Стохастический критерий k-движения регулярной поверхности положительной гауссовой кривизны в трёхмерном евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.81+519.21

DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-63-67

СТОХАСТИЧЕСКИМ КРИТЕРИИ ¿-ДВИЖЕНИЯ РЕГУЛЯРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ В ТРЁХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

©2015 г. Д.С. Климентов

Климентов Дмитрий Сергеевич - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра геометрии, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Klimentov Dmitrii Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Lecturer, Department of Geometry, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milcha-kov st., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: dklimen-tov 75 @gmail. com

В предлагаемой статье рассматривается стохастический критерий изгибания (бесконечно малого изгибания) и Сдвижения регулярной поверхности положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: варьированные уравнения Гаусса - Петерсона теории изгибаний.

Кодацци, диффузионный процесс, основная теорема

This article examines the stochastic criterion of a bending (infinitesimal deformation) and a k-motion for a regular surface S. The surface S is supposed ofpositive Gaussian curvature and placed in a three-dimensional Euclidean space.

Keywords: variation of the Gauss-Peterson-Codazzi equations, diffusion process, fundamental theorem of the theory of deformations.

В работе [1] приводится строгое определение понятия изгибания (бесконечно малого изгибания) регулярной поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Следует отметить, что изгибание поверхности долгое время не имело законченного определения, которое было дано геометрами Ростовского государственного университета. В [2] был предложен стохастический подход к формулировке основной теоремы теории поверхностей, следуя идеям, развитым в работе [1].

Необходимые сведения из теории изгибания поверхностей

Будем рассматривать регулярные, класса С", п > 2 поверхности, параметризованные в некотором круге Б , лежащем в (х1, х2) -плоскости. Границу круга будем обозначать с!); полагаем I) = .

Введём следующие обозначения: Сп (Б), и = 1,2,..,оо; о) — множество вектор-функций, определённых в Б и обладающих в Б непрерывными частными производными до порядка п (аналитическими в случае п = со ). Частные производные на сЮ понимаются как предельные значения частных производных в Б при стремлении точки, в которой они вычисляются, к о/).

Регулярную поверхность 5, заданную вектор-функцией г = г(х1,х2) е С" (Б), будем отождеств-

лять с этой вектор-функцией и мыслить как точку в пространстве Сп (Б).

На линейном пространстве вектор-функций класса С" (Б), п< со, будем считать заданной топологию нормы

д'г

||r С, и 2| _ = II1-1

Ve" (D) 11 ""

~ £"=o2L=o max

öVö'-V

Эта норма превращает Сп (Б) в банахово пространство.

Определение 1 [1, с. 3]. Непрерывной по параметру г деформацией Б1 поверхности 5" называется непрерывное отображение интервала (-£,£), (-со,со), [ОД] (любого промежутка, содержащего 0) в банахово пространство Сп (Б ) такое, что а для любого т из рассматриваемого промежутка есть регулярная поверхность класса Сп (Б) .

Определение 2 [1, с. 5]. Если для любого значения параметра г из рассматриваемого промежутка поверхность \г изометрична поверхности 5", то такая деформация называется непрерывным изгибанием поверхности 5".

Определение 3 [1, с. 5]. Пусть функция г дифференцируема по параметру т. Функция

S'r (и1,и2) =

1 d' r

21! dt'

называется 1-й вариацией

г=0

(по Рембсу) радиус-вектора г = г(и', и2) поверхности 5" при деформации .

Аналогично определяются вариации других величин, связанных с поверхностью 5, причём по определению полагаем ¿>°/ = / .

Определение 4 [1, с. 6]. Пусть Л'г - деформация поверхности 5" класса Ст по параметру, т-1, К, да,со, \<к<т; БТ называется бесконечно малым изгибанием к -го порядка поверхности 5, если З^у = О, / = 1 ,...,к , где gJ:; — метрический тензор поверхности 5.

