Симметрия и первые интегралы систем стохастических дифференциальных уравнений Ито Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

СИММЕТРИЯ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО

О.В.Александрова

SYMMETRY AND THE FIRST INTEGRALS OF A SYSTEM OF ITO STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

O.V.Aleksandrova

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка, Украина, [email protected]

В статье рассматриваются симметрии стохастических систем Ито. В л-мерном варианте доказан критерий инвариантности системы стохастических дифференциальных уравнений Ито относительно однопараметрической группы преобразований. Рассмотрено такое приложение группового анализа, как построение первых интегралов для стохастических систем Ито. Приведены соответствующие примеры.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, непрерывные группы, винеровский процесс, симметрии

This article considers the symmetries of Ito stochastic systems. For n- dimensional variation the criterion of invariance of a system of Ito stochastic differential equations in relation to the one-parameter group of transformations is proved. Construction of first integrals of Ito stochastic systems as a method of group analysis is discussed. Some examples are presented. Keywords: stochastic differential equations, continuous groups, Wiener process, symmetries

1. Введение

Основным объектом исследования данной работы являются симметрии систем стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито, рассматриваемых на полном вероятностном пространстве

t t и(г) = и0 +1 А(Н, и(Н)Щ +1 В(Н, (Н). (1)

0 0 В уравнении (1) {V(/),t е[0,Т]} — а?-мерный винеровский процесс относительно фильтрации

независимые винеровские

t е [0, Т]}, V(г) (0 — процессы, и0 — F0 -измеримый случайный вектор,

А : [0,Т]х Rn ^ Rn, В : [0,Т]х К" ^ К" х Ка — измеримые неслучайные функции. Предполагается, что коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения, сформулированной в работе [1].

Методы группового анализа были разработаны С.Ли и Л.В.Овсянниковым еще в прошлом веке и являются традиционными методами исследования дифференциальных уравнений. Применение этих методов позволяет вычислять интегрирующий множитель, исследовать свойства решений дифференциальных уравнений, строить инвариантные множества, вычислять первые интегралы, классифицировать уравнения по их общим симметрийным свойствам. Если наблюдаемый процесс протекает в случайной среде, то для описания его динамики используют стохастические дифференциальные уравнения, и, в частности, уравнения Ито. Одним из существенных отличий таких уравнений является то, что их

решения не имеют производных в классическом смысле. Таким образом, теория Ли—Овсянникова не может быть непосредственно применена к изучению симметрийных свойств СДУ Ито. Это делает актуальной задачу расширения теории Ли—Овсянникова на СДУ Ито.

Пионерами в разработке теории симметрийно-го анализа СДУ являются Ю.Л.Далецкий и Я.И.Бе-лопольская. Они ввели понятие инвариантности СДУ Ито относительно однопараметрической группы преобразований фазовой переменной и доказали критерий инвариантности СДУ относительно таких преобразований [2]. Однако введенное авторами монографии определение инвариантности СДУ содержит требования, которые существенно ограничивают класс групп, допускаемых СДУ. В рамках такого определения допускаются только преобразования фазовой переменной, и они должны быть неслучайными функциями, не зависящими от времени. Переменная времени при этом не преобразовывается.

Такой результат является следствием того, что в указанной монографии инвариантность СДУ понималась как инвариантность его коэффициентов при неизменности винеровского процесса, входящего в СДУ. Такое определение приводит к тому, что при попытке изучить инвариантность СДУ относительно преобразований не только фазовой переменной, но и переменной времени мы вынуждены ограничиваться лишь тремя типами преобразования времени: тождественным, параллельным переносом и растяжением. Подход Далецкого и Белопольской основан на понятии ростка диффузионных процессов в начальной точке и(0) = х [2]. Росток определяется начальным состоянием процесса, его коэффициентами сноса и диффузии, а также фиксированным винеровским

процессом. Вводя понятие инвариантности СДУ, авторы монографии [2] предполагают, что эти преобразования действуют только на фазовую переменную и изменяют только начальное состояние процесса. В нашем подходе предполагается, что преобразования группы действуют как на фазовую переменную, так и на переменную времени. При этом винеровский процесс не обязан сохраняться, а может быть преобразован в некоторый диффузионный процесс. В этом случае росток исходного диффузионного процесса переходит в росток преобразованного процесса таким образом, что у них обязаны быть инвариантными только лишь компоненты сноса и диффузии, а начальное состояние и винеровский процесс могут, вообще говоря, отличаться.

