О решении одного нелинейного слабо-сингулярного интегро-дифференциального уравнения с частными производными Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О РЕШЕНИИ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО СЛАБО-СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Шамсиев Д.Н.1, Файзиев А.К.2 Email: Sh am siyev17138@scientifictext. ru

'Шамсиев Дамин Нажмиддинович - кандидат физико-математических наук, доцент; 2Файзиев Азиз Кудратиллаевич — ассистент, кафедра высшей математики, Ташкентского государственного технического университета, г. Ташкент, Республика Узбекистан

Аннотация: в работе исследуется нелинейное слабо-сингулярное интегро-дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее поперечные колебания длинного нелинейного наследственно-деформируемого цилиндра, скрепленного с нелинейно-упругой оболочкой. Применяя метода Бубнова-Галеркина, нелинейная задача приведена к решению системы линейных дифференциальных уравнений. В линейном случае, при постоянном и периодическом изменении внешних нагрузок найдено точное решение и в нелинейном случае методом исключения слабосингулярных особенностей построен алгоритм численного решения.

Ключевые слова: слабо-сингулярный, поперечные колебания, идеально-упругая задача.

ON THE SOLUTION OF ONE NONLINEAR WEAK AND SINGULAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH PRIVATE DERIVATIVES Shamsiyev D.N.1, Fayziyev A.K.2

'Shamsiyev Damin Najmiddinovich - Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor; 2Fayziyev Aziz Kudratillayevich — Assistant, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, TASHKENT STATE TECHNICAL UNIVERSITY, TASHKENT, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: in this paper, we study a nonlinear weakly singular integral-partial differential equation describing the transverse oscillations of a long nonlinear hereditarily deformable cylinder attached to a nonlinearly elastic shell. Using the Bubnov-Galerkin method, the nonlinear problem is reduced to solving a system of linear differential equations. In the linear case, with a constant and periodic change in external loads, an exact solution was found, and in the nonlinear case with a method for eliminating weakly singular singularities, a numerical solution algorithm was constructed. Keywords: weakly singular, transverse oscillations, ideal elastic problem.

УДК 539.3

Рассматривается нелинейное слабо-сингулярное интегро- дифференциальное уравнение (ИДУ) с частными производными, описывающее поперечные колебания длинного нелинейного наследственно-деформируемого цилиндра, скрепленного с нелинейно-упругой оболочкой, т. е.:

дЧ\' . _ .. ,

v 21

+

. d-W , -Г (d-wY

h-w+rMl*)

= q (x,t) (1)

где т- масса единицы цилиндра- оболочки, Е0 - модуль упругости оболочки, б- модуль сдвига цилиндра, /0,/0 ,/ц ,/ц- соответственно момент инерции оболочки и цилиндра, у1 ,у2-коэффициенты физической нелинейности, который меньше нуля (у1 < 0 ) для материала с мягкими и больше нуля (у2 > 0) для материала с жесткими характеристиками,

R'f(t) = [ R(t-T)f(T)dT, J о

R ( t — г) - ядра наследственности, имеющие слабо-сингулярные особенности типа Абеля, т. е. R ( t — г) = ee~P(t ~т) ( t — г) а " \s >0,/3>0,0<а<1 (2)

ц( х, Ь)- заданная функция, зависящая от х и Ь.

Требуется найти решение уравнения (1) при следующих обобщенных граничных (Ш) =0 при х = 0, х = Ь(¿ = 1,2) (3)

и начальных

Ш1с=0=а0(х), Щг=0=Р0(х) (4)

условиях.

Отметим, что задача (1)- (4) имеет прямое отношение к динамическому расчету ракеты на твердом топливе, рассмотренному впервые в работах при довольно частном

предположении формы определяющего уравнения.

Решение нелинейных начально- краевых задач (1)-(4) представляют значительные математические трудности. Поэтому для упрощения задачи произведем дискретизацию по пространственным переменным методом Бубнова-Галеркина. Согласно этому методу решение задачи (1 )-(4) ищется в виде

N

IV (хл) =^икЮ(рк(х) (5)

к=1

где - -я собственная форма колебаний линейной идеально-упругой задачи, -искомая функция времени.

