К вопросу об устойчивости нелинейных стохастических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

к вопросу об устойчивости нелинейных стохастических систем

в.д. потапов, д-р техн. наук, профессор в.а. дибров, старший преподаватель

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Москва 127994, Москва, ГСП-4, ул. Образцова, 9, стр. 9; ро1ароу. vd@,relcom. ги

В настоящей статье на примере стержня, лежащего на сплошном нелинейно упругом основании, рассматривается задача моделирования движения нелинейной системы, находящейся под действием детерминированной и стохастической параметрической нагрузки, и анализа его устойчивости. Показано, что и в этом случае возможна стабилизация неустойчивого невозмущенного движения стержня путем наложения на детерминированную нагрузку стохастической составляющей в виде гауссовского стационарного процесса.

ключевые слова: устойчивость, нелинейность, стохастические параметрические уравнения, численный метод, стабилизация движения.

тл __о и 7 и __и и _

Рассмотрим упругий стержень длиной I , сжатый продольной силой, приложенной по концам стержня, и лежащий на сплошном упругом основании (рис. 1), реакция г которого определяется выражением

г = -см3,

где м - прогиб стержня, с - физическая константа материала основания. Поперечные колебания стержня описываются уравнением

т&м& + 2км + Юм "" + Е ($) м" + см3 = 0, (1)

причем т - погонная масса стержня, к - коэффициент, характеризующий демпфирование системы, Е1 - изгибная жесткость стержня , Е продольная сила, зависящая от времени I, х - продольная координата, отсчитываемая от одного из концов стержня.

МЬх)

Г-......./--.......... т

^шз м м > > мм > *

Рис. 1. Стержень, лежащий на сплошном нелинейно упругом основании Решение х) уравнения (1) ищем в виде суммы

п ¡та

м(1, х) = £ ^ (I )вт ¡ТХ (2)

¡=1 1

Для определения функций воспользуемся методом Бубнова-Галеркина. В результате получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

•• • /V /V 2

mfi (t) + 2kf (t) + —fi (t) - F(t) fi (t) + с - Ц = 0, l4 l2 l

(3)

где

т Г • -л r , \ • nn ^ „ ,ч . mn ^ . ,. . qn . ,

1 = J sm ~J fn (t) sln "T" XZ fm (t) sln -y XZ fq (t) X)dX =

г\ ' n ' m ' q '

l 8 = ZZZ ofn (t )fm (t )fq (t )Z *j .

n m q ® j

Здесь

a1 =•

[0, если i - n + m - q Ф 0 [ 1, если i - n + m - q = 0

Аналогично определяются остальные величины а^ , ] = 2, ..., 8. Вводя безразмерные величины

k 2 1

-, = —

т

т = a>it, 2s = -

С i 4n4 / n

mai

\

l

4

EJ + с

.2 2Г

i n F

i4n4

12( J-n + с) l4

, = f , h'

причем h высота поперечного сечения стержня, перепишем уравнение (3) следующим образом

(m. v

«1

(1 - + pi* = 0 (i = 1,2,..,n).

(4)

Здесь

? =Ъ v =

dT

ch2

4mai

^ Ii =YI^L4n4m4q Zak .

y1 n m q k=1

В дальнейшем будем считать в = 0,11375. Безразмерная продольная сила а1(т) принимается в виде суммы

а^т) = а0 + «1 cos©т + а°(т), причем «0, «1 - константы, а° (т) - гауссовский случайный стационарный процесс, (<а°(т) 0) с корреляционной функцией

= Гг2е(-5\т1-т1\)

cos в(т -т2) + —sin в(т -т2) в

2а25

S2 + в2

К(Т1 -Т2) = а е и спектральной плотностью 8 (а) =

Здесь £2 - дисперсия случайного процесса, 3 - параметр, характеризующий масштаб корреляции случайного процесса, © - частота периодической составляющей продольной силы, в - частота скрытой периодичности. Угловыми скобками обозначена операция математического ожидания.

n (a2-в2 -82) + 452®2 '

Стационарный процесс а° (т) с такими корреляционной функцией и спектральной плотностью можно рассматривать как результат прохождения белого шума через линейный фильтр 2-го порядка [4]

а° -а2а° -а^а° = ¿2&х(т), (5)

2 2 I 2 2

причем аз = -(S + в ), а2 =-25, ¿2 = у2(S + в ), х(т) - гауссовский белый шум, который моделируется выражением

х(т) = 428TKWh (т). Здесь Щд (т) = Yj, те [ jA, (j +1) А], yj - последовательность нормально распределенных некоррелированных чисел с нулевым средним значением и дисперсией Щ2^ = 1, А = Ат - шаг по времени.

