Конечномерный анализ на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Конечномерный анализ на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой

движений 1

© С. В. Цыкина

Ключевые слова: группы и алгебры Ли; представления групп; псевдоортогональпые группы; пара-эрмитовы симметрические пространства.

Изучается конечномерный анализ на пара-эрмитовых симметрических пространствах С?/Я, для которых группа С? есть псевдоортогональная группа БОо(р. д).

Мы рассматриваем пара-эрмитовы симметрические пространства С/Я, для которых группа С есть псевдоортогональная группа БОо(р, ?), а связная компонента единицы Яе подгруппы Я есть 80о(1,1) х ЭОо(р — 1, <? — 1). Все такие пространства (с данной С) получаются факторизацией из "самого большого" пространства С/Не. Накрытие ие более чем четырехкратно. Размерность всех этих пространств (7/Я равна 2п — 4, где п — р + д, сигнатура, есть (п — 2, п — 2), а ранг равен 2. Именно только для таких пространств с рангом, большим единицы, пока получены явные формулы в полиномиальном квантовании, см. [1], [2]. В настоящей работе мы исследуем для наших пространств С/ II конечномерный анализ, то есть разлагаем представление группы С в многочленах на С/Я на неприводимые составляющие.

Введем в пространстве Мп следующую билинейную форму:

71

Iх,у] = ^2 ^г^гУг,

г=1

где Ах = ... = Ар — —1, Ар+1 = ... = Ап — 1. Группа С — ЭОо(р,д) есть связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства М71 с определителем 1, сохраняющих билинейную форму [х,у\. Для простоты мы будем рассматривать общий случай р >1, д > I. Мы считаем, что группа С действует в М’г справа: х хд, так что векторы х из К” будем записывать в виде строки. В качестве Я возьмем группу матриц

а 0

0 V 0 ’ (1)

Р 0 а

1 Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00952 и Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011.

где а2 — /З2 = 1, V £ ЭО(р — 1,д — 1). Она состоит из двух связных кусков, ее связная компонента единицы Яе состоит из матриц (1), где а = сЫ, /3 — бЫ. Однородное пространство С/Н является (7-орбитой в алгебре Ли д в присоединенном представлении группы С.

Реализуем сначала С/Н в виде индефинитного грассмаиова многообразия. Возьмем в пространстве М" два "сопряженных" гиперболоида X и У, задаваемых уравнениями [х, х\ = 1 и [у, у] = — 1, соответственно. Оба они - псевдорима-новы многообразия. Обозначим через Е многообразие пар (и, у), и £ X, V £ таких, что [и, у] = 0. Это - аналог многообразия Штифеля 80(п)/80(п —2). Его размерность равна 2п — 3. Многообразие Е можно реализовать как совокупность двустрочных матриц

°= ("!.) = (И"V [«,«] = о.

Группа С действует на Е умножениями справа:

а і-> ад, д Є С, (2)

это действие транзитивно. Назовем две матрицы а и а из Е эквивалентными, если одна получается из другой умножением слева на матрицу г £ 30(1,1):

га.

Матрица г из 80(1,1) есть

/3 а

В частности, для матрицы

<х° =

х°

У°

эквивалентными являются матрицы

/3 0 ... О а а 0 ... О 0

а2 — /З2 = 1. (3)

Факторизуем множество Е по указанному отношению эквивалентности, полученное множество обозначим Е. Действие (2) группы С порождает ее действие на Е. Элементы /г. Є Я, см. (1), переводят а0 как раз в матрицу (3). Следовательно, Н является стационарной подгруппой класса эквивалентности матрицы а0. Таким образом, многообразие С/Н есть Е.

