CC BY
49
льного стимулювання та знижок за гальгасть, що були роз-робленi науковцями для виробничих пщприемств.
Список використаних джерел
1. Дейан А. Стимулирование сбыта и реклама на месте продажи / Арманд Дейян, Анни Троадек, Лоик Троадек. - Москва : Прогресс-Универс, 1994. - 188 с.
2. Дейан А. Стимулирование сбыта. / Арман Дейан, Анни и Люк Троадек. - СПб: Издательский Дом "Нева" М. : "ОЛМА-ПРЕСС Инвест", 2003. - 128 с.
3. Климин А. И. Стимулирование сбыта / А. И. Климин. - М. : Вершина, 2007. - 272 с.
4. Алексина С. Б. Методы стимулирования продаж в торговле. / С. Б. Алексина [и др.] - М.: ИД "ФОРУМ" : ИНФРА-М, 2013. - 304 с.
5. Камминс Дж. Стимулирование продаж. Распродажи, подарки, скидки, купоны и другие инструменты повышения спроса / Джулиан Камминс, Роди Маллин. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2013 - 352 с.
6. Примак Т. О. Маркетингов1 комушкацп в систем! управл1ння пщприемством: монограф1я / Т. О. Примак. - К.: ООО "Експерт", 2001. -383 с.
7. Рыбченко С. А. Методы стимулирования сбыта / С. А. Рыбченко, Т. В. Евстигнеева. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. - 184 с.
8. Семененко, К. Ю. Методи ^нового стимулювання збуту та умови Тх використання // Вюник бердянського ушверситету менеджменту i бiзнесу. - 2011. - № 4. - С. 137-140.
9. Ярных В. Методы стимулирования продаж в магазине [Электронный ресурс] / В. Ярных // Учебник по Торговому Маркетингу / Портал о торговом маркетинге - Режим доступа: www.trademarketing.ru/node/ 410 - Назва з екрану.
10. Шальнова О. А. Стимулирование продаж: принципи, методы, оценка : учебное пособие / О. А. Шальнова. - М.: ИНФРА-М, 2014. -107 с. DOI 10.12737/487
11. Шульц Д. Стратегические бренд-коммуникационные кампании. / Дон Шульц, Бен Барис. - М.: Издательский дом Гребенникова, 2003. -512 с.
12. Marshall A. Principles of economics / Alfred Marshall. - London. : Macmillian & Co., 1891. - 825 p.
13. Шульпна. Л. М. Еволю^я наукових поглядiв щодо поняття "споживча цЫнють товару". / Шульпна Л. М., Мельничук В. М. // Маркетинг i менеджмент шновацш. - 2011. - №2. - С. 74-80.
14. Бернет Дж. Маркетинговые коммуникации: интегрированный подход / Джон Бернет, Сандра Мориарти. - СПб : Питер, 2001. - 864 с.
Надшшла до редколегп 27.09.15
О. Юсупова, асп.
Киевский национальный торгово-экономический университет, Киев, Украина
СЛОЖНЫЕ ПРОМОАКЦИИ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ РОЗНИЧНОЙ ТОРГОВЛИ
Рассмотрено механизмы действия, лежащие в основе некоторых средств ценового и неценового стимулирования продаж. Проведен сравнительный анализ скидок за количество и премиального стимулирования. Предложено и обосновано разделение объединенных продаж на три подвида. Определены ключевые отличия между премиальным стимулирование и объединенными продажами на торговом предприятии. Разработаны рекомендации по определению средств стимулирования продаж, использованных в промоакци-ях, которые объединяют несколько товаров.
Ключевые слова: стимулирование продаж; стимулирование сбыта; скидки; премии; розничная торговля.
O. Yusupova, PhD student
Kyiv National University of Trade and Economics, Kyiv, Ukraine
COMPLEX PROMOTIONSIN RETAIL
Complex promotions used by retailers introduce to the consumers several rules that must be satisfied in order to get some benefits and usually refer to multiple products (e.g. "buy two, get one free"). Rules of complex promotions can be quite sophisticated and complicated themselves. Since diversity of complex promotions limited only by marketers' imagination we can observe broad variety of promotions' rules and representations of those rules in retailers' commercials. Such diversification makes no good for fellow scientist who's trying to sort all type of promotions into the neatly organized classification. Although we can simple add every single set of rules offered by retailers as a separate form of sales promotion it seems not to be the best way of dealing with such a problem. The better way is to realize that mechanisms underlying that variety of promotions are basically the same, namely changes in demand or quantity demanded. Those two concepts alone provide powerful insight into classification of complex promotions and allow us to comprehend the variety of promotions offered by marketers nowadays. Key words: sales promotion, discounts, premiums; retail.
Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv, Ukraine. Economics, 2015; 11(176): 49-54 УДК 519.866 JEL C61
DOI: http://dx.doi.org/10.17721/1728-2667.2015/176-11/8
М. Бойчук, канд. ф1з.-мат. наук, доц., О. Ярошенко, канд. екон. наук, доц. Чержвецький нацюнальний ушверситет 1мен1 Юр1я Федьковича, Чершвц
СТОХАСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОПТИМАЛЬНО! КРЕДИТНО1 СТРАТЕГИ КОМПАНП-ДИСТРИБ'ЮТОРА НА РИНКУ ФАРМАЦЕВТИЧНО1 ПРОДУКЦП
У роботi побудовано i до^джено стохастичну модель оптимальноi поведiнки дистриб'ютора на ринку фармаце-втичноi продукцП, проведено об^рунтування використання вiнерiвського i пуассонвського процесiв у запропонованш моделi та описано структуру оптимального процесу.
Ключовi слова: дистриб'ютор фармацевтичноi продукцП, оптимальне керування, стохастична модель.
Вступ. Стратепчною цЫнютю будь-якоТ держави е здоров'я людини. Для того, щоб реалiзувати в УкраТн конституции гаранти щодо забезпечення населення основними лкарськими засобами в необхщних обсягах i за доступними цшами, необхщно вжити заходи щодо збереження фармацевтичноТ' промисловост УкраТни, пщвищення рiвня ТТ' конкурентоспроможност на втиз-няному ринку та змщнення ТТ' рейтингу на свтовому фа-рмацевтичному ринку.
Проте е ряд проблем на шляху досягнення фармаце-втичною галуззю сшкого розвитку. Внутршн проблеми виробнигав, посереднигав та реалiзаторiв фармацевтичноТ продукцп ускладнюються полiтичною кризою у краТы,
зниженням кутвельноТ спроможност нацюнальноТ валю-ти, пщвищенням вщсоткових ставок за кредитами.
Для подолання цих труднощiв та прийняття ефекти-вних ршень сьогодн все частше застосовують мате-матичн методи, яга дозволяють з достатшм ступенем адекватности описати склады динамiчнi процеси в еко-номiцi та здмснити прогноз Тх розвитку у часк
Огляд л^ератури. Проблеми теорп i практики фармацевтичноТ галузi займають важливе мюце в досль дженнях багатьох учених. Одн роботи присвячеш, на-приклад, особливостям фармацевтичноТ галузi як мож-ливоТ опорноТ галузi розбудови Ыновацмних систем рiзного рiвня в УкраТн [1], iншi стосуються функцюну-
© Бойчук М., Ярошенко О., 2015
вання мехашзму фiнансового забезпечення сектора охорони здоров'я [2]. Маркетинге^ дослщження рiзних об'eктiв фармацевтичного ринку проведен в роботах ДремовоТ Н.В. та н [3]. Використання iмiтацiйного мо-делювання для удосконалення управлшня запасами компанiТ-дистриб'ютора на ринку препара^в фармацевтичноТ промисловостi розглянено у робот [4]. Проблеми моделювання процеав управлiння логiстичними потоками пщприемств фармацевтичного ринку висвiтленi у роботах ПосилганоТ О. В. та н [5]
Проте на даному етат практично вiдсутнi економко-математичнi модели що враховують стохастичну природу, нелшшнють i динамiчнiсть розвитку фармацевти-чноТ галузi у ринкових умовах господарювання.
Тому актуальнiсть зазначених проблем в сучасних умовах невизначеност господарсько-економiчноТ ситу-ацiТ i мiнливiсть економiчного середовища обумовили необхiднiсть подальшого дослщження питань оптимiза-ц1Т управлiння дiяльнiстю компанiй-дистриб'юторiв фа-рмацевтичноТ продукцiТ, вибору та прийняття управлш-ських ршень з використанням стохастичних моделей динамiчних систем.
Стохастичне моделювання динамiчних систем сьо-годнi розвиваеться у двох напрямках.
Перший напрямок формують дослщження стохастичних динамiчних систем, в яких проводиться зведення апрюрноТ невизначеност до параметричноТ, коли ймо-вiрнiснi закони розподiлу для дослiджуваних ситуацш, величин i спостережуваних процесiв вiдомi з точнiстю до скiнченного числа параметрiв, тобто коли вiдомi ви-падковi розподiли реалiзацiТ невiдомих параметрiв i початкових умов.
Дослiдження стохастичних систем при неточна вхь днiй iнформацiТ про початковi умови i параметри проводилась у роботах [6]-[14] та н У них одержанi стоха-стичнi необхiднi умови оптимальностi та формули для градiентiв функцiоналiв у простгр оптимiзовуваних па-раметрiв, яга дозволять для розв'язання динамiчних задач оптимiзацiТ використовувати числовi методи сган-ченноТ оптимiзацiТ.
До другого напрямку вщносяться дослiдження ди-намiчних систем, у детермшоваш математичнi моделi яких вводяться випадга^ процеси [15]: вЫеровсьга, пу-ассонвськ та iн. При цьому дослщження оптимiзацiй-них стохастичних динамiчних систем проводиться з використанням достатшх умов оптимальностi без об-межень на стани системи [16 - 19] та н ^м того, у роботi [18] проведено економiчне об^рунтування використання вiнерiвських i пуассонiвських процесiв при стохастичному моделюванн динамiчних систем.
