Оптимальные стратегии прогнозирующего управления системами со случайными параметрами, описываемыми многомерной регрессионной моделью с марковским переключением режимов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 Управление, вычислительная техника и информатика № 48

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.2

DOI: 10.17223/19988605/48/1

В.В. Домбровский, Т.Ю. Пашинская

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ МНОГОМЕРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛЬЮ С МАРКОВСКИМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ РЕЖИМОВ

Рассматривается класс дискретных стохастических систем с параметрами, эволюция которых описывается уравнением многомерной регрессии с марковскими скачками. Динамика экзогенных факторов описывается векторной авторегрессионной моделью с марковским переключением режимов порядка p (MS-VAR(p) модель). Синтезированы оптимальные стратегии прогнозирующего управления с учетом явных ограничений на управляющие переменные по обобщенному критерию, представляющему собой линейную комбинацию; а) ожидаемых значений квадратичных форм по состоянию и управлению; b) квадратичной формы ожидаемых значений состояний системы; с) линейной части - ожидаемого значения состояния системы. Ключевые слова: стохастические системы; марковские скачки; многомерная модель регрессии; прогнозирующее управление; ограничения.

Моделями со случайными параметрами описывается широкий класс реальных динамических систем [1]. Одной из важных областей применения является финансовая инженерия, где такие модели используются для описания эволюции инвестиционного портфеля (см.: [2] и данный там обзор). Эффективным подходом к синтезу стратегий управления такими системами при ограничениях на состояния и / или управления является метод управления с прогнозированием, (прогнозирующее управление, управление с прогнозирующей моделью) [3, 4].

Прогнозирующему управлению дискретными системами, параметры которых изменяются в соответствии с эволюцией марковской цепи, посвящены работы [5-13].

В настоящей работе рассматривается класс дискретных стохастических систем с параметрами, эволюция которых описывается уравнением многомерной регрессии с марковскими скачками. Динамика экзогенных факторов описывается векторной авторегрессионной моделью с марковским переключением режимов порядка p (MS-VAR(p) модель [14]). Данный класс систем ранее в литературе не рассматривался. Синтезированы оптимальные стратегии прогнозирующего управления с учетом явных ограничений на управляющие переменные по обобщенному критерию, представляющему собой линейную комбинацию: а) ожидаемых значений квадратичных форм по состоянию и управлению; b) квадратичной формы ожидаемых значений состояний системы; с) линейной части — ожидаемого значения состояния системы. Изменяя весовые матрицы в обобщенном критерии, можно получать различные критерии управления: квадратичный критерий; критерий «mean-variance».

1. Постановка задачи

Пусть объект управления описывается уравнениями:

|(к +1) = р[9(£ +1)] У (к) + X [9(к +1)] ю(£ +1), У (к + 1) = а[9(к + 1)]У(к) + а[9(£ +1)] Ш(к +1),

а[9(к)] = £ 9г (к)а(|), Х[9(к)] = £ 9г (к)Х(1),

I=1 I=1

Р[9(к)] = £ 9г.(к)Р(г), а[9(к)] = £ 9г.(к)а

1=1 1=1

(2)

(3)

(4)

(|)

где х(к)еЖп' - вектор состояния, и (к) е М"" - вектор управления. г|(/:)е М"1 - вектор случайных па-

раметров, У (к) = ./(к), ут(к -1),..., у1 (к — р +1)

пурх1

у(к)е М\ Щк)= м?Т(к),0,0,...,0

Пурх1 '

и^А-) е К"-' , Г')( к) е М"л - векторы белых шумов с нулевым средним и матрицами ковариаций М {Цк)^т (к)} = 1Пу, М |ю(к)шт (к)} = / ; /^, /^ - единичные матрицы размерностей Пу, «л соответ-

ственно;

Ае.

