Управление с прогнозированием по квадратичному критерию линейными дискретными системами с марковскими скачками при ограничениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 1 (34)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865.5

БО!: 10.17223/19988605/34/1

В.В. Домбровский, М.В. Самородова

УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРОВАНИЕМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ ЛИНЕЙНЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ С МАРКОВСКИМИ СКАЧКАМИ

ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Рассматривается задача управления с прогнозированием по квадратичному критерию для линейных дискретных систем со скачкообразно меняющимися параметрами. Синтезированы стратегии управления при наличии явных ограничений на управляющие воздействия. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования.

Ключевые слова: линейные системы с марковскими скачками; прогнозирующее управление; марковские скачки; ограничения.

Моделями с марковскими скачкообразными параметрами описывается широкий класс реальных систем [1]. В этих моделях предполагается, что смена структуры системы осуществляется в соответствии с эволюцией марковской цепи с конечным пространством состояний. Решению различных задач управления и оценивания для таких систем посвящено значительное количество работ [2-13].

Эффективным подходом к синтезу систем управления с ограничениями, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление со скользящим горизонтом) [14, 15]. Применению данного метода к управлению дискретными системами с марковскими скачками посвящены работы [3, 5, 11-13]. В работах [3, 11-13] рассматривается задача управления по квадратичному критерию дискретными системами при условии, что от состояния марковской цепи зависит только матрица управления системы при «жестких» ограничениях на управляющие переменные.

В настоящей работе рассматривается более общий случай, когда от состояния цепи зависит не только матрица управления, но и матрица динамики системы. Получены уравнения синтеза оптимальных стратегий управления с учетом «жестких» ограничений на управляющие переменные.

1. Постановка задачи

Пусть объект управления описывается уравнением

х(к +1) = Л[а(к + 1)]х(к) + Б[а(к + 1)]и(к), (1)

где х(к) е Я"х - вектор состояния, и(к) е Я"и - вектор управления, а(к) (к = 0,1,2,..,V) - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1,2,..., V}, известной матрицей переходных вероятностей

Р = [р,у] (г,уе{1,2,...,у}), ] = Р{а(к+1)=а]|а(к)=аг}, £] = 1,

]=1

и известным начальным распределением

Рг = р{а(0)=г}( г=1^), £ р, = 1.

4 ' г=1

Матрицы динамики Л[а(к)] и управления Б[а(к)] выбираются в соответствии с состоянием а марковской цепи а(к) из множеств Л = {Л е Я"хХ"х : г = 1, V } и Б = {Б1 е Я"хх"и : г = 1, V } соответственно. Предполагается, что состояние марковской цепи в момент времени к доступно наблюдению.

На управляющие воздействия наложены ограничения:

п^к) < 5(к)и(к) < ытлх(к), (2)

где ¿(к) е К™, ит1П(к),итах(к) е Яр.

На каждом шаге к будем определять закон управления системой (1) при ограничениях (2) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления:

3(к+т/к) = Ехт(к+1)Я1х(к+') + ит(к+1-1/к)Яи(к+1-1/к)/х(к),а(к)=а/}, (3)

где Е{.../...} - оператор условного математического ожидания; т - горизонт прогноза, Я1 > 0, Я > 0 -весовые матрицы соответствующих размерностей.

2. Синтез стратегий прогнозирующего управления

Для решения сформулированной задачи используем методологию управления с прогнозирующей моделью. Данный подход позволяет получить стратегии управления с обратной связью с учетом явных ограничений на управляющие воздействия.

Стратегии управления с прогнозированием определяются по следующему правилу. На каждом шаге к минимизируем функционал (3) по последовательности прогнозирующих управлений и(к/к),..., и(к+т-1/к), зависящих от состояния системы в момент времени к. В качестве управления в момент времени к берем и(к) = и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний х(к) и а(к) = а/, т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге,

процедура повторяется для следующего момента к+1 и т.д.

Дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1,2,...,у} и матрицей переходных вероятностей Р допускает следующее представление в пространстве состояний [9]:

0(к +1) = Р0(к) + и(к +1), (4)

где 0(к) = [5(а(£),1),...,5(а(£),у)]т, 5(а(к)/) - функция Кронекера; {и(к)} - последовательность мартингал-разностей с условными моментами:

Е {и(к+1)/0(к )} = 0, (5)

Е{и(£+1)ит(к+1)/0(к)} = ^ {Р0(к)}- Ра1ав{0(к)}Рт .

С учетом (4) систему (1) можно представить в следующем виде:

х(к +1) = А[0(к + 1)]х(к) + В[0(к + 1)]и(к), (6)

где матрица динамики А[0(к+1)] и матрица управления В[0(к+1)] имеют вид

А[0(к + 1)] = ¿0, (к+1)А', В[0(к + 1)] = ¿0, (к+1)В' , (7)

I=1 ,=1

здесь 0, (к +1) (I = 1,2,..,V) - компоненты вектора 0(к + 1).

Теорема 1. Вектор прогнозирующих управлений и(к) = [ит(к/к),...,ит(к+т- 1/к)]т, минимизирующий критерий (3) при ограничениях вида (2), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

У(к+т/к) = 2хт (к)С(к)и(к)+ит (к)Н (к)и(к),

при ограничениях

итт(к) < 5(к)и(к) < итх(к). (8)

Оптимальное управление равно

и (к ) = [ 1Пи ^ ... \ ] и (к X

где

5(к) = (к),...,5(к + т -1)),

г пТ

Umin (к) = (к),. .um in (к + m -1) _ ,

Т

Umax(k) = |_Mmax(k),...,umax(k + m -1)_ ,

In - единичная матрица размерности nu, 0n - квадратная нулевая матрица размерности nu, И(к) и G(k) - блочные матрицы, блоки которых равны:

Htt(к) =¿(5'' )Т Q(''\к)Б1' + R, t = , (9)

Ииз (к) =1- ; Z (б'' )Т - (A'- )Т Q(''-'s\к)Б'°, s > t, (10)

's =1 't +1 =1'' t =1

Hs t (к) = ИТ (к), s < t, (11)

Gt (к) = ijA'1 J - (A't )' Q('1,..,'t) (к) Б'', t = . (12)

Последовательность матриц Q('')(к) (s,t = 1,m) определяется рекуррентными уравнениями

Q('',.,'s)(к) = @.,...,. (кЩ + ; (A's+1 )ТQ('t,...,<-+1)(к)А'-+1, t = 1,m-2, s > t, (13)

" " 's+1 =1

Q('')(к) = Е,.Р'0(к)^ + ; (а ''+1 )ТQ('',''+1)(к)А''+1, t = 1,m-1, (14)

' h+1 =1

Q('m )(к) = Е^Рш0(к )R1 (15)

c граничными условиями

д 0,,..Л, )(к) = © (к )д , = 1, т-1, (16)

/' ' т

где

,...Л (к) = Е/атв^тв[••Рс^Р^{р^{^(к)}}}Е* 1}Е*2 }Е^, (17)

Е =[0,...,0,1,0,...,0]1ху, I, = ,, = 1,т. (18)

Доказательство. Критерий (3) можно записать следующим образом:

J (к+т/к) = Е {хт (к +1) Я1х(к +1) + ит (к / к) Яи(к / к) +

+Е {хт (к+2) Р1х(к+2) + ит (к +1/ к) Яи(к +1/ к) +... + Е {хт (к + т) Я1х(к + т) +

+и т (к + т -1/ к) Яи(к + т -1/ к)/х(к + т -1), 0(к + т - 1)}.../ х(к+1),0(к+1)}/х(к ),0(к)}. Введем обозначение

Jk= Е {хт (к + 5 +1) Е1х(к + 5 +1) + ит (к + 5 / к) Яи(к + 5 / к) + Е {хт (к+5+2) Р1х(к+5+2)+

+и т (к + 5 +1/ к )Ри(к + 5 +1/ к) +... + Е {хт (к+тЩх(к+т) + и т (к + т -1/ к) х

