К вопросу об устойчивости нелинейно-вязкоупругих тел дифференциального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 251-257

Механика

УДК 539.3

К вопросу об устойчивости нелинейно-вязкоупругих тел дифференциального типа

А. И. Сумин

Аннотация. Рассматриваются вопросы потери устойчивости нелинейно-вязкоупругих сред дифференциального типа по отношению к конечным возмущениям. Методом Бубнова-Галеркина задача сводится к системе дифференциальных уравнений. Находится фрактальная размерность динамической системы, позволяющая ограничить количество уравнений системы.

Ключевые слова: устойчивость, нелинейно-вязкоупругая среда, конечные возмущения, фрактальная размерность.

Рассмотрим нелинейно-вязкоупругую среду дифференциального типа

[1]. Кинематические соотношения для такой среды имеют вид как в

[2]. Предположим, что для такой среды напряжения и тепловой поток определяются через функцию свободной энергии Ф и диссипативный потенциал Ф по формулам [1]

дФ дФ дФ дФ 1 д Ф

8 - дЕ + д!; п - её + --дГ„' (1)

где Ф - Ф Е, ё); Ф - Ф Е, в,дт).

Возьмем эти функции в виде [3]

» = 2 С™„ЕИ Етп + ^ С «V + С<" >Еыв; (2)

ф = 2 °Е1Е«Ет« + 10<»>«2 + 2 °“дяд,+

+0<«ЕИ в + О™Е9га + -ОГ,* в.

Здесь С(Е), С, С(Ев), О(Е), , О(Е0) — характеристики материала,

которые определяются из экспериментов.

Подставляя (1) в (2), получаем линейные определяющие соотношения для материала типа Кельвина-Фойхта

8 с(Е) е + сЕ + п(еб)ё + п(е?)д • (3)

8к1 _ Ск1тпЕтп + Ск1 ё + ск1тпЕтп + ск1 ё + ск1т дт (3)

-П _ Ск^Еи + С(0)ё + 4Е0)Ёы + + С(0)ё; (4)

_ пКт _ ^к1тт)Екг+^дп+(5)

Рассмотрим возмущенное состояние. Компоненты тензора скоростей деформаций определяются так:

2ЁЫ _ йк,1 + щ,к. (6)

Система уравнений (3)-(5) для возмущений с учетом (6) примет вид

8кг _ Ск Ьпп (Етп(1) + Етп(2)) + Ск1 )^ + Ск1тпЕтп ++Ск1 ^ + ^к1гпдт;

(7)

_ Ьдт _ СЕ?Е« + БЩдп + (8)

Согласно [4] имеем 8кг _ 8кг (1) + 8кг (2), где

■««а) _ скгтпЕтп(1)+скг«++^кгв)<?+^дт; (ю>

8И(2) _ С™,(2).

Составим вариационное уравнение метода Бубнова-Галеркина, соответствующее нелинейной краевой задаче, заданной уравнениями [4]. Для этого будем трактовать эти уравнения как уравнения принципа возможных перемещений, учитывая, что левые части уравнений движения представляют собой взятые с обратным знаком компоненты некоторых объемных сил, а левые части граничных условий — компоненты некоторых поверхностных сил, составим условия, чтобы работа этих сил на возможных перемещениях £ит (т _ 1, 2, 3) была равна нулю

0

к] ~г 8 к]

V V

Это соотношение с учетом (10) перепишется в форме

^гпт,]+ I ‘^'г^гпт^'У — 0. (11)

У

00 &гк + иг,к ) [8к](1) + 8к] (2)] + 8к]иг,к + [8к](1) + 8к] (2)] иг,к

^Ргпт,] +

(12)

+ J — 0.

У

Для удобства введем следующие обозначения:

С(Е) ____ С ; С(Е^) _ С ; П(Е) _ п ; П(Еб) _ п ;

Ск1тп _ СЬ Ск1 _ С2; Пк1тп _ ПЬ Пк1 _ п2;

П£? _ Пз; Етп(1)_ /(1,Е(1); Ет„(2)_ /(1)/(2,Е(12); ,т _ Я(1)№);

2Е( ) — ^Рті],п + ^Рпі],т + ик,т^Ркі],п + ^Ркіі,тик,пі (13)

2Е(2) _ <Ргц,т<Ргк1,п-Тогда (10) запишется в виде

8(1) _ С1Е(1)/(1) + С2в(1,Ф(1) + П1в(1,Е(0) + О2в(1,Ф(1) + П3Я(1,д; (14)

8(2) _ С1/(1)/(2,Е(12).

