Управление с прогнозированием распределенными стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами при ограничениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 45

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519

DOI: 10.17223/19988605/45/1

В.В. Домбровский, Т.Ю. Пашинская

УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРОВАНИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ГИБРИДНЫМИ СИСТЕМАМИ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ШУМАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

В работе рассматривается задача синтеза оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью для класса распределенных гибридных систем с мультипликативными шумами, состоящих из подсистем, с учетом ограничений на управляющие переменные. Параметры каждой из подсистем изменяются в соответствии с эволюцией марковских цепей, состояния которых взаимосвязаны между собой.

Ключевые слова: управление с прогнозирующей моделью; распределенные гибридные системы; векторная односвязная цепь Маркова; мультипликативные шумы; ограничения.

Современные системы управления, как правило, представляют собой сложные иерархические системы, состоящие из взаимодействующих подсистем неоднородной непрерывно-дискретной природы. В частности, инвестиционный портфель представляет собой сложную стохастическую нестационарную динамическую систему и может содержать рисковые финансовые активы разных классов, динамика доходностей которых меняется скачкообразно в соответствии с эволюцией состояний взаимосвязанных марковских цепей, характеризующих, например, состояние различных секторов экономики или различных финансовых рынков [1]. Такие системы относятся к классу распределенных гибридных систем [2, 3].

Гибридные системы с марковскими скачкообразными параметрами нашли широкое признание и применение в практике управления многими реальными процессами [2, 4]. Эффективным подходом к управлению гибридными системами в присутствии ограничений является метод управления с прогнозирующей моделью [3]. В работах [5-9] рассматриваются задачи управления с прогнозированием для гибридных систем, параметры которых изменяются в соответствии с эволюцией одномерной марковской цепи, с учетом ограничений на управления. В работе [10] предложен метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для взаимосвязанных гибридных систем с марковскими скачками при условии, что от состояния марковской цепи зависит только матрица управления каждой из подсистем.

В настоящей работе рассматриваются распределенные гибридные системы с мультипликативными шумами. Параметры каждой из подсистем изменяются в соответствии с эволюцией марковских цепей, состояния которых взаимосвязаны между собой. Получены уравнения синтеза оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью с учетом явных ограничений на управляющие переменные.

Пусть система состоит из совокупности подсистем, состояния которых описываются уравнениями

1. Постановка задачи

х(д) (к +1) = Л(д) [а(д) (к +1), к + 1]х(д) (к) + В(д) [а(д) (к +1), к + 1]и(д) (к) + +У В(д)[а(д)(к +1),к + 1Цд)(к + 1)и(д)(к), д = 1,2,...5,

где х®(к) - пхд -мерный вектор состояния q-й подсистемой, и®(к) - ' -мерный вектор управления q-й подсистемой; Л®[а®(к),к], Ву®[а®(к),к], у = 0, ..., п - матрицы соответствующих размерностей; ^/®(к) - последовательность белых шумов с нулевым средним и единичной дисперсией; а®(к) - скалярная однородная цепь Маркова с конечным множеством состояний {1,2,...^}; а®(к) и ^/®(к) независимы. Таким образом, каждая из подсистем может находиться в Vq состояниях, определяемых скалярным случайным процессом с дискретным множеством значений (состояний).

Между подсистемами существует взаимосвязь: состояние цепи а®(к) q-й подсистемы ^ = 1, 2, ..., 5) в к-й момент времени зависит от состояний цепей а(г)(к-1) (г = 1, 2, ..., 5) в момент времени к-1. Таким образом, динамика системы в целом зависит от дискретного векторного случайного процесса а(к) = [а(1)(к), а(2)(к), ..., а(5)(к)]т с конечным множеством состояний ^ = 1, 2, ..., 5; jq =1, 2, ..., Vq) и дискретным временем. Случайный процесс а(к) представляет собой векторную одно-связную цепь Маркова.

