Ядра Пуассона для псевдограссманова многообразия ранга 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

В-третьих, спроектируем Я из начала координат на касательную к Я плоскость в ’’северном полюсе” (0,0, 1). Эту плоскость отождествим с А. Аналитически это означает, что точке М = € Я мы

сопоставляем точку ги = (£ 4- *'»/)/С- Гиперболоид Я переходит во ’’внутренность круга” Б : гий) < 1, причем при е = 1 мы должны полосу юй> < 1 дополнить бесконечно удаленными точками (до открытого листа Мебиуса). Мы получаем реализацию Бельтрами-Клейна плоскости Лобачевского. Прямой переход г у—> и> дается формулой ю = (1 4- гг)~и2г (ср. [1]). Действие группы О в этой реализации оказывается дробно-линейным (но не аналитическим):

4- Ь2й) 4- 2аЬ

ШИ ю =

аЬгп 4- аЬю + аа 4 ЬЬ

Прямые плоскости Лобачевского - это пересечения гиперболоида Я с плоскостями, проходящими через начало координат. В реализации Бельтрами-Клейна прямыми оказываются либо хорды в В, либо прямые, замкнутые бесконечно удаленной точкой. В реализации Пуанкаре прямыми являются некоторые кривые второго порядка, получающиеся при отображении М г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф., Малашонок Н.А. Некоторые геометрические и физические задачи на плоскости Лобачевского-Галилея. Вестник Тамбовского Университета, 2002, том 7, вып. 1, 55-57.

ЯДРА ПУАССОНА ДЛЯ ПСЕВДОГРАССМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ РАНГА 2

© А.В.Кучин

Первый шаг в изучении гармонического анализа на полупростых симметрических пространствах О/Я состоит в нахождении Я-инвариантов в представлениях Т основной неунитарной серии, связанной с О/Н. Сдвиги Я-инварианта дают ядро Пуассона. Оно, в свою очередь, порождает преобразования Пуассона и Фурье - операторы, сплетающие представления Т и квазирегулярное представление на О/Я.

Мы находим Я-инварианты и ядра Пуассона для пространства О/Н, где О = 80о(р, 2), Я = 80о(р—1, 1)хЯОо(1, 1). Это пространство принадлежит классу полупростых симметрических пространств типа Кэли. Как оказывается, в этом случае основная неунитарная серия, связанная с О/Я, состоит из представлений Тх, индуцированных характерами минимальной параболической подгруппы Р. Здесь

X = (оч.^.е), сгь^2 € С,£ = 0,1.

Укажем реализации пространств О/Н и О/Р. Введем в Еп, п = р 4 2, следующие 3 билинейные формы: (х,у) = х\у\ + ... + жрур, ((х,у)) = хп-\уп-\ 4 хпуп, х V у = хп-Хуп - жпуп_ь и псевдоскалярное произведение [ж, у] = —(х,у) 4- ((ж, у)). Пусть |х| = ^/(ж, х), 11ж11 = \/{{х, ж)). Группа О сохраняет [ж, у]. Будем считать, что О действует линейно в 1КП справа: ж ■—*• ж д. В соответствии с этим векторы из 1КП мы записываем в виде строки. Пусть 6' - многообразие |ж| = ||ж|| = 1. Группа О действует на $ (транзитивно) следующим образом: в I—► в • д = (ву)/|5у|.

Пространство О/Н может быть реализовано как подмногообразие X в 5 х 3, состоящее из точек («,<) таких, что [в,<] < 0. Группа О действует на 5 х 5 диагонально, Я есть стационарная подгруппа точки ж0 = (в0, <°), где «п = (1, 0,..., 0, 1), £(| = (1, 0,..., 0, — 1). Будем изображать пары (ж, у) векторов из Ж" в виде двустрочечных матриц со строками ж и у. Пространство О/Р может быть реализовано как подмногообразие £2 в 3 х 8, состоящее из матриц и>, у которых правая подматрица 2x2 принадлежит группе 80(2). Оно есть прямое произведение многообразия Штифеля 80(р)/80(р— 2) и окружности 6'1. Группа О действует на С1 следующим образом: ш н-» и о д = М(шд)шд. Матрица М(С) из ОЦ2,Е) для С = (ж, у) € х Еп есть

м( о =

1МГ о

- {||ж|| • (ж V у)} '((ж, у)) {ж V у} 1 ||ж||

Пусть "Р£(Г2) обозначает пространство функций из Р(Г2) четности е = 0,1: <£>(— а;) = ( — \.)е<р(ш). Представление Тх действует в 'Р£(С1) по формуле

(Тх(д)(р)(и) = |к<7|Г1_<Г2(«</ од), и> = (*,*).

