CC BY
45
УДК 539.3
А.Ф. ВЕРЛАНЬ, д.т.н., Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины, г. Киев,
Б.А. ХУДАЯРОВ, д.т.н., Ташкентский институт ирригации и мелиорации, г. Ташкент, Республика Узбекистан,
Э.Ф. ФАЙЗИБОЕВ, проф., Ташкентский институт ирригации и мелиорации, г. Ташкент, Республика Узбекистан,
З.У. ЮЛДАШЕВ, ст. преп., Ташкентский институт ирригации и мелиорации, г. Ташкент, Республика Узбекистан
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ЗАДАЧЕ О ФЛАТТЕРЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ПОД ПРОИЗВОЛЬНОМ УГЛОМ В ПОТОКЕ ГАЗА
Рассмотрены нелинейные колебания вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций в потоке газа. Разработаны методика и алгоритм численного решения интегро-дифференциальных уравнений. Определены критические скорости флаттера пластин в потоке газа. Ил.: 1. Табл.: 2. Библиогр.: 9 назв.
Ключевые слова: вязкоупругая пластина, алгоритм, интегро-дифференциальное уравнение, флаттер.
Постановка задачи и анализ литературы. В настоящее время композиционные материалы, обладающие ярко выраженными вязкоупругими свойствами, широко применяются в авиационной промышленности и многих других отраслях машиностроения. Эти отрасли получили легкие, изящные и экономичные тонкостенные конструкции, для которых роль расчетов на устойчивость в общем цикле прочностных расчетов резко возросла. В связи с этим наследственная теория вязкоупругости привлекает к себе все большее внимание исследователей. Об этом свидетельствует выход в свет за последние годы ряда научных работ, в которых отражены последние достижения теории вязкоупругости. Возрастающий интерес к этой теории объясняется развитием вычислительной техники, позволяющей достоверно сравнить вычислительный эксперимент, полученный на основе математических моделей, с натурным экспериментом. Следует отметить, что использование традиционных материалов в самолетостроении позволяло применять математические модели, которые уже сейчас можно называть упрощенными, не учитывающими в полной мере свойств вязкоупругости и других эффектов. Данные эффекты наиболее значительно проявляются в условиях сверхзвуковых потоков воздуха или жидкости, т.е. при
высоких скоростях, которые приводят к возникновению эффекта флаттера.
Одно из основных затруднений для полного понимания явления сверхзвукового панельного флаттера состоит в том, что критическая скорость панельного флаттера зависит от большого числа параметров. В настоящее время трудность выделения многих из этих факторов при экспериментальном исследовании не позволяет получить удовлетворительного соответствия между экспериментальными и теоретическими результатами. Имеются обзоры исследованных задач: обширная библиография приведена у Фына [1], Эйсли, Льюэсен [2], Вентрес, Дауэлла [3]. Оказывается, что чувствительность скорости флаттера к таким факторам, как угол обтекания до сих пор является неполной.
В связи с этим целью данной статьи и является теоретическое исследование нелинейного флаттера вязкоупругих пластин, обтекаемых под произвольным углом. Акцент сделан на сопоставление результатов с ранее полученными известными результатами.
Рассмотрим задачу о колебаниях гибкой наследственно-деформируемой прямоугольной пластинки со сторонами а и Ь, движущейся в газе с большой сверхзвуковой скоростью V (рис. 1). Полагая, что зависимость между напряжениями и деформациями для материала пластинки линейно наследственная, используется упрощенная модель гибких пластин, а сила аэродинамического воздействия записывается согласно линеаризованной поршневой теории [4], получим уравнение Бергера для описания нелинейных колебаний тонкой изотропной пластинки в следующем виде:
д 2 w п —- + В—
ді2 ді
О(1 - К )Д2 w - В^(1 - К (і) + р к— + В — + ВУ (п0 • ётай w) = 0, (1)
Ек3
где Б =--------— - цилиндрическая жесткость; к - толщина пластинки;
12(1 -ц 2)
Е - модуль упругости; ц - коэффициент Пуассона; V - прогиб пластинки;
тл Ек Крш
Ол =-----------------------------------------— ; р - плотность материала; В =-; N - показатель
2аЬ(1 -ц 2) Ух
политропы газа; рш, Уш - соответственно давление и скорость звука в
а Ь
0 0
дw ^ 2 ( д^
дх) [ду
ёхёу ;
: (cos9, sin9); 9 - угол обтекания; К*ф(0 = JK(t - т)ф(т)аТ;
R(t-т) = A • exp(-p (t-т)) • (t-t)“ 1, A > 0, P >0, 0 < a < 1; t - время наблюдения; т - предшествующее моменту наблюдения время.
