Алгебры обобщенных комплексных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Мат. сб., 1970, том 81, No. 3, 358-375.

2. Кучин А.В. Ядра Пуассона для псевдограссманова многообразия ранга 2 (см. этот том).

3. Strickartz U.S. The explicit Fourier decomposition of L2(SO(n)/SO(n — 2)), Canad. J. Math., 1975, vol. 27, 294-310.

АЛГЕБРЫ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

© Н.А.Малашонок

Пусть С - алгебра обобщенных комплексных чисел х + iy, где х,у Е М, г2 = « + 2/?*, at, ft € М. Такие алгебры (’ распадаются на три типа: эллиптический, гиперболический, параболический, соответственно при г < 0, г > 0, г = 0, где г = a+fi2. Алгебры этих типов изоморфны, соответственно, полю комплексных чисел (г2 = —1), алгебре двойных чисел (г2 = 1) и алгебре дуальных чисел (г2 = 0). Однако полезно рассматривать именно общий случай в связи с различными приложениями, см., напр., [1].

Назовем числом, сопряженным числу z — х + iy, число z = х + 2fty — iy. Отображение z i— z является автоморфизмом алгебры С. Скалярным произведением векторов z\ и z2 назовем число (2:1,22) = (1/2) (^1^2 + z~!z2). Оно инвариантно относительно ’’вращений” z ь-► az, аа = 1. Если z\ = £1 + iy\,z2 = х2 + гу2, то

(21, z2) = XiX2 + /1*1У2 + 2У1 - «2/1У2- (1)

Метрика ds2 , соответствующая этому скалярному произведению, есть ds2 = dx2 + 2ftdx.dy — ndy2. Она инвариантна относительно движений z ь-► az 6, аа = 1. При т — 0 она вырождена.

При т ф 0 в соответствии с общей теорией (псевдо)римановых пространств градиент, дивергенция и оператор Лапласа-Бельтрами определяются так:

grad / = г-1 (о-/г + ftfy, ftfr ~ fу), di lv(P,Q)=^ + g,

л j. , -х( д2 ^ д2 д2

А = divgrad = т ( л——- + 2/3-

дх2 дхду ду2

Для дуальных чисел в качестве оператора Лапласа можно взять Д = д2/дх2.

Называем функцию и гармонической, если Аи = 0.

Функция /(2) называется аналитической в области, если главная линейная часть ее приращения в любой точке этой области может быть представлена в виде произведения некоторого числа 1У, зависящего от точки, на приращение аргумента, при этом [V называется ее производной в данной точке. Условия Коши-Римана для / — и-\- ^ выглядят следующим образом: их — уу — 2 /Зьх] иу = суух. Действительная

и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Назовем две гармонические функции гармонически сопряженными, если их линии уровня ортогональны в смысле скалярного произведения (1).

Пусть / = и+м - аналитическая функция. Для гармонической функции А, /I € М, гармонически

сопряженной будет функция: «м-Ии, где я = — /^А Н-/г, I — а\-\-ftft. Например, гармонически сопряженной будет пара функций \i-\-ftv и V, а также и и /Зи—ось. Это позволяет ввести понятие комплексного потенциала векторного поля.

Инвариантные аффинные связности для т ф 0 - нулевые, а в случае г = 0 зависят от трех вещественных параметров. Их базисные матрицы имеют вид:

_ _ ( -602С +0+Н -2(РС+ЦКЛ _ (-2р2С + (ЗГ) -р3С

уд/дт - { с о ) ’ ^ к -р2с+ро + 1Ш

В частности, для дуальных чисел (см., например, [2]) имеем:

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

2. Молчанов В.Ф., Малашонок Н.А. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. V Державинские чтения: Матер, научн. конф. Тамбов: Изд-во ТГУ, ‘2000, 5-7.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ПАРЕ ГИПЕРБОЛОИДОВ

© В.Ф.Молчанов

Пусть О — 80о(1,2), - связная группа линейных преобразований пространства Е3, сохраняющих билинейную форму [х,у] = — Х11/1+ Х2У2+*:зУз- Она действует транзитивно на однополостном гиперболоиде X : [ж,аг] = 1, и на верхней поле двуполостного гиперболоида У • [у, у] = — 1, у\ ^ 1. Рассмотрим полуторалинейную форму С^(/, ф) на Т>(Х) х Т>(У) :

ХхУ

где Нх = \х\\~1 (1х2(1хз, (1у = У\Х (1у2(1уз, - инвариантные меры на X и У, соответственно, 6(1) - дельтафункция Дирака. Наш результат состоит в разложении этой формы по компонентам Фурье:

ОС

<2(/></0= / ^(<7)(^,о/,6^) , <1р, (О

3 <г=-(1/2)+»р

— оо

где

“И = ^(2*+!)^™ В

В - бета-функция Эйлера, другие обозначения см. ниже.

Эта задача, как мы полагаем, может быть началом некоторой теории - гармонического анализа на парах "двойственных” пространств, в частности, на парах двойственных гиперболоидов в Еп. С другой стороны, эта теория тесно соприкасается с интегральной геометрией: в самом деле, оператор с ядром 6([ж, у]) есть не что иное, как преобразование Радона на У (или на X, если интегрировать по аг). Объясним величины, входящие в (1), и укажем этапы доказательства.

Основная (неунитарная) серия группы О состоит из представлений Та,а 6 С, действующих в где 5 - окружность в = (1,вша,соеог), по формуле

(Т<т(д)<р){8) = <р(зд/(8д)1)(8ду1

(индекс 1 - номер координаты, О действует в Е3 справа). При нецелых а они неприводимы. При ст = —(1/2) + гр,р € Е, они унитаризуемы относительно скалярного произведения (-, ) в Ь2(8, (1п). Преобразования Фурье Ра<€ : 'Р(Х) —► 'Р(З) и Оа : Т>(У) —*■ Т>(3) определяются формулами:

(**,»/)(«) = ^х^У'*/(х^х, {Оаф)(8) = ! \[ула]\°ф{у)йу. х у

Мы используем обозначение 1°'е — |<сг Е С, £ = 0,1. Эти преобразования Фурье сплетают представления группы С сдвигами С на X и на У и представление Та. Определим ” смешанную” сферическую функцию е как обобщенную функцию на У формулой

<Т,С 1 Ф) — (^<7,е ) ^Т(Т^;))