Перенесем результаты [3], [4] о гармоническом анализе на многообразиях Штифеля и Грассмана 80(гг)/80(п — 2) и 80(п)/Э0(2) х 80(п — 2) на наше

пространство (3/Я с С — ЭОо(р, <?)• Мы окомплексиваем группу ЭО(п), получаем группу ЭО(п, С), указанные многообразия Штифеля и Грассмана становятся комплексными многообразиями Штифеля и Грассмана 80(п, С)/80(п — 2, С) и вО(п, С)/80(2, С) х 80(п-2, С). Затем мы переходим к нужной нам вещественной форме и получаем конечномерный гармонический анализ на Е = С/Я,

Возьмем в алгебре Ли д максимальную коммутативную подалгебру а, состоящую из матриц, имеющих нули вне побочной диагонали. Пусть матрица X € а имеет параметры £х, £2, • • • на местах (1, гг), (2, п — 1), — Тогда, посколь-

X из С есть

^ сЬ^і 0 . 0 вЬіх \

0 сЫ2 ■ . 0

0 • . сЬі2 0

у 0 . . 0 ch.ii /

Многочлен ір(х) от х = (жі,..., хп) Є Мга называется (р, д)-гармоническим, если он обращается в нуль оператором

А - V* \ —

&хх — Лі дх2 > г=1 1

где А, - коэффициенты формы [х, у]. Пусть Н[(х) - пространство (р, д)-гармони-ческих многочленов, однородных степени I. Представление 7Гг, І Є М, группы Є — БОо(р, д) действует в пространстве Я;(ж) сдвигами.

Многочлен /і(?і, у) от и, V Є К" (или от элементов матрицы а) называется (р, о)-гармоническим, если он обращается в нуль операторами Аии, Д,™, Аиу, где

_ А д2

- 2_. {диідуі

2—1

Обозначим пространство всех таких многочленов через Н{и,ь). Пространство Ь(Е) ограничений на Е этих многочленов изоморфно пространству Н(и, и). Обозначим через и представление группы Є сдвигами в пространстве Н{и,и), а также в пространстве Ь(Е). Представление II содержит неприводимые конечномерные представления 7г„ группы Є со старшими весами и = (а, Ь, 0,..., 0) (относительно алгебры а), где а,Ь - целые числа, такие, что а ^ Ь ^ 0, количество координат вектора и равно [п/2], для простоты мы будем писать

и = (а, Ь).

Представление тт/ есть 7г^о)- Кратность представления тти в и равна а — Ъ + 1. Размерность представления 7г„ дается формулой

і

с1іт7г„

(а — Ъ + 1) (а + Ь + п — 3) (2а + п — 2) (26 + п — 4) (п — 2)!(п — 4)!

х

х(а + 2)[п-51 (6+1)[п“51, мы используем обозначение + 1)... (Ь + т — 1). В частности,

Разложение представления II на неприводимые можно делать с помощью тензорных произведений. А именно, рассмотрим тензорное произведение 7Г;®7Гт. Оно действует в пространстве Я/(м)®ЬГш(г»). Представление 7Г/®7Гт распадается в прямую однократную сумму представлений 7г^ с весами (а, Ь) такими, что

Соответственно, пространство Н^и) <£> Нт(у), в котором действует 7гI <8)7гт, распадается в прямую сумму некоторых пространств Ни'т\и,у), где и = (а, 6) удовлетворяет условиям (5). Имеет место разложение

к=0

где внутреннее суммирование происходит по (а, Ъ) таким, что

а + Ь = 1 + т — 2к, тах{/ — к,т — к} ^а^1 + т — 2к.

При ограничении на многообразие Е в правой части (6) исчезают пространства с к > 0 и остаются пространства с к = 0, так что

а + Ь ^ I + ш, а — Ъ ^ \1 — т\, а + Ь = 1 + т (тосі 2).

(5)

(6)

(7)

где суммирование происходит по (а, Ь) таким, что

а + Ь = I + т, тах{/, т} ^ а ^ I + т.

Сами пространства у), участвующие в (7), входят в Н(и,у). Поэтому

пространство Н(и, у) разлагается в сумму:

(8)

где внутреннее суммирование происходит по (/, то) таким, что

(9)

Обозначим через Н0(и,у) подпространство в Н(и, у), состоящее из многочленов <^(сг) = <р(и,у), инвариантных относительно умножения матриц а на матрицы г из ЭО(1,1) слева:

(7 1—> га, г € 30(1,1).

