Стратегии прогнозирующего управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со скрытым переключением режимов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2020 Управление, вычислительная техника и информатика № 50

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865.5

DOI: 10.17223/19988605/50/1

Т.Ю. Пашинская, В.В. Домбровский

СТРАТЕГИИ ПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ СО СКРЫТЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ РЕЖИМОВ

Рассматривается задача управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключением режимов с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов и транзакционных издержек. Предполагается, что параметры финансовых активов изменяются в соответствии с эволюцией дискретной скрытой марковской цепи. Для оценки параметров используется адаптивный EM-алгоритм. Представлены результаты численного моделирования с использованием реальных данных российского фондового рынка. Ключевые слова: инвестиционный портфель; скрытая марковская цепь; прогнозирующее управление; ограничения.

Задача управления инвестиционным портфелем (ИП) является одной из ключевых в финансовой инженерии. Финансовые временные ряды представляют собой нестационарные динамические стохастические системы с высокой волатильностью и скачкообразными изменениями. В связи с этим для описания динамики ИП широко используются модели с марковскими скачками.

Задаче управления ИП на финансовом рынке с марковским переключением режимов посвящены работы [1-7]. В этих работах предполагается, что цепь Маркова является наблюдаемой. Однако на практике при управлении реальным ИП состояние цепи, как правило, не доступно прямому наблюдению.

В работах [8, 9] рассматривается задача управления ИП на скачкообразном рынке со скрытой сменой режимов цепи. В частности, работа [8] посвящена задаче управления по критерию «mean-variance». Оценки параметров модели скрытой цепи Маркова получены с использованием EM-алго-ритма. Оптимизационная задача сводится к решению уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. В работе [9] исследуется задача оптимизации ИП по критерию «mean-variance» с учетом квадратичных транзакционных издержек и ограничений. Для решения задачи используется метод управления с прогнозирующей моделью (Model Predictive Control).

В данной работе рассматривается динамическая задача управления ИП на финансовом рынке с переключением режимов с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов и транзакци-онных издержек. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за эталонным портфелем, имеющим заданную доходность. Предполагается, что параметры финансовых активов изменяются в соответствии с эволюцией дискретной скрытой марковской цепи. Для оценки параметров используется адаптивный EM-алгоритм, предложенный в работе [10]. Представлены результаты численного моделирования с использованием реальных данных российского фондового рынка.

1. Описание модели ИП и определение оптимальной стратегии управления

Рассмотрим ИП, состоящий из n рисковых вложений и безрискового финансового актива (например, банковский счет или надежные облигации). Допускаются также возможность займа по

безрисковой ставке и участие в операциях «продажи без покрытия». Управление портфелем осуществляется путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций посредством банковского счета [11].

Пусть хг(к) (г = 1,п) - объем вложений в 7-й рисковый актив в момент времени к; Хп+1(к) > 0 -объем вложений в безрисковый актив; и+ (к) > 0 - объем капитала, переведенного с банковского счета в 7-й рисковый актив в к-м периоде; и- (к) > 0 - объем капитала, переведенного с 7-го рискового актива на банковский счет. Если хг(к) < 0 (г = 1, п), то это означает участие в операции «продажа без покрытия» на сумму |хг(к)|.

Допускается также возможность займа по безрисковой ставке. Объем займа безрискового актива равен лп+2 (к) > 0; у(к) - объем заемного капитала, перераспределяемого между банковским и кредитным счетами в к-м периоде: у(к) > 0 означает заем в размере v(k), у(к) < 0 означает возврат кредита в размере \у(к)\; г\(к +1) - ставка доходности безрискового актива за период (к,к + 1], Тг(к + 1) - ставка займа безрискового актива за период (к,к + 1], п(к + 1) < тг(к + 1).

Динамика вложений в рисковый актив 7-го вида хг(к) (г = 1, п) удовлетворяет уравнению

X (к +1) = [1 + (к +1)][х- (к) + и! (к) - щ (к)], (1)

где ^ (к +1) - ставка доходности 7-го рисково актива за период времени [к, к + 1], определяемая по формуле (к +1) = (21 (к +1) - (к)) / (к), 2г(к) - рыночная цена 7-го рискового актива в момент времени к (наблюдаемая величина).