Тому у данм роботi на основi детермЫованоТ моделi [20] формалiзуемо стохастичну модель оптимально!' кредитной' стратегiТ дистриб'ютора на ринку фармацевтичноТ продукц^, проведемо обфунтування використання вЫе-рiвського i пуассонiвського процесiв у запропонованiй моделi та визначимо оптимальний розмiр грошового кредиту, який буде використаний для купiвлi фармацевтичноТ продукцш вщповщний оптимальний обсяг товару, який би максимiзував середнiй доход дистриб'ютора.
Основы результати. Спочатку формалiзуемо де-терм/'новану модель оптимальноТ кредитноТ стратегiТ дистриб'ютора. Нехай у будь-який момент часу t е[0,Т] (Т - горизонт планування) дистриб'ютор мае можливють взяти грошовий кредит загальною сумою кза постiйною вщсотковою ставкою р. Цей кредит вЫ використовуе для купiвлi фармацевтичноТ продукцп
обсягом v (t) з метою ТТ подальшого продажу та отри-
мання вщповщного доходу.
Припустимо, що кiлькiсть товару, яка продаеться у момент часу t прямо пропорцiйна величинi обсягу товару v (t) 3i сталим коефiцiентом a , а ктькють товару
в момент часу t + At (At >0 - довтьний прирiст часу) дорiвнюе збiльшенiй на величину кредиту в момент часу t рiзницi мiж кiлькiстю товару в момент t та величиною його реалiзацiТ, тобто
v(t + Dt) = v(t)-av(t) + k(t) .
Тодi отримаемо у вартiснiй формi балансове рiвняння динамiки наявного обсягу фармацевтичноТ продукцп: v(t) = k(t)-av(t), t e [0,7].
Це диферен^альне рiвняння необхiдно доповнити початковою умовою
v (0) = vo,
яка означае, що в початковий момент часу t = 0 дистриб'ютор мае в наявност початковий запас фармацевтичноТ продукцп v0 одиниць.
Осгальки обсяг кредиту завжди е обмеженою величиною, то наведен вище стввщношення потрiбно доповнити обмеженням
0 < k (t )< k0, t e [0,7 ],
де k0 - задана верхня межа обмеження на обсяг кредиту.
На прибуток вщ реалiзацiТ товару також накладаеть-ся обмеження
gav (t)-pk (t )>e, t e [0,7 ], де g - доход з кожноТ одиницi реалiзованого товару (у вiдсотках), e> 0 - м^мальний прибуток.
Тодi задача дистриб'ютора полягае у максимiзацiТ сумарного Интегрального) прибутку
Ф= 7\gav(t)-pk(t)!dt ® max 0L J 0<k <k0
при вказаних вище умовах.
Для сформульованоТ задачi дистриб'ютора автори у роботi [21] дослщили питання оптимiзацiТ кредитноТ стратеги за допомогою достатнiх умов оптимальность
Тепер формалiзуемо стохастичну модель оптимальноТ кредитноТ стратеги дистриб'ютора.
Нехай {£), F, P} - ймовiрнiсний простiр iз множиною елементарних подм W, iз s - алгеброю F = {, t e[0;7]} та мiрою (ймовiрнiстю) P; x(t)°x(t,w) , Xe К (К - множина дмсних чисел), weW , t E[t0,7 ]c R Ft -вимiрний вiнерiвський про-цес iз нульовим математичним сподiванням (Mx(t) = 0) та одиничною диспераею (MX2 (t) = l) ;
h(t )°h(t,w), ®eQ , t E[t0,7 ]c R - Ft -вимiрний пуас-сошвський процес iз математичним сподiванням Mh(t) = 1t [15], де M - математичне сподiвання .
На ймовiрнiсному просторi {F,P} заданий випад-ковий процес v (t)° v (t,w), weW , t e[0,7 ], який за-
довольняе
- диференцiальну модель у формi 1то [15] v(t) = k(t)-av(t) + (t) + W2h(t) , t e [0,7], (1)
де W1 та W2 - задан сталi величини;
- початкову умову
v (0) = vо , vo s F0 ; (2)
- обмеження на грошовий кредит
0 < k (t)< k0, t s [0, T ] ; (3)
- обмеження на прибуток, одержаний вщ реалiзацiï товару обсягом v
gav (t )-pk (t )>e, t s [0, T ]; (4)
- критерш мети (максимiзацiя середнього штеграль-ного доходу)
Ф = MT \gav (t )-pk (t )] dt ® max, (5)
0 k де M - математичне сподiвання.
Задача полягае в тому, щоб визначити оптимальний грошовий кредит km та вщповщний оптимальний обсяг товару v^, яга б задовольняли обмеження (1)-(4) та максимiзували середшй iнтегральний доход (5).
Проведемо економiчне обфунтування використання вiнерiвського i пуассонiвського процесiв при стохастич-ному моделюванн кредитноï стратеги дистриб'ютора, тобто обфунтуемо справедливiсть динамiки руху обсягу фармацевтичного товару (1).