В 2002 г. С.А.Мельником в статье [3] было дано определение однопараметрической локальной группы преобразований для уравнения (1), но при этом не учитывалась зависимость координат инфинитезимального оператора допустимой группы от винеровского процесса, входящего в уравнение. В 2004 г. итальянскими учеными Р.Квинтерро и Д.Гайета [4-6] также было дано определение локальной однопараметрической группы для СДУ (1), и был доказан соответствующий критерий инвариантности уравнения относительно допустимой группы, но при этом не рассматривалось преобразование винеровского процесса, входящего в уравнение. Это сужало класс допустимых групп для СДУ до групп сдвигов и растяжений. В нашей работе обобщено определение однопараметрической локальной группы преобразований для СДУ, данное Мельником, Гайета и Квинтерро. Это позволило расширить класс допустимых групп для СДУ. Также определение инвариантности СДУ (1) относительно допустимой группы позволило доказать критерий инвариантности. Критерий инвариантности СДУ (1) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных, в которых искомыми являются координаты оператора допустимой группы, т.е. систему определяющих уравнений. Этот критерий позволяет строить основную группу, допускаемую уравнением (1). Также при помощи доказанного критерия может быть найден класс уравнений, инвариантных относительно заданной группы. Другой важной задачей является построение первых интегралов для СДУ. Метод интегральных множеств с успехом применяется не только к классам обыкновенных дифференциальных уравнений, но и к другим классам: импульсных [7], интегро-дифференциальных [8], функционально-дифференциальных и разностных [9] уравнений. Для СДУ Ито теория инвариантных множеств еще недостаточно разработана. Это связано с тем, что их решения являются случайными процессами, для которых должны быть инвариантными детерминированные поверхности [10]. Поэтому в общем случае получить такие условия достаточно сложно. Однако оказалось, что первые интегралы, зависящие от винеровского процесса, входящего в СДУ, можно получить методами группового анализа СДУ.

Мы докажем условия существования первых интегралов для СДУ Ито методами группового анализа этих уравнений.

2. Определение инвариантности системы СДУ Ито относительно группы преобразований

Будем рассматривать обратимые преобразования переменной времени в интервале t е [0, Т], зависящие от одного вещественного параметра а:

* = / (г, а), (2)

где * е*0, ], а еА с R — групповой параметр, А —

симметричный около нуля интервал, *0 = /(0, а),

*Т = /(Т, а )

Пусть функция / (г, а ) удовлетворяет следующим условиям:

1) /(¿,0) = г, Vt е [0, Т];

2) /(/ (г, а), Ь) = / (г, а + Ь), Vt е [0, Т ], Va еА, Vb е А , таких, что (а + Ь)е А ;

3) / е С2([0,Т]хА), / > 0, Vt е [0, Т], Va еА .

Из условия 2) следует, что обратное преобразование получается изменением знака параметра а,

т.е. .Т1^,а) =/(/(г,а),-а) = г=/(*,-а).

Произведем в уравнении (1) замену переменной времени по формуле г = /(&",-а). Получим:

й^) = и0 + ^ А(/ (г,-а), й(г))/г(г,-а^г +

"0

+1В(/(г,-а),й(г)У!/Г(г,-а^М,г). (3)

"0

В полученном уравнении (3) ч(*) — это новый винеровский процесс, определенный на том же самом вероятностном пространстве, что и исходный W (г), входящий в уравнение (1), * = /(г, а), г е [0, Т], а е А.

Следующая лемма устанавливает взаимосвязь винеровских процессов, входящих в уравнения (1) и (3).