Для векторной цепи вероятности перехода за один шаг определяются в виде:

;Л,..} = Р {а1 (к + 1) = (к + 1) = 0/>1(к) = ац (к) = }, Е РЧ,..,в ;Л,..} = 1

с начальным распределением

р}1,..,}, = р{а(0) = Л—а(0) = л},(л = л = X Е р}1,...,}, =1

к,..,]}

Предполагается, что состояние векторной марковской цепи в момент времени к доступно наблюдению.

На управляющие воздействия каждой из подсистем накладываются ограничения:

< < и^к),д = Ц, (2)

где 5®(к) - матрицы соответствующих размерностей.

Необходимо определить закон управления системой, состоящей из подсистем вида (1), при ограничениях (2) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления

3(к + т / к) = М{ ЕЕ Е (д)(к + 1))Т Я(д) (к +!)х(д) (к +1) - Я ) (к +1)х(д) (к +1) +

д=1 >=1 (3)

+(uiq)(k + i -1/ к))T R(q)(k + i - l)uiq)(k + i -1/ к)/xiq) (k), a(k)},

где u(~q)(k +1 / k), l = 0, m -1 - последовательность прогнозирующих управлений q-й подсистемой, H(q)(k)=u(q:i(k/k), M{a/b } - оператор условного математического ожидания, R^q (k + i) > 0, R(q (k + i) > 0,

(k + i) > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей, m - горизонт прогноза, к - текущий момент времени.

2. Синтез стратегий управления с прогнозированием

Стратегии управления с прогнозированием определяются по следующему правилу. На каждом шаге к минимизируем функционал (3) по последовательности прогнозирующих управлений u<q)(k/k), ..., u(q)(k + m - 1/k), q = 1, 2, ..., s, зависящих от состояния подсистемы в момент времени к, при ограничениях (2). В качестве управления в момент времени k берем u(q)(k) = u(q)(k/k). Тем самым получаем управление q-й подсистемой u(q)(k) как функцию состояний x(q)(k) и a(k), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление u(q)(k + 1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента k + 1 и т.д.

Если цепи Маркова a(q)(k) (q = 1, ..., s) независимы между собой (состояния подсистем не зависят от состояний других подсистем), т.е. представляют собой однородные скалярные цепи Маркова, то каждая из них допускает следующее представление в пространстве состояний [11]:

e(q) (k+1)=r(q)Q(q) (k)+ u(q) (k + 1), (4)

где 9(,)(к) = [5(а(9)(£),1), ..., 5(а(<г)(к)/^)]т, 5(а(<г)(к),/) - функция Кронекера (/ = 1, ... V,); Р(,) - матрица переходных вероятностей для ,-й цепи; и(,)(к) - мартингал разность.

Обобщим соотношение (4) для скалярных цепей на случай векторных однородных цепей Маркова.

Введем мультииндексы / = ('1, /2, ..., /<;), / = (/1, /2, ..., ]?)■ Тогда матрицу вероятностей перехода за один шаг векторной цепи Маркова можно представить в виде Р = (Р/), где

РУ = ; Л,..., у = 1. VI;...; Ь = 1, V; л = 1, V!;...; у = 1, у).

Матрица Р обладает свойством:

IР = 1, V'.

Введем вектор 9(к) = [5(а(к),1), ..., 5(а(к);г)]т, V = V! х V2 х ■■■ х vx. Значение вектора 9(к) соответствует комбинации состояний одномерных цепей Маркова.

Тогда для многомерной цепи можно записать представление в пространстве состояний, аналогичное (4):

9(к + 1) = Р9(к) + и(к + 1). (5)

С учетом (5) уравнения для подсистем (1) можно представить в следующем виде: х(я) (к +1) = Л(я) [9(9) (к +1), к + 1]х(9) (к) + Б(я) [9? (к +1), к + 1]и? (к) +

где

+1 Б(д)[9(9) (к +1), к + 1Ц9) (к + 1)ы(ч) (к), ? = 1,5, У=1

V

Л(9)[9(к), к ] = 19г (к) Л(0(9) (к), '=1

£(?)[9(к),к] = ¿9,-(к)£/)(^(к), у = 0П,

'=1

(6)

(7)