Систему уравнений (12) перепишем так:

У | (і + Н +/(1,Я(1^ (с1Е(1) /(1) + С2в(1,Ф(1) + П1/(1,Е(01) + О2в(1,Ф(1,+

(15)

+Пз^(1,д + С1/(1)/(2) /(12)) + 8 /(1) Н(1)} Н(1,^У + I Н(1,Н(1,т_ 0.

V

Введем коэффициенты

А _ J Н(1,Н(1,т; В ^ у ^і + Н) П1Е(0,Н(1,^У;

V

С _ І (і + П2Ф(1)Н(1)гіУ; П _ І (і + и) Пз^Н(1,^У; (16)

V V

Е _ У ^і + Я ^ С2Ф(1,Н(1,гіУ; К _ у С1 (я(1,Е(1) + Е(12)) Н(1)^У;

V V

К _ У ^і + Н^ С1Е(1) + Н(1) Н(1)^У; К _ У Н(1)С2Ф(1)Н(1)^У;

V V

Кз ^ У Н(1)П1Е(0)Н(1)^У; К4 _ У Н(1)П2Ф(1)Н(1)^У;

V V

К5 _ ІН(1)Пз^Н(1)^У.

V

С учетом введенных коэффициентов (16) система уравнений (15) запишется в виде

А/(1) + В/(1) + С0(1) + О#(1) + Е0(1) + К/(1) + К1/(1) /(1) + К2/(1)0(1) +

+Кз/(1)/(1) + К4/(1)0(1) + К5/(1)£(1) _ 0. (17)

В общем случае коэффициенты (16) системы уравнений (17) переменные. Если принять допущение, что в начальном деформированном состоянии прошли все релаксационные процессы, то получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналогичную систему можно получить, если предположить, что в основном состоянии тело подвергается моно- и полигармоническому нагружению. Применяя принцип усреднения за период получим постоянные коэффициенты, причем для типичных вязкоупругих материалов погрешности такого представления не превосходят нескольких процентов [3].

Умножим систему (17) справа на /(1):

А/(1)/(1) + В/(1)/(1) + Св(1)/(1) + О#(1)/(1) + Е0(1)/(1) + К/(1)/(1) +

+К1/(1)/(1)/(1) + К2/(1)0(1)/(1) + Кз/(1)/(1)/(1)+ (18)

+К4/(1)0(1)/(1) + К5/(1)#(1)/(1) _ 0.

Перепишем (18) в виде

А/(1) /(1) + К/(1) /(1) + К/(1) /(1) /(1) _

В/(1) /(1) + С0(1)/(1) + О#(1)/(1) + Е0(1)/(1) + (19)

+К / (1)0(1)/(1) + Кэ/(1)/(1) /(1) + К4/(1)0(1)/(1) + К5/(1)д(1)/(1) = 0. Введем функции

П = 2 А/(1)/(1) + 1 К/(1)/(1) + 1К/(1)/(1)/(1);

Ж = В/(1) /(1) + С0(1)/(1) + £д(1)/(1) + £0(1)/(1)+ (20)

+К2/(1)0(1) /(1) + Кэ/(1) /(1) /(1) + К4 / (1)0(1) /(1) + К4/(1)д(1) /(1).