Предполагается, что транзакционные издержки при покупке и продаже рисковых активов удерживаются из банковского счета (безрискового вложения), динамика которого имеет вид:

хп+1(к +1) = [1 + тх(к +1)][хп+1(к) + у(к) - (1 + Г )£ и+ (к) + (1 - Я-)£ и-(к)], (2)

1= 1 ;=1

где Я+ - доля капитала и+ (к), идущая на уплату транзакционных издержек при покупке рискового актива 7-го вида, а Я- - доля капитала и- (к), идущая на уплату издержек при продаже рискового актива 7-го вида.

Динамика кредитного счета описывается уравнением

Хп(к + 1) = [1 + Г2(к + 1)][хи+2(к) + у(к)]. (3)

Поскольку Хп+1(к+1) > 0, хп+2(к +1) > 0, то справедливы неравенства

хи+1(к) + у(к) - (1 + Я+ )£ и+ (к) + (1 - Я-)£ и-(к) > 0, (4)

г— г=1

Хп+2 (к) + У(к) > 0. (5)

Будем полагать, что объем операций «продажа без покрытия» по активу 7-го вида ограничен величиной ^г(к) > 0, следовательно, справедливо неравенство:

X (к) + и + (к) - и- (к) > (к), (г = ), (6)

если «продажи без покрытия» запрещены, то й(к) = 0. Объем заемных средств также ограничен величиной ^(к) > 0, следовательно,

Хп+2 (к) + ^(к) < ^(к). (7)

Величины йг(к) (7 = 0, ..., п) часто зависят от величины общего капитала ИП У(к), что можно учесть, положив (к) = уV(к), где уг > 0 - постоянный коэффициент. Капитал инвестиционного портфеля У(к) описывается уравнением

п+1

V(к) =£ х (к) - хп+2 (к). (8)

г=1

Будем полагать, что эволюция доходностей рисковых активов п(к) (7 = 1, ..., п) описывается разностной аппроксимацией уравнений геометрического (экономического) броуновского движения с параметрами, зависящими от состояния цепи Маркова [1, 7]:

n

л, [ею, k]=ц [eck), k] + z Oy [eck), кw (k)

j=i

(9)

где Цг[9(£), к] - ожидаемая доходность 7-го рискового вложения; о[9(к), к] = {о7/[9(к),к]}у=1,..,„ - матрица волатильностей; {м>](к); к = 0, 1, ...;/ = 1, ..., п} - независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией; 9(к) = [5(а(к), 1), ..., 5(а(к)^)]т, 5(а(к)/') - функция Кронекера (/ = 1, 2, ..., V); а(к) - однородная дискретная цепь Маркова, принимающая значения из конечного множества {1, 2, ..., V}, с матрицей переходных вероятностей

Р = [Ру ],(/,уе{1,2,...,у}) ,Рр = Р{а(к+1)=у|«(к)=/}, £ Рр = 1,

j=i

и начальным распределением pi = Р{а(0)=г}, i = 1, v, Z pi = 1.

i=1

Последовательности Wj(k) и a(k) независимы. Марковская цепь a(k) определяет состояние (режим) рынка, например рынок в состоянии высокой или низкой волатильности.

Ожидаемые доходности и волатильности принимают одно из возможных значений из заданного набора в зависимости от состояния цепи Маркова:

ц [e(k), k] е{ц(1),..., ^}, o[e(k), k] e{a(1),..., a(v)}, о(/) = {0® }, (i, j = 1ТП), (/ = 1~V).

С учетом (9), уравнение (1) примет вид:

n

x (k +1) = [l+ц [e(k +1), k+1] + z о [e(k+1), k+(k+1)][ x (k)+u + (k) - u - (k)]. (10)

j=1

Введем обозначения: x(k) = [ x1(k), x2(k),..., xn+2(k)]T - вектор, определяющий состояние портфеля в момент времени k; u(k) = ^v(k) u+ (k) ... u+ (k) u1-(k) ... u-(k)] - вектор управляющих