здесь 9/(к) (7 = 1, 2, ..., V) - компоненты вектора 9(к); {Л(г)(,)}, {В/г)(,)} (7 = 1, ..., V) - множества значений матриц Л(,)[а(к)Д и ВУ\а(к),к]. Критерий (3) примет вид:

3 (к + т / к) = М { ¿¿( х(9) (к + г))т ^ (к +г) х(к +г) - Л (к +г) х(9) (к +г) +

?=1 г=1

+(и(я) (к + г -1 / к))т(к + г - 1)и(ч) (к + г -1 / к)/х(ч) (к), 9(к)}. Теорема. Векторы прогнозирующих управлений

(8)

и (я)(к) =

(и (9)(к / к) )т, (и)(к +1/ к) )т,..., (и (9)(к + т -1/ к) )Т

= 1, 5,

минимизирующие критерий (3) при ограничениях вида (2), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

У (к + т / к) = 2хт (к )С(к) - ^ (к) и (к) + ит (к )Я (к )и (к)

при ограничениях

итп(к) < ^ (9)(к)и< ? )(к) < итах(к).

Оптимальное управление для ,-й подсистемы равно

(9) (10)

и(<? )(к) =

%)

0„

/г)

и(<? )(к ),

где 1П - единичная матрица размерности п с?) , 0п - квадратная нулевая матрица размерности

и( 11 ^

л ?)

и (к) =

(и (1)(к) )т, (и (2)(к) )т,..., (и «(к) )т

т

п

т

Б{ч) (к) = diag(S2д) (к),..., Б2д) (к + т -1)),

ит)(к)=[(и^Ак)? ,..,(ити(к+т-1))т]т, и^к)=[(итхю? ,...,(4&(к+т-1)??

Н(к), О(к), ^(к) - блочные матрицы вида

Н (к) = (Н21 (к), Н (2)(к),..., Н2в) (к)),

С(к) = \о21\к) С22\к) ■■■ 02°\к)\,Е(к) = \Е21\к) Р22\к) ■■■ Р2°\к)

Н2д\к) Н2д\к) ■■■ Н2д\к)

11 12 1 т

Н2д\к) Н2д\к) ■■■ Н2д\к)

Н(д )(к) =

, q = l,s,

Н2д\к) Н2д\к) ■■■ Н2д\к)

_ т 1 т 2 тт

02д\к) = \02д\к) 02д\к) ••• 02д\к)\,р2д\к) = \р2д\к) Р2д\к) ■■■ 1%\к) блоки которых равны

Н(1д)(к) = Е Е (в}гг(к + ')^О2'')(д)(к)в})(д\к + г) + Я(д)(к + г -1), >,=1}=оу ] ; ]

Н2д){к) = Е Е ... Е В' Хд)(к + ')) (•А''+1)(д)(к + г + ^...(л07 )(д\к + /))Т х

'г =1'г+1=1 '/ =1

хд(г,...,'/)(д)(к)в(/)(дд)(к + /1 / > г, Н/\к) = (Н/\к ))\ / < г,

о( д)(к) = Е... Е (Л(ч)(д)(к+1) )т...( л2'')(д){к + г))т д^ч-'гМ^В Хд)(к + г),

',=1 и =1

Р(д)(к) = Е О2>' )(д)(к)В0;г Ш(к + гу ',=1

Матрицы О^'1 ''"'^^(к),О'''"''^^(к), (г,/ = 1,т) определяются уравнениями:

ф,...,'/ )(д)(к) = ®С',...,'/ )(к) в(д)(к + /) +

+ Е 1л2/+1д\к + / + 1))т О °".'/+1)(д)(к)Л2'/+1)(д)(к + / +1), г = \т-2, г < / < т, '/+1 =11 '

О(г Хд) (к) = Е.рг 0(к )я(д) (к + г) +

+ ЕЕ (Л('г+1ш(к + г + 1))т О(к)Л{'г+1)(д)(к + г +1), г = 1^-1,

'г+1=1

О',...,'/)(д)(к)=Я^д)(к+г)®^',...,'/)(к) + Е (£/ч\к)Ах/+*д\к+/+1),

1 =1

г = 1, т - 2, г < / < т,

ос' )(д) (кк) = Я(д) (к + г)Е р'0(к) + Е О(г ''г+1 Хд) (к)Л('г+1 )(д) (к + г+1), г = 1, т -1