Приведём формулировку основной теоремы теории бесконечно малых изгибаний.

Теорема 1 [1, с. 30]. Для того чтобы была бесконечно малым изгибанием к-го порядка, необ-

ходимо и достаточно выполнение уравнении zU Q-'Wbn +S'b11Sl-'b2i-281~\28\2}О, d2(81bll)-d1(81b12) = Y1a281bal-T«Slba2, (1)

d2(Slb2l)-dx(Slb22) = T«28lbfA - T2lS'ba2, l = l...k,

где btj — коэффициенты второго основного тензора поверхности S; Г,* - символы Христоффеля второго рода поверхности S.

Необходимые сведения из теории случайных процессов

Пусть (Q.F./J) — вероятностное пространство и (F<)<>o ~~ возрастающее семейство а -полей из F, т.е. F, с;Fv при 0<t<s. Семейство (F,)e0 будем называть потоком на Q и предполагать, что поток

непрерывен справа, т.е. F( = F;+v [3, с. 29].

£>0

Определение 5 [4, с. 184]. Функцию = ¿¡(о)) со значениями в некотором топологическом измеримом пространстве U, определённую на (Q.F.P), назовём случайной величиной, если для любого борелевского множества В е B(U) {со: ¿¡(со) е Г>\ е F. Здесь через B(U) обозначено а -поле борелевских множеств на U.

Пусть Wd = С([0,сс] —> Rd) - множество всех непрерывных функций w: [0,со) э 11—> w(t) е R''. Определим на Wd метрику pw следующим образом

[3,с. 25]: Ar(w1,w2) = X

maxiwl(t)-w2(t)\ л1

0<1<п d

метрике [3, c. 25]. Через B(Wd) мы будем обозначать борелевское о-поле, натянутое на пространство Wd с топологией, порождённой метрикой pw .

Определение 6 [3, с. 25]. Непрерывным d-мерным случайным процессом, заданным на (Q.F./J) с фазовым пространством R'', будем называть случайную величину со значениями в множестве Wd = С([0,ос] Wd = С([0,оо] Rrf), всех непрерывных функций w: [0,да) э t i—» w(t) е Rrf, т.е. F/B(Wd) - измеримое отображение X:Q. При всяком фиксированном сое Я функция X(t,a>) называется траекторией случайного процесса.

Если в определении 6 заменить пространство Rd произвольным банаховым пространством Е, то мы получим определение случайного процесса с фазовым пространством Е.

Рассмотрим произвольное фазовое пространство (ВД [5, с. 74].

Определение 7 [5, с. 74]. Функция P(t,x,Y) (t > О, х е Е, Г е В) называется переходной функцией, если выполнены следующие условия:

1. При фиксированных t их функция Pit.x.Г) является мерой на о-алгебре B.

2. При фиксированных t и Г функция P(t,x,Y) есть B -измеримая функция точки x.

3. P(t,x,E)< 1.

4. P(0,x,E \ x) = 0 .

5. P(s + t,x,Y) = \BP(s,x,dy)P(t,y,Y), t,s> 0.

С переходной функцией Pit, x, Г) можно связать сжимающую полугруппу операторов с помощью

формулы [5, с. 14] Ttf х = jp t,x,dy f у .

E

С помощью этой полугруппы определяется ин-финитезимальный оператор А по формуле

[5, с. 14] Afty\\m

t

Определение 8 [5, с. 75]. Функция р(?,х,у) называется переходной плотностью для переходной функции Р(1.х. I ). если выполняется равенство

P(t,x,Y) =

\Tp(t, x, y)dy, t > 0,

/г, t = 0.

где алЬ — тш(а,Ъ) и м>1,м>1 е 1Г . Можно показать, что пространство ^ полно и сепарабельно в этой

В [5] показано, что при самых широких предположениях инфинитезимальный оператор однозначно определяет переходную функцию.