переменных. Тогда с учетом (2), (3), (10), эволюция капитала ИП может быть представлена в виде разностного уравнения [7]:

x(k +1) = [ a0 [e(k+1), k+1] + z [e(k +1), k + 1]wy (k +1)] x(k) -

i=1

n -I

+[ B0[e(k +1), k +1] + z в, [e(k +1), k+1] wy (k +1)] u(k),

(ii)

i=1

где

Ao[e(k), k ] = diag {bo [e(k), k ],1 + /i(k ),1 + Г2 (k)}, A, [e(k), k ] = diag {01, [e(k), k ],..., Onj [e(k), k ],0,0}, Bo[e(k), k ] =

-t

0n

b0[e(k), k ] -b>[e(k),k]

1 + r1(k) -(1+ )b1(k) (1-Я- )b1(k)

1+r2 (k)

0n

0n

B, [e(k), k ] =

0n bj[e(k),k] -by [e(k),k]

0 0n 0n

0 0n 0n

b0 [e(k), k] = diag {1+ц [e(k),k],...,1+^n [e(k), k]}, b ¿k) = [1+Г1 (k)]1n, bj[e(k),k]=diag{o1j[e(k),k],...,оnj[e(k),k]}, j=Щ, 0n= [0,...,0]n, 1n = [1,...,1]n.

Ограниченияu+ (k) > 0, u- (k) > 0 и (4)-(7) могут быть записаны в матричном виде:

D(k) < S(k)u(k),

(12)

где

S (k) =

-t 0„

-t 0„

-t 0„

1 1 -1

In

0n

In

-(1 + ^ + )1 0n 0n

0 n

In

- In (1 -b")1 0n 0n

D(k) =

-t 0n

-t 0n

x (k)

- xn+1(k )

- xn+2 (k) xn+2 (k) - d0(k)

X =

- x1 (k) - d1 (k)

-xn (k) - dn (k)

Будем определять стратегию управления ИП путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля с минимально возможными отклонениями следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с желаемой доходностью цо, эволюция которого описывается уравнением

V °(к +1) = [1 + ц0Г °(к XV 0(0) = V (0). Критерий качества управления со скользящим горизонтом инвестирования имеет вид:

12

J (k + m | k) = £E jp1(k + i) Г V (k + i | k) - V 0(k + i)

i=1 I L

-p2(k + i)ГV(k + i | k) - V0(k + i)] + uT(k + i -1| k)R(k + i - 1)u(k + i -1| k)

V (k ), 0(k )},

(13)

(14)

где т - горизонт прогноза, к - текущий момент времени; У(к + i | k) = cx(k + i | к), c = [1,...,1,-1]п+2, -прогнозное значение капитала ИП согласно уравнению динамики (11); и(к + /|к) = = [у(к + /|к), Ы1+(к + /|к), ..., Пп+(к + /|к), нг(к + /|к), ..., Ып~(к + /|к)]т - вектор прогнозирующих управлений; р1(к + /) > 0, р2(к + /) > 0 - весовые коэффициенты (скалярные величины); Я(к + /) > 0 - положительно определенная симметричная матрица размерности (2п + 1) х (2п + 1).

Критерий (14) может быть записан в виде:

m

J(k + m | k) = £ E {xT (k + i) R (k + i)x(k + i)

-R (k + i)x(k + i) + uT (k + i -11 k)R(k + i - 1)u(k + i -11 k)| x(k), 0(k)}

(15)

где R (k + i) = cTc и R (k + i) = [2p (k + i)V0 (k + i) + p2 (k + i)]c.

Решение данной задачи управления ИП дается следующей теоремой.

Теорема. Пусть капитал ИП описывается уравнением (11) при ограничениях (12). Стратегия прогнозирующего управления u(k + i\k) (i = 0, 1, ..., m — 1) со скользящим горизонтом m, минимизирующая критерий (15), при ограничениях (12) на каждом шаге k определяется уравнением

t(k) = [ I

2n+1

0

2n+1

0

2n+1 P (k ),

где 12 и+1 - единичная матрица размерности 2п + 1, 02 и+1 - квадратная нулевая матрица размерности 2п + 1; и(к) = [ит(к | k),...,иT(k + т -1| k)]т - последовательность прогнозирующих управлений, которая определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида: У (к + т | к) = |~2хт (к )С(к) - ^ (к) ] и (к) + ит (к )Н (к )и (к ),

