Структура представлений основной серии группы де Ситтера 3+2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Будем использовать обозначение: £Л,е = t € Ж*, Л £ С,£ = 0,1.

Для х общего положения пространство //-инвариантов для Тх одномерно, базисом служит функция

9х(и) =

<72, £

(<Ti — <Т2)/2,£Г

[»,П [М°]

Соответствующее ядро Пуассона Рх(х,ш), х = (u,v) G I, и> = (s,t) € £2, есть

Рх(х,и) =

[«,«] М]

[s,v] [«, v]

{[e,u][e,v]}

(<т1-<72)/2,е

{-2 •[“.»]}

(-<Ti-cr2)/2,e

СТРУКТУРА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОСНОВНОЙ СЕРИИ ГРУППЫ ДЕ СИТТЕРА 3+2

©А. В. Кучин

Настоящая работа посвящена изучению структуры представлений Тх основной неунитарной серии группы G = SOo(3,2). Мы используем метод барьерных функций, см. [1]. В нашем случае дело существенно осложняется тем, что при ограничении представлений Тх на максимальную компактную подгруппу К = SO(3) х SO(2) имеются кратности. В отличие от [1] мы следим не за сферическими функциями в А'-типах, а за старшими векторами.

Представление Тх, \ = (о'ьо'г.е), сгг,сг2 € С, £ = 0,1, группы G действует в пространстве по формуле, указанной в [2] - для общего случая псевдоортогональной группы SOo(p, 2). Сейчас f2 -многообразие, состоящее из пар ш = ($,t) векторов s,t € Ж5, для которых (обозначения см. в [2]) [s,s] = /] = [s, t] = 0, |.s| = |/| = 1, s4. = <5 = cos в, 14 = —s5 = sin в. В нашем случае £2 может быть отождествлено с К. Точку lj EQ можно также записать в виде матрицы 2 х 5, ее правая подматрица 2x2 принадлежит SO(2). Ограничение Re представления Тх на подгруппу К распадается в прямую сумму представлений 7Г„ х гг, где 7г„ - неприводимое представление группы SO(3) со старшим весом и G N, тг - характер группы SO(2): тг(е,в) = еггв, причем выполняется условие: иv = е (mod 2). Кратность вхождения представления 7г„ х гг в Re равна и + 1 — е. Оно действует в подпространствах П2, где z = (v,j,r), j € {v — e, v — e — 2,..— v + e}.

Укажем старшие векторы <pz — y>(z) в Пг. Введем следующие векторы (строки) из (С5: а = (г, 0, 1,0,0), Ь = (0, г, 0, 0,0), с — (0,0,0, 1, г). Для to = (s,<) положим w = s + it, w = s — it (это - векторы из С5).

Распространим билинейную форму (х,у) c. Е5 на (С5 по линейности. Тогда (ср. [3])

<рг(ш) = еггв (a,w)p (а,юУ,

где р = (г/ + j)/2, </ = {и - j)/2.

Представление Тх группы G порождает представления ее алгебры Ли g и универсальной обертывающей алгебры Env(g). Мы сохраняем для них обозначение Тх. Введем следующие элементы из g ~ и Env(g) (штрих означает транспонирование)

Х-=а'с + с'а, Х+ = а1 с + с.1 a, U = (1 /2)(6'а - a'b), Y=b'c + c'b,

Lf = (i//2)(21/+ 1)ХТ - (2i/ + 1 )UY + U2X±

и 4 вектора из М3: ef = (l;=pl;±l), fo = (1;±1;±1). Наконец, введем барьерные функции - от z (они зависят от параметров a j, сгг):

— а\ ~ cr24L (j + r); =<Ti + or2:F(i + r)“ 2/'; @2 = + a2 T (j + r) + Iv + 2*

Элементы Ar±, Lf переводят старший вектор <p> в линейную комбинацию ”соседних” старших векторов:

Тх(Х±)ф) = (1/2) + ef) + Div(z + 4)},

Tx(Li)fU) = (1/2) {(i/± j)(v± j - l)0f>p(z - ef) + (" T i){f T j - 1 )l)£<p(z - c%)}.