Рис. 1. Обтекание пластинки под произвольным углом
В уравнение (1) введем безразмерные координаты х = ах, у = Ьу,
ґ = ґ1ґ, (ґ2 = рка4/ Б) и w = kw, сохранив за координатами прежние обозначения. В безразмерных координатах уравнение (1) примет вид
* 9 * — * „ дw д2 w
(1 - Я )А2 w-Aw(1 - Я ) J(t)+ а2М (п0 • grаdw) + а, — +------= 0, (2)
дґ дґ2
2 2 4 2 4
где А = WxXXX+2l Wxxyy+l wm},; Х=а/Ь; Aw = Wxx+X wyy; ах = роКа /(К^о^і);
1 1
а2 = роКа3/^о; gradw = ^,^у); J(ґ) = Ц[^)2 + Х2^у)2] ёхёу .
о о
Решение уравнения (2) будем искать с помощью метода Бубнова-Галеркина. Пусть {фт(х, у)} - полная последовательность координатных функций, удовлетворяющих краевым условиям. Подставляя в (2) ряд
N М
w(х, у, ґ) = 1^пт(ґ)Фnm(x, У) (3)
п=1 т=1
и выполняя известную процедуру метода Бубнова-Галеркина, получим:
NM
n=1 m=1
NklnmI wnm+ а1 wnm | + Aklnm(1 K )wnm +
NM
NM
■zz °i
n=1 m=1
■ Z Z Dklnm;rjSwnm(1 - K*)w;rwjs = 0,
n,i, j=1 m,r ,s=1
О
О
б
k = 1, Ж ; l = 1, M ,
ГДе Nklnm , 4tlnm , Gifnm , Dklnm:rp , - безРазмеРные ШраМСТрЫ.
Начальные условия для системы уравнений (4) принимают вид
wnm(0) = anm, w nm(0) = Pnm, (5)
где anm, pnm - известные константы.
Системы нелинейных ИДУ (4) решаются численно с помощью метода, предложенного в [5]. Для этого запишем эту систему в интегральной форме и с помощью рационального преобразования исключим слабо-сингулярные особенности интегрального оператора R . Полагая затем t = t,, ti = iAt, i = 1, 2, ... (At = const) и заменяя интегралы некоторыми квадратурными формулами для вычисления wnm= wnm(t), получим следующее рекуррентное соотношение:
N M ^ Г N M
Z 1 Z 1NklnmWpnm , . 1 ZZ Nklnm{w0nm + (W0nm + a1w0nm} p) ~
n=1 m=1 pa [ n=1 m=1
p-1 I N M
Z Aj a1 ZZ Nkln mWjn m -(tp - {j )
V n=1 m=1
j=0
NM
n=1 m=1
N M I a j ^
+ Z Z Aklnm I J-------------Z Bs exP(-P ts )wj-s,nm
n=1 m=1 V a s=0 у
+
N M I A j
+ Z Z DklnmWjnm I W jirW jM---------------Z Bs eXP(-P ts >j-s,irw j-s, j1s1
n,i, j1=1m,r,s1 =1 V a s=0
р = 1,2,...; и = 1, ^; от = 1,М, где ^ , 5 - числовые коэффициенты применительно к квадратурным формулам трапеции:
Л = *; А, = А/; , = 4 = А; в = * *((* + 1)Д -(* - ^);
0 2 1 ^ 2 2
„ А/„ А/“(1 * - (1 -1)“)
В0 = —; » = ,; В, =------------2--------•
Алгоритм (6) достаточно общий и он пригоден к задачам флаттера как для идеально упругих, так и для наследственно-деформируемых гибких пластин, в принципе при различных граничных условиях.
В качестве примера рассмотрим задачу о флаттере шарнирно опертых прямоугольных пластин в сверхзвуковым потоке газа с учетом геометрической нелинейности.