Нехай здмснюються спостереження за приростом обсягу товару v . За законом великих чисел (центральна гранична теорема) iз теори ймовiрностi вщомо, що на великих вибiрках спостережень прирют v пщпоряд-кований нормальному (гаусавському) закону розподiлу ймовiрностей, а при малих ймовiрностях гауссiвський закон переходить у пуассонвський закон розподту. У спостереження за приростом обсягу товару входить шум у припущены у виглядi доданку (складовоТ). Цей шум може бути пилоподiбним - пщпорядкований нормальному закону розподту або стрибкоподiбним - пщ-порядкований пуассошвському закону розподiлу або в комплекс пилоподiбним i стрибкоподiбним - лнйна (у припущеннi) комбiнацiя вiнерiвського та пуассонiвського процесiв. Крiм того, цей шум не залежить вщ стану приросту обсягу товару i попередшх значень приросту
—+ — (k-av )+ 0.5W2 dVr+/ at a./ v ' 1 ^..2
dv 2
де шукана функцiя V - неперервно-диференцшована один раз по t та двiчi по V на декартовому добутку [0,Т]х{\/ > 0}.
Для врахування обмеження (4) застосуемо метод Лагранжа, за яким треба мiнiмiзувати функцю
Я(t,к\,ХУ)° Як,V, V)+ х\_е-У°\()+ Рк)] ,
тобто
Ш Я(, к, V, с, V) = 0^ Е [0, Т], V(Т, V (Т)) = 0. Необхщною умовою оптимальности за с функци Я
зЯ п «
е-= 0 , тобто
е-ха\ () + рк ^) = 0, t е [0, Т ]. (6)
Фунга^я Я лшшна по керуваннi за грошовим кредитом к, а тому найменшого значення Я приймае при лiвому керуваннi за грошовим кредитом
,, якщо -+р < 0,
kлiв (t ) =
якщо -+p > 0,
dv
t s [0, T]. (7)
обсягу товару та ТТ розподт не залежить вщ часу. Такий процес для шуму е лшмною комбЫа^ею вiнерiвського та пуассонiвського процесiв [15]. Тому шум можна представити як лУйну комбшацю ЩХ() + Щ2]() приросту вiнерiвського процесу £, () та приросту пуассо-нiвського процесу ]() деяких випадкових величин
) та ) . Прирют Х() мае нормальний закон розподту, а ) - невщомий. Прирют ](t) мае пуассо-нiвський закон розподiлу, а ]({) - невiдомий. Сталi Щ та Щ виступають невщомими коефiцiентами.
Таким чином, до вщомоТ правоТ частини детермЫо-ваноТ моделi динамiки руху обсягу фармацевтичного товару при стохастичному моделюванн правомiрно включати як доданок лiнiйну комбiнацiю ЩХ() + Щ2]() вiнерiвського та пуассонiвського про-
цеав. Похiднi вiнерiвського Х(t) та пуассошвського
/() процеав слiд розумiти в узагальненому розумшш
(узагальненi похiднi) - похщш вiд функцiоналiв.
У математичному плат система (1)-(5) е задачею оптимального керування за грошовим кредитом коп та оптимальноТ траекторiТ за обсягом товару \оп.
Досл/'дження стохастично'1 модел1. Дослщження задачi стохастичного оптимального керування (1) - (5) включае два етапи:
1) побудова лiвого процесу кредитування з визна-ченням моменту перемикання керування;
2) вибiр правого процесу кредитування та форму-вання оптимального процесу кредитування.
1. Л1вий процес кредитування. Для дослщження стохастичноТ моделi (1)-(3), (5) використаемо стохасти-чнi достатнi умови оптимальности [16], за якими рiвнян-ня Беллмана з крайовою умовою набувають вигляду
\\у (t,v + W2) - V (t, v)] - (gav - pk)} = 0, V (T, v (T)) = 0,
1з рiвностi dV + p = 0 та умови V (T,vT ) = 0 одержимо залежнють
V (t,v) = -p\v (t)- v (T)], t s[t0,T]. (8)
Пщставимо V у рiвняння Беллмана, з якого визна-чимо оптимiзацiйну величину
- iw2
v = ( 2 v g^ p (9)
a(g- p)
та пiдставимо ïï у середню динамiку обсягу товару. Звь
d V
дки визначимо керування при -+ p = 0 . Для цьо-
dv
го потрiбно отримати середню динамку обсягу товару стохастично1 моделi (1) iз використанням властивостей для вiнерiвського та пуассонiвського процесiв [15]
Mx(t) = (Mx(t)j = 0, Mh(t) = (Mh(t)j = (M)' = Л, t s[T] .(10) В результат чого отримаемо
k = MW2 (g-p)-1 (1-g + p). Якщо виконуеться нерiв-нють k > k0 , то треба взяти за лiве керування = k0 .
