Стохастическая устойчивость нелинейных колебаний упруговязких тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

М Е Х А Н И К А

УДК 539.375

СТОХАСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОВЯЗКИХ ТЕЛ

Доктора физ.-мат. наук, профессора ЧИГАРЕВ А. В.1, ЧИГАРЕВ Ю. В.2,

ПРОНКЕВИЧ С. А.11

'■'Белорусский национальный технический университет, 2Белорусский аграрный технический университет

Существенно нелинейные динамические системы при определенных условиях обнаруживают свойство хаотизации, состоящее в том, что при детерминированных начальных и граничных условиях система с некоторого момента времени начинает вести себя случайным образом. Явления детерминированного хаоса изучаются, как правило, для систем с сосредоточенными параметрами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями. Значительно в меньшей степени исследованы системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных. Требования к снижению материалоемкости конструкций требуют исследования их поведения при учете физической нелинейности для различных материалов и изучения сценариев перехода системы к состояниям детерминированного хаоса. Для этого применяются различные методы, одним из которых является корреляционный, позволяющий численно оценить явления расцепления корреляций. Переход от распределенной системы к сосредоточенной осуществляется с помощью метода Бубнова -Галеркина и его обобщений, что позволяет в случае тел определенной геометрии использовать разложение по собственным функциям. Нахождение собственных форм и частот колебаний существенно зависит от геометрии пластины и наложенных связей, что в каждом неконкретном случае представляет самостоятельную задачу.

Рассматривается вязкоупругое тело, описываемое моделью Кельвина - Фойтха, совершающее колебания при заданных детерминиро-

ванных граничных и начальных условиях. Требуется найти критерии на физические параметры тела, при которых возможен переход в хаотический режим.

Рассмотрим вязкоупругое тело объемом V, в котором уравнения, определяющие связь между напряженным и деформированным состояниями, имеют вид

о- =[ Х + ^ £кЛ + ( + Х4 д ] , (1)

где Х^ Х3 - коэффициенты Ламе; X2, Х4 - то же вязкости.

Уравнение движения имеет вид [1]

д2 и

о]к{К + Щк)п} - р—^ = 0. (2)

дг

На поверхности тела граничные условия запишем в виде

[о# (+ и1к )] П = р. (3)

Компоненты тензора деформаций е- выразим через перемещения по формулам Коши

е=2(и-+и,+). (4)

В (1)-(4) принято: о- - компоненты тензора напряжений; е- - относительные деформации; и ^ — перемещения; Х1, Х3 - коэффициенты упругости; X2, Х4 - коэффициенты вязкости; р -плотность материала; п- - нормаль к поверхности тела; р - поверхностные силы; г - время.

■ Наука итехника, № 3, 2012

Краевая задача (1)-(4) является несамосопряженной. Воспользуемся методом Бубнова -Галеркина. Выделим линейную и нелинейную части в уравнении (1), учитывая (4):

<1 = <1 +11 »1 + » ll"^ I Sj-

1 j 2 ^ dt jidXm 1 j

+11 »3 + »4 — 21 3 4 dt

бит dum

\

(5)

dx dx

i J

Линейная часть напряжений 5, связана с деформациями и их скоростями законом

^ =( ^ »2 I SJ

i»+»4 С ,

cut + du dx dx

\Л

(6)

Подставив (5) в (2) и (3), получим уравнения движения

ffijA д

д U-

---F1 1 - p—^ = 0

dx,. dx1 dt2

и граничные условия в виде

[5 ]к 5 ]к + Щ ] П = р,

(7)

(8)

где

Fi =

1

2

d V du

dt Jl dx,

1U Л д 21 dt

dum dum

v dx- cxk J

+{

(9)

-+2 b1 Jilm 11+

1U Л д 21 dt

dum dum

v dx- cxk J

Uk >■

Левые части уравнений (7) и (8) содержат объемные и поверхностные силы, работу которых на возможных перемещениях приравняем нулю:

/{[<- sk+f ] +II(

d2u. I

n.-p—>Su dV -

i ~ i m dt2

(10)

о-k Sk + F jk .k .j

n.}Su dS = 0.

Решение (10) ищем в виде

ип = /г (()фгп (X ),

(11)

где /г(0 - функция времени; фгп(х ь х2, х3) -собственные векторы, образующие полную систему функций, удовлетворяющих условию ортогональности:

I РФАdV = Smn .

(12)

Проделывая выкладки, аналогичные [1], придем к системе дифференциальных уравнений для координатных функций /г{() (г = 1, 2, 3), которая в одномерном случае имеет вид:

f + Yf + (1 + af2 )®lf

= 8 Ф,

r = f1(t )=f (t),

(13)

где Ф - внешнее возмущение; у - коэффициент вязкости; ю0 - собственная частота; а - коэффициент нелинейности; е - малый параметр.