Для анализа устойчивости решения системы уравнений (4, 5) (невозмущенного решения) рассмотрим систему уравнений описывающих возмущенное движение системы, вызванное возмущением начальных условий. В этом случае решение уравнений (4) имеет вид

zi = zi + Szi. (6) После подстановки выражения (6) в уравнения (4) получим линеаризованные уравнения возмущенного движения в возмущениях

( ю-f

S£i + 2eS{; + (1 - + ßSI* = 0, (7)

l о1)

* 8

где SIi=YuYJL^L ak (S%nZmZq + Sn^mZq + SnZm^q ) .

n m q k=1

В дальнейшем будем считать ß = 0,11375.

Представим уравнения (7) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

Syi = Syi+n ,

(со- f *

Sy[+n = -2sSyi +n--L (1 - ai)Syi - ßSIi , (i = 1,...,n) (8)

l °1 )

причем Syi = S$i, Syi+n = .

Решение уравнений (7) должно удовлетворять начальным условиям

Syi(0) = Syi0, (j = 1,...,2n). Далее под устойчивостью системы понимается устойчивость по отношению к возмущению начальных условий (устойчивость в смысле Ляпунова). При исследовании устойчивости стохастических уравнений используются различные определения устойчивости. В дальнейшем рассматривается устойчивость почти наверное.

Решение уравнений Sy j (т) = 0, (j = 1,...,2n) называется устойчивым почти

наверное, если

P{ lim Sup^0 | Syj (т, Syj (т)т=0) |= 0} = Ь

S (т)т^0|

где P{...} - вероятность события, заключенного в фигурные скобки.

Решение Syj (т) = 0 называется асимптотически устойчивым почти наверное, если оно устойчиво почти наверное и дополнительно выполняется условие

lim P[SuPt>t | Sy,-(T,Syj(т)т=о) |= 0} = 1,

Т^ю J J

Рост вектора SY (т) может быть оценен с помощью максимального показателя Ляпунова, который определяется выражением

Л= lim iln!|SY(T)»

т^» т || SY(0) ||

где || SY(т) ||, || SY(0) || - норма вектора SY(т) в эвклидовом пространстве в момент времени т и в начальный момент времени т = 0

57 (т)||=

2n 2

2(т), II S7(0) ||=

2n 2

1^2(0) .

j=1

V=1

Величина X может быть найдена численно с помощью метода, предложенного Бенеттиным с соавторами [4]. Если максимальный показатель Ляпунова X положительный, то рассматриваемая система неустойчива, и если X отрицательный, тогда система асимптотически устойчива.

Приведем пример. Для численного решения уравнений (4, 5) воспользуемся методом Рунге-Кутта 4-ого порядка [2, 3]. С этой целью представим систему уравнений (4, 5) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

y'i = yi+n ,

( ю-f *

y'i+n = ~2W+n--L (1 -ai)yi - Ph , (i = 1,2...,n) (9)

l ю1 J

y2n+1 = y2n+2 у2п+2 = a2У2п+2 + a3У2П+1 + Ь2стХ(т) ,

причем У- = , yi+i = %, (i = 1,...,n), y2n+i = a°, У2П+2 = a°',

* 8 Ii = ZZZ^n£m£q Zak .

n m q k=1

Далее рассмотрим некоторые результаты решения уравнений (4,5) при следующих значениях исходных параметров:

£ = 0.1, а0 = 0.5, а1 = 2.0, © = в = 1.4, ст2 = 0.01, 8 = 0.5, Ат = 0.1.

На рис. 2 показаны графики изменения корреляционной функции (рис. 2, а) и спектральной плотности (рис. 2, б) случайного процесса а0(т) для принятых исходных данных, а на рис. 3 представлены графики изменения периодической составляющей a1COS ©т (рис. 3, а) и одной из реализаций суммы периодической и стохастической составляющих безразмерной нагрузки a^os ©т + а0 (т) (рис. 3, б).