dV
довтьне iз [0, k0 ], якщо-+ p = 0,
dv
При к < 0 за лiве керування вiзьмемо клв = 0 . Тодi (7) набувае вигляду
¡л!в (')
¡0, 0, к,
ЭУ
якщо -+ р < 0,
Эv
ЭУ
якщо -+ р > 0,
Эv
(11)
ЭУ
якщо 0 < к < к0 та-+ р = 0
0 Эv
Слiд зауважити, що при М2 = 0 (вiдсутностi пуассо-швського процесу) лiве керування за обсягом товару мае вигляд
¡л!в С)
ЭУ
якщо -+ р < 0,
Эv
ЭУ
якщо -+ р > 0,
Эv
' е [0,7]. (12)
Таким чином, при вщсутносп пуассонiвського процесу (М2 = 0 , формула (12)) система (1)-(5) мае два лiвих керування кл|в (С), а у випадку присутностi (И/2 ^ 0, формула (11)) - три лiвих керування кл|в (') , t е [0, Т].
Вщповщш стохастичнi лiвi траекторiТ за обсягом товару vл¡в (7) , t е [0, Т] визначаються одним з числових методiв Ытегрування стохастичноТ початковоТ задачi (1)-(2) при к = кл|в [22]. Слiд зауважити, що звичайними методами штегрувати стохастичнi диферен^альш мо-делi не можна [15]. Причому цьому лiва траекторiя vл¡в (t), t е [0, Т] е неперервно-диференцмованою,
оскiльки кл|в, ^ i W2 - стал величини [22, 23].
Вщповщш середы лiвi траекторiТ v(<|в) iз використан-
ням рiвностей (10) визначаються iз середньоТ початковоТ задачi (1)-(2) i набувають вигляду (середш початковi задачi iнтегруються у звичайному розумЫш):
- для кл|в = к0 (надання кредиту у повному обсяз^
v л'^в С) = +(к0 + ЛЩ )а-1(1-в-"'), t е [0, Т]; (13)
- для кл|в = к (надання кредиту не у повному обсязi (частково))
v(С Л') = Mv0в-at + (к + Ш2 )а-1 (1 - в'" ) , (14) при 0 < к < к0 , t е ['0,Т];
- для кл|в = 0 (вщмова у кредитуваннi)
^ Л) = Mv0в-at + а~1Шг (1 -в~а), t е [0,Т] . (15) Таким чином, отримали стохастичш та середш лiвi траект°ри { С), vлiв ('), t е [0,Т]} :
- при W2 ^ 0 - три лiвих процеси керування (ре-
жими кредитування): повне, часткове та вщсутне креди-тування;
- при W2 = 0 - два лiвих процеси керування (ре-
жими кредитування): повне та вщсутне кредитування.
Визначеш режими кредитування призначеш для ви-бору прiоритетного режиму серед режимiв повного кредитування, часткового кредитування та вщсутност кредитування на лiвому вiдрiзку часу (перiодi).
Виберемо режим кредитування. Нехай це буде режим повного кредитування. Для нього визначимо момент перемикання керуванням. Зауважимо, що для Ыших режимiв кредитування (часткового та вщсутного)
визначення моменту перемикання керування проводиться аналопчно.
Рiвняння для визначення моменту перемикання про-цесом кредитування с одержимо, поставивши (13) у (6):
а) при W2 ^ 0 (присутностi пуассонiвського процесу)
£+рк0 - уа(шпв~а +(( +Щ) а-1 (1 - в'")) = 0 , t е [0, Т];
б) при W2 = 0 (вiдсутностi пуассошвського процесу) £ + рк0 - уа (ш0в~а + к0а-1 (1 - в'" )) = 0 , t е [0, Т] . Звiдси маемо
уaMv0 -у(к0 +1W2 ) „ - для випадку а) при -—-—тттт- > 0
£ +
рк<0 -у(¡с + )
с = а"1|п -У(( ,се[0,Т ]
£ + рк0 - у (к0 +1W2) 1 -1
та при цьому стохастичний i середнiй лiвий процес кредитування набувае вигляду {кп, vл¡в Л'), t е [0, с]};
уaMvп - укп
- для випадку б) при --0—-—— > 0
£ + ркп -укп
с = а-1|п уаШп -укп , с е [0, Т]
£ + ркп-укп
та при цьому стохастичний i середнiй лiвий процес кредитування набувае вигляду {кп, vл¡в Л'), t е [0, с]}.
Таким чином, знайденi лiвi процеси кредитування та момент перемикання керування кредитуванням.
2. Правий та оптимальний процеси кредитування. Для лiвого режиму повного кредитування за правий режим кредитування виберемо, наприклад, режим вщ-сутност кредитування. Зауважимо, що у випадку вибо-ру режиму часткового кредитування розрахунки прово-дитимуться аналопчно.