И=1

Необходимо отметить, что инфинитезимальный оператор связан с переходной функцией формулой

[5, с. 80] Af(x) = lim --.

о t

Переходная плотность связана с инфинитези-мальным оператором случайного процесса соотношением [5, с. 15]

Ф л

— = Ар,

8t

(2)

где оператор А сужен на дважды непрерывно дифференцируемые функции (полагается, что в фазовом пространстве введена структура гладкого многообразия).

Оператор А в формуле (2) совпадает с некоторым эллиптическим (полуэллиптическим) дифференциальным оператором второго порядка.

Определение 9 (марковского процесса) [5, с. 116]. Пусть даны:

1. Функция ¡^(со) на вероятностном пространстве £1 принимающая значения из [0,со].

2. Функция Х(/,<») =Х,(бо), определённая для оеП и /е\().£(ы)\ и принимающая значения из фазового пространства (Т,В(Т)).

3. Для каждого / > 0 гт-полс в пространстве

4. Для каждого хеГ функция 1\(А) на некотором (7-поле Р0 в пространстве £1 содержащем при всех ¿>0.

Будем говорить, что эти элементы определяют марковский процесс X = если выпол-

нены следующие условия:

1. Если 7<и и АеРп то {А,£>и}е ¥и.

2. {X, е Г} е ¥п где />0,ГеВ(Г).

3. р есть вероятностная мера на с-поле ^ ■

4. При любых I > 0. Г е В(7 ) функция /'(1.x.\ ) = 1\ {Х1 е Г} есть В(7 ) - измеримая функция от х.

5. Р(0,х,Т \ х) = 0.

6. Для любых > 0, Г е В(Г), А е

Р^А,Х,+к&Т} = Е^ХлР{КХ,Л\ где Ех - математическое ожидание по мере Рх; %А — индикатор множества А.

7. Для каждого найдётся й еЦ такое что Хи(а>') = Х,+и(а>), где 0 <и < С(а>') = £(ео)

Функция Р(/,х,Г) = Рх{Х, е Г} является переходной функцией и называется переходной функцией марковского процесса. Инфинитезимальный оператор, построенный по этой функции, называется инфинитезимальным оператором марковского процесса. Аналогично определяется переходная плотность марковского процесса [5, с. 144].

Определение 10 [5, с. 144]. Марковский процесс X = называется строго марковским,

если для любого марковского момента г и любых х <= Т . Г е В(7 ) выполняется соотношение Рх{Х1+,еГ^,} = Р«,Хт,ГХ где Р^{Хт+,&Т\¥,} -условная вероятность относительно с-поля ^ ■

Определение 11 [5, с. 15]. Инфинитезимальный оператор, суженный на дважды непрерывно дифференцируемые функции, называется генератором строго марковского процесса

А = Ес?

ij=l

д д -:-- + YP -- + С .

дх' dxJ ¿=1 дх'

Матрица (ä )2

i,i=1

называется матрицей диффу-

зии; (Ь\Ь2) - вектор сноса; функция с - коэффициент плотности вероятности обрыва марковского процесса. Функции а', Ь' называются коэффициентами диффузии, коэффициентами сноса соответственно.

Определение 12. Диффузионным процессом (диффузией) мы будем называть строго марковский процесс с непрерывными траекториями.

Отметим, что всякому полуэллиптическому оператору А второго порядка соответствует диффузионный процесс с генератором А.

Теорема 2 [3, с. 185]. Если диффузия, отвечающая генератору с нулевым сносом, определена единственным образом для каждой стартовой точки, то диффузия с ненулевым сносом, отвечающая той же матрице диффузии, и ненулевым сносом, также единственным образом определена для каждой стартовой точки и получается из первой диффузии посредством преобразования сноса.

Теорема 2 даёт нам возможность изучать диффузионные процессы с нулевым сносом и позволяет сделать выводы о поведении процесса с ненулевым сносом. Таким образом, условие нулевого сноса не является слишком ограничительным.