хЯи(к + т -1/ к)/х(к + т -1), 0(к + т -1)} / х(к+5+1),0(к+5+1)}/х(к+я),0(к+5)}. Очевидно, что

Jk+S = Е {хт (к+5+1)Р1х(к+5+1) +и т (к + 5 / к)Яи (к + 5 / к) + Jk+s+1/х(к + 5), 0(к + 5)} (19)

и

J (к+ml к) = Jk. (20)

Рассмотрим

Jk+m-1 = Е {хТ (к+m) R1x(k+m)+uT (к + m -1/ к )Ru^ + m -1/ к)/х(к + m -1), 0(к + m -1)|. (21)

Выражая х(к +т) через х(к +т-1) с учетом (6) и (7), будем иметь

х(к + т) = I 0, (к + т)[А'тх(к + т -1) + В'ти(к + т -1)] . (22)

'т =1 т [ ]

Подставляя (22) в (21) и взяв условное математическое ожидание с учетом (4) и (5), получим

3к+т-1 = хт (к + т -1) I (А'т )т Ет Р0(к + т -1) х т=1У ; т

хЯ1 А'тх(к + т -1) + 2хт(к + т -1) I (А'т ) ЕтР0(к + т - ЩВти(к + т -1) +

1 т _1

+ит (к + т -1) | I (Вт Тт ЕтР0(к + т - 1)Я1Вт + Я|и (к + т -1).

Предположим далее, что для некоторого 9 верно

3к+т_9 = хт(к + т-q) I (A'm-q+1 )т(('т-9+1)(к + т-q)A'm-9+1х(к + т-q) +

' т-q+1 ~1

+2хт (к + т - q) I I ••• I (А'т-9+1 )т ••• (А'' )т(('т-9+1, . ,г')(к + т - 9)В'и(к + ' -1/ к) +

'=т-9+1''=1 т-?+1=Л '

I (в'' У (('' )(к + т - q)В'' + Я Цк +' -1/ к) + '=1

т-1 т Т V V / . \т / . \т / . \т . ..

+2 I I и т (к +' -1/к) I • I (в '' ) (А ''+1 ) • (А' ) (('' )(к + т - 9)В''и (к + 5 -1/к), (23)

т

+ I ит (к +' -1/к)

'=m-q+1

последовательность матриц (('')(к + т - q) (5, ' = т -q+1,т) определяется рекуррентными уравнениями

(('',...,'s)(к + т-q) = ®'',...Л(к + т-9)я1 + I (а''+1 )(('', ,'5+1)(к+т-9)А''+1 ,' = т-q+1,т-2,5 > ', (24)

ч+1 =1

(('')(к + т-q) = ЕцР9-т+'0(к + т-9)Я1 + I (А''+1 )(('',''+1)(к+т-9)А''+1 , (25)

'»+1=1

(('т) (к + т - 9) = ЕтР90(к + т - 9) Я1, (26)

с граничными условиями:

(''••'т)(к + т - 9) = ©'■' ,...,'■ (к + т - 9)Я1, ' = т - 9+1,т-1, (27)

где

®'(,...' (к + т - 9) = Е/^ав {р^^ • -Ра^Ракв {ра1ав{р9-т+' 0(к+т-9)}

х Егт }•■■ Ет }Егт . (28)

Покажем, что данная формула верна и для 9+ 1. Действительно, из (19) следует, что

3к+т-(9+1) = Е {хт (к + т - 9)Я1х(к + т - 9) +

+и т (к+т - (9+1)/ к) Яи( к+т - (9+1)/к)+3к+т-9/х(к+т - (9+1)), 0(к+т - (9+1))}. (29) Подставим в (29)

вместо 3к+т-9 его выражение через (23)-(28), вместо х(к+т- 9) - его выражение

через х(к+т- (9+ 1)), используя (6) и (7); вместо 0(к+т- 9) - его выражение через 0(к+т- (9+ 1)), используя (4); возьмем условное математическое ожидание и, преобразовав выражение, получим, что