Считаем, что е << 1 и а/2 << 1.

В случае пренебрежимо малого затухания уравнение (13) приводится к уравнению движения для осциллятора Дуффинга

/ + (1 + а/2) = еФ. (14)

В (14) выберем малое возмущение в правой части в виде 5-функций Дирака [2], длящихся бесконечно малое время и следующих с перио-г 2п

дом Т =—, е - малый параметр:

Ф (t) = Шо £ S (t - nT).

(15)

В интервале между двумя соседними 5-толч-ками решение имеет вид

f = A cos

1 +—aA | a>0t + у

(16)

В конечных разностях изменения амплитуды и фазы колебаний представим в виде:

■■ Наука итехника, № 3, 2012

n=-o>

An+1 = An (l + 0,5 E sin2y n );

Vn+1 = i Vn + 2SncoSVnSinVn

+ e (1 - Sin2 Vn ) + ^ j,

(17)

где

Sn = 0,3 E(aTA\

(18)

Фигурные скобки в (17) означают дробную часть аргумента. В случае 5п >> 1, как показано в [2, 3], колебания тела, описываемые уравнениями типа (14), будут носить стохастический перемешивающийся характер, т. е. для рядом стоящих значений фаз уп можно получить значения уп+1, заметно отличающиеся друг от друга. Это означает, что изменение фаз колебаний тела происходит не регулярным, а случайным образом. Согласно [3] данная колебательная система обладает всеми свойствами стохастичности: перемешиванием, эргодичностью и положительной колмогоровской энтропией.

Прежде чем переходить к вероятностному исследованию устойчивости уравнения (14) после наступления хаотизации, рассмотрим еще две детерминированные модели, обобщающие (14). Предположим, что внешнее воздействие зависит от состояния системы, а именно амплитуда функции Ф(г) зависит от /т(г), где т = 2, 3. Тогда уравнение (14) может быть записано в виде

f + f

юг

-fo Е 5 (t -kT)

-af3 =0. (19)

В дальнейшем считаем Т = 2п, что соответствует периодическому воздействию внешних импульсов в моменты времени г, (/ = 0, 1, ..., п, п + 1, ...). В то же время (19) можно рассматривать как уравнение, описывающее колебание упругого тела вследствие изменений жесткости в моменты времени г,.

Для (19) уравнение для амплитуд и фаз типа (17), (18) запишется в виде: • при т = 2

pn+i = Pn -^pfsinq>n; 2юп

Фп+1 =ФП + 2п| ®0 - N I-

3п

aPn --^л/рПс^ФП ;

4ю0 4ю0

(20)

Фп = Vn^ntn+1 + К (2п/3) ,Pn = A2;

3a

Я+1 = Я - — An (An+1 - An);

при m = 3

Pn+1 = Pn

4<

-P2 sin4Фn;

Фп+1 =ФП + 2П| <0 ~ I-

N

4<

"aPn

4<

"л/рЛ

(21)

C0S Фп ;

Фп =Wn + ОЛ+1 +kn | "П I •

Вычисляя корреляционные функции для моделей (20), (21) (фп, фп+к) = Я(к) и исследуя их при к ^ да, устанавливаем условия, при которых наступает стохатизация колебаний. Учет вязкости материала обеспечивает конечный рост амплитуды (как в случае линейного, так и нелинейного резонанса) и устойчивость колебаний. Отметим, что для моделей (20), (21) упругая нелинейность без учета вязкости может при определенных условиях на параметры системы приводить к конечному росту амплитуд на резонансных частотах и обеспечивать устойчивость.

На рис. 1 интервал [-5, 5] определяет область

8

реального изменения параметров

5 = -

12лю„

причем выполняются условия резонанса N = = 3ю0 для т = 2 при а Ф 0: 1 - С > 0; 2 - С < 0; 3 - С = 0, где С - инвариант колебаний. Из рис. 1 в этом случае следует устойчивость процесса. При а = 0 амплитуда колебаний неограниченно возрастает (кривые 1', 2', 3'), что свидетельствует о том, что учет нелинейности при а Ф 0

■ Наука 53 итехника, № 3, 2012_

в предыдущем случае играл стабилизирующую роль.

4 х/р^

F(c, р-)

Рис. 1. График изменения амплитуды колебаний при значении параметров: т = 2; N = 3<в0

Для случая m = 3, N = 4<0 из рис. 2 следует, что колебания могут быть устойчивыми независимо от а, но зависимыми от знака 8.

«1 52 F(c, ря)

Рис. 2. График изменения амплитуды колебаний при: m = 3; N = 4ю0

8 8 На рис. 2: 5j =-; 52 =-; 8 > 0 - кри-

16люп

8люп

вые 1, 2 при а = 0, кривые 3, 4 при аФ0;

53 = —-—; 54 = —---кривые 5, 6 при а Ф 0,

8лю0 4лю0

- < 0 (движение неустойчиво).