при ограничениях

Pmin(k) < S(k)U(k) < Umax(k),

i=1

Н(к) = {Н&(к)}, О(к) = {Gí(k)}, ^(к) = {^(к)} (,,' = 1,т) - блочные матрицы, блоки которых удовлетворяют уравнениям:

Я* (

(к) = £ £ (Б(г<)(к + г)) 0('"\к)Б('')(к + г) + Я(к + ' -1),

,, =1 у=<Л 1 > 1

Яг,(к) = £ (Б0г')(к + г))Т £ ... £ (1)(к + г +1))Т...(1)(к + ж -1))Т х

'г =1 'г+1 =1 -1 =1

£ £ (лу\к + ,))Т0(<') (к)Б(') (к + ,),, > г, 1=о /■„=Л ;

Я (к) = ( Яг (к ))Т,, < г,

И V

х

1=0 ',=

О(к) = £ ... £ (л0г1)(к +1))Т...(л0гг-1)(к + г -1))Т £ £(л;.'")(к + г))Т .....)(к)Буг)(к + г),

■1=1 г=Л > v } 1=0 " 1 / 1

^(к) = £ 02'')(к)В0г<)(к + г). =1

Последовательности матриц 0(","',ls\к),0(")(к), (ж,г = 1,т) определяется уравнениями:

д(ч ,..■ )(к) = ©('" ^ )(к)Я (к + ,) + £ £ (л{',+1\к + , + 1))Т Ос"....."+1) (к)Л{',+1\к + , +1), г = 1, да - 2, г < , < т

} =0 +1=1

0(')(к) = е1Р"е(к)Я1(к + г) + £ £ (л?'+1)(к + г +1)V О^"'"+1)(k)лУ'+1)(к + г +1),г = 1,т -1, (16)

и V / - \

1(к + г) + £ £ (л^Чк + г +1))

1=о+ 1 =1У 1 1

0(" , ..,г, )(к) = Я2(к + 5)©(гг, ,г, )(к) + £ 0:2*.....*(к)л(',+1)(к + , +1), г = 1, т - 2, г < , < т,

+1 =1

0('' )(к) = Я2(к + г)егР"в(к) + £ 0('' ,<г+1)(к)л^'+1)(к + г +1), г = 1, т -1,

г Ч+1=1

с начальными условиями:

1('т )(ЬЛ-0 ПгЛ- шЛ Г>('" ,...,'т ,...,'т )

0('т)(к) = е Ртв(к)Я(к + т),0('', .,'т)(к) = 0(г", ,'т)(к)Я(к + т),' = 1,т-1, (17)

2(гт)(к) = ег Рте(к)Я2(к + т),)(к) = ©(г', .,гтЧк)Я2(к + т),' = 1,т-1, (18)

0(г", .,г,)(к) = Р, Р , ...Р , в, (к +' | к),' = 1,т -1,, >', (19)

где в, (к +' | к)

- компонента вектора прогноза состояния цепи Маркова

е(к+' | к) = Е {е(к+г) | е(к )}=р" е(к), е,= [о,...,о,l,о,...,о]1хv," ^,'=1т

Методика доказательства теоремы основана на результатах, приведенных в работе [7].

2. Адаптивный алгоритм фильтрации марковской цепи

При определении оптимальной стратегии прогнозирующего управления предполагалось, что состояние марковской цепи а(к) в момент времени к доступно наблюдению. Однако на практике при управлении реальным ИП состояние цепи Маркова не доступно прямому наблюдению.

Для оценки параметров модели со скрытыми марковскими переключениями будем использовать адаптивный ЕМ-алгоритм, предложенный в работе [10]. В дальнейшем будем предполагать, что вектор доходностей рисковых активов подчиняется условному многомерному нормальному распределению с параметрами, зависящими от состояния:

ц(к) | а (к) ~ N (ц[а (к)], а[а (к)]) .

Это означает, что в динамике доходностей (9) величины Wj(k) подчиняются стандартному нормальному распределению. Параметрами, подлежащими оценке, являются векторы ожидаемых доход-

ностей ц(1),..., -1, матрицы волатильностей рисковых активов а(1),..., а(у) в каждом состоянии цепи

и матрица переходных вероятностей Р, а также состояние цепи в момент времени к 0(к).