3к+т-(9+1) =хт(к + т-(9 +1)) ' I (а'"-^1^ )т х

'т-( 9+1)+1=1

х ((т- (9+1)+1)(к + т - (9 +1)) Ат-(9+1)+1 х(к + т - (д +1)) +

;••• I (А'т-( д+1)+1 )Т • (А'' )т

1 'т-( д+1)+1=1

х ( ((9+1)+1....."'т (к + т - (9 +1)) В''и(к +' -1/ к) +

+2х1 (к + т-(д +1)) I I ••• I |А'т-(д+1)+1

' = т-( 9+1)+1'' =1 'т-(д+1)+1

+ I и1 (к +' -1/к) '=т-( 9+1)+1

I (в'' )т (('')(к + т - (д + 1))В'' +

Я

и(к +' -1/ к) +

т -1 т

+ 2 I I г

'=1 '='+1

(к +' -1/к) I •■■ I (В'') (А ''+1) •■■ (А ) (("'-'')(к + т - (д + 1))В' и(к + 5 -1/к), (30)

последовательность матриц (('',."Л)(к + т-(д +1)) (',' = т-(д+1)+1,т) определяется рекуррентными уравнениями

фг.4.)(к + т-(д +1)) = ©. дк + т-(д + 1))Я1 + I А1 )(^'-'^(к + т-(д + 1))А'-+1 , (31)

5 ''+1=1 ^ '

' = т - (д+1)+1, т-2,5 >',

(('')(к + т-(д +1)) = Е'Р(д+1)-т+'0(к + т-(д + 1))Я1 + I (''+1 )(('',''+1)(к + т-(д +1))А''+1 , (32)

' +1 1

' = т - (д+1)+1,т-1, (('т )(к + т - (д +1)) = Е" Рд+10(к + т - (д + 1))Я1

с граничными условиями

(('', ,'т)(к + т-(д +1)) = ©,. ..." (к + т-(д + 1))Я1, ' = т-(д+1)+1,т-1,

(33)

(34)

где

®',,...,,, (к + т - (д +1)) = Е'/^ав {ршЦ-Р^^^^^^(д+1)-т+' 0(к+т - (д+1))}х

хЕгт}Ет }Е] }• Егт }Е] . (35)

'' ) ''+1 ) ''+ 2) Ь-2 ) '5-1 4 '

Формулы (30)-(35) совпадают с (23)-(28), если в (23)-(28) д заменить на д+ 1, а значит, согласно принципу математической индукции, формулы (23)-(28) верны для всех д = 1, т. Из (23)-(28) и (20) следует, что

3(к + т / к) = хт (к) I (А11 )т (( '1)(к)А11 х(к) + '1 =1У ' т V V / \ т / \ т

+2хт(к)II... I (А'1) ... (А"') (('1,...,'<)(к)В"'и(к + '-1/к) +

'=1 и =1 ', =1

+ 2 ит (к +' -1/к)

'=1

!(в '' )т (( '' )(к) В '' и=1у '

Я

и (к +' -1/к) +

т-1 тТ V

+2 I I и т (к +' -1/к) I ...I (В'') (А ''+1) ...(А ) (('' )(к )В'"и (к + 5 -1/к)

'=1 5='+1 , , _Л /V > \ >

(36)

последовательность матриц (('',."Л)(к) (5,' = 1,т) определяется рекуррентными уравнениями (13)-(18). Выражение (36) можно записать в матричной форме:

3(к + т / к) = хт (к) I (Аг1 )т (( '1)(к)Аг1 х(к) + '1=1У '

+2 xT (k )G(k )U (k) + UT (k) H (k )U (k), (37)

где G(k) и H(k) определяются соотношениями (9)-(18).

Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (37) при ограничениях (8), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (3) при ограничениях (2).

Заключение

В данной работе предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по квадратичному критерию для линейных дискретных систем со скачкообразно меняющимися параметрами в матрицах динамики и управления. Данный подход позволяет в явном виде учесть ограничения на управления. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии включает решение последовательности задач квадратичного программирования. Синтезированы стратегии управления с учетом явных ограничений на управляющие воздействия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М. : Физматлит, 1994.