Лемма 1. Пусть W(г) — стандартный винеровский процесс, * = /(г, а) — локальная однопара-метрическая группа преобразований, где функция /(г, а) удовлетворяет условиям (1-3), / (*,-а)> 0 для всех допустимых а. Тогда существует винеровский процесс ч(*), определенный на том же самом вероятностном пространстве, что и W(г), такой, что при всех допустимых г, а с вероятностью 1 справедливы равенства:

№(/(*,-а)) = У/к(И,-а^(И), (4)

г

Ч/(г, а)) = У ф, а)ё№(И). (5)

0

Следствие 1. Если = / (0, а), то

Р{ч(*0 )= 0}= 1.

Далее будем рассматривать преобразования фазовой переменной и :

V = g(t,W (г), и, а). (6)

Здесь а е Ас R — групповой параметр, А — симметричный около нуля интервал.

Функция g удовлетворяет условиям:

1а) (г), и,0) = и ;

2а) g (/ (г, а), ч( / (г, а)), g(t, № (г), и, а), Ь) = = g(t,W(г),и, а + Ь) с вероятностью 1 для любых г е [0, Т], и е Я" , а е А, Ь е А , таких, что (а + Ь)е А, № (г) и связаны преобразованием времени по

формулам (4)-(5);

3а) g е С2([0,Т]хЯ хЯ" хА).

4а) матрица первых производных функции g по переменной и невырожденная.

Преобразования / и g, определенные формулами (2) и (6), порождают группу G.

Дадим определение допустимой группы для СДУ Ито (1).

Определение 1. Уравнение (1) называется инвариантным относительно группы G (или допускает группу G), если процесс

v(s) = g(/(*,-а),№ (/(*,-а)), и(/(*,-а)), а)

является решением уравнения:

* *

V(s) = g(0,0, и0, а)+1 А(И, v(И))dИ +1 В(И, v(И))dw(И),

где и (г) — решение уравнения (1).

Замечание 1. Определение 1 нужно понимать следующим образом: под действием групповых преобразований вида (2), (6) СДУ Ито (1) преобразуется в СДУ Ито с такими же коэффициентами сноса и диффузии, но с другим винеровским процессом, который связан со старым винеровским процессом, входящим в уравнение (1) формулами (4)-(5). При этом также изменяется начальное условие.

3. Основные характеристики допустимой группы

Каждая допустимая группа однозначно определяется своим касательным векторным полем. Касательное векторное поле группы G можно также определить в виде дифференциального оператора первого порядка, который также называют инфинитезималь-ным оператором группы. Следующим определением мы фиксируем вид инфинитезимального оператора группы, допустимой для СДУ Ито (1).

Определение 1. Линейный дифференциальный оператор вида

X = ч(%,№(г),и)д^ (7)

г=1 '

будем называть инфинитезимальным оператором допустимой группы G для уравнения (1).

По координатам оператора (7) строятся уравнения Ли:

д/ (г, а)

да

■ = %(/■ (г, а)), /(г,0) = г; дg(' (г), и, а) _

(8)

да

= ц()( /(г, а), Ч /(г, а)), я(г,№(г), и, а)), ц{1)(г,№((), и,0)= и ,(9)

I = 1,...".

Равенства (9) выполнены с вероятностью 1 для винеровских процессов № (г) и , связанных преобразованием времени по формулам (4)-(5), Vu е Я" , Vt е [0, Т ], Va е Ас Я , где Д — некоторый симметричный около нуля интервал.

Далее доказан критерий инвариантности СДУ (1), который представляет собой систему линейных уравнений в частных производных. Эти уравнения позволяют вычислять допустимую группу для СДУ (1) и, кроме того, получать класс уравнений, инвариантных относительно заданной группы преобразований. Такие уравнения называются определяющими уравнениями для вычисления допустимой группы G.

4. Критерий инвариантности системы СДУ относительно допустимой группы

Теорема 1. Система уравнений (1) инвариантна относительно группы преобразований с инфинитези-мольным оператором (7) тогда и только тогда, когда коэффициенты уравнения и координаты оператора удовлетворяют следующей системе уравнений:

2 ъ •в•в+$• В+ви-4-х = 0

•А-Пи •А+$• л + Аи-Л- (10)

- 2 БР(Лии • в • В1-• В)- 1 )= 0.