Ве]

а(|) =

р( |)

а(|) а« ... а р—1 а« 1 ар

/1у 0 ... 0 0

0 /пу ... 0 0

0 0

0

ПуРХПуР

су = с1ш§|ф ,0,...,0|, ф^еЕ' 0г(£+1) (/ = 1,у) - компоненты вектора 0(£+1),

9(к) = [5(т(к),1),...,5(т(к);г)]'Г, 5(т(к),/') - функция Кронекера; {т(к); к = 0, 1, 2, ...} - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1, 2, ... , V}, известной матрицей переходных вероятностей Р = [Ру] и известным начальным распределением. Последовательности ^(к), ю(к) и 9(к) независимы. Матрица 5[п(к)] (/ = 1,у) зависит от п(к) линейно. Предполагается, что состояние марковской цепи в момент времени к доступно наблюдению. Уравнение (2) представляет собой уравнение множественной регрессии с экзогенными факторами Дк) и параметрами, зависящими от состояния цепи Маркова. Динамика экзогенных факторов Дк) описывается векторной авторегрессионной моделью с переключающимися режимами порядка р М8-УЛЯ(р), представленной в виде процесса первого порядка вида (3) [14].

Вектор 9(к) допускает следующее представление в пространстве состояний [15]:

9( к +1) = Р9(к) + о(к +1), (5)

где {«(к)} - последовательность мартингальных приращений. На управляющие воздействия наложены ограничения:

игшп(к)<5{к)и{к)<игшх{к\ (6)

где ЭД е , и^к), ишях(к) е М*.

Для управления системой (1)-(4) используем методологию управления с прогнозирующей моделью. На каждом шаге к будем определять закон управления системой (1)-(4) при ограничениях (6) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления:

т

3 (к + т / к) = £ М {х1 (к + Щ(к + 1)х(к +1) / х(к), |(к), У (к), 9(к)} -

1=1

(7)

—£М{х (к +1)/ х(к),|(к),У(к),9(к)}Д2(к + 1)М{х(к +1) /х(к),|(к),У(к),9(к)} -

1=1

т

т

m

- Z R3(k+i)M {x(k+i)/ x(k), v(k),Y (k), Q(k)} +

t=i

m-1 „

+ Е M[uT (к + i / к)R(k + i)u(к + i / к)/ x(k),ц(к), Y(к),Q(k)},

i=0

по последовательности прогнозирующих управлений U(k) = [uT(k/k),...,uT(k+m-1/k)]T, зависящих от состояния системы в момент времени k, m - горизонт прогноза, R\(k + i) > 0, R2(k + i) > 0, R(k + i — 1) > 0 -весовые матрицы соответствующих размерностей, R3(k + i) - весовой вектор соответствующей размерности.

В качестве управления в момент времени k берем u(k) = u(k/k). Тем самым получаем управление u(k) как функцию состояний 0(k), x(k), n(k) и Y(k), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление u(k + 1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента k + 1 и т.д.

Изменяя весовые матрицы R1(k + i), R2(k + i), R3(k + i) в выражении (7), можно получать различные критерии управления системой (1)-(4).

Задача 2.1. Полагая R2(k + i) = 0, имеем задачу прогнозирующего управления по квадратичному критерию:

m ,

J (к + m / к) = Е M | x (к + i)R1 (к + i) х(к + i) -

i=1

-R3(к + i)х(к + i) + uT(к + i -1/к)R(k + i -\)u(k + i -1/к)/ x(k),v^(k),Y(к),Q(k)}.