Подставляя выражение (5) в уравнение (1) и выполняя известные процедуры метода Бубнова-Галеркина, а также учитывая, что собственные функции удовлетворяют условию ортонормированности

г£

I

[т 'ркМ^Шх = {1°'еессллии кк 11 (6)

получим следующие системы обыкновенных ИДУ для определения коэффициентов разложения И к( Ь) :

0кЦ)+ш1[1-ХЯ*]ик0:)=Чк0:) +

N N N

+ " Ои^и^ЩШ^)] (7)

1=1 у=1 П=1

С целью получения начальных условий для системы (7) представление (5) подставляется в условие (4). Далее, правая и левая части получившихся соотношений

N N

^ик(рк = а0(х),^йк(рк=/3 0(х), при £ = 0 (8)

к=1 к=1

умножаются на и полученные выражения интегрируются от нуля до по . С учетом условий ортонормированности (6) приходим к следующим начальным условиям: ик(0) =а° = {а,тсрк), Ок(0) = а™ = (р,т<рк) (9)

где ( , ) - одномерное скалярное произведение, цк(Ь) = / ц(х,Ь)рк(х)йх,шк- частоты собственных колебаний линейной начально-упругой задачи, и - известные

константы.

Если в начальный момент а° = а^ = 0 , то при у\=ук=0 точное решение системы (7) согласно запишется в виде

\с1 Г£ с1 Г£

— J ПЦ-т)ЧкШт-Чк(0)-^1 №-т)У1кШт-

гс й гс

-] ЧкИ-т) — ! П(г-5)^(5)^г (9)

где - функция ползучести, - функция косинуса дробного порядка

[ 3 Д] .

После определения коэффициентов искомое решение найдется по формулам (5). При исследовании поперечных колебаний для нас представляет особый интерес два типа задачи: задача определения при постоянном и периодическом изменении внешних нагрузок.

Рассмотрим эти две задачи. Пусть .

Тогдацк = ц^ = ^ ц0(х)рк(х)йх и из (9) имеем

„(»)[ а г£

= —Г П(0 -— па- т)У1кШт (10)

Щ М J0

Второе слагаемое в (10) описывает симметричный затухающий колебательный процесс [3,4]. Поэтому из (10) нетрудно заметить, что колебания вязкоупругих систем под действием постоянной во времени внешней нагрузки происходит около кривой функции ползучести и затухают с течением времени по этой кривой. В дальнейшем предположим, что внешние силы ц(х, £) изменяются со временем по периодическому закону

(?(х, £) = <7о (х)5(пр£

В этом случае = д(0)5(пр£. Тогда решение (9) принимает вид

л г£ , г£ . а П

а(0)

dt

f П(£ — T)sinpxdT--pi cosp(t — t)— f П(г — s) Vlk(s)dsdT

J о Jo dtJ0

(И)

Таким образом, точное решение (10) и (11) может служить эталоном для оценки различных приближенных решений.

Пусть у1 ф 0, у2 Ф 0, тогда задача сводится к решению систем нелинейных слабосингулярных ИДУ (7) при начальных условиях (8). Естественным приемом решения этих систем являются численные методы. Для решения системы ИДУ (7) применим метод исключения слабо-сингулярных особенностей:

5-1 ( / . г \

Хг ■

Uk,s =

+ af + ^ (ts - tj) j 4k,i ~ соI UkA

o/3tm тц

к,1—т

+

1=1 j=1 п=1

+ХХХ с^'п'кUi'1 Uj'1 ипл~tDi'j'n'kZ

ePtmmU-, U-, U ,

ic "iui,l-muj,l-mun,l-m

(12)

где

Uk(.ts) = UKs, ts = sAt, At

A0 = у, Ai= At,

s = 0,1,2.....N,

I = l,s- 1,B0 =

4k(ts) = qkA (,At)a

Bm —

(At)a

[(m + l)a - (m - l)a].

m = 1,1 — 1, Bm =

2 '

(,At)a

[la -(I- l)a]

2 1 " — " ......... 2

Создать математическое обеспечение для численной реализации данного алгоритма расчета при произвольных внешних воздействиях не представляет особой трудности. В случае собственных колебаний в (12) следует положить = 0. При малых интенсивностях внешних нагрузок во многих случаях достаточную для практических расчетов точность обеспечивает линейная теория.

Таким образом, использование предложенной математической модели и алгоритма численного решения (12) позволяет исследовать собственные и поперечные колебания длинного нелинейного наследственно-деформируемого цилиндра, скрепленного с нелинейно-упругой оболочкой при различных граничных и начальных условиях.

Список литературы / References

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М.: Наука, 1972. 327 с.

2. Ахенбах Дж.Д. Динамическое поведение длинного скрепленного с корпусом вязкоупругого цилиндра. // Ракета техника и космонавтика, 1965. № 4.

3. Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории упругости. М:.Ташкент. Мехнат, 1987. 269 с.

4. Бадалов Ф.Б., Эшматов Х. Краткий обзор и сравнение интегральных методов математического моделирования в задачах наследственной механики твердых тел. // Электронное моделирование. Т., 1989. № 2. С. 81-90.