Если в качестве фазового пространства будем рассматривать регулярную поверхность, то такой диффузионный процесс будем называть диффузией на поверхности.

2

Формулировка результата

Пусть 5 — регулярная поверхность класса С3 положительной гауссовой кривизны с первой квадратичной формой I = gijdxldX, второй формой

II = b¡JdxidX. Пусть на 5" заданы две диффузии Хь

порождённые квадратичными формами I и II соответственно (т.е. генератор диффузии Х( А = , для диффузии У, аналогично). Переходную плотность процесса Х1 будем обозначать р(1, х, у) (отметим, что х и у являются точками на поверхности 5 с контравариантными внутренними координатами (X, х2), (у1, у2)), переходную функцию процесса У, будем обозначать /'(1.x.Г). Кроме того, будем требовать, чтобы поверхность 5 была односвязной, конформно эквивалентной кругу.

Теорема 3. Для того чтобы поверхность 5 допускала нетривиальные бесконечно малые изгибания к-го порядка, необходимо и достаточно выполнение системы уравнений

Г« 2

с)'" - символ Кронекера.

Для доказательства теоремы потребуется несколько лемм.

Лемма 1. Изотермический элемент поверх-

„ Др(/,х,у)

ности о представим в виде Я = —--— , где А —

д,р(!,ъ у)

обычный лапласиан.

Доказательство. В [6, с. 89] показано, что первую квадратичную форму поверхности 5 можно привести к изотермическому виду

+ dx2 , где функция X называется изотермическим элементом поверхности.

Переходная плотность процесса X, удовлетворя-

Ф 1 л

етуравнению теплопроводности (2): = —Ар.

Ы /I

Так как коэффициент X строго положителен, то выражения — и Ар если и обращаются в нуль, то

dt

(

d.Pj 4 2

■3

+SS

-2 S'

d2(S'

( ApY ed

8tP) Jö, 2

У У

Ар

dtP) Jai dtP) Jd, 2

Аp

J^P(t,x,dy)

dtP) Jai

у у

= o,

. dp Ар

Tl2,ßS

f * ^ Аp

dtp

)-dl(S

f Ap \ r д у1 у2

тЧ

) =

одновременно, причём эти нули имеют одинаковый порядок. Следовательно, после умножения на Я и

др

деления на —— мы получим верное

а

равенство.

Лемма 2. Контравариантные коэффициенты второй формы />" поверхности 5" и переходная функция /'(1.x. Г) процесса У, связаны равенством

Öl,. , .и y'yJ 2 '

(4)

(3)

caß 4P г Ы

S -Г

Ар | cd yry2

d2(Sl

Г Ар \ cd

dtP) Jdt 2

)-81(Sl

£1

Доказательство. В [5, с. 80] выводится формула Т,/ = $Р((, х, dy) / (у). По определению инфинитезималь-ный оператор диффузии задаётся равенством

Ayf= lim -

(5)

) =

_ gaß dp

Ар

_Scßdp_

Ар

T2l,ßS

Ар \ cd у7у

5~Щ kPM)

Ар

д,р) J3,

•3 -w. . Л/У

J-P(f,*,dyy

где частные производные переходной функции берутся в момент времени ? = 0,

Отметим, что переходная плотность процесса дифференцируема не менее двух раз по внутренним координатам и по крайней мере один раз по переменной /. Так как переходная функция диффузии У{ связана с переходной плотностью рг равенством /'(/. х. I') = ру (I, х. у) ¿/у. то и функция Р(/,х, Г) дифференцируема по крайней мере один раз по переменной ?.

1-S

f=l

2

s

2

2

2

2

Рассмотрим подробнее равенство (5). Для дважды непрерывно дифференцируемых функций /левая часть определена, в правой части в знаменателе стоит бесконечно малая величина, следовательно, в числителе также находится бесконечно малая величина. Применим к пределу правило Лопиталя:

Ajf = lim

д

dt_

1

dt tJ '=0

В нашем случае генератор процесса имеет вид Лу [ = />"г(Г (/ . Выбирая в качестве / функцию

f =

yy 2

генератора, получим утверждение леммы.

