Стохастический аналог основной теоремы теории поверхностей для поверхностей ненулевой средней кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.81+519.21

СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НЕНУЛЕВОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ*

© 2014г. Д.С. Климентов

Климентов Дмитрий Сергеевич - кандидат физико- Klimentov Dmitriy Sergeevich - Candidate of Physical and математических наук, старший преподаватель, кафедра гео- Mathematical Science, Senior Lecturer, Faculty of Mathe-метрии, факультет механики, математики и компьютерных matics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: dklimentov75@gmail.com. 344090, e-mail: dklimentov75@gmail.com.

Приводится стохастический аналог уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци в терминах переходных плотностей и переходных функций диффузионных процессов на регулярной поверхности ненулевой средней кривизны и стохастический аналог глобального варианта основной теоремы теории поверхностей для поверхностей ненулевой средней кривизны, конформно эквивалентных кругу.

Ключевые слова: уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци, диффузионный процесс, основная теорема теории поверхностей.

The proposed article contains a stochastic analog of Gauss-Peterson-Codazzi equations in terms of transition densities and transient functions of diffusion processes on a regular surface and provides a stochastic analog of a global version of the fundamental theorem of the theory of surfaces for the surfaces of non zero midle curvature, conformally equivalent to a circle.

Keywords: Gauss-Peterson-Codazzi equations, diffusion processes, fundamental theorem of the theory of surfaces.

Пусть £ - регулярная поверхность класса С3 в Е с первой, второй и третьей квадратичными формами I = gjjdx1dxJ , II = ЬусЫ1^ и III = /усЫ1^ .

Известен результат, что два диффузионных процесса однозначно определяют поверхность положительной кривизны, если их переходная плотность и переходная функция удовлетворяют стохастическому аналогу системы уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци. В предлагаемой заметке аналогичный результат доказывается для поверхностей с ненулевой средней кривизной.

В 1853 г. в своей кандидатской диссертации [1] К. Пе-

терсон получил уравнения - Г2Ь„,- = - Г^Ь™«.,

дхк а дх7 7

связывающие между собой коэффициенты первой и

второй квадратичных форм, где Г^ - символы Хри-

стоффеля второго рода. Несколько позже, в 1867 г., эти же уравнения были выведены Кодацци.

В 1956 г. И.Я. Бакельман в работе [2] вывел уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци для поверхностей ограниченного искривления, т.е. для поверхностей, задаваемых функциями с непрерывными первыми производными и суммируемыми с квадратом обобщёнными вторыми производными в смысле Соболева.

В дальнейшем мы будем требовать, чтобы средняя кривизна поверхности 5 была ненулевой и поверхность S была односвязной, конформно эквивалентной кругу. Требование, наложенное на среднюю кри-

визну, связано со спецификой построения диффузионного процесса по квадратичной форме и не может быть обойдено в рамках применяемого метода.

Напомним некоторые определения, касающиеся третьей квадратичной формы поверхности [3, с. 196].

Ею называется форма III = Сп2, где п - нормаль к поверхности. Между первой, второй и третьей квадратичными формами имеет место связь [3, с. 205] К ■ I - 2Н ■ II + Ш = 0, где К - гауссова кривизна поверхности; Н - средняя кривизна поверхности.

Не ограничивая общности, можно считать, что первая форма приведена к изотермическому виду [4,

с. 89] I = х(сх2 + Су2).

Отметим, что для поверхности класса

С3 функция Хе са,Уа :0 <а< 1 [4, с. 89]. Обозначим диффузионный процесс, порождённый первой квадратичной формой - Х1, третьей - У1 [5, с. 227]. Переходную плотность процесса Х1 будем обозначать

р){х,у), процесса У1 - р1 (х,у), где х,у - точки поверхности 5.

Подробнее диффузионный процесс по квадратичной форме строится с помощью уравнения теплопроводности. Например, для процесса Х1 переходная плотность получается как фундаментальное решение

др1 у ^ 1 уравнения —- = ^ д ¡д 7р1.

д1 7

* Работа выполнена при финансовой поддержке внутреннего гранта ЮФУ № 213.01-24/2013-66.

Переходные функции случайных процессов Хг и

Уг будем обозначать Р1^, х, Г) и Р3 (г, х, Г) соответственно, где Ге В(5), е(Б) - ст -поле борелевских множеств на 5 [5, с. 74]. Отметим, что переходная функция и переходная плотность связаны соотношением Р(г, х, Г) = | р(г, х, у)Су . Г

Имеет место

Теорема 1. Переходные плотности и переходные функции процессов Хг и Уг удовлетворяют системе уравнений

(л 1 У2

Ы )

4H2

ap.

dp] 'Ы

(к Л2

Ар.