Вернемся к уравнению (14) и рассмотрим его устойчивость в хаотическом режиме. Запишем (14) в переменных «действие - угол» [2]:

I = -8

dH1(l, 0, t)

50

где

д (Л dHi (i, 0, t)

0 = <(I ) + 8-1V 7,

dI

r2

Hi=f2<z:=-»8(t - nT).

Так как 8 << 1, то членом 8

dH1(1, 0, t)

50

(22)

(23)

(24)

мож-

но пренебречь, потому что он имеет меньший

порядок по сравнению с нелинейностью в ю(Т). Введем функцию плотности вероятности W(1, 0, г) и запишем уравнение Лиувилля

где

^ = (L +85L)W, dt

L0 = -ю—;

0 50

, 5H 5 5H 5 oL =1

(25)

50 5I 5I 50

Уравнение (25) представим в виде

dW Г д 5 51 -= i-0-+ 8-W .

dt I 50 dI I

(26)

5H1(1, 0, t)

50

Обозначим

""'Г""') = r(i , 0, t). Разложим функции Wи R в ряды Фурье по формулам:

ад

W(1, 0, t)= S W (I, t)expin0; (27)

R(1, 0, t) = S Rnk (I)exPi("V + k). (28)

Уравнение (26) с учетом (27), (28) запишем в виде

5W ■ 5

-- + inWn0 + 8 —

5t n 5I

S ^-,k (i) w

-k

= 0. (29)

Для начального распределения Wn (1,0) = = 50 (1, 0)5п0 (5п0 - символ Кронекера) уравнение (29) примет вид

^ = -^5) (30)

2 512У р

5t

5I

где с = 0,5£ = 8е2лО.

Уравнение (30) представляет собой уравнение типа Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК) для функций плотности распределения вероятности 50 от переменных действие - I, которые служат интегралами движения невозмущенной системы (рис. 3).

Согласно уравнению (30) [2] стохастическое дифференциальное уравнение имеет вид

■■ Наука итехника, № 3, 2012

n=-w

I = 2lJ~C~ v(t),

(31)

N

где < V >= 0; < v(t)v(t + т) >= 5(0; v(t) - внешнее возмущение в виде «белого шума»; Ы0/2 -спектральная плотность.

W0

li = 0

lj \i = il I

Рис. 3. Изменение функции распределения Ш0 согласно уравнению Фоккера - Планка - Колмогорова

В случае единичной спектральной плотности в старых переменных случайный процесс будет описываться стохастическим дифференциальным уравнением вида

f = 0,5fV2cYo (t).

(32)

Соответствующее (32) уравнение ФПК запишется в виде [4]

dw0 д l cfw0) 1 d

dt df l 4 J 2 df

-(cfW )■ (33)

Решение (33) для стационарного случая будет

Жос = М ехР (1п/, (34)

где М определяется из условия нормировки

М = | /ехр^п/ #. (35)

— ад

Среднеквадратическое отклонение от равновесных форм колебательного движения (13)

определяется равенством

( ш

/2 )=| /го#. (36)

Тогда согласно [5] решение уравнения (13) f *(t) = 0 назовем устойчивым в среднем квадратичном, если для любого ц > 0 найдется такое A(ji) > 0, что при выполнении условия |f0| < Л(|о.) для любого t > t0 справедливо неравенство

E[f2] < ц. (37)

Критерий устойчивости (37) накладывает ограничения на величину интенсивности колебаний, т. е. кинетическую энергию.

В Ы В О Д Ы

1. Проблема возникновения детерминированного хаоса в нелинейных вязкоупругих средах может быть сведена методом Бубнова -Галеркина к исследованию уравнений типа Дуффинга.

2. В случае малой вязкости получены условия перехода колебаний в стохастический режим.

3. Для моделей типа параметрических нелинейность может играть при определенных условиях стабилизирующую роль, а при других условиях возможны неустойчивые решения.

4. Расплывание плотности вероятности во времени (дисперсия зависит от времени) свидетельствует о возможности неустойчивых режимов в хаотичном режиме.

5. Получены условия устойчивости колебаний тела в среднем квадратичном решении.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Гузь, А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях / А. Н. Гузь. - Киев: Наук. думка, 1973. - 272 с.

2. Заславский, Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах / Г. М. Заславский. - М.: Наука, 1970. - 144 с.

3. Zaslavski, G. M. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics / G. M. Zaslavski // Oxford: Oxsford University Press, 2005 ISBN 0198526040.

4. Чигарев, А. В. Стохастическая неустойчивость лучей в неоднородных средах / А. В. Чигарев, Ю. В. Чигарев // Акустический журнал. - 1978. - Т. 24. - 765 с.

5. Хасьминский, Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. - М.: Наука, 1969. - 368 с.

Поступила 10.10.2011

■ Наука 55 итехника, № 3, 2012_