = 2 а^ х,[п] + 2 2 а^ х[п] х;[п] +

1=1 j=i

1=1

Ц

елью этой работы является построение на основе существующих методов идентификации алгоритмов оценки параметров моделей горной отрасли при ненаблюдаемых траекториях.

Прежде, чем непосредственно перейти к алгоритмам оценки и всему тому, что с ними связано, кратко опишем структуру и вид моделей, использующихся в процессе идентификации.

Исходя из задач, которые должна выполнять модель, а также из сравнительного анализа эконометрических методов анализа и прогноза данных, следует вывод, что ни одна из существующих моделей либо не решает все поставленные задачи, либо сложны для применения (например, модель Леонтьева), что делает целесообразным разработку специальных компьютерных моделей для анализа динамики факторов горнодобывающей промышленности.

В спроектированной модели был осуществлён выбор параметров, стран мира и временного отрезка. Кроме того, для облегчения анализа причинных взаимодействий между факторами, был разработан интегрированный критерий, характеризующий уровни развития факторов минерально-сырьевого комплекса стран мира, а именно факторов производства, Е, I, потребления и экономического баланса.

Структура выбранной модели динамики производства и потребления ресурсов разных стран мира имеет вид:

х* [п+1] = Е а^ х[п],

1=1

q q q ''

+2 2 2 аф Хі[п] х;[п] х^п].

1=1 И И

(2)

Пусть с учётом ненаблюдаемых траекторий модель динамики факторов горной отрасли описывается следующей системой уравнений:

q л к л

х/[п+1] = 2 а8{ х[п] + 2 Гщ иДп], (3)

1=1

і=1

п

и^[п+Ц = Е а^ хг[п] + Е го иг[п],

1=1

і=1

(4)

где а и г - неизвестные параметры модели, которые необходимо оценить;

Щ() = {u1(t), и2(^),..., u0(t)} - ненаблюдаемые траектории модели;

Х(0 = {x1(t), х2(),..., хДО} - измеряемые траектории (показатели) модели.

Модель может быть представлена как система дифференциальных уравнений:

dxsI/dt = Е а - I) хг[п] + Е Го! и;[п] (5)

1=1 гі

q Л к л

duO/dt = Е (ая- - I) хг[п] + Е г о и[п] (6)

1=1 j=l

Как правило, оценки констант а находятся из условия минимума по а двойной суммы квадратов, то есть минимизации функционала S 2 суммы квадратов разностей:

Я2(ач) = ЕЕ 0#,) - ВД)2,

(7)

1 J

л

q

л

где X - значения вектор-функции сглаженных экспериментальных траекторий;

X - значения вектор-функции траекторий, полученных интегрированием систем (5) и (6) при некотором значении вектора параметров А.

В разработанной модели часть показателей, требуемых для её практической реализации, является либо частично, либо полностью ненаблюдаемыми. Так как модель представлена системой дифференциальных уравнений, то ненаблюдаемые показатели, кроме того, могут быть вызваны более высокими порядками дифференцирования. Следовательно, для решения системы дифференциальных уравнений необходимо использовать специальные алгоритмы идентификации с учётом восстановления ненаблюдаемых траекторий [2].

Исходя из анализа существующих методов идентификации, описанных в трудах Химмельб-лау, Цыпкина, Раймона, Эйгофа, Сейджа и других, следует, что два метода, а именно, линейный МНК и метод Маркуардта в сочетании с методами Гаусса - Зайделя и Ньютона - Рафсона наиболее перспективны для оценки неизвестных параметров в разработанной модели [4]. Поэтому далее алгоритмы идентификации с учётом ненаблюдаемых траекторий могут быть построены на их базе.

Алгоритм идентификации параметров дифференциальных уравнений на основе линейного метода наименьших квадратов с учётом ненаблюдаемых траекторий

Сформулируем следующий алгоритм оценивания констант Ая на базе линейного МНК:

1) Траектории х^) аппроксимируются следующим образом:

qt , qt

хДО = 2 ая ? = 2 ая х (0, (8)

1=1 1=1

где коэффициенты а^ определяются на основе МНК.

