Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.81+519.21

стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей

ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ*

© 2013 г. Д.С. Климентов

Климентов Дмитрий Сергеевич - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра геометрии, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: dklimentov 75@gmail. com.

Klimentov Dmitriy Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Lecturer, Department of Geometry, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:

dklimentov 75@gmail. com.

Приводятся стохастический аналог уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци в терминах переходных плотностей и переходных функций диффузионных процессов на регулярной поверхности и стохастический аналог глобального варианта основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны, конформно эквивалентных кругу.

Ключевые слова: уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци, диффузионный процесс, основная теорема теории поверхностей.

The proposed article contains a stochastic analog of Gauss-Peterson-Codazzi equations in terms of transition densities and transient functions of diffusion processes on a regular surface and provides a stochastic analog of a global version of the fundamental theorem of the theory of surfaces for the surfaces ofpositive curvature, conformally equivalent to a circle.

Keywords: Gauss-Peterson-Codazzi equations, diffusion processes, fundamental theorem of the theory of surfaces.

Пусть S - регулярная поверхность класса C3 в E3 с первой и второй квадратичными формами

I = gjjdx'dx-1 и II = bydx1 dxJ .

В 1853 г. в работе [1] К. Петерсон получил урав-

сb j db .■ — „

нения —-- Г-b- =—— - ГНЬ- , связывающие меж-

dxk щ dxJ J ak

ду собой коэффициенты первой и второй квадратичных форм, где Г j - символы Кристоффеля второго

рода. Эти уравнения являются достаточными условиями для определения поверхности с точностью до положения в пространстве (теорема Бонне). Несколько позже, в 1867 г., эти же уравнения были выведены Кодацци. Если потребовать, чтобы вместе с уравнениями Петерсона-Кодацци выполнялось уравнение

Гаусса gugi2 - gi22 = K (ЬцЬ^ - b^), где K- гауссова кривизна поверхности, то получим основную теорему теории поверхностей [2, с. 304].

Уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци представляют собой необходимое и достаточное условие того, чтобы две заданные квадратичные формы, из которых одна является положительно определённой, служили первой и второй формами для некоторой поверхности, которую они определяют с точностью до движения.

В 1956 г. И.Я. Бакельман в [3] вывел уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци для поверхностей на поверхности ограниченного искривления, т.е. на поверхности, задаваемой функциями с непрерывными первыми производными и суммируемыми с квадратом обобщёнными вторыми производными в смысле Соболева. Следует отметить, что все доказательства основной теоремы теории поверхностей носили локальный характер. Первое глобальное доказательство основной теоремы было приведено в 1958 г. С. Сасаки в [4], а в 1972 г. он же доказал основную теорему для гиперповерхностей [5]. Дальнейшие обобщения связаны с понижением требований регулярности и по-

*Работа выполнена при финансовой поддержке внутреннего гранта ЮФУ № 213.01-24/2013-66.

вышением размерности как поверхности, так и объемлющего пространства [6-8].

В предлагаемой заметке выводится стохастический аналог уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци и приводится стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхности S положительной кривизны.

В дальнейшем будем требовать, чтобы кривизна поверхности S была положительной и поверхность S была односвязной, конформно эквивалентной кругу. Требование положительности кривизны связано со спецификой построения диффузионного процесса по квадратичной форме и не может быть обойдено без привлечения дополнительных громоздких конструкций.

Не ограничивая общности, можно считать, что первая форма приведена к изотермическому виду [9, с. 89] I = л(Мх2 + dy2 ). Отметим, что для поверхности класса C3 функция А є C2, Va :0 < a < 1 [8, с. 89]. Обозначим диффузионный процесс, порождённый первой квадратичной формой, - Xt, второй - Yt [10, с. 227]. Переходную плотность процесса Xt будем обозначать р] (х, y), Yt - pt (х У), где х, у - точки поверхности S. Подробнее диффузионный процесс по квадратичной форме строится с помощью уравнения теплопроводности. Например, для процесса Xt переходная плотность получается как фундаментальное

= SlJdiд}p\. ot

Переходные функции случайных процессов Xt и Yt будем обозначать Pl(t,x,r) и P2(t,x,r), где Г є B(S), B(S) - а -поле борелевских множеств на S [10, с. 74]. Отметим, что переходная функция и переходная плотность связаны соотношением [10, с. 75]

P(t, х, Г)= J p(t, х, y)dy.