«*» — этот знак, выставленный вверху обозначения матрицы, обозначает матрицу, транспонированную к данной матрице.

Доказательство. Пусть уравнение (1) инвариантно относительно рассматриваемой группы G, которая порождена преобразованиями (2)-(6). Докажем, что коэффициенты уравнения А и В удовлетворяют системе (10).

Рассмотрим случайный процесс

V, (*) = Я 4/(3,-0), № (/(*,-а)), и(/(*,-а)), а). (11)

Применим к процессу (11) формулу Ито, получим следующее уравнение:

dvi (я) = / (я,-а)х

+ А +1 Бр(в^ в)+1 Бр^^-в)

1

ds +

+ 2

здесь всюду

2 /(*,-а) • [БрВ* • ds

+ в + ^ *), (12)

Я(0 = Я ('\ /(*,-а),№ (/(*,-а)), и( / (*,-а)), а), А = А(/(*,-а), и(/(*,-а))), В = В(/(*,-а),и(/(*,-а))). Далее будем учитывать также равенства (8), (9). Используя определение инвариантности, приравняем коэффициенты уравнений (12) и (1). Получим:

/X *,-а)

+ А +1 БрВ* • В)+2 В)

+2/(я,-а) ■

БРВ

=А(г, и),

/(ь^-а)^В+¿*] = (Вй(г,и); ...; В^г,и)).

х

+

+

Поскольку в полученной системе (13) правые части равенств не зависят от параметра « -а », то и левые части этих равенств не зависят от него. Следовательно, частные производные от левых частей равенств (13) по параметру « -а » равны нулю. Вычислим эти частные производные и приравняем их нулю. Сначала проделаем эту процедуру для второго равенства системы (13). Для упрощения записей всюду ниже в доказательстве будем писать параметр «а» вместо « -а ».

Обозначим

Р( a) = 4 fs (s ,-a) [g^B + gW ]. (14)

Вычислим: ?Р( a

da

^ = [g (i)B + g C) ] +

л, 2f

$ f • fs

+/ Ы)В+^Ва+^ ]=--[^иг) В+^ ]+ +47К•В-а-В+Ви]=0. (15)

Это равенство выполнено У а е Д, следовательно, оно выполнено при а = 0.

Подставив а = 0 в равенство (15) и учитывая, что яи|а=0 =1, 0 = 1, получаем первое определяющее уравнение:

1 ^•В-Пи •В + £-В + Ви = 0. (16)

Таким образом, мы показали справедливость первого равенства системы (10). Покажем справедливость второго равенства системы (10).

Обозначим

¥(а) = / (,,-а) х

8(г) + 8иг) - А + 2 $Р(В* - 8ии - В)+1 - В)

+ 1 fs (s,-a)

^ЙР* •feW)*) + SpfeWW)]. (17)

Дифференцируя равенство (17) по переменной а и подставляя в результат а = 0, получим второе определяющее уравнение.

Докажем обратное. Пусть координаты касательного вектора допустимой группы £ и п удовлетворяют системе (10). Тогда нам нужно показать, что функции Р(а) и У(а), определенные соответственно равенствами (14) и (17), являются решением следующих задач:

'5У( а)

da dP( a)

da

= 0, Y(0) = A(t, u) , = 0, Р(0) = B(t, u) ,

(18)

vt e [0, T], Vu e Rn , Va еД . Проверим сначала, что функция

Р( а) = V/ (,,-а) ^'В + gVi) ] рой задачи Коши в системе (18).

Нетрудно видеть, что Р(0) = В(^и), Уt е [0,Т],

Уи е К" , У а еД, так как 8и\а=0 =1, ^^ „= 0,

Д,=0 = 1

является решением вто-

W\a=0

Из равенства (15) следует, что

dP(a)

da

= 0.

a=0

Следовательно, функция Р( a) является решением второй задачи Коши в системе (18).

Аналогично функция Y(a) является решением первой задачи Коши в системе (18).

Теорема 1 доказана.

Теорема 1 является критерием инвариантности системы стохастических дифференциальных уравнений Ито относительно группы преобразований переменной времени и фазовой переменной.