Данный критерий представляет собой линейную комбинацию квадратичной и линейной частей. При R3(k + i) = 0 имеем классический квадратичный критерий. Задача 2.2. Пусть скалярный выход системы (1)-(4)

z(k) = c(k)x(k),

где c(k) - вектор соответствующей размерности. Полагая

R(k+i) = R2(k+i) = Pj(k+i)cT(k + i)c(k+i), R3(к + i) = p2(к + i)c(k + i), i = m, где p1(k + i) > 0, p2(k + i) > 0 - скалярные величины, имеем задачу управления по критерию «mean-variance»:

J (к + m / к) = Е Pi (k + i)M {( z(k + i) - M {z (к + i) / x(k), v(k ),Y (k), Q(k )})2 / x(k), v(k ),Y (k), Q(k)

i=i '

m

-ЕP2(k + i)M {z(k + i) / x(k),v(k),Y(k),9(k)} +

i=1

{uT(k + i / к)R(k + i)u(k + i / к)/ x(k), v(k),Y(k),Q(k)}.

i=0

Весовые коэффициенты p^k + i), p2(k + i) характеризуют склонность к риску (risk-aversion) и задают соотношение между ожидаемым значением и вариацией выхода системы в момент времени k + i.

2. Синтез стратегий прогнозирующего управления

Рассмотрим следующие выражения:

J(1) (к + m / к) = M {Zx1 (к + i)R (к + i) x(k + i) - R3(k + i)x(k + i) +

i=1

+uT (k+i -1/ k)R(k+i - 1)u(k+i -1/ к)/ x(k), v(k), Y (k), 0(k)}, (8)

J (2)(k + m / к) = ZM {xT(k + i) / x(k), v(k), Y (k), Q(k)} R2 (k + i)M {x(k + i)/ x(k), v(k), Y (k), Q(k)}. (9) Очевидно, что

J (k + m / k) = J(l)(k + m / k) - J(2)(k + m / k). (10)

}

Лемма 1. Выражение (8) для ^(к + т/к) может быть представлено в виде

¿■1)(к + т / к) = С1 [ х(к), к] + [2хТ (к)От (к) - ^ (к )]и(к) + ит (к)Н(1) (к)и(к), (11)

где

С\х(к), к] = X (к) Ат01(т—1)Ах(к)- 02(т- 1)Ах(к), (12)

блоки матриц Н {1)(к), 0{1\к), ^ (к) удовлетворяют уравнениям:

н£\к)=я(к+' -1) +

V V

+ 1... I Бт[Р('')а(''-1)...а('1У(кЩ(т-0®(,1' ''>\к)Б[Р(')а(''~1). . .а('У(к)] -'1=1 ',=1

+ ]С М Б [А,0')(а(к + ')\и (т - ')®('''(к)Б\Л.('''&(к + ')|> +

(13)

IМ \бт [А,( '')(а(к +'Щ (т -')®{''\к)Б[Х(''Vк +')]} +

I I ...IМ{Бт[р('')а(''-1)...а{1]+1)а{1])ГТ(к + ^^(т-')®0')(к)Б[Р°')а°'-1)...а('у++ )ГТ(к + у)]}, , =1'. =1 =1 >

Н(Р(к) = I ... I Бт[р(''^а(''-1\..а('^У(к)](Ат )/-'О(т - /)®{'1,.,'/)(к)Б[р('/)а(^/-1)...а(1У(к)] + (14)

7 '1 =1 '/=1 V !

+ Е I... I М|Бт[р('')а(''-1)...а(',+1)а('у)Ж(к + ,)](Ат/ ' х ,=1', =1 / =1 { У '

хО,(т -/)®{(],..,'/)(к)Б[^)а{,/-1\..а{,,+1)ъ{'У(к + у)]}, / >',

о

КО = 0,

,=1

7 (к) = {Н$>(к)) , / <', (15)

нФт-

0(1)(к) = (А')Т 01(т -') I... -I Б[Р('')а(''-1)...а('1)У(k)®{h,..,'')(к), (16)

и=1 ',=1

•1=1 '' -V V

12(™ А

Рг(к) = Я2(т -') I... I Б[Р('')а(''-1)...а('1)У(к)®'1-'')(к). (17)

'1=1 ''=1

Последовательности матриц Ql(t), Q2(t) (£ = 1,т), ®('\к), ®(''\к) (',/ = 1,т, / >') определяются уравнениями:

£!(') = я1(к + т-')+АТд1('-1)А, ' = \т, 01(0) = ^(к+т), (18)

д2(') = Щ(к + т-') + 02('-1)А, ' = \т, 02(0) = Щ(к+т), (19)

,...,1/ \к) = Р. Р , ...Р ,.0. (к +' / к), ' = 1, т -1, / >', (20)

'/ ¿/-1 '/-1,'/-2 ''+1,Ч 'Л ' ' ■> ' у '

®('')(к) = 01 (к +'/к), ' = 1т, и = IV, (21)

где 0 ^ (к +' / к) - компонента вектора 0(к +' / к) = Р0{к).

Доказательство. Выражая последовательно все х(к + О через х(к) из (1), ц(к + /) чрез ц(к) из (2), У(к + ¡) через 7(к) из (3), 9(к + ¡) через 9(к) из (5) и подставляя результат в (8), получим

^ (к + т / к) = хт (к) Ат 0(т -1) Ах(к) + (22)

т ^ / ,\Т V V / ч/ ч ^ч

л*\ V йГ1Ч(''>п(''-1> п('1>л

+2хТ(к)I (А') 0(т-') 1... 1 Б[Р('')а(''-1)...а('1)У(k)®'1,..,'')(к) + +1иТ(к +'-1/к) I... I БТ[Р( '')а(''- 1)...а(Ч)У(кЩ(т -'')(к)Б[Р('')а(''- 1)...а(ч)У(к)]и(к +'-1/к) +

'1 =1 ',=1

+£ ит (к + ' — 1 / к) £ М |вт [А(|' )ю(к + (т — ' )©(г') (к) В[А('' )ю(к + ' )]}и(к + ' — 1 / к) + '=1 ' =1 1 '

+ £ит (к +' — 1/к)£ £ ... £ М{вт [р(г')а(1'—1) ...а{']+1)а{']У(к + ])] х '=1 ] =11] =1 I' =1 1

х& (т —')©(']'..''' )(к) В[р(г' )а(|'^..а^+1)а(г'] У (к + ])]}и(к +' — 1 / к) +

т—1 т V V т ,...,. .. / ч / —'

+2 £ £ ит(к +' — 1/к) £ ... £ Вт[р(г')а(г'—1)...а(г1)У(к)](Ат) х

г=1 f='+1 ^=1 г/=1 ^ !

ха (т — f )©(Il•..'If )(к) В[р(^ —1)...а(|1)У (к )]и (к + f — 1 / к) + +2 "£ £ ит(к +' — 1/к)£ £ ... £ М|вт[р(г')а(|'—1)...а(1]+1)а(1]У(к + ])](Ат':

г=1 f='+l ]=11]=1 =1

хб1(т — f)©°] )(к) В[р0/ У^.а^а0-' У (к + ])]}и(к + f — 1/к) —

т V V /ч/ ч /- ч

—02 (т — 1)Ах(к) — £ б2 (т —') £ ... £ В[р('')а(|'—1).. .а(|1 )У (к)]©(г1,. ,г') (к)и(к +' — 1 / к) +

г=1 11=1 I' =1

т

+£ ит(к +' — 1/к Щк +' — 1)и(к +' — 1/к),

г=1

где £ (•) = 0, последовательности матриц Ql(t), Q2(t) (' = 0,т — 1) определяются уравнениями (18)-

]=1

(19), матрицы ®(г')(к), ®(г')(к) (^' = 1,т, f >')определяются уравнениями (20)-(21).

Выражение (22) можно записать в матричной форме (11), где матрицы G(1)l(k), Н(1)(к), ^(к) имеют вид (13)-(17), С(1)[х(к),к] имеет вид (12). Лемма доказана.