Если функции V и Ж положительно определенные в некоторой области фазового пространства фазовых переменных /(1), /(1), 0(1), 0(1), д(1), д(1), то из системы (19) видно, что производная от положительно определенной функции V в силу системы будет отрицательно определенной функцией Ж, и согласно теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевое решение системы (19) будет асимптотически устойчиво в некоторой области начальных возмущений амплитуд наложенных перемещений, температур, градиентов температур и их скоростей. Таким образом, решение задачи об устойчивости невозмущенного состояния нелинейно-вязкоупругого тела Кельвина-Фойхта сводится к задаче устойчивости нулевого решения системы (18), которая решается при условии нахождения областей начальных возмущений и их скоростей. Значения начальных возмущений и их скоростей находятся из соотношений

/_ш\

V/ (1)Л

0;

(/0,

0;

( дЖ \ 0 ( дЖ \ 0

; ;

(Ж) =0;

Ы1)^ ;

( дЖ )

1д5(1^о ’

(21)

откуда с учетом (20) получим

Щ = А/(1) (0) = 0; (/у)о = К/(1)(0) + К/(1)(0)/(1)(0) = 0;

(!Ж) )0 = С^(1)(0) + К4/(1)(0)/(1)(0) = 0;

(дЖ) )о = Е/(1)(0) + К2/(1)(0)/(1)(0) = 0;

(т)0 = 0/(1)(0) = 0; (др))0 = (1)<°>/(1)«>) = 0 <22>

(dfW_) = 2Bf (1)(0) + C0(1)(0) + Dg(1)(0) + E0(1)(0) +

+K2/(1)(О)0(1)(О) + 2Кз/(1)(0)/(1) (0) + K4/ (1)(0)0(1)(0) + K5 / (1)(0)g(1)(0) = 0.

Соотношения (22) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно величин начальных возмущений и их скоростей. Решение системы дает область начальных возмущений и начальных скоростей, в которых нулевое решение системы уравнений (18) будет устойчиво. Решение системы уравнений (22) дает счетное количество критических возмущений, которые образуют некоторую последовательность. Если выбрать из этих значений минимальное, то можно провести гиперсферу в фазовом пространстве переменных, внутри которой основной процесс деформирования, соответствующий нулевому решению системы уравнений (18) будет устойчив. Из соотношений (22) находится конечная цепочка бифуркационных значений {/nm}, из которых вначале реализуется минимальное. По сценарию Рюэля-Такенса [5, 6] динамическая стохастичность в нелинейной системе может развиться после конечной последовательности бифуркаций, которые обеспечивают достижение хаотического режима. Последовательность {/пт} может быть использована для вычисления корреляционной размерности фрактала. Компьютерные алгоритмы вычисления размерности Минковского d опираются на соотношение

log N(е) = log C — d log е,

где N(е) — минимальное число клеток со стороной е, необходимых для покрытия фрактала, C — константа. Приближение находится по методу наименьших квадратов [7].

Найденная размерность фрактала позволяет вычислить размерность фазового пространства динамической системы, которое моделирует процессы, происходящие в первоначальной системе и тем самым ограничить количество слагаемых в соотношениях (20) размерностью пространства, в которое вложен фрактал.

Очевидно, что отличие данного подхода от линеаризированной теории в том, что нелинейно-вязкоупругое тело может потерять устойчивость при любой отличной от нуля величине начальных деформаций, если возмущения превысят определенный предел.

Список литературы

1. Trusdell C., Noll W. In «Handbuch der Phyzic» (Flugge S. ed.). Band 3. No. 3.

Berlin: Springer, 1965.

2. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова Думка, 1973. 271 с.

3. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Термодинамика предварительно деформированных вязкоупругих тел. Киев: Наук. думка, 1990. 304 с.

4. Спорыхин А.Н., Сумин А.И. Иерархия устойчивых состояний в механике нелинейных сред. Воронеж: изд-во ВГУ, 1999. 210 с.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

6. Takens F. Detecting strange attractor in turbulence. Dynamical Systems and Turbulence. Springer-Verlag, 1981. P. 366-381.

7. Кроневер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

Сумин Александр Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математики, ВУНЦ ВВС «ВВА», Воронеж.

To the question of stability of nonlinear and viscoelastic bodies

of differential type

A. I. Sumin

Abstract. Questions of loss of stability of nonlinear and viscoelastic environments of differential type in relation to final indignations are considered. The task is reduced by Bubnov-Galerkin’s method to system of the differential equations. There is a fractal dimension of the dynamic system, allowing to limit quantity of the equations of system.

Keywords: stability, nonlinear and viscoelastic environment, final indignations, fractal dimension.

Sumin Alexander ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department department of mathematics, VUNTs Air Force «VVA», Voronezh.

Поступила 17.04-2013