с начальными условиями

',+1 =1

О2'т)(д) (к) = Е' Рт0(к)Я(д) (к + т),

(д),

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22) (23)

д('',...''т )2д)(к) = ®('г,...' 'т )(к)Я(д)(к + т), г = 1, т -1

)(ч) (к) = ^ (к + т)Е,иРт9(к), ф ,...,'тX?) (к) = (к + т)0(г1'...''т) (к), г = 1, т -1

где

0(г', ,г/)(к) = ^ 1 Р г ...р г 9г (к + г|к),г = 1,т-1,/>г,

4 у 1Г,'Г-1 1Г-1,1Г+1 гг+1,гг гг 4 1 ' '

9^ (к + г | к) - компонента вектора

9(к + г | к) = Е{9(к + г) 19(к)} = Рг9(к), Е- = [0,...,0,1,0,...,0]1ху, г'г = 1,V, г = 1,т. Доказательство. Критерий (8) и уравнение (6) можно представить в следующем виде:

3(к + т / к) = IМ {(X(ч) (к + 1))т Л(ч) (к +1)X(ч) (к +1) -ч=1

-л(ч) (к +1) X(ч) (к +1) + (и(ч) (к ))т Л(ч) (к )и(ч) (к) / х(ч) (к), 9(к)},

X(ч) (к +1) = ¥(ч) [»(к +1), к + 1]х(ч) (к) + Ф( ч) [»(к +1), к + 1]и(ч) (к) + +Л(ч) [»(к +1), W(ч) (к +1), к + 1]и(ч) (к),

где

(24)

(25)

" х(ч)(к +1)" " и(ч )(к / к) " " 9(к +1)" " w(ч)(k + 1)"

X (ч)(к +1) = х(ч )(к + 2) ,и(ч)(к) = и (ч)(к + 1/ к) , »(к +1) = 9(к + 2) ,W(ч )(к +1) = w(ч)(k + 2)

х(ч)(к + т) и(ч)(к + т -1/ к) 9(к + т) w( ч)(к + т)

¥(ч)[Н(к +1), к +1] =

Ф(ч )[»(к +1), к +1] =

Л(ч )[9(к +1), к +1] Л(ч) [9(к + 2), к + 2] Л( ч) [9(к +1), к +1]

Л(ч)[9(к + т), к + т]...Л(ч)[9(к + 2), к + 2]Л(ч) [9(к +1), к +1]

" В(ч )[9(к +1), к +1]

Л( ч) [9(к + 2), к + 2]В,(г) [9(к +1), к +1]

Л(ч) [9(к + т), к + т]... Л( ч) [9(к + 2), к + 2]В<ч) [9(к +1), к +1]

^хп? ... ^ хп!')

В0ч)[9(к + 2),к + 2] ... 0(,)^о

Л(ч)[9(к + т), к + т]...Л(ч) [9(к + 3), к + 3]В(ч)[9(к + 2), к + 2] ... В<ч) [9(к + т), к + т]

п

I В<ч) [9(ч) (к +1), к +1] ч) (к +1)

3 =1

Л(ч) [»(к +1), W(ч) (к +1), к +1] =

(ч)/

Л(ч) [9(к + 2), к + 2]1 В(ч) [9( ч) (к +1), к + 1Цч) (к +1)

3=1

Л(ч) [9(к + т), к + т]...Л( ч) [9(к + 2), к + 2]1 В<ч) [9( ч) (к +1), к +ч) (к +1)

3=1

^ хп<') ...

п

IВ(ч) [9(ч) (к + 2), к + 2^(ч) (к + 2) ...