Обозначим 1(к) - совместную вероятность появления последовательности Ук = {п(1), ••, П(к)} и нахождения цепи в состоянии 7 в момент времени к:

1(г)(к) = / (а(к) = 1,Ук).

Обозначим / - вектор плотностей распределения доходностей п(к) в каждом состоянии цепи:

/ = [/(1Чп(к)),..., / м(л(к))],

/) (Л(к)) = /(Л(к) | а(к) = г) = _-^-_ехр

( 2-)"

(Л(к)-ц('У (ст(1) )-1(П(к)-ц(1))

2

,г = 1, V.

Оценки параметров модели скрытой цепи Маркова пересчитываются на каждом шаге к = 2, 3, ..., Т, с появлением нового наблюдения вектора доходностей рисковых активов. Пошагово алгоритм оценки имеет вид:

1. Задаются начальные значения вероятностей перехода Р-г (1), начальное распределение р{ (1) и

(г) (г) -

значения параметров нормального распределения ц (1) , а (1), (г = 1, V) (здесь индекс в скобках (1) определяет номер итерации алгоритма). Начальные значения величин I(г ^(1) вычисляются по формуле:

1(г' }(1) = Рг (1)/(г' ЧлО), г=ÍГV.

2. На каждом шаге к = 2, 3, ..., Т величины 1(г)(к) пересчитываются, суммируя вероятности всех возможных путей, которые ведут в новое состояние по формуле

V Л _

1(-) (к) = 21(г) (к - (к -1)/(--) (ц(к)), - = 1, V.

г=1

Вероятности фильтрации равны

Л (Ук ) 1v1(к)

Оцененные совместные апостериорные вероятности равны

г р/ ^ п ■ гм -1У\ 1 (г)(к —1)Р(к/(-)(^(к)) . . Г-Су,к|к = Р{а(к -1) =г, а(к) = -|Ук } =--, г, - = 1, *

1v1(к)

Оцененные апостериорные вероятности перехода равны

к- 1Л

„ 2 ^г,т|х „ Г.. _

I), (к) = ^-1), (к-1) + ,1,] = (20)

Т. I I X I

х=2 х=2

Оцененные параметры рисковых финансовых активов равны

(О ^ (0 \,шг\(к)

|Лк) = ^-+ (21)

I

'г,хх 'г,хх

х=1 х=1

к-1, / х/ хТ

0').

ф (г) (т#) - Л))(т#) - Л))

(к) = (к -1) +---^-—, г = 1, V. (22)

УЕ. , У Е-

х=1 х=1

В выражениях (16)—(19) в качестве оценки состояния цепи Маркова в момент времени к будем использовать сглаживающие вероятности 9(к) = Ъ>цк,Ъ>щ = .

3. Численное моделирование

В данном разделе приводятся результаты численного моделирования с использованием реальных данных российского фондового рынка. Для моделирования использовались цены закрытия наиболее ликвидных акций, торгующихся на Московской бирже, а именно: ПАО «Сбербанк России» (SBER), ПАО «Газпром» (GAZP), ПАО «Газпром нефть» (SIBN), ПАО «ГМК "Норильский никель"» (GMKN), ПАО «Банк ВТБ» (VTBR), ПАО «ЛУКОЙЛ» (LKOH), ПАО «НК "Роснефть"» (ROSN). Данные взяты с www.finam.ru. Рассматривались все возможные комбинации портфелей, состоящих из n = 5 рисковых активов и одного безрискового актива с доходностью Г1 = 0,00001 (0,001% в день). Допускалось привлечение заемных средств по ставке Г2 = 0,0001 (0,01% в день). Предполагалось, что в начальный момент времени весь капитал инвестирован в безрисковый актив, следовательно

хг (0) = 2 (0) = 0, (i — ~n), хи+! (0) = V (0) = V0 (0) = 1. Управление портфелем осуществлялось в каждый торговый день. Весовая матрица полагалась равной R(k + i) = diag{103, ..., 10-3} для всех k, i. Объем заемных средств ограничивался величиной

do(k) = 3V(k). Операции «продажи без покрытия» запрещены, т.е. d(k) = 0, (i — 1,n ). Транзакционные

издержки составляли — 0,0006.