Стохастична права траекторiя за обсягом фармаце-втичного товару vпр Л'), t е[с,Т] при правому керу-
ваннi за кредитуванням кпр (') = 0, ' е[с,Т] визнача-
еться одним iз числових методiв [22] iз стохастичноТ початковоТ задачi
V (') = -aVпр (') + W£ (') + W2i1 (') , ' е [с, Т],
vпр (с) = vлiв (с). Тодi стохастичний оптимальний процес {¡оп ('), v°п ('),' е [0,Т]} набувае вигляду:
- за обсягом товару
С ) к|в ('), якщо ' е[0,<|, оп ()=[% ('), якщо ' е[,Т];
- за кредитуванням
¡оп () =
кп, якщо ' е [0,с),
[0, якщо ' е[,Т].
Середнiй правий процес за обсягом товару v(С)(t) , ' е [с, Т] при правому керуваннi за кредитуванням кпр (') = 0, ' е [с, Т] набувае вигляду:
¡пр (' ) = 0,
v( (') = v( (с) в~<(-с) + 1 и" (1 - в~<(-с)) , ' е [с, Т] .
Тодi
середнiи
оптимальнии
процес
коп (t),v®(t),t e[0,T]} маевигляд
/(с)
(t )=
[vй^яющ^ e[0,f],
l^O^ot e[z,T];
коп (t ) =
[0,T], а оптимальне керування за кредитуванням кусково-неперервною функцiею на [0, T ].
Обчислимо прибуток вщ реалiзацií обсягу товару
T
®приб = i 0
g«V()(t)- ркоп (t)
dt.
[к0, якщо t е [0,с), |0, якщо t е [с, Т].
Зауважимо, що оптимальна траекторiя за обсягом товару е неперервно-диференцмованою фунга^ею на
Фприб = 0| [гаМ\0в-а + / ( + Шг ) (1 - в~а ) - рк0 = {/(ко +1Щ)-Рк0]v + r[мv0 -(к0 +ХЩ2)а-1](1-е де (V) = М\0в-а + (к0 + Ш2) а-1 (1 - еа) .
Зауважимо, що для Щ2 = 0 маемо прибуток при вщ-сутност пуассоывського процесу.
Таким чином, отримали стохастичний i середнiй оп-тимальний процес кредитноТ стратегiТ компани-дистриб'ютора на ринку фармацевтичноТ продукцiТ у випадку режимiв повного та вщсутного кредитування. Аналогiчно можна отримати стохастичн та середнi оп-тимальнi процеси кредитноТ стратеги компани-дистриб'ютора для режимiв:
1. "повне + часткове" кредитування;
2. "часткове + вщсутне" кредитування;
3. "повне + часткове + вщсутне" кредитування.
При цьому для третього випадку ми будемо мати два моменти перемикання керування кредитною стра-тепею дистриб'ютора.
1з практичноТ сторони при стохастичному моделю-ванн необхiдно визначити довiрчi промiжки для реаль-них випадкових процеав по заданiй ймовiрностi. Нехай проведено N обчислюваних експериментв по визна-ченню N ансамблiв оптимального обсягу товару \оп (), I = , t е[0,Т] при оптимальному кредиту-ваннi коп (), t е [0, Т]. Обчислимо вибiркове середне оптимального обсягу товару [24, с. 213]
V(пС)( ) = N-1^(0( ), t Е[0,Т ]
I=1
та вибiркове середне квадратичне вщхилення оптимального обсягу товару
) = <!) , t Е[0,Т],
де 0(ВС)() - вибiркова дисперсiя оптимального обсягу товару [24, с. 213]
2
о(С)(0 = ( -1)-11^(0-v(ВпС)(t)) , t Е[0,Т].
Довiрчим промiжком длядисперсiТ оптимального обсягу товару нормальноТ генеральноТ сукупност е промь
жок [24, с. 219]
( \
( - 1)0^0)- 1)Р(ВС)( )
х2-в_(-1) ' С_(-1)
Ч 2 2 0
Якщо лiвий процес е режимом повного кредитування, а правий процес - режимом вщсутност кредитуван-ня, одержимо
t e[°,T]
dt + i gav( (v)e a(-v) + yW2 (l - ea(t-v))dt = V) + yXW2 (T-v) + r(v((>(v)-a-hW2)(l-e-a(T-v)
де с2 _( -1) i с_ (N -1) мають розподт Пiрсона при 1-2 2 ( -1) ступенях втьносл та заданiй довiрчiй ймовiрно-
ст _ е (0;1) [24, с. 238-239].
Тодi довiрчим промiжком для реального оптимального обсягу товару з ймовiрнiстю _е(0;1) е
/() ()-^;г ■ _ ( -1); v(cп)(t _2 -1)
, t Е[0,Т ],
де -1) мае розподт Стюдента з (^ -1) ступенями втьностк
Насамкiнець зауважимо, що осшькив УкраТнi мають мiсце нестабiльнi та непередбачуван iнфляцiйнi процеси, змiнюеться курс Ыоземних валют, то банкiвська установа може змЫювати вiдсоткову ставку, визначену кредитним договором. Тому актуальности набувае стохастичне моде-лювання оптимально! кредитноТ стратеги компанп-дистриб'ютора при кусково-посшнм вiдсотковiй ставцi [р1, якщо t е [0^1), 1р2, якщо t е [t1, Т], де ^ < Т та р1 ^ р2 згiдно з описаною вище методикою.