3 =1

Л(ч )[9(к + т), к + т]...Л(ч) [9(к + 3), к + 3]1 В(ч )[9(ч) (к + 2), к + 2Цч) (к + 2)

3=1

... 0пх?) х4 ч)

... 0пх?) х4 ч)

... I В(ч) [9(ч) (к + т), к + тЦч) (к + т)

3=1

Л(ч) (к) = ^ (К(ч) (к + 0), К(ч) (к +1),..., Л(ч) (к + т -1)), Л(ч) (к +1) = ^ (ч) (к +1), Л(ч) (к + 2),..., К(ч) (к + т)), Л(ч)(к +1) = [л(ч)(к +1) Л(ч)(к + 2) ... )(к + т) ]. Приведем (24)-(25) к виду:

3 (к + т / к) = М {Xт (к +1) Лх (к +1) X (к +1) -Л2 (к +Щ (к +1) + ит (к )Л(к )и (к) / х(к), 9(к)}, (26) X (к + 1) = ¥[»(к + 1), к + 1]х(к) + Ф[»(к + 1), к + 1]и(к) + Л[»(к +1), W(k + 1), к + 1]и(к), (27)

где

X (к) = [( X (1)(к ))т,( X (2)(к ))т,...,( X (5)(к ))т]т, х(к) =[( х(1)(к ))т,( х(2)(к ))т,...,(х( 5)(к ))т]т, Л(к +1) = Ша§(Л(1) (к +1), Л(2) (к +1),..., Л(5) (к +1)), Л1 (к +1) = ^(Л® (к +1), Л(2) (к +1),..., Л(5) (к +1)), Л2 (к +1) = [Л(21) (к +1), Л(22) (к +1),..., Л(25) (к +1)

и (к)=[(и(1) (к))т, (и(2) (к ))т,..., (и(5) (к))т ]т,

¥[»(к),к] = (¥(1)[Е(к),к])т,...,(¥(5)[»(к),к])т] ,

Ф[Н(к), к ] = ахае (Ф(1)[Щк), к ],..., Ф(5)[Н(к), к ]), Л[Е(к ),W (к), к ] = ахае (л(1)[Н(к ),W (1)(к), к ],..., Л(5)[Н(к ),W(5)(к), к ]).

С учетом (27) представим (26) в следующем виде: 3 (к + т / к) = М {и т(к )Л(к )и (к) + хт(к [»(к +1), к + 1]Л (к + 1)¥[Н(к +1), к + 1]х(к) + +[2хт (к )¥т [»(к +1), к + 1]Л (к +1) - Л (к + 1)]Ф[»(к +1), к + 1]и (к) - Л (к + 1)¥[Н(к +1), к + 1]х(к) +

(28)

+и т(к )Фт[»(к +1), к + 1]Л (к + 1)Ф[»(к +1), к + 1]и (к) + +и т(к )Лт[»(к +1), W (к +1), к + 1]Л (к + 1)Л[»(к +1), W (к +1), к + 1]и (к) / х(к), 9(к)}. Определим матрицы

Н (к) = М {Фт [Н(к +1), к + 1]Л1(к + 1)Ф[Н(к +1), к +1] +

+Лт [Н(к +1), W (к +1), к + 1]Л (к + 1)Л[Н(к +1), W (к +1), к +1] / 9(к)} + Л(к),

в(к) = М {¥ т[»(к +1), к + 1]Л1(к + 1)Ф[Н(к +1), к + 1]/9(к)},

Р (к) = Л2(к + 1)М {Ф[»(к +1), к + 1]/9(к)}.

Матрицы H(k), G(k), F(k) можно представить в блочном виде (11)-(14):

H (к) = diag (H(1) (к), H(2) (к),..., H(s) (к)),

G(k) = [G(1)(k) G(2) (к) •■■ Gw(k)],F(k) = [>(1)(k) F(2)(k) ■•• Fw(k)],

где

h >(к)=[ Hj > ], i, j=im,

Используя представление матриц .4(q)[0(k),k], 5/q)[0(k),k] в виде (7) и уравнение (5), получим, что блоки матриц Hq)(k), G(q)(k), Fq)(k) удовлетворяют уравнениям (15)—(23).

Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (28) при ограничениях (2), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием

Y (к + m / к) = [[ (к )б(к) - F (к)] ¿7 (к) + UT (к )H (к )U (к)

при ограничениях (10).