Предполагалось, что финансовый рынок может находиться в двух состояниях (v = 2). Оценка параметров скрытой цепи Маркова производилась согласно алгоритму, описанному в разделе 2. При этом для оценки состояния скрытой цепи и матрицы переходных вероятностей использовалась подгруппа из двух акций, входящих в портфель. Векторы средних значений и матрицы волатильностей для разных состояний цепи оценивались для портфеля в целом. Данный подход обусловлен тем, что применение полного портфеля для оценки состояния цепи и матрицы переходных вероятностей приводит к частым переключениям состояний цепи и, как следствие, к низкому качеству управления [9]. Полученные на каждом шаге k параметры модели скрытой цепи Маркова далее использовались для определения оптимальной стратегии прогнозирующего управления. Горизонт прогноза m = 5.

V 4,5

4

3,5 3 2,5 2 1,5 1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 к

Рис 1. Динамика капиталов эталонного ИП (линия 1) и управляемого ИП (линия 2) Fig. 1. Control portfolio value (line 1) and reference portfolio value (line 2)

1>tЦк 0,1 0,05 0

-0,05 -0,1 -0,15

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 £

Рис. 2. Динамика доходности акции SBER (линия 1 (п)) и сглаживающие вероятности (линия 2 (^1,k|k) - состояние 1, линия 3 (^2,k|k) - состояние 2) Fig.2. Daily return of SBER (line 1 (п)) and smoothed probabilities (line 2 (i;1,k|k) - state 1, line 3 (^2,k|k) - state 2)

Численно была реализована стратегия слежения за эталонным инвестиционным портфелем с доходностью цо = 0,001 (0,1% в день), pi(£ + i) = 1, p2(k + i) = 0,02. Капитал реального управляемого ИП вычислялся по формулам (1)-(3) и (8), где использовались реальные наблюдаемые значения до-ходностей в момент времени k + 1.

Далее приводятся типичные результаты моделирования. Портфель составлен из рисковых активов LKOH, GAZP, SBER, ROSN, GMKN. Период инвестирования: 27.05.2010-17.06.2016 (1 520 торговых дней). Для оценки состояния рыночного режима и матрицы переходных вероятностей использовались акции SBER и GMKN. На рис. 1 показана динамика капиталов эталонного портфеля V(k) и управляемых портфелей V(k). Рисунок 2 иллюстрирует динамику доходности акции SBER и сглаживающие вероятности состояний цепи Маркова, приведенные к значениям доходностей для наглядного отображения на графике.

Рис. 1 показывает, что капитал реального портфеля следует капиталу эталонного портфеля.

Заключение

В данной работе предложен метод управления ИП с прогнозирующей моделью на финансовом рынке переключением режимов в соответствии со скрытой цепью Маркова с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов и транзакционных издержек. Для оценки параметров используется адаптивный EM-алгоритм. Результаты численного моделирования с использованием реальных данных демонстрируют эффективность предложенной стратегии управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Costa O.L.V., Araujo M.V. A generalized multi-period portfolio optimization with Markov switching parameters // Automatica.

2008. V. 44, No. 10. P. 2487-2497.

2. Гальперин В.А., Домбровский В.В., Федосов Е.Н. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузи-

онно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 175-189.

3. Bauerle N., Rieder U. Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates // IEEE Transactions on

Automatic Control. 2004. V. 49, No. 3. P. 442-447.

4. Sotomayor L.R., Cadenillas A. Explicit Solutions of Consumption-investment Problems in Financial Markets with Regime-

switching // Mathematical Finance. 2009. V. 19, No. 2. P. 251-279.

5. Wu H. Mean-variance portfolio selection with a stochastic cash flow in a Markov-switching Jump-Diffusion Market // J. Optim.

Theory Appl. 2013. V. 158. P. 918-934.

6. Levy M., Kaplanski G. Portfolio selection in two-regime world // European J. of Operational Research. 2015. V. 241. P. 514 -

524.

7. Dombrovskii V., Pashinskaya T. Design of model predictive control for constrained Markov jump linear systems with multiplica-

tive noises and online portfolio selection // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2020. V. 30, No. 3. P. 1050-1070.