2

j P3 (t, x, dy

rKAd+ГАр1^ 2 5p/ Ы у

2

j P 3 (t, x, dy)

fi

к aPL+

1 (л „1^

v w

öp\ Ыу

Ар!

j P3 (t, x, dy)y1 y2

у

а in ^p! 2ap] ap.

(л 1 Г ( л 1

ra

V5 tP) у

? л О2 Г APt

к + J P3 (t, x, dy )-УгУ

ötP. 1

J

+ 5

ö tP]

K -Ц- + J P3 (t, x, dy)-ö p. 1

J У л

ya yj

5 8XJ

(л 1 ^

ra

-ij

где

V5iPi У v (л 1 ^2 ^

5 tP.

ötP/ A

5 tP/ p.

ötP.

+5

aJ

K + J P3 (t, x, dy)-^

5. p.1 1 + 5,t

2H 1

2H

л

1

2H

K + J P3 (t, x, dy)-ya^ 5.P1 J v ;1

+ 5

, 15lk dtp] J " 2 Ap/

5,i

Ap, 5tPt

1 ^ (

5xJ

s APt

. 5 tP. 8x'

ak

1 ^ (

1

2H ;

R APt . 5tP. 5xk

1 ^

5j - символ Кронекера;

K =М A in М, 2Ap. Ap]

ap.

h 2 ^

2 2

j P3 (t, x, dy)y2-j P3 (t, x, dy) yl

4

Для доказательства теоремы нам понадобятся не-

сколько лемм.

Лемма 1. Гауссова кривизна поверхности 5 и переходная плотность р/(х, у) связаны соотношением

K =

М A in ^

л 52 5 ( ,

. Ain ГДе А = ~т+ ~Т' x = (xbx2)•

2Ap/ Ap] 5x12 5x2

5 2

АРг

Доказательство. В изотермической системе координат на поверхности имеет место формула для

вычисления кривизны [6, с. 193] К = —— А 1пX;

2Х

8 1 1

уравнение теплопроводности —- = — ар/. Выразим

дг x

ap.1

1 '

из последнего уравнения коэффициент x : x =

дгР1

Отметим, что для диффузионного процесса переходная плотность р) не может являться постоянной по параметру г [5, с. 227], и следовательно, производная по параметру г не может всюду обращаться в нуль. Если производная переходной плотности обращается в нуль в некоторой точке г = /0, то мы перейдём к пределу в последней формуле при г ^ г0 . Предел справа обязательно будет конечен, так как существует и конечен предел слева (функция x от г не зависит и является дважды непрерывно дифференцируемым коэффициентом первой формы поверхности 5). Таким образом, имеем, что выраже-

Ар1

ние X = —дважды непрерывно дифференцируе-

дР1

мо, и следовательно, его можно подставить в формулу для кривизны, что и доказывает утверждение леммы.

Лемма 2. Контравариантные коэффициенты третьей формы связаны с переходными функциями процесса Уг

2

следующими формулами: /11 =| Р3 (г, х, dy )-У1,

2

/12 =1Р3 (г, х, dy>yf, Г22 = 1Р3 (г, х, У у2.

Доказательство. В [5, с. 80] была доказана формула

А/ = / Р(г, х, су)/(у), (1)

где А - инфинитезимальный оператор случайного процесса. Инфинитезимальный оператор, суженный на дважды дифференцируемые функции, совпадает с генератором этого процесса, и для Уг генератор имеет

вид А = /1]дiдj , т.е. в нашем случае имеет место зависимость /у дiдj/(х) = I Р3(г, х, су)/(у).

Получим f11 =J P3 (t, x, dy )y-

2

Выберем в качестве /(х) функцию /(х) = ^.

2

Выбирая функции /(х) = х^ и /(х) = ^^, полу чим формулы

x

1

x

x

2

2

5

1

5

5

5

+

f12 =1 P\t,x,dy)yxy2, f22 =1P3(t,x,dy)

ем / =

stp]

H 2 =.

2 2 1P3 (t, x, dy ^-1P3 (t, x, dy) У-

4

Доказательство. В [3] доказана формула

2H =

g11b22 - 2g12b12 + g22b11

перепишется в виде 2H =

b22 - b11

2HX

4X

r2_ 22 - f11)

4H 2

' ■ Гл 1Л2

Api

^ + ! Sp1 Sp;1

1P3 (t, x, dy )y~

K ^ +

1 и „1 Л

Sp! Ispi

Ap1

2

1P3 (t, x, dy ^

2

i * 1 i

Ap1

*4 - 1

Ф1 V^1 у

1P3 (t, x, dy )y1y2

SÄA1 nStp1

2Ap1 Ap,

1 '

С учётом предыдущего уравнения Петерсона-Кодацци примут вид

Лемма 3. Для коэффициентов второй формы по-

„ , Щ + /у

верхности л имеет место равенство Ьу = —^ .

Доказательство очевидным образом следует из формулы К ■ I - 2Н ■ II + III = 0.