Г

Имеет место следующая

Теорема 1. Переходные плотности и переходные функции процессов Xt и Yt удовлетворяют системе уравнений

решение уравнения

Ар]

др)

2 2

JP2 (t, х, dy)^~J P2 (t, х, dy)~—

-(j P 2 (t, х, dy) Ар)

УіУ2

М А ln М.

2Ap) АР)

(1)

дхк

- Г

ik

д tp1

Ар)

д tp1

J P 2 (t, х, dy)

УіУ

1 + 8,

J P 2 (t, х, dy)

УоУ

a j _

1 + 8,

дх-1

_ -r-^a 1 J

Ар]

д tp] Ар]

1 -JP 2 ^ х dy )y

a

УіУк

+ 8

ik

д tpt

j -JP 2 ^ x, dy )y

УаУк

+ 8

где

я _ 1 8lkдр

2 Ар1

дх

дх

ak

Sjj - символ Кронекера.

Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько лемм.

Лемма 1. Кривизна поверхности S и переходная плотность р](х, у) связаны соотношением

^ = МдlnМ, где А =А + 4, х = (х-1.х2).

2Xpt Ар{ дх2 дх\

Доказательство. В изотермической системе координат на поверхности имеет место формула для вычисления кривизны [11, с. 193] K = —— А 1пА. В

2А

изотермической системе координат уравнение тепло-

др1 1 А 1

проводности примет вид —- = — Xpt .

3t А

Выразим из последнего уравнения коэффициент

А : А = Ар\ . Отметим, что для диффузионного про-

д tpt

цесса переходная плотность р] не может быть постоянной по параметру t [10, с. 227], и следовательно, производная по параметру t не может всюду обращаться в нуль. Если производная переходной плотности обращается в нуль в некоторой точке t = to, то перейдём к пределу в последней формуле при t ^ to. Предел справа обязательно будет конечен, так как существует и конечен предел слева (функция X от t не зависит и является дважды непрерывно дифференцируемым коэффициентом первой формы поверхности

S). Таким образом, выражение А = дважды не-

з tp]

прерывно дифференцируемо, и следовательно, его можно подставить в формулу для кривизны, что и доказывает утверждение леммы.

Лемма 2. Контравариантные коэффициенты второй формы связаны с переходными функциями

2

процесса Yt формулами b11 =J P 2 (t, х, dy)-],

2

b12 = JP2(t,х,dy)УУ2, b22 =JP2(t,х,dy)У^. Доказательство. В [10, с. 80] доказана формула

Af = J P(t>хdy)f (y), (2)

где A - инфинитезимальный оператор случайного процесса. Инфинитезимальный оператор, суженный на дважды дифференцируемые функции, совпадает с генератором этого процесса, и для процесса Yt генератор имеет вид A = blJдlдj , т.е. в нашем случае имеет место зависимость b J ді д f (х) = J P2 (t, х, dy)f (y).

J

2

2

a

д

Выберем в качестве fx) функцию f (x) = . По-

лучим b11 = J P 2 (t, x, dy) ^l-.

x 2

Выбирая функции f (x) = xYx2 и f (x) = — , полу-

чим b12 =JP2(t,x,dy)yty2, b22 =JP2(t,x,dy)у^.

Лемма 3. Дискриминант первой формы и переходная плотность процесса Xt связаны соотношением

1 С

ДРІ

3 tP1

Доказательство очевидным образом следует из начала доказательства леммы 1.