Решение упрощенного уравнения, описывающего данный процесс в безразмерном виде (2) при начальных условиях:
w(x, у, 0) = ао8т(ях)8т(шу); (х,у,0) = 0 (7)
и граничных условиях
w = Wxx = 0 при х = 0 и х = 1;
w = Wуу = 0 при у = 0 и у = 1; (8)
ищем в виде
™(х, у, г) = ЕЕ ^пт (г) 8т(птсх) 8т(ттсу). (9)
п=1 т=1
Система нелинейных ИДУ (4) в данном случае упрощается и принимает вид
(10)
+ а1*ы + ®м(1 - >ы + пт ^
п=1 т=1
3 ! м
+ - 1 -К* )Е Е ГОптМ,2пт = 0,
п=1 т=1
где = л2(Л2+Х2/2);
О _ I1, при п = 0, 11, п - нечетный,
® п = | А ,А У п =1 п
[0, при п Ф 0,
[0, п = 0 или п - четный.
Результаты вычислений представлены в таблицах 1 и 2.
В качестве критерия, определяющего критическую скорость Укр, принимаем условие, предложенное в работах [6 - 8].
Продольное обтекание. Исследовалось влияние вязкоупругих свойств материала пластинки на критические значения времени и скорости флаттера. Результаты вычислений, представленные в табл. 1, показывают, что если использовать экспоненциальное ядро (а = 1)
Щ) = А • ехр(-3 г), (11)
скорость флаттера уменьшается приблизительно на 1%, а при использовании ядра Колтунова-Ржаницына
Я(і) = А • ехр(—3 і) • і а-1
(12)
эта скорость уменьшается на 46.4%, относительно критической скорости флаттера идеально-упругих пластин. Поэтому при использовании экспоненциальных ядер скорость флаттера вязкоупругой пластинки практически совпадает с критической скоростью флаттера для идеально-упругих пластин. Эти выводы и результаты полностью соответствуют выводам и результатам работы [9], где критические скорости флаттера определены численно-аналитическим методом.
Таблица 1
Зависимости скорости флаттера от параметров А и а
А а Р X 9 Укр
0,0 0,01 0,1 0,25 0,05 1 220 0 1003 853,4 537,2
0,1 1 0,5 0,15 0,05 1 220 0 993,14 697,34 412,42
Обтекание под произвольным углом. Рассмотрим вязкоупругую пластинку со сторонами а, Ь и толщиной к, обтекаемую сверхзвуковым потоком газа под произвольным углом. Несмотря на очевидную важность обсуждаемой задачи, имеются лишь две работы, посвященные исследованию поведения пластинки, обтекаемой под произвольным углом [2, 9].
В табл. 2 приведены критические значения скорости флаттера в зависимости от физико-механического и геометрического характера пластины с учетом угла 9.
Из табл. 2 видно, что величина критического числа Укр для пластинки при 9 > 0, больше, чем для пластинки при 9 = 0. Например, при 9 = 200 критическое число Укр пластинки возрастает на 11,14% по сравнению с соответствующим значением Укр при 9 = 0, при 9 = 360 на 27,66%, а при 9 = 450 - на 46,9%. Заметим, что влияние параметра угла обтекания 9, прекрасно согласуется с результатом работы [9].
В табл. 2 также дается влияние вязкоупругих свойств материала пластинки на скорость флаттера при 9 ^ 0. Для упругой пластинки (А = 0) при 9 = л/6 критическая скорость Укр составляет 1211,76, а для вязкоупругой пластинки (А = 0,1) с таким же 9 = л/6 критическая скорость Укр равна 646,34. Разница между ними составляет 46,4%.
Вычислительные эксперименты показали, что незначительное увеличение параметра сингулярности а приводит к существенному увеличению критической скорости флаттера.
Таблица 2
Зависимость скорости флаттера от физико-механических и геометрических параметров пластинки
А а Р X X, 0 V у ко
0,0 0,01 0,05 0,1 0,25 0,05 1 220 л/6 1211,76 965,6 721,48 646,34
0,1 0,15 0,5 0,05 1 220 л/6 483,14 830,98
0,1 0,25 0,1 0,01 1 220 л/6 649,4 645,66
0,1 0,25 0,05 1,2 1.4 1.5 220 л/6 805,8 1016,26 1135,6
0,1 0,25 0,05 1 180 200 250 л/6 1164,5 870,4 442,34
0,1 0,25 0,05 1 220 л/9 л/5 л/4 567,04 685,78 789,14
Из приведенной таблицы видно, что влияние параметра затухания Р ядра наследственности на скорость флаттера пластинки по сравнению с влиянием параметра вязкости А и сингулярности а незначительно, что еще раз подтверждает общеизвестные выводы о том, что экспоненциальное ядро релаксации неспособно полностью описать наследственные свойства материала конструкций.