5. Первые интегралы систем СДУ Ито

Классической областью применения методов группового анализа является построение первых интегралов системы дифференциальных уравнений.

При помощи методов группового анализа СДУ мы получим результат, который позволит нам вычислять первые интегралы заданной системы СДУ, зная только лишь коэффициенты сноса и диффузии. Существенное отличие предложенного метода от известных ранее состоит в том, что первые интегралы, вычисленные при помощи доказанной теоремы, могут быть функциями не только фазовой переменной и переменной времени, но и ви-неровского процесса. Например, в случае линейной системы СДУ первым интегралом является функция, которая представляет собой окружность, радиус которой зависит от значений винеровского процесса.

Прежде чем переходить к формулировке теоремы, дадим определение первого интеграла для СДУ.

Определение 2. Функция Ф Ф const, где

Ф:[0,T]хRd хRn ^R, Фе С2([0,Т]хRd хRn), называется первым интегралом для СДУ (1), если с вероятностью 1 выполнено равенство:

^t,W(t), u(t)) = Ф(0,0, u0), Vt > 0. (19)

Согласно [11], функция Ф является первым интегралом тогда и только тогда, когда стохастический дифференциал от этой функции равен нулю.

Запишем стохастический дифференциал от функции (t) , u(t)), определенной равенством

(19). По формуле Ито [12] получим:

dФ =

Ф+Ф • A + „

t u 2

1 ^(B*-®u •B)

+ 2 S^u

• B)+-Sp^ww)

dt + [Фu • B + Ф„]• dW(t),(20)

г = 1,..л.

Но отсюда следует, что для того, чтобы функция Ф являлась первым интегралом, необходимо и достаточно [11], чтобы выполнялись условия:

+

Ф+Ф - А +1 5р(в* - Ф - В)+

t и 2 ^ ии /

+1 • в)+"2 )=0,

Фи-В + Ф, =0.

(21)

Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Если уравнение (1) допускает оператор

п

X* = д( +^e(г)(t,V(0,и)-Н(Ф(^ V(t),u(t)))ди , (22)

г=1 '

где функции е(г)(^ V(t),и) удовлетворяют системе определяющих уравнений (10) при условии, что £(() = 1, то функция Ф(^ V^), и(0) является первым интегралом системы стохастических уравнений (1).

Если функция Ф(^ V^), и(0) является первым интегралом системы стохастических уравнений (1), то уравнение (1) допускает оператор

п

X* = дt + ^ е(0^, V(0, и) - h(Ф(t, V^),и^)))ди ,

г=1 '

где функции е(г)(^ V^),и) удовлетворяют системе определяющих уравнений (10) при условии, что £(0 = 1, функция Н произвольная.

Доказательство. Пусть уравнение (1) допускает оператор (22), тогда его координаты удовлетворяют системе определяющих уравнений (10). Подставим координаты оператора (22)

£(0 = 1, ФЛ (0, и) = = e(г)(t, V ^), и) - н^, V и^))) и коэффициенты уравнения (1) в систему определяющих уравнений (10). Получим (для упрощения записи индекс «г» будем опускать):

гл-(-е^-е - в+в -е)-е-^(ф - в+фн7) = 0,

V V и и ' Ф ^ и V' 5

л-I -е-е - а+а -е-

t и и

п * 1

- еии •В -В ■В + ^

- +Фи • А + 2 ^Фии • В) +

(23)

+1 &(Фиг • В)+1 ))-

- НФ(Фи - В + ^)(еи - В )-

4НФФ(Фи • В + ФV)(В*Фи +Ф^)= 0.

Так как функция е^, V(t),и) удовлетворяет системе определяющих уравнений (10), то из первого уравнения системы (23) следует, что

Фи - В + ФV = (24)

Учитывая второе уравнение системы (10) и (21), из второго уравнения системы (23) получаем, что

фt +Фи •А + 2 Ф*-Фии • В)+ 2 SP(ФuV ■ В)+ 2 0.

Следовательно, функция Ф удовлетворяет системе (21), а значит, является первым интегралом системы (1).

