Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей ограниченного искривления положительной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 4 (2019). С. 41-49.

УДК 514, 519.2

СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОГРАНИЧЕННОГО ИСКРИВЛЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ

КРИВИЗНЫ

Д.С. КЛИМЕНТОВ

Аннотация. В предлагаемой заметке выводится стохастический аналог уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци и приводится стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны ограниченного искривления. В 1956 году И.Я. Бакельман вывел уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци для поверхностей ограниченного искривления, т.е. для поверхностей, задаваемых функциями с непрерывными первыми производными и суммируемыми с квадратом обобщёнными вторыми производными в смысле Соболева. В 1988 г. Ю.Е. Боровский доказал, что уравнения, выведенные И.Я. Бакельманом, однозначно определяют поверхность ограниченного искривления.

Целью настоящей работы является изложение результатов И.Я. Бакельмана и Ю.Е. Боровского на языке теории случайных процессов в случае поверхности ограниченного искривления положительной кривизны.

С помощью двух основных форм поверхности строятся два случайных процесса и выводится система уравнений, связывающих между собой характеристики (переходные функции) этих процессов. Полученная система является стохастическим аналогом системы уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци и является необходимым и достаточным условием для однозначного определения поверхности (с точностью до движения). Отметим, что генераторами случайных процессов являются операторы второго порядка, порожденные основными формами поверхности. Например, если метрика поверхности задается выражением I = ds2 = gijdxldx3, то генератор соответствующего процесса имеет вид А = дгзdidj. Далее, устанавливается взаимосвязь между переходными функциями случайного процесса и коэффициентами генератора. Полученные выражения подставляются в обобщенные уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци, что и приводит к искомому результату.

Ключевые слова: поверхность ограниченного искривления, кривизна, случайный процесс, переходная функция случайного процесса, уравнение Колмогорова.

Mathematics Subject Classification: 60G99, 53А05

D.S. Klimentov, Stochastic analogue of fundamental theorem of surface theory for

surfaces with bounded distortion and positive curvature.

©Климентов Д.С. 2019.

Работа выполнена при финансовой поддержке Южного Федерального Университета. Автор является сотрудником Южного Федерального Университета. Поступила 25 декабря 2018 г.

В предлагаемой заметке выводится стохастический аналог уравнений Гаусса -Петерсона-Кодаццн и приводится стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны ограниченного искривления. Настоящая работа является продолжением работ [1] и [2]. Стоит отметить, что данная тематика возникла как попытка построить аналитическую геометрию на двумерных многообразиях ограниченной кривизны, В дальнейшем мы будем требовать, чтобы кривизна двумерной поверхности Р в трехмерном евклидовом пространстве была положительной и поверхность Р была одноевязной, конформно эквивалентной кругу. Требование положительности кривизны связано со спецификой построения диффузионного процесса по квадратичной форме. Первую и вторую квадратичные формы поверхности Р будем обозначать I = д^ dxгdx^ и II = Ьц соответственно, где х1,х2 — локальные координаты на нашей поверхности.

Хорошо известна основная теорема теории поверхностей [3, с, 306]:

Уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци представляют собой необходимое и достаточное условие того, чтобы, две аналитически заданные квадратичные формы, из которых одна является, положительно определённой (первая форм,а, поверхности), служили первой и второй формами для некоторой поверхности, которую они определяют с точностью до движения; ее глобальный вариант см, в [4, с, 76],

В 1956 г. И,Я, Бакельман в работе [5] вывел уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци для поверхностей ограниченного искривления, т.е. для поверхностей, задаваемых функциями с непрерывными первыми производными и суммируемыми с квадратом обобщёнными вторыми производными в смысле Соболева, В 1988 г, Ю.Е, Боровский в работе [6] доказал, что уравнения, выведенные И,Я, Бакельманом, однозначно определяют поверхность ограниченного искривления.