Лемма 2. Выражение (9) для /(2)(к + т / к) может быть представлено в виде:

3(2) (к + т / к) = С(2) [х(к), к] + 2хт (к)0(2) (к)и(к) + ит (к)Н(2) (к )и(к), (23)

где

С(2)[х(к), к] = хт(к)¥тА(к + 1)¥х(к), (24)

в(2) (к) = ¥тА(к + 1)Ф(к), (25)

Н(2) (к) = Фт (к) А(к + 1)Ф(к), (26)

А(к + 1) = diag{R2(k +1),..., Щ (к + т)}, блоки матриц Ф(к), ¥ имеют вид:

Ф'(к) = А^'' £ ... £ В[р°'У'—1^..а^Ук)]©0^ ,г')(к), ', f = 1т, f >', (27)

'1 =1 '=1

Ф' (к) = 0, f <', (28)

¥' = А', ' = 1т, (29)

где ©^ .,г')(к) определяется выражениями (20)-(21).

Доказательство. Используя уравнения (1)-(4), получим

М{х(к +') / х(к), |(к), У (к), 9(к)} = А'х(к) + (30)

+ £ А'—] £... £ В[р(1]У'—1)...а(г1)У(к)]©(|"...,|])(к)и(к + ] —1 / к), ' = 1^,

]=1 '1=1 О=1

где матрицы ©(г1,".,г])(к) (] = 1,т) определяются уравнениями (20)-(21).

0

Введем вектор

" М {х(к +1) / х(к), |(к), У (к), 9(к)} X (к +1) = ...

М {х(к + т) / х(к), |(к), У (к), 9(к)}

С учетом (30) динамика вектора Х(к + 1) может быть записана в матричном виде:

X (к + 1) = ¥х(к) + Ф(к )и (к), (31)

где матрицы Ф(к), ¥ имеют вид (27)-(29).

Выражение (9) для Ж2)(к + т/к) может быть записано в виде:

3(2) (к + т / к) = Хт (к + 1)А(к +1) Х(к +1), (32)

где А(к +1) = diag Щ (к +1),..., Щ (к + т)}. Подставляя (31) в (32), получим

3(2)(к + т / к) = хт (к)¥т А(к + 1)¥х(к) + +2 хт (к )¥т А(к + 1)Ф(к)и (к) + и т (к)Фт (к )А(к + 1)Ф(к)и (к). Выражение (33) можно записать в виде (23), где матрицы С(2)[х(к),к], G(2)(k), Н(2)(к) имеют вид (24)-(26) соответственно. Лемма доказана.

На основе лемм 1 и 2 можно показать, что задача прогнозирующего управления системой (1)-(4) по критерию (7) при ограничениях (6) сводится к задаче квадратичного программирования.

Теорема. Вектор прогнозирующих управлений и(к) системой (1)-(4), минимизирующий критерий (7) при ограничениях (6), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида:

7 (к+т / к) = [2хт (к)а(к)—Г(к)]и(к) + ит (к )Н (к )и(к), (34)

при ограничениях

ишп(к) < ЗДи(к) < итах(к), (35)

где

¿(к) = diag{S(k),..., Б(к + т — 1)}, итп(к) = [и^п(к),...,и^п(к)]т, ит^к) = [ит^к),..., итах(к)]т,

в(к) = (к) — С(2) (к), Н (к) = Н(1) (к) — Н(2) (к). Оптимальное управление со скользящим горизонтом т в каждый момент времени к равно

и(к) = [/пи 0пи ... 0пи ]и(к), (36)

где - единичная матрица размерности Пи, 0^ - квадратная нулевая матрица размерности Пи.

Доказательство. Из (10), (11) и (23) следует, что критерий (7) может быть представлен в виде:

3 (к + т / к) = С(1) [х(к), к] — С(2) [х(к), к] + (37)

+2хт (к) [а(1) (к) — в(2) (к )1 и (к) — Г (к )и (к) + ит (к) [н (1) (к) — Н(2) (к )1 и (к).

Очевидно, что задача минимизации критерия (37) эквивалентна задаче минимизации критерия (34), где удалены слагаемые, не зависящие от управлений. Таким образом, получаем, что задача минимизации критерия (7) по последовательности прогнозирующих управлений и(к) эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (34). Теорема доказана.