Докажем обратное. Пусть Ф является первым интегралом системы (1), тогда для нее выполнены условия (21). Следовательно, из системы (23) получаем, что функция е(^^),и) удовлетворяет системе определяющих уравнений (1) при условии, что £У) = 1. Таким образом, допустимый оператор для уравнения (1) представим в виде (22).

Теорема 2 доказана.

Пример 1. Рассмотрим систему линейных уравнений Ито в К2:

du1(t) = - 2 и^^ - u2(t)dVl(t),

1

(25)

du2(t) = -—и2^ ^ + ul(t)dVl(t).

Согласно теореме 2, для того, чтобы найти первый интеграл, нужно подставить коэффициенты данной системы в систему определяющих уравнений (1), при этом учитывая, что £ = 1, и решить ее. Получим

= -и2 - Н^У) + аг^—)) '

П(2) = и1 - h^V1(t) + агС:^)),

где Н — произвольная функция.

Таким образом, согласно теореме 2, функция

Ф = Щ(0+ агсгё^ -и1)) (26)

является первым интегралом системы (25). Общий оператор допустимой группы в виде (22):

х = дt -и2 -h[Vl(t) + агс1в[и^+ + их -Л^(0 + акЛ^и^^)|ди2.

Так как Н — произвольная функция, то, полагая Н = 1, мы получим частный вид допустимого оператора:

X = д - ид + и д . (27)

t 2 и1 1 и2 4 '

Инвариантом этого оператора является функ-

22

ция Z = и1 + и2, которая также является первым интегралом системы (25). Это легко проверить, вычислив стохастический дифференциал от функции Z .

Таким образом, система (25) имеет два первых интеграла.

Выражение Z = и2 + и 2 было получено в

монографии [12]. Методом, который изложен там же, невозможно получить, что система (25) имеет еще один первый интеграл вида (26). Следовательно, методы группового анализа дают более общие результаты. Пример 2. Рассмотрим уравнение:

du(t) = А|и|2у-1 dt + В|и|у dV (t), (28)

где А, В,1 < у < 1 — постоянные.

В книге [13] показано, что решение уравнения (28) существует. Кроме того, решение этого уравнения имеет и физический смысл: оно является амплитудой решения более сложного СДУ параболического типа, описывающего процесс горения в случайной среде [14].

Первый интеграл для уравнения (28) при

У 2

А = ^ В имеет вид:

Ф( t,W (t), u (t)) = W (t ) + ■

|u|

1-y

В( У-1)-

Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Пусть ранг матрицы В в уравнении (1) равен г, при этом 0 < г <", если d >" и 0 < г < d, если d < ". Тогда уравнение (1) может иметь не более чем " - г + d функционально независимых первых интегралов.

Доказательство. Пусть существует совокупность Ф( 1) (г,№ (г), и (г)) первых интегралов уравнения

(1). Так как векторы Ф(г) е Яd+" , то среди них может быть только d + " линейно независимых векторов. Учитывая, что среди этой совокупности есть г линейно независимых векторов В, то получаем, что среди векторов Ф(г) не может быть более, чем " - г + d линейно независимых векторов.

Теорема 3 доказана.

6. Выводы

В статье доказана теорема, которая позволяет получать первые интегралы системы обыкновенных СДУ Ито, зная только коэффициенты уравнения (или системы уравнений). Доказанная теорема иллюстрируется примерами линейных систем и нелинейных уравнений.

Для того, чтобы вычислить первый интеграл системы СДУ, нужно подставить в систему определяющих уравнений (1) координату оператора % (г) = 1 и коэффициенты уравнения. Далее решить полученную систему относительно неизвестных функций

П(г). Они полечатся в точности такими, как в операторе (22), т.е. ц( г>=в( 0 (г,№ (г), и) • И (Ф( (г), и (г))). Полненные функции Ф и будут первыми интегралами исходной системы.

1. Крылов Н.Б., Розовский Б.Л. О стохастических эволюционных процессах // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики. 1979. Т.14. С.72-147.

2. Далецкий Ю.Л., Белопольская Я.И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. Киев: Вища школа, 1989. 395 с.