2. Пакшин П.В., Ретинский Д.М. Робастная стабилизация систем случайной структуры с переключаемой статической обратной

связью по выходу // Автоматика и телемеханика. 2005. № 7. C. 135-147.

3. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях и

применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2011. № 5. С. 96-112.

4. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными пара-

метрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2000. № 271. С. 171-175.

5. Blackmore L., Bektassov A., Ono M., Williams B.C. Robust optimal predictive control of jump Markov linear systems using particles

// Lecture Notes in Computer Science. 2007. V. 4416. P. 104-117.

6. Costa O.L.V., Okimura R.T. Discrete-time mean-variance optimal control of linear systems with Markovian jumps and multiplicative

noise // International Journal of Control. 2009. V. 82, No. 2. P. 256-267.

7. Costa O.L.V., Oliveira A. Optimal mean-variance control for discrete-time linear systems with Markovian jumps and multiplicative

noises // Automatica. 2012. V. 48, No. 2. P. 304-315.

8. Dragan V., Morozan T. The Linear Quadratic Optimization Problems for a Class of Linear Stochastic Systems With Multiplicative

White Noise and Markovian Jumping // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V. 49, No. 5. P. 665-675.

9. Elliott R.J., Aggoun L., Moore J.B. Hidden Markov Models: Estimation and Control. Berlin : Springer-Verlag, 1995.

10. Li X., Zhou X.Y. Indefinite stochastic LQ control with Markovian jumps in a finite time horizon // Communications in Information and Systems. 2002. No. 2. P. 265-282.

11. Домбровский В. В., Объедко Т. Ю. Управление дискретными динамическими системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях // Вестник Томского государственного университета: управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 3. С. 5-12.

12. Домбровский В. В., Объедко Т. Ю. Управление с прогнозированием взаимосвязанными гибридными системами с марковскими скачками при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3. С. 5-12.

13. Домбровский В. В., Самородова М. В. Управление с прогнозированием нелинейными стохастическими системами с марковскими скачками при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 3. С. 14-22.

14. Rawlings J. Tutorial: Model Predictive Control Technology // Proc. Amer. Control Conf. San Diego. California. June 1999. P. 662676.

15. Dombrovskii V., Obyedko T. Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization // Automatica. 2015. No. 54. P. 325-331.

Домбровский Владимир Валентинович, д-р техн. наук, профессор. E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru Самородова Мария Владимировна. E-mail: samorodova21@gmail.com Томский государственный университет

Поступила в редакцию 15 ноября 2015 г.

Dombrovskii Vladimir V., SamorodovaMariya V. (Tomsk State University, Russian Federation).

Model predictive control with quadratic criterion for jump Markov discrete linear systems under constraits

Keywords: Markov linear systems; model predictive control; constraints.

DOI: 10.17223/19988605/34/1

Let the control object be described by the equation

x(k +1) = A[a(k + 1)]x(k) + B[a(k + 1)]u(k),

where x(k) e Rnx is the vector of state, u(k) e R"u is the vector of control, a(k) (k = 0,1,2...) denotes a time-invariant Markov chain taking values in a finite set of observable states {1,2,.,v} with the known transition probability matrix P = |Pi j J (i, je{1,2,...,vj) ,

Pji = P {a(k + 1) =a j |a(k) =ai j, 2 Pji = 1, and the initial distribution pt = P {a(0) =i} (i=1,2,...,v), £ pi = 1.

j=1 i =1

The state a,- of the Markov chain a(k) selects the system matrices A[a(k)] and B[a(k)] from the sets A={

A e R"x X"x : i = 1,v } h B={ B' e R"x xn" : i = 1,v } respectively. It is assumed that the state of the Markov chain is observable at the time instant k.

On control variables the following constraints are imposed:

Umm(k) < 5(k)u(k) < Umax(k), (2)

where 5(k) e R pxn- , Umm (k), Umax (k) e R p .