Р (t)
Висновки
1. Запропонована стохастична модель оптимальноТ кредитноТ стратегiТ компани-дистриб'ютора на ринку фармацевтичноТ продукци та проведено ТТ дослiдження.
2. З'ясовано, що у запропоновашй моделi оптимальне керування за обсягом кредитування та момент перемикання керування е детермЫованими величинами i не залежать вщ коефiцiента при вiнерiвському про-цесi, а оптимальна траекторiя за обсягом товару мае стохастичний характер.
3. Стохастична модель оптимальноТ кредитноТ стратеги компани-дистриб'ютора при ненульовому кое-фiцiентi при пуассоывському процесi мае три режими кредитування (повне, часткове та вщсутне кредитування), а при нульовому - два режими кредитування (повне та вщсутне кредитування).
4. Визначено довiрчi промiжки для середнього та дисперси нормальноТ генеральноТ сукупност оптимального обсягу товару за заданою ймовiрнiстю.
Дискуая. Побудована у данм робот модель базу-еться на основi детермЫованоТ моделi оптимальноТ кре-
дитноТ CTpaTeriï дистриб'ютора [20, 21] i демонструе один з можливих пiдходiв до моделювання оптимально!' пове-дiнки дистриб'ютора на ринку фармацевтичноТ продукцiï. На ïï основi можна побудувати, наприклад, детермiнованi та стохастичш моделi оптимально!' поведiнки дистриб'ютора на ринку фармацевтичноТ продукцп при кусково-сталiй вiдсотковiй ставца моделi i3 запiзненням та ^mi моделi, якi будуть формувати та вдосконалювати комплекс системних дослщжень у данiй галузi.
Список використаних джерел
1. Бортницький В. А.Перспективи фармацевтики як системо-утворюючоТ галуз1 розбудови 1нновац1йних систем / В. А. Бортницький // Формування ринкових вщносин в УкраТш. - 2012. - № 10. - С. 154159. - Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/j-pdf/frvu_2012_10_36.pdf
2. Карпишин, Н. Шляхи оптим1зацп' ф1нансового забезпечення охорони здоров'я в УкраТш / Н. Карпишин // Свгт фннанЫв. - 2009. - № 4.
- С. 99-104.
3. Дремова, Н. Б. Развитие методологии маркетинговых исследований в фармации / Н.Б. Дрёмова // Сб. "Человек и его. здоровье". Курский науч.-практ. вестн. - 2005. - №1. - С.62-76.
4. Паласюк, Б. М. Використання 1мгтацшного моделювання для удосконалення управл1ння запасами компанп'-дистриб'ютора на ринку препарат1в фармацевтичноТ промисловост1 / Б. М. Паласюк // Управлшня, економка та забезпечення якост1 в фармацп. - 2013. -№ 2(28). - С. 85-93.
5. Посылкина О. В. Современные подходы к управлению запасами в оптовых фармацевтических компаниях / О. В. Посылкина,
A. Г. Хромых, Ю. Е. Новицкая // Модернизация России : ключевые проблемы и решения: труды XV междунар. науч.-практ. конф., Москва, 18-19 дек. 2014 г. - М., 2014.
6. Тригуб М. В.Управление нелинейными стохастическими системами / М. В. Тригуб, В. В. Ясинский // Пробл. упр. и информатики.
- 2001. - № 2. - С. 72-81.
7. Габасов Р. Синтез оптимальных управлений для динамических систем при неполной и неточной информации об их состояниях / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова, О. И. Костюкова // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Оптимальное управление и дифференц. уравнения. Т. 211. - М.: Наука, 1995. - С. 140-152.
8. Третьяков В. Е. Оптимальное управление системами с неполной и неточной информацией / В. Е. Третьяков, И. В. Целищева, Г. И. Шишкин // Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 2, 1992, 176-187.
9. Красовский Н. Н. Управление при дефиците информации (Control with information déficit) / Н.Н. Красовский, С.И. Тарасова,
B.Е. Третьяков, Г.И.Шишкин // Пробл. упр. и теории информ. - 1986. -Т.15, No.3. - С.Р1-Р13.
10. YuenK. -V. Reliability-based robust control for uncertain dynamical systems using feedback of incomplete noisy response measurements / Ka-Veng Yuen and James L. Beck // Earthquake engineering and structural dynamics. - 2003. - No. 32. - P. 751-770.
11. Quincampoix М. Optimal control of uncertain systems with incomplete information for the disturbances / M. Quincampoix, V.M. Veliov // SIAM Journal on Control and Optimization. - 2004. - Vol. 43, No. 4. -P. 1373-1399
12. Сергиенко И. В.Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач / И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева. - К. : Наукова думка, 1995. - 170 с.
13. Sergienko I.V. Optimal Control of Distributed Systems with Conjugation Conditions. / I.V. Sergienko, V.S. Deineka. - New York: Kluwer Akademic Publishers, 2005. - 400 р.