3. Melnik S.A. The group analysis of the stochastic differential equation // J. Annals Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2002. V.21. P.7-12.

4. Gaeta G., Rodriguez Quinterro N. Lie point symmetries and stochastic differential equations // J. Phys. Math. Gen. 1999. V.32. P.8485-8505.

5. Gaeta G. Lie point symmetries and stochastic differential equations II // J. Phys. Math. Gen. 2000. V.33. P.4883-4902.

6. Gaeta G. Symmetry of Stochastic Equations // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2004. V.50, Part 1. P.98-109.

7. Samoilenko A.M., Perestyuk M.O. Impulsive differential equations. Sindapore — New Jersey — London — Hong Kong: World Scientific, 1995. 462 p.

8. Филатов А.И. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент: ФАН, 1974. 214 с.

9. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

10. Самойленко А.М., Станжицький О.М. Яюсний та асимп-тотичний аналiз диференщальних рiвнянь з випадковими збуреннями. Киев: Наукова думка, 2009. 336 с.

11. Кулинич Г.Л., Перегуда О.В. Iнварiантнi множини стоха-стичних диференщальних рiвнянь 1то. Киев: Кщ'вський ушверситет, 2002. 91 с.

12. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения: Введение в теорию и приложения. М.: Мир, Издательство АСТ, 2003. С.138.

13. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. С.235.

14. Мельник С.А. Расслоение решений квазилинейного стохастического уравнения параболического типа // Украинский математический вестник. 2006. Т.3. №2. С.242-254.

1.

Bibliography (Transliterated)

Krylov N.B., Rozovskii B.L. O stokhasticheskikh evoliutsi-onnykh protsessakh // Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Sovre-mennye problemy matematiki. 1979. T.14. S.72-147.

2. Daletskii Iu.L., Belopol'skaia Ia.I. Stokhasticheskie uravneniia i differentsial'naia geometriia. Kiev: Vishcha shkola, 1989. 395 s.

3. Melnik S.A. The group analysis of the stochastic differential equation // J. Annals Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2002. V.21. P.7-12.

4. Gaeta G., Rodriguez Quinterro N. Lie point symmetries and stochastic differential equations // J. Phys. Math. Gen. 1999. V.32. P.8485-8505.

5. Gaeta G. Lie point symmetries and stochastic differential equations II // J. Phys. Math. Gen. 2000. V.33. P.4883-4902.

6. Gaeta G. Symmetry of Stochastic Equations // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2004. V.50, Part 1. P.98-109.

7. Samoilenko A.M., Perestyuk M.O. Impulsive differential equations. Sindapore — New Jersey — London — Hong Kong: World Scientific, 1995. 462 p.

8. Filatov A.I. Asimptoticheskie metody v teorii diffe-rentsial'nykh i integro-differentsial'nykh uravnenii. Tashkent: FAN, 1974. 214 s.

9. Mitropol'skii Iu.A., Lykova O.B. Integral'nye mnogoobraziia v nelineinoi mekhanike. Kiev: Naukova dumka, 1971. 440 s.

10. Samoilenko A.M., Stanzhits'kii O.M. Iakisnii ta asimp-totichnii analiz diferentsial'nikh rivnian' z vipadkovimi zburenniami. Kiev: Naukova dumka, 2009. 336 s.

11. Kulinich G.L., Pereguda O.V. Invariantni mnozhini stokha-stichnikh diferentsial'nikh rivnian' Ito. Kiev: Kiivs'kii universitet, 2002. 91 s.

12. Oksendal' B. Stokhasticheskie differentsial'nye uravneniia: Vvedenie v teoriiu i prilozheniia. M.: Mir, Izdatel'stvo AST, 2003. S.138.

13. Gikhman I.I., Skorokhod A.V. Stokhasticheskie differen-tsial'nye uravneniia i ikh prilozheniia. Kiev: Naukova dumka, 1982. S.235.

14. Mel'nik S.A. Rassloenie reshenii kvazilineinogo sto-khasticheskogo uravneniia parabolicheskogo tipa // Ukrain-skii matematicheskii vestnik. 2006. T.3. №2. S.242-254.