8. Ishijima H., Uchida M. Log Mean-Variance Portfolio Selection Under Regime Switching // Asia-Pacific Financial Markets. 2011.

V. 18, No. 2. P. 213-229.

9. Nystrup P., Boyd S., Lindstrom E., Madsen H. Multi-period portfolio selection with drawdown control // Ann. Oper. Res. 2018.

V. 282. P. 245-271.

10. Stenger B., Ramesh V., Paragios N., Coetzee F., Buhmann J.M. Topology Free Hidden Markov Models: Application to Background Modeling // Proc. of the 8th IEEE Int. Conf. on Computer Vision. 2001. V. 1. P. 294-301.

11. Dombrovskii V.V., Dombrovskii D.V., Lyashenko E.A. Investment portfolio optimization with transaction costs and constraints using model predictive control // Proc. of the 8th Russian-Korean Int. Symposium on Science and Technology. KORUS. Tomsk, Russia : IEEE, 2004. P. 202-205.

Поступила в редакцию 23 мая 2019 г.

Pashinskaya T.Y., Dombrovskii V.V. (2020) PREDICTIVE CONTROL STRATEGIES FOR INVESTMENT PORTFOLIO IN THE FINANCIAL MARKET WITH HIDDEN REGIME SWITCHING. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 50. pp. 4-13

DOI: 10.17223/19988605/50/1

T.W. narnuHCKax, B.B. ffoMdpoecmu

Consider an investment portfolio consisting of n risky assets and one risk-free asset (e.g., a bank account). Let x,(k) (i = 1,n) denote the amount of the wealth invested in the ith risky asset; xK+i(k) > 0 is the amount invested in a risk-free asset; ui (k) > 0 is the

amount of money by which an investor buys the ith risky asset; u" (k) > 0 is the amount of money by which an investor sells the ith risky asset. The volume of borrowing of a risk-free asset is equal to xn+2(k) > 0; v(k) is the amount of borrowing that transferred from borrowing account to bank account; n(k + 1) is the riskless lending rate over time period (k, k + 1], n(k + 1) is the riskless borrowing rate.

The ith stock holding x(k) (i = 1, n) satisfies the following stochastic difference equation:

X (k +1) = [1 + (k + 1)][x (k) + ui (k) - u" (k)], where (k +1) is the return of the ith risky asset. The dynamics of the bank account is given by:

xn+1(k i 1) = [1 i 1(k i 1)] [xn+1 (k) i v(k) - (1 i X+ ) £ ui (k) i (1 - X- ) £ u- (k)],

i=1 1=1

where X+ , X- are fractions of the amount transacted on purchase ui (k) and sell u- (k) of the ith stock, respectively. The evolution of the borrowing account is the following: xn+2(ki 1) = [1 ir2(ki1)][xn+2(k) i v(k)]. The wealth process satisfies V(k) = cx(k), c = [1, ..., 1, —1]n+2, x(k) = [xi(k), ..., xn+2(k)]T.

The following constraints are taken into account:

xni1(k) i v(k) - (1 + X+ )£u+ (k) i (1 -X-)£>-(k) > 0, xni2(k) i v(k) >0, (1)

i=l i=l

x(k) iu+ (k) -u-(k) > -d,-(k); ^2(k) i v(k) < ^(k);u+ (k) > 0,u-(k) > 0,(i = 1,n). (2)

The evolution of the risky assets returns n\,(k) is described by the equation:

[e(k), k]=[e(k>, k] i ££ utJ [e(k), k]wj (k),

7=1

where ^i[9(k), k] is the expected return; a[0(k), k] = {aj[0(k), k\}ij=1,.,n is the volatility matrix; {wj(k); j = 1, ..., n} are independent noises with zero mean and unit variance; 0(k) = [S(a(k), 1), ..., 5(a(k),v)]T, 8(a(k)j) is a Kronecker function (j = 1, 2, ..., v); a(k) e {1, 2, ., v} is a discrete-time Markov chain.