Заключение

Предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления для гибридных взаимосвязанных систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами. Данный подход позволяет в явном виде учесть ограничения на управления. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии включает решение последовательности задач квадратичного программирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Billio M., Pelizzon L. Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach // Journal of Empirical Finance. 2000. No. 7.

P. 531-554.

2. Teel A.R., Subbaram A., Sferlazza A. Stability analysis for stochastic hybrid systems: a survey// Automatica. 2014. V. 50, No. 10.

P. 2435-2456.

3. Mayne D.Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. 2014. V. 50, No. 12. P. 2967-2986.

4. Costa O.L.V., Fragoso M.D., Marques R.P. Discrete-time Markov jump linear systems. New York : Springer, 2005. 286 p.

5. Tonne J., Jilg M., Stursberg O. Constrained Model Predictive Control of High Dimensional Jump Markov Linear Systems // Proc.

American Control Conference. Palmer House Hilton. July 1-3, Chicago, IL, USA, 2015. P. 2993-2998.

6. Dombrovskii V.V., Obyedko, T.Yu. Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its application to the

investment portfolio optimization // Automation and remote control. 2011. V. 72, No. 5. P. 989-1003.

7. Dombrovskii V.V., Obyedko T.Yu., Samorodova M. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic

systems and portfolio optimization under market frictions // Automatica. 2018. V. 87, No. 1. P. 61-68.

8. Patrinos P., Soparasakis P., Sarimveis H., Bemporad A. Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian

switching systems // Automatica. 2014. V. 50, No. 10. P. 2504-2514.

9. Blackmore L., Bektassov A, Ono M., Williams B.C. Robust optimal predictive control of jump Markov linear systems using

particles // Hybrid systems: Comput. and Control / A. Bemporad, A. Bicchi, G. Buttazzo, eds. New York : Springer Verlag, 2007. V. 4416: Lecture Notes in Computer Science. P. 104-117.

10. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием взаимосвязанными гибридными системами с марковскими скачками при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3 (20). С. 5-12.

11. Elliott R.J., Aggoun L., Moore J.B. Hidden Markov models: Estimation and control. Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1995. 382 p.

Поступила в редакцию 5 апреля 2018 г.

Dombrovskii V.V., Pashinskaya T.Yu. (2018) MODEL PREDICTIVE CONTROL OF DISTRIBUTED STOCHASTIC HYBRID SYSTEMS WITH MULTIPLICATIVE NOISES UNDER CONSTRAINTS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 45. pp. 4-12

DOI: 10.17223/19988605/45/1

We consider the following complex Markov jump linear system composed of interconnected subsystems x(q)(k +1) = A(q)[a(q) (k +1), k + 1]x(q) (k) + B(q)[a(q) (k +1), k + 1]u(q) (k) +

->-V Bjq)[a(q)(k +1),k + 1]w(q)(k + 1)u(q)(k),q = 1S, ^ ^

j=1

where xq)(k) is the n(q) - dimensional subsystem state vector, u(q)(k) is the n^ - dimensional subsystem control vector; ^4(q)[a(q)(k),k], Bj(q)[a(q)(k),k], j = 0, ..., n are matrices of appropriate dimensions; w/q)(k) is a sequence of white noises; a(q)(k) denotes a time-invariant Markov chain taking values in a finite set of states {1, 2, Vq}.

These subsystems interact in the following way. The state of Markov chain a(q)(k) of qth subsystem (q = 1, 2, ..., s) at the moment k depends on states of Markov chains a(r)(k - 1) (r = 1, 2, s) at the moment k - 1. Thus, the complex system dynamics depends on a discrete-time vector stochastic process a(k) = [a(1)(k), a(2)(k), ..., a(s)(k)]T taking values in a finite set of states {q, jq}(q = 1, 2, ..., s; jq = 1, 2, ..., Vq). The process a(k) is a simple connected Markov chain with the transition probability matrix

;Ji,-,js = P{*i(k +1 = a*(k + D = «j.Wk) = (k) = «si,>. Z =1 ,

and the initial distribution

Pjl = P{«i(0) = (0) = jj.j = i:^^;..,js = m), Z ph,..,js = 1-

Jl,-,Js

It is assumed that the Markov chain a(k) is observable at the moment k. The following constraints are imposed on each subsystem control effects

«mn (k) < s (k)u(q (k) < u^ (k), q=is, (2)

where S(q)(k) is the matrix of corresponding dimension.