Заключение

В данной работе предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по обобщенному критерию для дискретных стохастических систем, динамика которых зависит от случайного процесса, описываемого уравнением многомерной регрессии с экзогенными факторами и парамет-

рами, зависящими от состояния цепи Маркова. Динамика экзогенных факторов описывается MS-VAR(p) моделью. Изменяя весовые матрицы в обобщенном критерии, можно получать различные критерии управления: квадратичный критерий, критерий «mean-variance». Синтезированы оптимальные стратегии управления с учетом явных ограничений на управляющие воздействия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Costa O.L.V., Fragoso M.D., Marques R.P. Discrete-time Markov jump linear systems. New York : Springer, 2005. 286 p.

2. Dombrovskii V., Obedko T. Feedback predictive control strategies for investment in the financial market with serially correlated

returns subject to constraints and trading costs // Optimal control applications and methods. 2017. V. 38, No. 6. P. 908-921.

3. Mayne D.Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. 2014. V. 50, No. 12. P. 2967-2986.

4. Farina M., Giulioni L., Scattolini R. Stochastic model predictive control with chance constraints : a review // Journal of Process

Control. 2016. V. 44, No. 8. P. 53-67.

5. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях

и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2011. № 5. С. 96-112.

6. Henandez-Medjias M.A., Sala A., Querol A., Arino C. Multiple-Horizon predictive control for Markov/switched linear systems //

IFAC-PapersOnLine. 2015. V. 48 (23). P. 230-235.

7. Tonne J., Jilg M., Stursberg O. Constrained Model Predictive Control of High Dimensional Jump Markov Linear Systems //

American Control Conference. Palmer House Hilton. July 1-3, Chicago, IL. 2015. P. 2993-2998.

8. Chitraganti S., Aberkane S., Aubrun C., Valencia-Palomo G., Dragan V. On control of discrete-time state-dependent jump linear

systems with probabilistic constraints: a receding horizon approach // Systems & Control Letters. 2014. V. 74. P. 81-89.

9. Lu J., Xi Y., Li D. Stochastic model predictive control for probabilistically constrained Markovian jump linear systems with addi-

tive disturbance // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2017. P. 1-15.

10. Sala A., Henandez-Medjias M.A., Arino C. Stable receding-horizon scenario predictive control for Markov-jump linear systems // Automatica. 2017. V. 86. P. 121-128.

11. Patrinos P., Soparasakis P., Sarimveis H., Bemporad A. Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian switching systems // Automatica. 2014. V. 50, No. 10. P. 2504-2514.

12. Dombrovskii V.V., Obyedko T.Yu., Samorodova M. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions // Automatica. 2018. V. 87, No. 1. P. 61-68.

13. Домбровский В.В., Пашинская Т.Ю. Прогнозирующее управление системами с марковскими скачками и авторегрессионным мультипликативным шумом с марковским переключением режимов // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 44. С. 4-9.

14. Krolzig H.-M. Markov Switching Vector Autoregressions. Modelling, Statistical Inference and Application to Business Cycle Analysis. Berlin : Springer, 1997. 357 p.

15. Elliott R.J., Aggoun L., Moore J.B. Hidden Markov models: Estimation and control. Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1995. 382 p.

Поступила в редакцию 22 ноября 2018 г.