Структура статьи следующая: в первой части приводятся некоторые определения из теории случайных процессов; во второй - необходимые сведения из теории двумерных многообразий ограниченной кривизны (пространств Александрова); в третьей части формулируется и доказывается стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей ограниченного искривления положительной кривизны,

1. Сведения из теории случайных процессов

Предполагается, что читатель знаком с определениями случайного, марковского и строго марковского процессов, диффузионного процесса. Здесь принимаются обозначения из [7]. Более подробные сведения по излагаемым в этом пункте вопросам можно найти в

И, [8].

Будем считать заданным вероятностное пространство (П, )■

Рассмотрим многообразие (фазовое пространство) (Е, В), где В— а-поле борелевеких множеств на Е. Подробное определение случайного процесса на многообразии можно посмотреть в [8].

Введём некоторые необходимые в дальнейшем обозначения.

Определение 1. [7, с, 74] Функция Р(Ь,х, Г) (Ь > 0,х е Е, Г е В) называется, переходной функцией, если выполнены следующие условия:

1. При фиксированных Ь и х функция Р(Ь,х, Г) является мерой на, а-шгебре В.

2. При фиксированных Ь и Г Р(Ь,х, Г) есть В-измеримая функция точки х.

3. Р(г,х, Г) < 1.

4. Р(0,х,Е \ х) = 0.

5. Р(з + I, х, Г) = /Е Р(8, х, ¿у)Р(I, у, Г)

Пусть ^ — некоторая мера в фазовом пространстве (Е, В),

Определение 2. [7, с, 75] Функция p(t,x, у) (t > 0,х,у Е Е) называется переходной плотностью, если выполнены условия:

1, p(t, х, у) > 0.

2, При фиксирован ном t p(t,x, у) являет ся B х B-измеримой функци ей от (х,у).

3. fEp(t,x,y)ß(dy) < 1.

4. p(s + t,x,z) = jEp(s,x,y)p(t,y,z)ß(dy).

Легко проверить [7, с, 75], что если p(t,x,y) — переходная плотность, то формула

Р(t, х, Г) = j p(t, х, y)dy, t > 0, P(t, x, Г) = xr,t = 0

определяет переходную функцию,

Co всякой переходной функцией связана сжимающая полугруппа Tt следующим образом [7, с. 80]

Ttf(х)= i Р(t,x,dy)f(у), Je

где f Е В, В — совокупность всех ограниченных измеримых функций с естественными линейными операциями и нормой ||/1| = sup^eE Ц(ж)|.

Определение 3. [7, с, 214]. Инфинитезимальным оператором, полугруппы Tt (переходной функции Р(t,x, Г)) будем называть оператор А, действующий по правилу

Af (х) = lim Ttf (Х) - f (Х), t^+o t

причем, область определения, оператора, А состоит из тех функций f, для, которых предел, в правой части существует.

Если на фазовом, пространстве введена, структура, гладкого многообразия, то инфини-тезимальный оператор, суженный на, дважды, непрерывно дифференцируем,ы,е функции, называется, генератором (случайного процесса) и в локальных координатах (хг) имеет вид:

Af (х) = агдгд, f (х) + Ьгдг1 (х) - Cf (х),

д ..

где дг = -^т—, а4 — положительно определённая матрица. охг

Переходная плотность связана с генератором случайного процесса обратным уравнением Колмогорова [7, с. 238]

I = *

где оператор А — генератор случайного процесса, введённый выше.

В книге [7] в главах 1 и 2 показано, что со всяким марковским процессом однозначно связаны сжимающая полугруппа, переходная функция и инфинитезимальный оператор.

2. Сведения из дифференциальной геометрии

Подробное изложение теории двумерных многообразий ограниченной кривизны можно найти в книге [9] общепринятых обозначений, из которой мы будем придерживаться в этом параграфе.