To control system (1), we synthesize model predictive control strategies. At each step k we minimize the quadratic criterion with a receding horizon

J(k+m/k) = E jl, xT(k + i)Rx(k+i) + uT(k + i-1/k)Ru(k + i-1/k)/x(k),a(k) = a} (3)

on trajectories of system (1) over the sequence of predictive controls u(k/k),...,u(k + m - 1/k), which depend on system's state and on the state of Markov chain at the moment k under constraints (2), where m is a prediction horizon, R1 > 0, R > 0 are weight matrices of corresponding dimensions, k is a current moment. The synthesis of predictive control strategies is reduced to the sequence of quadratic programming tasks.

REFERENCES

1. Pakshin, P.V. (1994) Diskretnye sistemy so sluchaynymi parametrami i strukturoy [Discrete-systems with stochastic parameters and

structure]. Moscow: Fizmatlit.

2. Pakshin, P.V. & Retinskiy, D.M. (2005) Robust Stabilization of Random-Structure Systems via Switchable Static Output Feedback.

Automation and Remote Control. 66(7). pp. 1153-1161. DOI: 10.1007/s10513-005-0155-5

3. Dombrovskii, V.V. & Obyedko, T.Yu. (2011) Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its applica-

tion to the investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. 72(5). pp. 989-1003. DOI: 10.1134/S0005117911050079

4. Smagin, V.I. & Popolzukhina, E.V. (2000) The synthesis of tracking control systems for objects with random switching parameters

and multiplicative noises. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 271. pp. 171-175. (In Russian).

5. Blackmore, L., Bektassov, A., Ono, M. & Williams, B.C. (2007) Robust optimal predictive control of jump Markov linear systems

using particles. Lecture Notes in Computer Science. 4416. pp. 104-117. DOI: 10.1007/978-3-540-71493-4_11

6. Costa, O.L.V. & Okimura, R.T. (2009) Discrete-time mean-variance optimal control of linear systems with Markovian jumps and

multiplicative noise. International Journal of Control. 82(2). pp. 256-267. DOI: 10.1080/00207170802050825

7. Costa, O.L.V. & Oliveira, A. (2012) Optimal mean-variance control for discrete-time linear systems with Markovian jumps and mul-

tiplicative noises. Automatica. 48(2). pp. 304-315. DOI: 10.1016/j.automatica.2011.11.009

8. Dragan, V. & Morozan, T. (2004) The Linear Quadratic Optimization Problems for a Class of Linear Stochastic Systems With Multi-

plicative White Noise and Markovian Jumping. IEEE Transactions on Automatic Control. 49(5). pp. 665-675. DOI: 10.1109/TAC.2004.82671

9. Elliott, R.J., Aggoun, L. & Moore, J.B. (1995) Hidden Markov Models: Estimation and Control. Berlin: Springer-Verlag.

10. Li, X. & Zhou, X.Y. (2002) Indefinite stochastic LQ control with Markovian jumps in a finite time horizon. Communications in Information and Systems. 2. pp. 265-282. DOI: 10.4310/CIS.2002.v2.n3.a4

11. Dombrovskii, V.V. & Obyedko, T.Yu. (2011) Predictive control of discrete dynamic systems with stochastic dependent parameters under constraints. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta: upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3. pp. 5-12. (In Russian).

12. Dombrovskii, V.V. & Obyedko, T.Yu. (2012) Predictive control of interconnected hybrid systems with Markovian jumps under constraints. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta: upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3. pp. 5-12. (In Russian).

13. Dombrovskii, V.V. & Samorodova, M.V. (2015) Predictive control of nonlinear stochastic systems with Markovian jumps under constraints. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta: upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(32). pp. 14-22. (In Russian). DOI: 10.17223/19988605/32/2

14. Rawlings, J. (1999) Tutorial: Model Predictive Control Technology. Proc. Amer. Control Conf. San Diego. California. June. pp. 662-676.

15. Dombrovskii, V. & Obyedko, T. (2015) Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization. Automatica. 54. pp. 325-331. DOI: 10.1016/j.automatica.2015.02.021