Our objective is to control the investment portfolio by tracking a deterministic portfolio with a desired return ^o, which evolution is described by the equation:

V 0(k i 1) = [1 i 0(k ),V 0(0) = V(0). In this paper, we design portfolio control strategies subject to constraints (1)-(2) under the quadratic performance criterion with receding horizon m:

J(k im | k) = £ E{ft (k i i)[V(k i i | k) - V0(k i i)]2 -

(k i i)[V(k i i | k) - V0(k i i)] i uT(k i i -11 k)R(k i i - 1)u(k i i -11 k)| V(k), e(k)j,

where u(k + i\k) = [v(k + i|k), u1+(k + i|k), ., un+(k + i|k), u1-(k + i|k), ., un~(k + i|k)]T is the predictive control vector; p1(k + i) > 0, p2(k + i) > 0 are the weight coefficients (scalar values); R(k + i) > 0 is a symmetric weight matrix of dimension (2n + 1) x (2n + 1).

We assume that the state of the Markov chain 0(k) is not observed. To estimate the parameters of the hidden Markov model, the on-line adaptive EM-algorithm is applied. We present the numerical modelling results based on the real data from the Russian stock exchange.

Keywords: investment portfolio; hidden Markov chain; model predictive control; constraints.

PASHINSKAYA Tatiana Yurievna (Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tani4kin@mail.ru

DOMBROVSKII Vladimir Valentinovich (Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru

REFERENCES

1. Costa, O.L.V. & Araujo, M.V. (2008) A generalized multi-period portfolio optimization with Markov switching parameters.

Automatica. 44(10). pp. 2487-2497. DOI: 10.1016/j.automatica.2008.02.014

2. Galperin, V.A., Dombrovsky, V.V. & Fedosov, E.N. (2005) Dynamic control of the investment portfolio in the jump-diffusion

financial market with regime-switching. Automation and Remote Control. 66(5). pp. 837-850. DOI: 10.1007/s10513-005-0127-9

3. Bauerle, N. & Rieder, U. (2004) Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates. IEEE Transactions

on Automatic Control. 49(3). pp. 442-447. DOI: 10.1109/TAC.2004.824471

4. Sotomayor, L.R. & Cadenillas, A. (2009) Explicit Solutions of Consumption-investment Problems in Financial Markets with

Regime-switching. Mathematical Finance. 19(2). pp. 251-279. DOI: 10.1111/j.1467-9965.2009.00366.x

5. Wu, H. (2013) Mean-variance portfolio selection with a stochastic cash flow in a Markov-switching Jump-Diffusion Market.

Journal of Optimization Theory and Application. 158. pp. 918-934. DOI: 10.1007/s10957-013-0292-x

6. Levy, M. & Kaplanski, G. (2015) Portfolio selection in two-regime world. European Journal of Operational Research. 241.

pp. 514-524. DOI: 10.1016/j.ejor.2014.10.012

7. Dombrovskii, V. & Pashinskaya, T. (2020) Design of model predictive control for constrained Markov jump linear systems with

multiplicative noises and online portfolio selection. International Journal of Robust Nonlinear Control. 30(3). pp. 1050-1070. DOI: 10.1002/rnc.4807

8. Ishijima, H. & Uchida, M. (2011) Log Mean-Variance Portfolio Selection Under Regime Switching. Asia-Pacific Financial

Markets. 18(2). pp. 213-229. DOI: 10.1007/s10690-010-9132-2

9. Nystrup, P., Boyd, S., Lindstrom, E. & Madsen, H. (2018) Multi-period portfolio selection with drawdown control. Annals of

Operations Research. 282(2). pp. 1-27. DOI: 10.1007/s10479-018-2947-3

10. Stenger, B., Ramesh, V., Paragios, N., Coetzee, F. & Buhmann, J.M. (2001) Topology Free Hidden Markov Models: Application to Background Modeling. Proc. to the 8th IEEE International Conference on Computer Vision. 1. pp. 294-301. DOI: 10.1109/ICCV.2001.937532

11. Dombrovskii, V.V., Dombrovskii, D.V. & Lyashenko, E.A. (2004) Investment portfolio optimization with transaction costs and constraints using model predictive control. IEEE: Proc. of the 8th Russian-Korean Int. Symposium on Science and Technology. KORUS. Tomsk, Russia. pp. 202-205.