14. Айда-заде К. Р. О решении задач оптимального управления на классе кусочно-постоянных функций / К.Р. Айда-заде, А.Б. Рагимов // Автоматика и вычислительная техника. - 2007. - Т. 41. № 1. - С. 27-36.
15. Скороход А. В. Лекцп з теорп випадкових процеЫв: [навч. ПоЫбник] / А. В.Скороход - К.: Либщь, 1990. - 168 с.
16. Андреева Е. А. Управление системами с последействием / Е. А. Андреева, Е. Б. Колмановский, Л. Е. Шайхет. - М.: Наука, 1992. -336 с.
17. Бойчук М. В. Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста / М. В. Бойчук, А. Р. Семчук // Кибернетика и системный анализ, 2013. - Т. 49, № 2. - С.156-163.
18. Бойчук М. В. Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики / М. В. Бойчук, А. Р. Семчук // Проблемы управления и Ыформатики, 2013.- № 2. - С.125-139.
19. Бойчук М. В. Стохастична модель оптимiзацiТ економки iз лишним за споживанням еколого-економiчним критерieм та затзнен-ням / М. В. Бойчук, А. Р. Семчук // Збiрник наукових праць ЛНУ iменi 1вана Франка "Формування ринковоТ економки в УкраТш" Економiчна серiя 2011. - Вип. 25. - С. 12-27.
20. Григорюв В. С. Моделювання оптимально!' кредитноТ стратеги рiелтера /В. С. Григорюв, О. I. Ярошенко // Економiчна юбернетика. -Донецьк, ДонНУ, 2007. - №1-2(43-44). - С. 4-9.
21. Бойчук М.В. Оптимiзацiя кредитноТ стратеги компанп -дистриб'ютора на ринку фармацевтичноТ продукцп / М.В. Бойчук, О.1. Ярошенко // Науковий вюник Буковинського державного фЫансово-економiчного ушверситету: Вип. 28. Економiчнi науки. - Чершвцк БДФЕУ, 2015. - С.258-263.
22. Юрченко I. В. Методи стохастичного моделювання систем / 1.В. Юрченко, Л.1. Ясинська, В.К. Ясинський. - Чершвцк Вид-во "Прут", 2002.- 416 с.
23. Гихман И. И. Управляемые случайные процессы : научное издание / И. И. Гихман, А. В. Скороход. - К.: Наук. думка, 1977. - 251 с.
24. Эконометрика. Начальный курс. Учеб. / [Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий]. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 1998. - 248 с.
Надшшла до редколегп 24.09.15
М. Бойчук, канд.физ.-мат.наук, доц., Е. Ярошенко, канд.экон.наук, доц.
Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, Украина
СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ КРЕДИТНОЙ СТРАТЕГИИ КОМПАНИИ-ДИСТРИБЬЮТОРА НА РИНКЕ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ
В работе построена и исследована стохастическая модель оптимального поведения дистрибьютора на рынке фармацевтической продукции, проведено обоснование использования винеровского и пуассоновского процессов в предложенной модели и описана структура оптимального процесса.
Ключевые слова: дистрибьютор фармацевтической продукции; оптимальное управление; стохастическая модель.
M. Boychuk, PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor,
O. Yaroshenko, PhD in Economics, Associate Professor
Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University, Chernivtsi, Ukraine
STOCHASTIC MODELING OF OPTIMIZED CREDIT STRATEGY OF A DISTRIBUTING COMPANY ON THE PHARMACEUTICAL MARKET
The activity of distribution companies is multifaceted. They establish contacts with producers and consumers, determine the range of prices of medicines, do promotions, hold stocks of pharmaceuticals and take risks in their further selling.
Their internal problems are complicated by the political crisis in the country, decreased purchasing power of national currency, and the rise in interest rates on loans. Therefore the usage of stochastic models of dynamic systems for the research into optimizing the management of pharmaceutical products distribution companies taking into account credit payments is of great current interest.
A stochastic model of the optimal credit strategy of a pharmaceutical distributor in the market of pharmaceutical products has been constructed in the article considering credit payments and income limitations.
From the mathematical point of view the obtained problem is the one of stochastic optimal control where the amount of monetary credit is the control and the amount of pharmaceutical product is the solution curve.
The model allows to identify the optimal cash loan and the corresponding optimal quantity of pharmaceutical product that comply with the differential model of the existing quantity of pharmaceutical products in the form of Ito; the condition of the existing initial stock of pharmaceutical products; the limitation on the amount of credit and profit received from the product selling and maximize the average integral income.
The research of the stochastic optimal control problem involves the construction of the left process of crediting with determination of the shift point of that control, the choice of the right crediting process and the formation of the optimal credit process.
It was found that the optimal control of the credit amount and the shift point of that control are the determined values and don't depend on the coefficient in the Wiener process and the optimal trajectory of the amount of pharmaceutical product has a stochastic character.
If the coefficient in the Poisson process differs from zero, then there are three modes of crediting (full, partial and absence of crediting), and if the coefficient equals to zero there are two modes of financing (full and the absence of crediting).
Key words: pharmaceutical distributor; optimal control; stochastic model.