Определение 4. [5, с. 74]. Двумерную поверхность F в трёхмерном евклидовом, пространстве будем называть гладкой поверхностью ограниченного искривления, если она,

с- f с- с- 1

в некоторой окрестности любой своей точки допускает параметризацию

г = г(х\х2),

где г(х1,х2) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция, своих переменных, меняющихся в некоторой области И на плоскоети (х1,х2), имеющая все вторые обобщённые производные, локально суммируемые с квадратом в Б, причём, всюду в И |гж1 х гх21 = 0. Иными словам,и, функция г(х1 ,х2) е С1 П Ж22 внутри указанной области.

Пусть Д — метрическое пространство с метрикой р. Если дано непрерывное отображение сегмента 0 < £ < 1 (а < £ < 6) в пространство Я, то мы говорим, что задана кривая в параметризации X(¿). Различным значенпям Ь могут отвечать одинаковые точки X(¿). Сегмент 0 < Ь < 1 распадается на связные компоненты каждой из которых отвечает одна и та же точка X (^.Параметризации X (¿) и У (в) называются эквивалентными, если существует строго монотонное взаимно однозначное отображение ф, при котором

где 0 = t0 < t\ < ... <tn = 1 — произвольное разбиение промежутка [0,1].

Определение 6. [9, с. 7] Метрика р называется, внутренней, если для, любых двух точек Х,У е R расстояние р(Х, Y) равно точной нижней границе длин кривых, соединяющих точки X,Y.

Определение 7. [9, с. 7] Кратчайшей, соединяющей точки X,Y е R, называется, кривая, имеющая наименьшую длину среди всех кривых с тем,и же концами. Геодезической называется, кривая, кратчайшая на каждом достаточно малом участке.

Определение 8. [9, с. 8] Треугольником Т = ABC в пространстве R назовем, фигуру, состоящую из трех заданных различных точек A,B,C (вершин треугольника) и трех попарно соединяющих их кратчайших (сторон треугольника).

Допустим, что в пространстве R выделена открытая в R область G, которая оказалась гомеоморфной открытому кругу на плоскости. Пусть треугольник Т лежит в этой области, и его стороны образуют простой замкнутый контур (т.е. они ограничивают в G область). Мы будем причислять ее к Т и говорить, что Т есть треугольник, гомеоморфный кругу.

Определение 9. [9, с.8] Будем говорить, что треугольник Т — гранично выпуклый, если, никакие две точки его контура, нельзя, соединить идущей вне Т кривой, более короткой, чем, соединяющий эти точки участок контура.

Определение 10. [9, с.9] Простым треугольником (в области G) будем называть гомеоморфный кругу гранично выпуклый треугольник. Два простых треугольника называются, неналегающими, если они не имеют общих внутренних точек.

Пусть L и М — две кривые в Д, исходящие го одной точки О. Пусть X шУ — переменные точки соответственно на L и на М. Построим на плоскости треугольник Т0 со сторонами р(О,Х), p(ü,Y) и p(X,Y), Такой треугольник существует, поскольку указанные расстояния удовлетворяют неравенству треугольника. Пусть 7(X, Y) — угол, лежащий против стороны p(X,Y),

Определение 11. [9, с.8] Верхним углом, (углом) между кривыми L и М в точке О называется,

Верхним углом треугольника Т = АБС в вершине А будем считать верхний угол между кратчайшими АВ и АС.

Определение 12. [9, с, 9] Верхним избытком (избытком,) треугольника называется величина

3(Т) = а + /3 + 7 - ж (и(Т) = а + $ + 7 - ж), где ) — верхние углы, (углы) треугольника Т.

Определение 13. [9, с,8] Метрическое пространство Я называется, двумерным многообразием ограниченной кривизны, если выполнены следующие аксиомы

1, Я есть .метрическое пространство с внутренней метрикой;

2, Каждая точка в Я имеет окрестность, гомеоморфную кругу на плоскости;

3, Для, всякой области С С Я с компактным замыканием существует такое число V(С), что для, всякой конечной совокупности, попарно неналегающих простых треугольников Тг С С

^г \3(Тг)\< и (в) < +Ю.