Будем использовать обозначение: /Л,е = |/.|'^н% £ € Ж*, А 6 С, £ = 0,1.

Для х общего положения пространство Я-инвариантов для Тх одномерно, базисом служит функция

0x4 =

М°] [м°]

[•,<°] мч

(<Т1-<Г2)/2,£

(соответствующее ядро Пуассона Рх(х,ш), х = (и,ь) £ X, ш = («,0 € есть

Рх{х,ш) =

[*,«] М]

[в, V] М]

Г (<М_<*з)/2,е /• 1

{[*, и][в, V]} •{ - - •[«>*>]}

(-<71-<Т2)/2,е

СТРУКТУРА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОСНОВНОЙ СЕРИИ ГРУППЫ ДЕ СИТТЕРА 3+2

©А. В. Кучин

Настоящая работа посвящена изучению структуры представлений Тх основной неунитарной серии

группы Ст = .80о(3,2). Мы используем метод барьерных функций, см. [1]. В нашем случае дело

существенно осложняется тем, что при ограничении представлений Тх на максимальную компактную подгруппу К = 80(3) х 80(2) имеются кратности. В отличие от [1] мы следим не за сферическими функциями в А'-типах, а за старшими векторами.

Представление Тх, \ = (о’ья'г.е), (Т\, а2 £ С, £ = 0,1, группы О действует в пространстве Р£(0.)

по формуле, указанной в [2] - для общего случая псевдоортогональной группы 80о(р, 2). Сейчас П -многообразие, состоящее из пар и = (8,1) векторов .<?,< 6 Ж5, для которых (обозначения см. в [2]) [в, я] — [Ь, <] = [.$, (] = 0, |в| = |<| = 1, в4. = <5 = сов 9, <4 = —«5 = вт 0. В нашем случае $2 может быть отождествлено с К. Точку и) £ Г2 можно также записать в виде матрицы 2 х 5, ее правая подматрица 2 х 2 принадлежит 80(2). Ограничение Я£ представления Тх на подгруппу К распадается в прямую сумму представлений 7г„ х тг, где 7гц - неприводимое представление группы 80(3) со старшим весом и £ №, гг - характер группы 80(2): тг(егв) = еггв, причем выполняется условие: и 4 г = £ (тос1 2). Кратность вхождения представления 7Г„ х ту в Ке равна и 4- 1 — £. Оно действует в подпространствах Пг, где г = (и^,г), У £ {и — £, и — £ — 2,..— и + е}.

Укажем старшие векторы <р: = <р(г) в Пг. Введем следующие векторы (строки) из (С5: а = (г, 0, 1,0,0), Ь = (0, г, 0,0,0), с = (0,0,0, 1, г). Для и = ($, <) положим и) = 8 4- И, ТО = 8 — И (это - векторы из С5). Распространим билинейную форму (х, у) с Ж5 на (С5 по линейности. Тогда (ср. [3])

(Рг(ш) = е,гв(а, ю)р(а,Тй)\

где р = (и + У)/2, я = (и- Л/2.

Представление Тх группы О порождает представления ее алгебры Ли д и универсальной обертывающей

алгебры Епу(д). Мы сохраняем для них обозначение Тх. Введем следующие элементы из д - и Епу(д) (штрих означает транспонирование)

X- = а'с 4 с'а, Х+ = а1 с + с'а, и = (1/2)(6'« - о'б), У = Ь'с 4- с'Ь,

1% = (|//2)(2|/+ \)ХТ -(2*/+ 1)(/У + 112Х±

и 4 вектора из Ж3: = (1;+1;±1), = (1;±1;±1). Наконец, введем барьерные функции - от г (они

зависят от параметров о’ьо’г):

Ро — <у\ ~ а2 Т и "Ь г)> = 671 <т2 4- и 4- г) — 2//; = о-} 4 <т2 + (^ + г) + 2^ + 2.

Элементы Х±, Ь^ переводят старший вектор (р. в линейную комбинацию ’’соседних” старших векторов:

Тх(Х±)ф) = (1/2) + е?) + /$ф + 4)},

Тх(Ь*)ф) = (1/2) {(1/± 1)0* ф -ef)+ ([/^ ;)(|/^ ; - 1)/3^(2 -е^)} .

Отсюда следует, что если а\ + а2 и а\ — <т2 не являются целыми, то представление Тх неприводимо. Назовем плоскость (5 = 0 в Ж'* барьером, если она пересекается с множеством точек г. Чтобы получить представление о структуре представления в приводимом случае, надо нарисовать эти барьеры. Фактически барьеры достаточно рисовать на плоскости с переменными и, 1 4 г.