Лемма 4. Дискриминант первой формы и переходная плотность процесса Х1 связаны соотношени-

1 ^ ар/

S Sxk

Ap1

Л2 Г

S tp1

к -1P3 (t, x, dy )-y'y

-Г,

¿k

S dxJ

ap,

S tp1

1 Л2 ^

у v

^ л 1 Л2 ^

к -M. -1P3 (t, x, dy )-

Stp1 1

+s„

ya yj

1

+ 8,

aj

Г

Доказательство очевидным образом следует из доказательства леммы 1.

Лемма 5. Для средней кривизны поверхности 5 имеет место формула

ар/ др]

-Га

Stp1 2

к -Ц. + 1 p3 (t, x, dy)-y'yk Stpt1 1

2H 1

2H

л

+ 8

¿k

1

2H

Ap1

S tp1

K -Ц- + 1P3 (t, x, dy)-

Stpt1 1

ya yk

+8

ak

1

2H'

Отметим, что символы Христоффеля могут быть выражены через переходную плотность первого про-

л ар] ^

цесса с помощью соотношения х = —. Для симво-

д1р]

ла Христоффеля второго рода имеет место формула

íдglk , дgук

[2] Г =1 glk

2

- + -

Srj Sx'

сТ

k

.?11.? 22 - .?12

В выбранной нами системе координат gll = g22 = Х, gl2 = 0 . С учётом последнего формула

Заменяя коэффициенты bjj по формулам из леммы 3, получим 2H = f22 - f11, откуда H2 = f22 ~ fn

В изотермической системе координат коэффициенты метрики очевидным образом записываются в

виде gjj = 8jX , gkl = — , где 8« - символ Кронеке-

x

ра. Подставим эти выражения в формулу для символа Христоффеля и используем выражение для функции x из леммы 1

После поднятия индексов у коэффициентов третьей

( 22

формы H2 = -

г/ _ 18lkstpj г j

4

Заменив коэффициенты х и /11, /22 выражениями из лемм 1 и 2, получим искомую формулу.

Доказательство теоремы 1. Уравнение Гаусса

после опускания индексов у коэффициентов /1} и применения доказанных лемм переписывается в виде

(Л Л-2 Ар1

Кдр )

2 Ap]

s

1 л

5,-,

Ap1 s tpt

s

1л

jk

Stp)

s

1л

5,

Stp1

sxj

sx'

sxk

Теорема доказана.

Так как связь между положительно определёнными ограниченными квадратичными формами и переходными функциями (переходными плотностями) взаимно однозначная [5, с. 84] , то имеет место

Теорема 2. Два случайных процесса в двумерном евклидовом пространстве X 1 и У1 с генераторами

Ах = glJ дг ду , Ау = /удг ду , с трижды непрерывно дифференцируемой по пространственной переменной переходной функцией Р3 (1, х, Г) и трижды непрерывно дифференцируемой по пространственным переменным переходной плотностью р1 (х, у), удовлетворяющим неравен-

ству

Ap1 Sp1

2 2

1P3 (t, x, dy) ^-1P3 (t, x, dy) ^L

4

> 0, опре-

деляют поверхность с точностью до положения в про-

странстве, если их переходная плотность р11 и пере-

ходная функция Р3 (1, х, Г) удовлетворяют системе

уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци.

a

+

X

2

1

X

X

2

Доказательство. Зададим изотермическую систему координат, в которой генератор процесса Х г примет вид АХ = XА. Из формулы [5, с. 75]

Р(г, х, г) = | р(г, х, у)Су следует, что переходная функ-

Г

ция х, Г) по пространственным переменным непрерывно дифференцируема по крайней мере трижды. Из (1) следует, что коэффициент X генератора процесса Х г непрерывно дифференцируем по крайней мере три раза. Аналогично коэффициенты генератора случайного процесса Уг непрерывно дифференцируемы три раза.

Мы получили, что коэффициенты генераторов наших лучайных процессов дифференцируемы не меньше трёх раз и удовлетворяют системе уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци, которая непосредственно получается из нашей системы уравнений повторе-

нием рассуждений из доказанных лемм. Следовательно, к ним применима основная теорема теории поверхностей, из чего непосредственно следует утверждение теоремы.

Литература

1. Peterson K.M. Über die Biegung der Flächen. Dorpat,1853.

25 s.

2. Бакельман И.Я. Дифференциальная геометрия гладких

нерегулярных поверхностей // УМН. 1956. Т. 11, № 2(68). С. 67-124.

3. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. Т. 1. М., 1947.

512 с.

4. Веку а И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.,

1988. 509 с.

5. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., 1963. 859 с.

6. Веку а И.Н. Основы тензорного анализа и теории кова-

риантов. М., 1978. 296 с.

Поступила в редакцию

15 ноября 2013 г.