Имеет место следующая

Теорема 1. [10, с,91] Двумерное .многообразие с внутренней метрикой имеет ограниченную кривизну тогда, и только тогда, когда, во всякой области С с компактным замыканием индуцированная в ней метрика рс допускает равномерное приближение ри-мановыми метриками, в которых абсолютные кривизны ограничены в совокупности.

В работе [5, с, 83] была доказана

Теорема 2. Всякая гладкая, поверхность ограниченного искривления в смысле своей внутренней метрики есть многообразие ограниченной кривизны.

Приведем теперь некоторые определения и результаты из работы [5].

Определение 14. [5, с,71] Средней поверхностью Ръ для, поверхности, ограниченного искривления Р с параметризацией г = г(х1,х2) называют поверхность с параметризацией

где

( 1 f ^

uh(^,rj,x1 ,x2)d^dij =< Жеr2-h2 ,r < h

[ 0,r > h

Hh = /fr<h e r'2-h'2 d^di], r = V(xl - 02 + (x2 - V)2■

Введём следующие обозначения [5, с, 102]:

r _ 1 дЭ22 (dgi2 1 дд22л ri =2912 • д^ - 922(- 2 д^); ф(х1,х2) = , г1 = • g22hJ где индекс h внизу означает принадлежность к средней по-

V011022-012

верхпости.

Пусть теперь U1,s — множество точек отрезка [а + 8,b — i], обладающих следующими свойствами: для и G U1,$ можно выбрать подпоследовательность Fhk так, что

1, При любых с + 8 < X < ß < d — 8

rß rß

Um фhk (u,v)dv = ф(u,v)dv; hk^oJx J\

2, Кривая Lu1 имеет конечный поворот в пространстве, который как функция множеств кривой Lu абсолютно непрерывен;

Определение поворота координат ной линии Ьи [5, с. 99] достаточно громоздко, поэтому здесь оно не приводится.

46

Д. С. КЛИМЕНТОВ

3, Кривые Ьи,ьк сходятся к Ьи равномерно вместе со своими касательными и имеют ограниченные в совокупности повороты, которые равностепенно абсолютно непрерывны.

Теорема 3. [5, с,110] На всякой гладкой поверхности ограниченного искривления в пря-2 2

моугольнике для, почти всех х\,х\ е и и для почти всех х\,х2 е имеют

чти, ения

§ь Ъ\\(1х1 + Ъ\2(1х2 = // ^2 Г\26\\ + Г212Ь\2 - Г\\Ь\2 - Г2\\Ъ22(1х\(1х2

хех2

место соотношения,

к

§ь Ъх2(1х1 + Ъцйх2 = // ^ Г^Ъх\ + Г^Ъх2 - Г2\&12 - ^^¿хЧх2 , ^

к е 2

Х1Х2 22

где Ь — граница прямоугольника КХГ1, Гк — обобщенные символы Христоффеля, второго

X X 2

рода, [5, с,85].

Теорема 4. [5, с, 110] Пусть Ц — некоторое множество на поверхности, ограниченного искривления Б. Имеет место формула

-(«)= // Л". (2)

11(( 9\\922 - 9 и

где кривизна, Ц, ¿а — эл,ем,ент площади.

В дальнейшем мы будем рассматривать поверхность ограниченного искривления положительной кривизны. Определение этого понятия для двумерного многообразия ограниченной кривизны достаточно громоздко и потому здесь не приводится. Подробную конструкцию понятия кривизны можно посмотреть в [9], глава 5, В гладком случае аналогом кривизны является гауссова кривизна и ее положительность эквивалентна положительной определённости второй основной формы поверхности.