For control of system (1) we synthesize the strategies with a predictive control model according to the following rule. At each step k we minimize the following quadratic objective with receding horizon

J (k + m / k) = M{ZZ (x(q)(k + i))T Rq)(k + i) x(q)(k + i) - R(q)(k + i)x(q\k + i) +

q=1i=1

+(u(q)(k + i -1 / k ))TR(q)(k + i - 1)u(q)(k + i -1/ k)/ x^q)(k), a(k )J: on trajectories of system (1) over the sequence of predictive controls u(q)(k +1 / k), l = 0,m -1, depending on the subsystem state at the current time k under constraints (2); R(q)(k + i) >0, R(.q\k + i) >0, R(q)(k + i) >0 are weigh matrices of appropriate dimensions; m is the prediction horizon; k is the current moment. The synthesis of predictive control strategies is reduced to the sequence of quadratic programming tasks.

Keywords: model predictive control; distributed hybrid systems; vector simple connected Markov chain; multiplicative noises; constraints.

PASHINSKAYA Tatiana Yurievna (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, National Research Tomsk State University,

Russian Federation).

E-mail: tatyana.obedko@mail.ru

DOMBROVSKII Vladimir Valentinovich (Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Russian Federation).

E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru

REFERENCES

1. Billio, M. & Pelizzon, L. (2000) Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach. Journal of Empirical Finance. 7.

pp. 531-554. DOI: 10.1016/S0927-5398(00)00022-0

2. Teel, A.R., Subbaram, A. & Sferlazza, A. (2014) Stability analysis for stochastic hybrid systems: A survey. Automatica. 50(10).

pp. 2435-2456.

3. Mayne, D.Q. (2014) Model predictive control: Recent developments and future promise. Automatica. 50(12). pp. 2967-2986. DOI:

10.1016/j.automatica.2014.10.128

4. Costa, O.L.V., Fragoso, M.D. & Marques, R.P. (2005) Discrete-time Markov jump linear systems. Springer: New York.

5. Tonne, J., Jilg, M. & Stursberg, O. (2015) Constrained Model Predictive Control of High Dimensional Jump Markov Linear Sys-

tems. Proc. American Control Conference. Palmer House Hilton, July 1-3, 2015. Chicago, IL, USA. pp. 2993-2998. DOI: 10.1109/ACC.2015.7171190

6. Dombrovskii, V.V. & Obyedko, T.Yu. (2011) Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its appli-

cation to the investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. 72(5). pp. 989-1003. DOI: 10.1134/S0005117911050079

B.B. ffoMdpoecKUU, T.W. namuncmn

7. Patrinos, P., Soparasakis, P., Sarimveis, H. & Bemporad, A. (2014) Stochastic model predictive control for constrained discrete-

time Markovian switching systems. Automatica. 50(10). pp. 2504-2514. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.08.031

8. Dombrovskii, V.V., Obyedko, T.Yu. & Samorodova, M. (2018) Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear

stochastic systems and portfolio optimization under market frictions. Automatica. 87(1). pp. 61-68. DOI: 10.1016/j.automat-ica.2017.09.018

9. Blackmore, L., Bektassov, A., Ono, M. & Williams, B.C. (2007) Robust optimal predictive control of jump Markov linear systems

using particles. In: Bemporad, A., Bicchi, A. & Buttazzo, G. (eds) Hybrid Systems: Computation and Control. . Vol. 4416. New York: Springer-Verlag. pp. 104-117.

10. Dombrovskii, V.V. & Obyedko, T.Yu. (2012) Model predictive control of interconnected hybrid systems with Markov jumps under constraints. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(20). pp. 5-12. (In Russian).

11. Elliott, R.J., Aggoun, L. & Moore, J.B. (1995) Hidden Markov Models: Estimation and Control. Berlin, Heidelberg, New York: Springer.