Dombrovskii V.V., Pashinskaya T.Yu. (2019) OPTIMAL PREDICTIVE CONTROL STRATEGIES FOR SYSTEMS WITH RANDOM PARAMETERS DESCRIBED BY MULTIDIMENSIONAL MARKOV SWITCHING REGRESSION MODEL. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 48. pp. 4-12

DOI: 10.17223/19988605/48/1

Let the control object is described by the equations:

x(k +1) = Ax(k) + B[^(k + 1)]u(k), (1)

+1) = p [9(k + 1)]Y (k) + X [9(k +1)] ro(k +1), (2)

Y (k +1) = a [9(k + 1)]Y (k) + a[9(k +1)] Г (k +1), (3)

a[9(k)] = ¿9,.(k}a(i), X[9(k)] = ¿9,.(k)X(i), P[9(k)] = ¿9,(fc)pW, a[0(k)] = ¿9,.(k)a(i), (4)

i=1 i=1 i=1 i=1

where x(k) еШ"* is the vector of state, и(к)еЖ"* is the vector of control, ^eR"1 is a sequence of stochastic vectors, Y(k)= \yT(k),yT(k-\), ...,yT(k-p+ \)]T, y(k) <eR"', W(k) = |V(k),0,0,...,0]T , w(k) e Ж"' , co(k) e Ж"^ are white noise

L J n px\

vectors with zero mean and unique covariance matrices; A e Ки*хи*, В e Ж"1*"" , p(i) e Ж"11*"7 , X(i) e Ж"пХ"л,

а« =

а« «(Я ... а«! «Р

In 0 ... 0 0

ny

0 Т ... 0 0

0 0 ... I 0

lyPXKyP

CT(0 =diag|(p(,),0,...,0}, cp(i) eR"'™' ,Q,(k+ 1) (z = l,v ) are the components of the vector Q(k+ 1), Q{k) = [8(x(fc), 1), 5(x(A:),v)]r,

S(T(k)j) is the Kronecker function; {x(k); k = 0,1,2,...} is a finite-state discrete-time homogeneous Markov chain taking values in {1, 2, ..., v} with transition probability matrix P = [Pj. Sequences w(k), ro(k), and 0(k) are independent. It is assumed that the state of

Markov chain is observable at time k. All of the elements B[n(k)] (i = I, v ) are assumed to be linear functions of n(k). Equation (2) is a multivariate regression model with exogenous factors Y(k) and regime-switching parameters. The dynamics of factors Y(k) follows vector autoregression model with regime switching (MS VAR (p)) of order p represented in the form of MS VAR (1) model (Equation (3)).

We impose the following inequality constraints on the control inputs (element-wise inequality):

umm(k) < S(k)u(k) < umsx(ky, S(k) s R™ ; umm(k), umsx(k) s R*. (5)

For control of system (1)-(4), we synthesize the strategies with a predictive control model. At each step k, we minimize the following criterion with a receding horizon

m

J(k + m / k) = Z E{x (k + i)R (k + i)x(k + i) / x(k),r(k),Y(k), &(k)} -

i=1

m „

-Z E{x (k + i)/ x(k),^(k),Y(k),Q(k)}R2(k + i)E{x(k + i)/ x(k),r[(k),Y(k),Q(k)} -

i=i

ffl ftl—1 -2 R(k + i)E{x(k + i)/x(k),^(k),Y(k),Q(k)} + 2 E{uT(k + i / k)R(k + i)u(k + i / k)/ x(k),r[(k),Y(k),Q(k)}, (6)

i=1 i=0

on trajectories of system (1)-(4) over the sequence of predictive controls u(k/k), u(k + m - 1/k) dependent on the system state at the moment k, under constraints (5); where Ri(k + i) > 0, R2(k + i) > 0, R(k + i) > 0 are given symmetric weight matrices of corresponding dimensions; R3(k + i) is a given vector of corresponding dimension; m is the prediction horizon. Different cost functions can be obtained from criterion (6) after setting the coefficients Ri(k + i), R2(k + i), and R3(k + i) to some appropriate values. Problem 1. Taking R2(k + i) (i = 1, m), we have the MPC problem with quadratic criterion.

Problem 2. Let system (1)-(4) have a scalar output z(k) = c(k)x(k), where c(k) is a vector of appropriate dimension. Taking R1(k + i) = R2(k + i) = p1(k + i)cT(k + i)c(k + i), R3(k + i) = p2(k + i)c(k + i) (i = 1, m), where p1(k + i) > 0, p2(k + i) > 0 are scalar values, we have a mean-variance optimization problem.