Лемма 3. Для Христоффелей первого рода поверхности 5 имеет место равенство

rw =

_8_

дх-'

öa

Ар д,р

_д_

' дх'

S„

Ар д,р

д

' дхк

Ар д,р

Доказательство очевидным образом следует из формулы для вычисления Христоффелей и леммы 1 .

Лемма 4. Вариации выражений в системе уравнений (3) определены корректно.

Доказательство следует из результатов работы [2]: выражения, стоящие под знаком вариации, являются коэффициентами основных форм поверхности 5.

Лемма 5. Для Христоффелей второго рода поверхности 5" имеет место равенство 1

Г'-У'^х

у 2

dxk

ö.

Ap

8

Ap(W)

d,p(t,x,y)j bp(t,x, у)

= 0, 1 = 1,...,k,

J dt 1

dy) H<

2

(6)

= 0, (7)

и подставляя в последнее равенство для

Доказательство очевидным образом следует из леммы 1 и известной формулы для Христоффелей второго рода.

Доказательство основного результата

В систему (1) подставим выражения для коэффициентов второй основной формы и Христоффе-лей из доказанных лемм.

Достаточность следует из того, что поверхность положительной кривизны однозначно определяется двумя случайными процессами [2].

В качестве иллюстрации приведённой выше техники рассмотрим стохастический критерий k-движения.

Теорема 4. Для того чтобы деформация поверхности 5 была Сдвижением, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

d,p(t,x,y) l =1,...,k.

Докажем две вспомогательные леммы.

Лемма 6. Для того чтобы деформация была k-изгибанием, необходимо и достаточно выполнение равенства (6).

Доказательство непосредственно следует из определения бесконечно малого изгибания поверхности k-го порядка [1, с. 6] и леммы 1.

Лемма 7. Для того чтобы k-изгибание было k-движением, необходимо и достаточно выполнение равенств (7).

Доказательство. В [1, с. 36] доказана теорема о том, что k-изгибание является k-движением тогда и только тогда, когда выполняются равенства S'by = 0, / = 1.....к. Подставим в последние формулы выражение для коэффициентов второй формы (4), предварительно опустив индексы.

Литература

1. Климентов С.Б. Введение в теорию изгибаний. Двумерные поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Ростов н/Д., 2014. 168 с.

2. Климентов Д.С. Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей положительной кривизны // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2013. № 6. С. 24-26.

3. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М., 1986.

4. ШиряевА.Н. Вероятность. М., 1989.

5. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., 1963.

6. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М., 1988. 509 с.

References

1. Klimentov S.B. Vvedenie v teoriyu izgibanii. Dvumernye poverkhnosti v trekhmernom evklidovom prostranstve [Introduction to the theory of bending. Two-dimensional surface in three-dimensional Euclidean space]. Rostov-on-Don, 2014, 168 p.

2. Klimentov D.S. Stokhasticheskii analog osnovnoi teore-my teorii poverkhnostei dlya poverkhnostei polozhitel'noi kri-vizny [Stochastic analysis of the fundamental theorem of surface theory to surfaces of positive curvature]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki, 2013, no 6, pp. 24-26.

3. Vatanabe S., Ikeda N. Stokhasticheskie differentsial'nye uravneniya i diffuzionnye protsessy [Stochastic differential equations and diffusion processes]. Moscow, 1986.

4. Shiryaev A.N. Veroyatnost' [Probability]. Moscow, 1989.

5. Dynkin E.B. Markovskie protsessy [Markov processes]. Moscow, 1963.

6. Vekua I.N. Obobshchennye analiticheskie funktsii [Generalized analytic functions]. Moscow, 1988, 509 p.

Поступила в редакцию

10 июля 2015 г.