Пространство 1/0(Е) ограничений на многообразие Е многочленов из Н0(и,у) изоморфно Н0(и,у). Обозначим через и0 ограничение представления V на пространства Н0(и,у) и Ьо(Т,). Оно содержит с кратностью 1 представления 7Г„ с весами V = (а,Ъ), для которых

0, а = Ь (тос! 2). (10)

Соответственно, пространство Щ(и, у) разлагается в прямую однократную сумму некоторых подпространств Ни со старшими весами и, удовлетворяющими (10). Подпространство Н„ "лежит наискосок" в прямой сумме подпространств н11'т\и,у) с тем же самым и из разложения (8), т. е. многочлены из Ни - это линейные комбинации многочленов из указанных подпространств н11'т\и,у), удовлетворяющих (9).

Предъявим старшие и младшие векторы в пространствах Ни.

Старший (соответственно, младший) вектор в Н„- это многочлен, собственный для матрицы ехрХ, см. (4), с собственным числом ехр(а^ + Ы2) (соответственно, ехр(—сй\ — Ы2)). Введем четыре вектора

з± = ( 1,0,...,0,±1), ^ = (0,1,0,...,0, ±1,0),

они - собственные для ехр X:

■ ехрХ = е±*1з=ь, г* ■ ехрХ = е^г*.

Теперь обозначим

х = V — и, у = и + и, (11)

тогда старший вектор (а) и младший вектор (а) в Ни даются формулами

0\Ь / \ (а—Ь)/2 ^

з~,х]-[г~,у]-[з~,у]-[г~,х)J • у[з~,х] ■ , (12)

(р-(а) = ([5+,ж] • [г+,у\ - [з+,у] • [г+,ж]) • ([в+,х] • [в+,у]У . (13)

Функции на Е мы можем рассматривать как функции на Е, инвариантные относительно левого действия группы 30(1,1). Обозначим через 1/(Е) пространство, отвечающее пространству Ь0( Е), и сохраним обозначение IIо для представления группы С сдвигами в Ь(Е). Мы получаем следующую теорему.

Теорема 1 Представление ио группы С = ЭОо(р, (?) сдвигами в пространстве Ь(Е) распадается в прямую однократную сумму представлений т\и со старшими весами V = (а, Ъ) такими, чт,о а = Ь (тос! 2). Эти представления 7Ти действуют в пространствах Нстарший и младший векторы </?*(и,у) в которых даются формулами (12), (13).

Реализуем теперь G/H как многообразие в прямом произведении С х С двух экземпляров конуса С. Конус С в W1 определяется условиями [х, х] = 0, х ф 0. Он связен, группа G действует на нем транзитивно (напомним, что р > 1, q > 1). Возьмем в С х С множество пар (х, у) с [х, у] ф 0 и в нем возьмем подмножество с фиксированным значением [х,у], именно, мы положим [х,у] = — 2 и обозначим полученное множество через Л. В частности, пара (s“, s+) входит в Л. Назовем две пары (х,у) и (tx, t~ly), где t £ М*, эквивалентными и обозначим через А множество классов эквивалентности. Группа G действует на А линейно (справа): (ж, у) н* [хд, уд) и поэтому на А. Стационарная подгруппа пары (s~, s+) в А есть в точности Н. Следовательно, пространство G/H мы можем отождествить с множеством А.

Две указанные реализации связаны между собой равенствами (11). А именно, если матрица а порождается парой векторов и, v, то оба вектора х, у, определенных по (11), принадлежат конусу и [х,у\ = —2, так что пара (х, у) принадлежит А.

При замене (11) пространство H(u,v) становится пространством Н(х,у), а пространство H0(u,v) - пространством Н0(х,у), состоящим из многочленов из Н(х,у), инвариантных относительно замены

(х,у) I—>(tx,t~1y), teR*. (14)

Группа G действует умножением векторов х,у справа на д £ G. Представление Uо группы G сдвигами в Hq(u,v) становится представлением Uq тоже сдвигами в Н0(х,у). Оно распадается в прямую однократную сумму представлений и — (a, b), а = b (mod 2). Эти представления 7г„ действуют в пространствах, которые пол}7чаются из предыдущих Ни заменой (11), мы сохраняем обозначение Ни. Старший и младший векторы уof(z) в Ни задаются в точности формулами (12), (13), поскольку правые части этих формул были записаны как раз в терминах х, у. Описание самих пространств Н1У несколько проще. В самом деле, многочлены из тензорного произведения Hi(x) <g> Hrn(y) инвариантны относительно замены (14) только при I = т. Запишем формулу (6) с I = т, заменяя (и, v) на (х,у). Мы получим

Hi(x) 0 Нт(у) = у]к Н^’т~к\х, у), (15)

к=О

где внутреннее суммирование происходит по (а, b) таким, что

а + b = 21 — 2к, I — к ^ а ^ 21 — 2к.