Keywords: stochastic systems; Markov jumps; multidimensional regression; model predictive control; constrains.

DOMBROVSKII Vladimir Valentinovich (Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru

PASHINSKAYA Tatiana Yurievna (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tatyana.obedko@mail.ru

REFERENCES

1. Costa, O.L.V., Fragoso, M.D. & Marques, R.P. (2005) Discrete-time Markov jump linear systems. Springer: New York.

2. Dombrovskii, V.V. & Obedko, T. (2017) Feedback predictive control strategies for investment in the financial market with serially

correlated returns subject to constraints and trading costs. Optimal Control Applications and Methods. 38(6). pp. 908-921. DOI: 10.1002/oca.2296

3. Mayne, D.Q. (2014) Model predictive control: Recent developments and future promise. Automatica. 50(12). pp. 2967-2986.

DOI: 10.1016/j.automatica.2014.10.128

4. Farina, M., Giulioni, L. & Scattolini, R. (2016) Stochastic model predictive control with chance constraints. A review. Journal of

Process Control. 44(8). pp. 53-67.

5. Dombrovskii, V.V. & Obedko, T.Yu. (2011) Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its appli-

cation to the investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. 72(5). pp. 989-1003. DOI: 10.1134/S0005117911050079

6. Henandez-Medjias, M.A., Sala, A., Querol, A. & Arino, C. (2015) Multiple-Horizon predictive control for Markov/switched linear

systems. IFAC-PapersOnLine. vol. 48. no 23. pp. 230-235. DOI: 10.1016/j.ifacol.2015.11.288

B.B. ffoM6poecKuu, T.W. namuHCKax

7. Tonne, J., Jilg, M. & Stursberg, O. (2015) Constrained Model Predictive Control of High Dimensional Jump Markov Linear

Systems. Chicago, IL, USA, Palmer House Hilton. pp. 2993-2998. DOI: 10.1109/ACC.2015.7171190

8. Chitraganti, S., Aberkane, S., Aubrun, C., Valencia-Palomo, G. & Dragan, V. (2014) On control of discrete-time state-dependent

jump linear systems with probabilistic constraints: A receding horizon approach. Systems & Control Letters. 74. pp. 81-89. DOI: 10.1016/j.sysconle.2014.10.008

9. Lu, J., Xi. Y. & Li, D. (2017) Stochastic model predictive control for probabilistically constrained Markovian jump linear systems

with additive disturbance. International Journal of Robust and Nonlinear Control. pp. 1-15. DOI: 10.1002/rnc.3971

10. Sala, A., Henandez-Medjias, M.A. & Arino, C. (2017) Stable receding-horizon scenario predictive control for Markov-jump linear systems. Automatica. 86. pp. 121-128. DOI: 10.1016/j.automatica.2017.07.032

11. Patrinos, P., Soparasakis, P., Sarimveis, H. & Bemporad, A. (2014) Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian switching systems. Automatica. 50(10). pp. 2504-2514. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.08.031

12. Dombrovskii, V.V., Obyedko, T.Yu. & Samorodova, M. (2018) Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions. Automatica. 87(1). pp. 61-68. DOI: 10.1016/j.automatica.2017.09.018

13. Dombrovskii, V.V. & Pashinskaya, T.Y. (2018) Predictive Control for Markov Jump Systems with Markov switching autoregressive multiplicative noise. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 44. pp. 4-9. (In Russian). DOI: 10.17223/19988605/44/1

14. Krolzig, H.-M. (1997) Markov Switching Vector Autoregressions. Modelling, Statistical Inference and Application to Business Cycle Analysis. Berlin: Springer.

15. Elliott, R.J., Aggoun, L. & Moore, J.B. (1995) Hidden Markov Models: Estimation and Control. Berlin, Heidelberg, New York: Springer.