Доказательство теоремы 1. Уравнение Гаусса

после опускания индексов у коэффициентов b'1 и применения доказанных лемм очевидным образом переписывается в виде

Др1

др)

Z Z

J P2 (t, x, dy) J P2 (t, x, dy) ^2- -

-[/P2 (f, x, dy) ^ ]

Cl д in M

2Др1 Др1

С учётом предыдущего уравнения Петерсона-Кодацци перепишутся в виде

_д_

dxk

ДР\ •/P2 (t, x, dy)fy

dtPt

+ 8,

- Г

_Др-

д tP1

-• f P2 (t, x, dy)-1 J

yay

a j

+8

aj

3

3xj

Др1

dtPt

yj P2 (t, x, dy)

yy

1+8

ik

-raДрV• J p 2 (t, x, dy ){ayk

3 tPt

1+8

ak

Отметим, что символы Кристоффеля могут быть выражены через переходную плотность первого про. Др) _

цесса с помощью соотношения Я = —— . Для сим-

з р

вола Кристоффеля второго рода имеет место формула

1 ( Лгт _ Лгт ^

[2] Г‘ = - gIk

2

dgjL + dgjL_ dgj dxj dxi dxk

В изотермической системе координат коэффициенты метрики очевидным образом записываются в виде

gkl

gjj = 8jjl, gkl = —, где 8y - символ Кронекера. Подста-

Я

вим эти выражения в формулу для символа Кристоффе-ля и используем выражение для функции X из леммы 1

, 18lk д tP)

j =2 Др)

f

Др

t \

д tP)

[

t \

3xJ

г Дрі

'Jjk я t

у 31р1 3xi

д

( к \ \ я Др<

8J —

у

3 !р)

3xk

Теорема доказана.

2

д

8

д

ik

+

Так как связь между положительно определёнными ограниченными квадратичными формами и переходными функциями (переходными плотностями) взаимно однозначная [10, с. 84] , то имеет место

Теорема 2. Два случайных процесса в двумерном евклидовом пространстве Xt и Yt с генераторами

AX = glJ3i3j, Ay = bij3i3j , с трижды непрерывно

дифференцируемой по пространственной переменной переходной функцией P2(t,x,T) и трижды непрерывно дифференцируемой по пространственным переменным

переходной плотностью р-(x, y) определяют поверхность с точностью до положения в пространстве, если их переходная плотность р1 и переходная функция P2(t,x,r) удовлетворяют системе уравнений (1).

Доказательство. Зададим изотермическую систему координат, в которой генератор процесса Xt примет вид AX =ЯД . Из [10, с. 75] P(t, x, r)=J р(t, x, y)dy

г

следует, что переходная функция Pl(t,x,r) по пространственным переменным непрерывно дифференцируема по крайней мере трижды. Из (2) следует, что коэффициент X генератора процесса Xt непрерывно дифференцируем по крайней мере три раза. Аналогично коэффициенты генератора случайного процесса Yt непрерывно дифференцируемы три раза.

Получено, что коэффициенты генераторов указанных случайных процессов дифференцируемы не меньше трёх раз и удовлетворяют системе уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци, которая непосредственно получается из системы уравнений (1) повторением рассуждений из лемм 1-3. Следовательно, к ним применима основная теорема теории поверхностей, из чего непосредственно следует утверждение теоремы.

Литература

1. Peterson K.M. Uber die Biegung der Flachen. Dorpat, 1853.

2. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М., 1939.

3. Бакельман И.Я. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей // УМН. 1956. Т. 11, № 2(68). С. 67 - 124.

4. Sasaki S. A global formulation of the foundamental theorem of the theory of surfaces in three dimensional Euclidean space // Nagoya Math. J. 1958. Vol. 13. Р. 69 - 82.

5. Sasaki S. A proof of the fundamental theorem of hypersurfaces in a space-form // Tensor. 1972. № 24. P. 363 -373.

6. Климентов С.Б. Глобальная формулировка основной теоремы теории n-мерных поверхностей в m-мерном пространстве постоянной кривизны // Укр. геом. сб. 1979. Вып. 22. С. 64 - 81.

7. Боровский Ю.Е. Системы Пфаффа с коэффициентами из Ln и их геометрические приложения // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 24, № 2. С. 10 - 16.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981.

9. Веку а И.Н. Обобщённые аналитические функции М., 1988.

10. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., 1963.

11. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ко-вариантов. М., 1978.

Поступила в редакцию_____________________________________________________28 августа 2013 г.