Выводы. Таким образом, можно сделать вывод о том, что параметр сингулярности а влияет не только на колебания вязкоупругих систем, но и на критическую скорость флаттера. Следовательно, учет этого влияния при проектировании авиационных конструкций имеет важное значение, так как чем меньше параметр сингулярности материала конструкции, тем интенсивнее протекают диссипативные процессы в этих конструкциях.
На основании полученных результатов можно заключить, что учет вязкоупругих свойств материала пластинки приводит к уменьшению критической скорости флаттера Укр, с которой начинается явление флаттера.
Отметим также, что при скорости потока меньшей, чем Уке, влияние вязкоупругого свойства материала уменьшает амплитуду и частоту колебаний. Если же скорость потока превышает Vxp, то вязкоупругое свойство материала оказывает уже дестабилизирующее влияние.
Список литературы: 1. Fung Y.C. A summary of the theories and experiments on panel flutter / Y.C. Fung // Air Force Office Sci. Research TN 60-224 (May 1960). - 27 p. 2. Eisley J.G. Flutter of Thin Plates under Combined Shear and Normal Edge Forces / J.G. Eisley, G. Luessen // AIAA Journal. - 1963. - Vol. 1. - № 3. - P. 347-356. 3. Вентрес Дауэлл. Сравнение теории и эксперимента в задаче о нелинейном флаттере нагруженных пластин / Дауэлл Вентрес // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - Т. 8. - N° 11. - С. 126-136. 4. Ильюшин А.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки / А.А. Ильюшин, И.А. Кийко // Прикладная математика и механика. - 1994. - Т. 58. - Вып. 3. - С. 167-171.
5. Бадалов Ф.Б. О некоторых методах решения систем интегродифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости / Ф.Б. Бадалов, Х. Эшматов, М. Юсупов // Прикладная математика и механика. - 1987. - Т. 51. - №5. - С. 867-871.
6. Худаяров Б.А. Numerical Analysis of the Nonlinear Flutter of Viscoelastic Plates / Б.А. Худаяров // International J. Applied Mechanics. - 2005. - Vol. 41. - № 5. - P. 538-542.
7. Худаяров Б.А. Численное исследование нелинейного флаттера вязкоупругих трехслойных пластин / Б.А. Худаяров // Электронное моделирование. - 2006. - Том 28. - № 1. - С. 13-18. S. Верлань А.Ф. Численное решение нелинейных задач динамики вязкоупругих систем / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б. Худаяров, Ш.П. Бобоназаров // Электронное моделирование. - 2004. - Том 26. - № 3. - С. 3-14. 9. Кийко И.А. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа / И.А. Кийко, В.В. Показеев // Доклады РАН. - 2005. - Т. 401. - № 3. -С. 342-344.
УДК 539.3
Обчислювальний експеримент в завданні про флаттер в'язкопружної пластини, обтічної під довільному кутом в потоці газу / Верлань А.Ф., Худаяров Б.А., Файзібоєв Е.Ф., Юлдашев З.У. // Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2011. - № 36. - С. 4 - 11.
Розглянуті нелінійні коливання в'язкопружних елементів тонкостінних конструкцій в потоці газу. Розроблені методика і алгоритм чисельного рішення інтегро-дифференційних рівнянь. Визначені критичні швидкості флаттеру пластин в потоці газу. Іл.: 1. Табл.: 2. Бібліогр.: 9 назв.
Ключові слова: в'язкопружна пластина, алгоритм, інтегро-дифференційне рівняння, флаттер.
UDC 539.3
Computational experiment in task about flutter of viscoelastic plate, streamlined under arbitrary corner in stream of gas / Verlan A.F., Khudayarov B.A., Fayziboyev E.F., Yuldashev Z.U. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2011. - № 36. - P. 4 - 11.
Nonlinear vibrations of viscoelastic thin-walled elements of structures in the gas stream.The method and algorithm for the numerical solution of integro-differential equations. The critical velocity of flutter of plates in the gas stream. Figs.: 1. Tabl.: 2. Refs.: 9 titles.
Keyworts: viscoelastic plate, algorithm, integro-differential equations, flutter.
Поступила в редакцию 15.07.2011
