CC BY
16Методы Монте-Карло и численное статистическое моделирование 51
Округление результатов измерений и корректность статистических выводов
Б. Ю. Лемешко, С. Б. Лемешко, И. В. Веретельникова Новосибирский государственный технический университет Email: Lemeshko@ami.nstu.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10102
В различных приложениях зачастую сталкиваются с ситуацией, когда ряды измеренных значений представляют собой близкие величины, порой отличающиеся в последнем знаке. Это могут быть результаты высокоточных измерений, где флуктуации определяются достигнутой (предельной) точностью средств измерения. Подобные данные могут быть результатами наблюдения за величиной, высокая точность измерения которой не играет особой роли. Иногда такие выборки могут быть очень малы вследствие высокой стоимости измерений, иногда оказываются достаточно приличного объема. Как правило, в таких выборках встречаются повторяющиеся значения.
При решении задач статистического анализа такого рода выборок сталкиваются с теми же проблемами, что и при анализе выборок очень больших объемов. Корректному применению множества классических критериев проверки статистических гипотез препятствует "нарушение предположения" о том, что наблюдается непрерывная случайная величина.
Эмпирическое распределение, соответствующее выборке непрерывных случайных величин (без округления), с увеличением объема выборки сходится к функции распределения этой случайной величины. Допустим, что у рассматриваемого критерия существует предельное распределение статистики. Тогда эмпирическое распределение статистики, строящейся по выборке непрерывной случайной величины, сходится к предельному.
Если же наблюдаемые данные округляются с некоторым 5, то, начиная с некоторого n, зависящего от вида закона случайной величины, от области ее определения и от 5, расстояние между эмпирическим распределением и распределением случайной величины перестанет уменьшаться. А распределение статистики с ростом n станет отклоняться от предельного распределения статистики (чем больше 5, тем при меньшем n). В случае же выборок вида, как описано в начале, распределение статистики вообще не будет сходиться к предельному закону.
В работе методами статистического моделирования исследуется поведение распределений статистик ряда критериев согласия и критериев однородности, демонстрируются результаты исследований. Предлагается и реализуется подход, базирующийся на интерактивном исследовании распределений статистик критериев с применением метода Монте-Карло (при заданных n и 5) с дальнейшим использованием этого распределения для формирования корректного вывода о результатах проверки гипотезы.
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках государственной работы "обеспечение проведения научных исследований" (№ 1.4574.2017/6.7) и проектной части государственного задания (№ 1.1009.2017/4.6).
Стохастическое моделирование компартментных систем с трубками
К. К. Логинов, Н. В. Перцев
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал
Email: kloginov85@mail.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10103
При разработке математических моделей живых систем часто возникает необходимость учета пространственной неоднородности исследуемых популяций. Пространственная неоднородность может быть обусловлена нахождением индивидуумов популяций в различных компартментах и переходами индивидуумов между ними по некоторым трубкам. Примерами компартментных систем с трубками могут служить система кроветворения и иммунная система человека, в которых различные органы - ком-партменты, связаны трубками - лимфатические сосуды, вены, артерии, капилляры и т.д.
В работе предложен подход к построению стохастической модели динамики популяции частиц, распределенной по компартментной системе с трубками. Новизна модели заключается в том, что популяция описывается в терминах многомерного случайного процесса рождения и гибели, дополненного учетом точечных распределений, отражающих уникальные типы частиц - времена их переходов между компартментами. Продолжительности переходов частиц по трубкам не являются случайными, а задаются как параметры среды, в которой развивается популяция. Для формализации и компактного представления модели использована теория графов. На основе метода Монте-Карло построен алгоритм
52
Секция 3
моделирования динамики популяции. Приведены результаты вычислительных экспериментов для системы, состоящей из пяти компартментов.
Построенная модель допускает обобщение с точки зрения усложнения процессов, описывающих динамику частиц в компартментах и трубках, и может использоваться, например, при моделировании динамики развития ВИЧ-1 инфекции в организме человека.
Работа выполнена в рамках программы фундаментальных научных исследований СО РАН N. I.1.3.2, проект N. 0314-2019-0009.
Метод максимального сечения при моделировании пробега в задаче переноса электронов в газе
Г. З. Лотова1, А. А. Зайцева2
1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
2Новосибирский государственный университет
Email: lot@osmf.sscc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10104
Рассматривается задача моделирования электрических пробоев, возникающих в сильном электрическом поле. Такие задачи решаются методом Монте-Карло, путем построения траекторий движения частиц (электронов) от одного столкновения с молекулами газа до другого. Ранее был описан эффективный алгоритм построения криволинейных траекторий движения частиц, путем аппроксимации достаточно малыми прямолинейными отрезками, пройденными за одинаковое время. В данной работе предлагается моделировать криволинейные пробеги электронов между столкновениями с помощью метода максимального сечения. При этом вводится фиктивное дельта-рассеяние, которое не меняет направление движения после столкновения. Полученный алгоритм имеет трудоемкость не превышающую трудоемкость ранее предложенных алгоритмов.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 18-01-00599, 18-01-00356, 17-01-00823) и в рамках интеграционного проекта СО РАН (код проекта 0315-2018-0010).
Решение методом Монте-Карло нелинейного уравнения Шредингера
В. Л. Лукинов
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Email: vitaliy.lukinov@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10105
Данная работа посвящена изучению влияния случайных шумов при распространении и взаимодействии оптических сигналов в оптоволоконных каналах. На пропускную способность траффика нелинейных каналов оказывают влияние шумы с различного рода источниками: обратное рэлеевское рассеяние, спонтанное рамановское рассеяние и в усилителях вследствие спонтанной эмиссии фотонов. Оптический шум совместно с дисперсией и нелинейностью это три ключевых физических эффекта, влияющих на распространение оптических сигналов в оптоволоконных каналах, которые точно описываются нелинейным уравнением Шредингера (NLSE), учитывающим непрерывное взаимодействие между дисперсией и нелинейностью [1]. Известно, что NLSE (без возмущения) принадлежит классу интегрируемых нелинейных систем [2]. В частности, это обосновывает применение нелинейных аналогов преобразования Фурье (NFT) для перехода от пространственно-временных к спектрально-временным переменным. В настоящее время можно выделить два подхода: нелинейное частотное разделение каналов (NFDM) и нелинейный обратный синтез (NIS), использующие для передачи сигналов дискретную (солитонную) и непрерывные части нелинейного спектра [3, 4].
В работе проведено сравнение численных решений нелинейного уравнения Шредингера путем применения нелинейных аналогов прямого (FNFT) и обратного преобразования (BNFT) Фурье и прямой схемы Эйлера [2]. При FNFT происходит разложение спектра поступающего сигнала путем решения уравнения Захарова-Шабата [2]. Распространение нелинейной части спектра описывается известным уравнением [1]. Для нахождения получаемого сигнала при BNFT применяются разработанные автором методы Монте-Карло для численного решения интегрального уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко [4, 5, 6, 7]. Для оценки влияния аддитивного гауссовского белого шума использовалось