Отсюда следует, что если + <Т2 и а\ — сг2 не являются целыми, то представление Тх неприводимо. Назовем плоскость (3 = 0 в I3 барьером, если она пересекается с множеством точек z. Чтобы получить представление о структуре представления в приводимом случае, надо нарисовать эти барьеры. Фактически барьеры достаточно рисовать на плоскости с переменными и, j + г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Мат. сб., 1970. том 81, No. 3, 358-375.

2. Кучин А.В. Ядра Пуассона для псевдограс.сманова многообразия ранга 2 (см. этот том).

3. Sirichartz R.S. The explicit Fourier decomposition of L2(SO(n)/SO(n — 2)), Canad. J. Math., 1975, vol. 27, 294-310.

АЛГЕБРЫ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

© Н.А.Малашонок

Пусть С - алгебра обобщенных комплексных чисел х + iy, где х,у £ Е, г = cv + 2/?t, or,/i 6 Е. Такие алгебры С распадаются на три типа: эллиптический, гиперболический, параболический, соответственно при т < 0, т > 0, г = 0, где г = c*+/i2. Алгебры этих типов изоморфны, соответственно, полю комплексных чисел (г2 = —1), алгебре двойных чисел (г2 = 1) и алгебре дуальных чисел (г2 = 0). Однако полезно рассматривать именно общий случай в связи с различными приложениями, см., напр., [1].

Назовем числом, сопряженным числу z = х + iy, число z — х + 2fly — iy. Отображение г и г является автоморфизмом алгебры С. Скалярным произведением векторов z\ и z2 назовем число (21,22) = (1/2) (21^2 + z\Z2). Оно инвариантно относительно ’’вращений” z t—<■ az, аа, = 1. Если z\ = Х] + «/1,22 = хо + г‘^2) то

(21,22) = *1*2 + &Х\ У'2 + рхчух -ayiy2. (1)

Метрика ds2 , соответствующая этому скалярному произведению, есть ds2 = dx.2 + 2/3dxdy — оdy2. Она инвариантна относительно движений 2 н-► az + 6, аа, = 1. При т = 0 она вырождена.

При т ф 0 в соответствии с общей теорией (псевдо)римановых пространств градиент, дивергенция и оператор Лапласа-Бельтрами определяются так:

grad/ = г-1 {otfx + [Ifу, - fy),

div(P,Q)=^ + g,

Л »• , —if ^ ^ ^

Л = divgrad = r l « —=■ + 2p —

дх2 бхду ду2

Для дуальных чисел в качестве оператора Лапласа можно взять Д = д2/дх2.

Называем функцию и гармонической, если Аи = 0.

Функция /(2) называется аналитической в области, если главная линейная часть ее приращения в любой точке этой области может быть представлена в виде произведения некоторого числа 1У, зависящего от точки, на приращение аргумента, при этом V/ называется ее производной в данной точке. Условия Коши-Римана для / = и + ги выглядят следующим образом: их = ьу — ‘20ьх \ иу = Действительная

и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Назовем две гармонические функции гармонически сопряженными, если их линии уровня ортогональны в смысле скалярного произведения (1).

Пусть / = и+м - аналитическая функция. Для гармонической функции Аг*-|-/^, А, /* Е Е, гармонически сопряженной будет функция: ви + Ьь, где я = — /;?А + /*, I = п\-\- (1ц. Например, гармонически сопряженной будет пара функций и+(3ь и и, а также и и (Зи—аь. Это позволяет ввести понятие комплексного потенциала векторного поля.

Инвариантные аффинные связности для т ф 0 - нулевые, а в случае г = 0 зависят от трех вещественных параметров. Их базисные матрицы имеют вид:

Г7 _ ( -б/?2С + о + н гр2с + \ _ _( -2р2с + (Ю -р3с

д,дх \ С ° )' д'ду~\ Н ~(12С+ (Ю +(1П

В частности, для дуальных чисел (см., например, [2]) имеем:

Уа/в*=(° + й 2).