Слагаемые в (15) с к = 0 входят в Н0(х,у): поэтому Я„ есть как раз Ни’Г}{х, у), где 21 — а + Ь.

Отметим, что многочлены <р(х, у) из Ну являются однородными отдельно по х и по у степени однородности U общая степень однородности есть 21 = а + Ь.

Ограничим многочлены из Н0(х,у) на многообразие Л. Мы получим пространство Lq{A) функций на А, инвариантных относительно замены (14), и,

тем самым, пространство Ь(Л) функций на А. Пространства Ьо(А) и Ь(А) отвечают при замене (11) пространствам Ь0(И) и Ь(Е), соответственно. Представление группы С? сдвигами в Ь0(А) и Ь(А) распадается на представления тти вышеуказанным образом.

Пусть С - многообразие образующих конуса С. Оно состоит из прямых (без нуля) [ж] = Е*ж, где х Е С. Группа С действует на С естественным образом: [х]д = [хд\, д £ С, а на С х С - диагонально. Стационарной подгруппой пары ([я-], [я+]) служит как раз Я. Следовательно, С/Я есть С-орбита (С х С^ пары ([я-], [в"1"]) в С х С. Это единственная открытая С-орбита, она выделяется условием [ж, у\ Ф 0.

Распространением многочлена <£>(ж, у) из Я„ на многообразие (С хСУ служит функция

В самом деле, она не изменяется при замене ж Аж. «/и цу, А, ц £ К*, поэтому она есть функция от пары ([ж], [у]), а при [ж, у] = —2 равна </?(ж,у).

В частности, старший и младший векторы в Я„ - это следующие функции

Запишем эти функции в орисферических координатах £, г\ (это нужно для полиномиального квантования). Векторы £ = (£2, • • • ,£п-1) и г/ = (гу2,... ,^-1) принадлежат Еп~2, им отвечают векторы ж(0 и у (г/) из конуса:

билинейная форма (■, ■) есть ограничение формы [ •, ■ ]. Опуская несущественный множитель, мы получим

на (С х С)^\

*(0 = (! + <*, 0.2*, -1 + <£,0)

1/(77) = (1 + <7?, Г]), 277, 1 - (V , V)),

где

= <е,е>(а-‘)/2 • {& + е„-1 - (% + %-!)' (и о}" • АГ(е,ч)-<а+*>^ ЛГК.Ч) = ' {42 - Чп-1 - (6 - С»-|) ■ <Ч, Ч>} ■ Л'('ч■ Г1Г'‘"Ь‘П

77) = 1 - 2 (£, ту) + (£, 0 (ту, 77).

Литература

1. S. V. Tsykina. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations. International Workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics", Moscow, Aug. 25-30, 2007, vol. 2, 63-71.

2. С. В. Цыкина. Операторы Лапласа на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2008, том 13, вып. 6, 620-631.

3. D. Levine. Systems of singular integrals on spheres. Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 144, 493-522.

4. R. S. Strichartz. The explicit Fourier decomposition of L2(SO(n)/SO(n — m)). Canad. J. Math., 1975, vol. 27, 294-310.

Поступила в редакцию 16 ноября 2013 года

S. V. Tsykina. Finite-dimensional analysis on para-Hermitian spaces with a pseudo-ortho-gonal group of translations

We study finite-dimensional analysis on para-Hermitian symmetric spaces G/H for that the group G is a pseudo-orthogonal group SOo(p, q)•

Keywords: Lie groups and Lie algebras; group representations; pseudo-orthogonal groups; para-Hermitian symmetric spaces.

Цыкина Светлана Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры математического анализа, e-mail: [email protected]

Tsykina Svetlana Viktorovna, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Assistant of the mathematical analysis chair, e-mail: [email protected]