Из положительности кривизны поверхности ограниченного искривления следует положительная определенность второй основной формы почти всюду [5], §§11, 12,

Случайный процесс порождённый второй формой поверхности, может быть построен с помощью соответствующей формы Дирихле1 [11, с, 19], Эквивалентность задания процесса с помощью формы Дирихле или генератора показана там же,

3. Формулировка основного результата

Пусть на поверхности ограниченного искривления положительной отграниченной от нуля кривизны Б заданы два случайных процесса с генератор ом Ах = дг3дг д^ и с генератором Ау = Ьг3дгд^ , Переходную функцию процесса Х1 обозначим Р 1(Ь,х, Г), процесса — Р2(1,х, Г),

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 5. На всякой гладкой поверхности ограниченного искривления в прямоуголъ-

х2х2

нике К^ х2 для, почти в сех х\.х2 Е Их и для, по чти всех х2,х2 е Ух имеют место 12

§ь &1 \<1хХ + &12<1х2 = // х2х2 Г\2&1 \ + Г\22 - Г\\&12 - Г2иЪ22(1х1(1х

1Д

1 Х 2

§ь Ъх2дьХХ + ЬцдьХ2 = // х2Х2 Г^&и + Г22&12 - Г2\Ъх2 - Г2\Ьцйх1йх2

(3)

' к 1 2 к11

Х1Х2

х2 х2

где Ь — граница прямоугольника К I I,

х х2

2 щ»/ i

^ ^ к,1 = \ I т 12

1 Построение случайного процесса с помощью формы Дирихле весьма громоздко [11] глава 1 и здесь не

приводится

х P*(t,x,dy)- ШШ

1 + kl'

Г — 1 (дЩк + ^ML _ rl — nklГ

Г г3,к 2 ydxi + dxi дхк J , Г ij У ,

И — Í P1 (t ,x,dy)V-2 • Í P1 (t ,x,dy)y2 -

P¡o (t,x, dy) ухУ2

2

и производные понимаются в смысле Соболева, индекс Ю означает производную по переменной Ь при 1 = 0, д^ = |у| / Р^о^, х, ¿у)

Теорема 6. Пусть Я — некоторое .множество на, поверхности, ограниченного искривления, Р. Имеет место формула

-(Я) =[[ Ьгф22 - (4)

ПЯ 911922 - 912

где w(Q) — кривизна Q, da — элем,ент площади,

^ij — ^ 1 ,i=11/р У Pt®(^,x, ^У) 1 f ,x, ^У) i + $ 7

x

х P*(t,x,dy)- Ш1

1 + Ski'

9ij = щ / Pto(^,x, dy) ?

2 2 2 \I\ = / P1 (t, X, dy) y2 •/ Pío (t, X, dy) yf - [/ P10 (t, X, dy) У1У2] .

Теорема 7. Для, того чтобы, два случайных процесса, Xt и Yt однозначно определяли, поверхность ограниченного искривления (с точностью до положения, в пространстве), необходимо и достаточно выполнение уравнений (3), (4).

4. Доказательство основного результата Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько лемм.

Лемма 1. Контравариантные коэффициенты, первой формы, связаны, с переходными Xt

911 = í uP1 (t ,x,d y))tj4,

dt 4 ' ' 2 d_ dt

г ¿

g12 — TÁp 1 (t ^^У^^оУ^

f = j I (P1 (t,X,dy)),__„ f.

Доказательство. В книге [7, с,80] выводится формула Ttf = J P(t,x,dy)f(y). По определению, инфинитезимальный оператор диффузии Xt задаётся равенством

Ах! = lim . (5)

i^+0 t

лена и непрерывна, следовательно, предел в правой части существует и равен:

d

Ах! = it ял**

Здесь мы воспользовались равенством То/ = /, В нашем случае генератор процесса Хг имеет вид Ах/ = gгjдiдjf. Выбирая в качестве функции / функцию / = и подставляя в последнее равенство для генератора, получим утверждение леммы:

дгздгд^ Ог) = у | (Р\ (I,х,йу))t=0f (у).