2) Восстанавливаются производные dx^/dt |

1=й-

qt

уД^) = dxs/dt | ^=й = 2 / ая ^ (9)

1=1

3) На этом этапе алгоритма введём выражение для определения ненаблюдаемых траекторий щ():

иу(0 = КуЛ ехр(ип) (10)

Поведение функции ку Л ехрпри разных к, Л, /и хорошо согласуется с интуитивными представлениями о характере траекторий иу(0. Кроме того, эти функции легко дифференцируются:

y(t)=dUy/dt=KytЛr ехр('МУ‘'>+КуЛуЛ-1ехр('МУ‘'>

(11)

Для некоторых начальных значений к к, Л у» и у» удовлетворяющих физическим ограничениям на и^), определяются значения оценок констант Ая из выражения:

А» = (ХТ» X»)-1 ХТ» Yg = Ф,1ХТ, Yg (12)

А

4) для найденных оценок Ая уравнения (9) интегрируются и формируется функционал

3 (к0у», Л0у», м0у?) = F(xl(t),..., х9*(0) (13)

5) определяются новые оценки кт, л!т, мУ , удовлетворяющие условию:

л л л л л л

3 (кlуg, Лlуg, м'у») < 3 (к°у» л0уg, м0у») (14)

6) пункты 3, 4 и 5 повторяются до выполнения некоторого останова для значений

л л л

к% Л% м*у».

Алгоритм идентификации параметров дифференциальных уравнений на основе метода Маркуардта с учётом ненаблюдаемых траекторий

Метод Маркуардта, как метод оптимизации с производными, в основном, применяется для задач нелинейного оценивания и заключается в минимизации суммы квадратов отклонений, которые требуют численного или аналитического вычисления первых (а иногда и вторых) производных. В отличие от метода Ньютона-Рафсона (Гаусса-Зайделя), в котором производится линеаризация модели процесса с помощью отрезка ряда Тейлора, метод Маркуардта линеаризует критерий или целевую функцию [4].

В этом алгоритме также оптимизируются параметры для нахождения ненаблюдаемых траекторий, только в отличие от предыдущего алгоритма в нём минимизация функционала и нахождение параметров модели производится по несколько другим формулам.

В методе Маркуардта для нахождения неизвестных коэффициентов формируется функционал

z ОТ ~ л

F(A) = 2 2 wlsh(Xs(th) - Х(Ь, А))2, (15)

s=1 h=1

где wsк - весовые коэффициенты, необходимые для компенсации разной точности измерений

Х^Ь); к = 1, 2,..., Ш, 5=1,..., г, tl < t2< ^<...< Ы.

Улучшение значения вектора А находится по формуле:

А1 = А0 + ДА0 (16)

Можно записать теперь итерационную процедуру для нахождения вектора А , минимизирующего функционал F(A). Она имеет вид:

Ап = А”'1 +ДА”"1 (17)

Адекватность разработанной модели реальным процессам подтверждается успешными результатами программного моделирования процессов горной промышленности, их оценкой и прогнозированием.

Полученные по модели результаты свидетельствуют о работоспособности предложенных алгоритмов и программ идентификации параметров и позволяют сделать вывод о том, что более точные результаты при оценивании параметров даёт метод Маркуардта [1, 3, 4].

1. Бахвалов Л.А., Нетушил А.В. Пакет программ статистического оценивания и потимального управления технологическими процессами // Автоматика и телемеханика. 1982. № 11.

2. Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика: Пер. с англ. -М.: Политиздат, 1990 г.

3. Пучков Л. А., Бахвалов Л.А. Методы и алгоритмы автоматиче-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ского управления проветриванием угольных шахт. - М.: Недра, 1992 г.

4. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. - М.: Издательство «МИР», 1973.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ =

X--------------------------------------------------------------------------7

Бахвалов Лев Алексеевич - профессор, доктор технических наук, декан факультета «Автоматизация и информатика», Московский государственный горный университет.

Тейменсон Яков Ефимович - аспирант, Московский государственный горный университет.