Отметим, что мы занесли производную под интеграл, воспользовавшись теоремой Лебега

о мажорируемой сходимости [12, с,302],

" □

В дальнейшем, чтобы не усложнять обозначения, производную по времени в момент времени ¿ = 0 будем обозначать нижним индексом Ь0

Лемма 2. Ковариантные коэффициенты первой формы, поверхности имеют вид

9\\ = |у[ У р/о &.х.(1у) у.

922 = [1[ j Р\ & .х.Лу)^.

9 \2 = -щ У ^. Ж. Ау) У\У2.

|/| = / Р/о (*. ж. &у)| ^ р/о (*. ж. | - [/ Р\о (I. ж. ¿у) у^] . Доказательство. Доказательство немедленно следует из соотношения

9и913 = %.

где <)\— символ Кронекера, □

Лемма 3. Контравариантные коэффициенты, второй формы, поверхности связаны, с переходными, функциями процесса, соотношениям,и

Ьп = У Р& (* .х.(1у)У2.

Ь12 = У Р?о ^.Х.<1у) У\У2.

Ь22 = !р?О (*.

Доказательство. Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 1 за единственным исключением: значения генератора Ау на дважды непрерывно дифференцируемых функциях, вообще говоря, суммируемы с квадратом, что никак не влияет на дальнейшие рассуждения, □

Лемма 4. Ковариантные коэффициенты, второй формы, поверхности имеют вид

-2 1 ( Ы а „ \ У*Ук [ Ып „ \ У3У1

ЬЧ = ^к,1=\[У|2 У РюЬ.Х.ЛУ.Х.(1у)1 + ^1

х [ р?о(г.х. ¿у)- УкУ1

X

1 + 5к1

Доказательство. Доказательство элементарным образом следует из известной формулы Ь^ = дисдз1Ьы и лемм 1-3,

□

Лемма 5. Коэффициенты Христоффеля вычисляются по формулам

If д gik dgjk дд^\ г ij,k = - I "T^T +

2\dxJ dxi dxk )

ViVj 'i j

где производные понимаются в смысле Соболева, gij = Pto(t,x,dy)

Доказательство. В работе [5, е, 86] было доказано существование символов Христоффеля для поверхности ограниченного искривления и вычисления их по указанным формулам. Результат леммы очевидным образом следует из лемм 1-2, □

Доказательство основного результата очевидным образом следует из доказанных лемм и результатов работы [5], [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Климентов Д.С. Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2013. № 6, С. 24-27.

2. Климентов Д.С. Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей ненулевой средней кривизны // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2014. № 1. С. 15-18.

3. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. ГОНТИ. 1939.

4. S. Sasaki A global formulation of the foundam,entai theorem of the theory of surfaces in three dimensional Euclidean space. // Nagova Math J. 1958. V. 13, P. 69-82.

5. Бакельман И.Я. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей // УМН. 11:2(68) (1956). С. 67-124.

6. Боровский Ю.Е. Системы Пфаффа с коэффициентам,и из Ln и их геометрические приложения // Сибирский математический, журнал. 1988. Т. 24. № 2. С. 10-16.

7. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматлит. 1963.

8. Ватанабе С, Икеда И. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: «Наука». 1986.

9. Александров А.Д., Залгаллер В.А. Двумерные многообразия, ограниченной кривизны. Труды математического института имени В.А. Стеклова. Изд. Академии наук СССР. Москва. Ленинград. 1962.

10. Решетняк Ю.Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Геометрия - 4- Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 70. ВИНИТИ. М. 1989. С. 7-189.

11. M. Fukushima, Y. Oshima, M. Takeda Dirishlet Forms and Symmetric Markov Processes. Walter de Gruvter. Berlin. New York. 1994.

12. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа,. М.: «Наука». 1976.

Дмитрий Сергеевич Климентов

Институт математики, механики и компьютерных наук

Южного федерального университета,

ул. Мильчакова, 8а,

344000, г. Ростов-на-Дону, Россия

E-mail: [email protected]