На рис. 4 приведены графики изменения безразмерного перемещения среднего сечения стержня (х = l /2) на фазовой плоскости (рис. 4, а) при n = 1 и (рис. 4, б) при n = 5 в том случае, когда функция а(т) является детерминированной a0 + a1 cos ©т . Начальные условия приняты следующими:

6(0) - £01 = 1.0, £{(0) - ^¿1 = 0 при п = 1 и £01 = 1.0, £02 = ... = £05 = 0, £01 = 0,...,б05 = 0 при п = 5.

Рис. 2. Графики изменения корреляционной функции К(т) (рис. 2,а) и спектральной плотности S(а) (рис. 2,б) случайного процесса а0(т) при в = 1.4, ст2 = 0.01, 8 = 0.5 . а) гх(т)

2,0; !.0

0

-1.0

-2.0 б)а(т)

2.0'

I 1 ^ \ ;!

ил пи

¡;

I :

г I:

) , ) = I: ¡1 |

¡1

\ й ,1

;[

] 1) п 5 v и

| :

I

] 00

"I.

1.0 о

.1 \

-1.0 !

I

-2.0

Ш

|1 I

100

Рис. 3. Графики изменения периодической части о^соб®т функции а(т) (рис. 3,а) и суммы периодической и одной из реализаций случайной составляющей функции а0(т) (рис. 3,6) при в = 1.4, ст2 = 0.01, 8 = 0.5 .

Для сравнения на рис. 5 показаны аналогичные графики изменения перемещения того же сечения стержня для одной реализации, полученной при n = 1 (рис. 5, а), и для другой реализации, полученной при n = 5 (рис. 5, б), в том случае, когда функция а(т) является стационарным процессом

a(r) = а0 + «¡cos ©г + ao (г) с параметрами корреляционной функции в = 1.4, а = 0.01, 5 = 0.5 и при одних и тех же остальных исходных данных.

Рис. 4. Графики изменения перемещения среднего сечения стержня на фазовой плоскости при детерминированной постановке задачи

Рис. 5. Реализации перемещения среднего сечения стержня на фазовой плоскости в том случае, когда функция a (г) является стационарным процессом

a (г) = a0 +aj cos ©r+ao (т).

Как видно из рис. 3, при заданных значениях исходных параметров малое изменение в продольной силе, вызванное случайной добавкой ao (т), приводит к принципиальному изменению в поведении системы. Это проявляется в том, что из неупорядоченного (хаотического) при детерминированной постановке задачи оно становится более упорядоченным (устойчивым, как будет показано в последующих разделах) при стохастической постановке задачи. Указанное отличие сохраняется при n = 1 и n = 5, хотя фазовые портреты траектории движения сечения стержня оказываются разными и в том, и другом случаях, как при детерминированной, так и при стохастической постановках задачи.

Результаты анализа устойчивости невозмущенного движения стержня при тех же исходных данных, которые использовались в примере 1, представлены в табл. 1, 2. Табл. 1 содержит значения оценок Я, найденные для стержня, находящегося под действием периодической продольной силы (при детерминированной постановке задачи), при £01 = 10 и различных начальных условиях для системы уравнений (9) и при различном числе членов в разложении прогиба стержня п. Как видно, невозмущенное движение стержня оказывается неустойчивым и имеет хаотический характер, который можно оценить по рис. 4.

Таблица 1

Оценки максимального показателя Ляпунова для детерминированной постановки

задачи при различных начальных условиях и при т = 105

п £0г ¿0," л

1 £01 =1.0 ¿£01 = 1.0 0.166

1 £01 =1.0 ¿£0 1 = 1.0 0.166

1 £01 =1.0 ¿£01 = ¿£001 = 1/72 0.166

3 £01 =1.0 £ = ... = ¿£0 з = 1/7б 0.166

5 £01 = 1.0 ¿£01 =. .. = ¿£0 5 = 1/710 0.165

5 £01 = £03 = 1.0 ¿£01 =. .. = ¿£00 5 = 1/710 0.167

5 £01 =-£03 = 1.0 ¿£01 =. .. = ¿£00 5 = 1/710 0.164

Для сравнения в таблице 2 приведены оценки значений Я, полученные для стержня при действии на него той же периодической силы с наложенной не нее стохастической продольной силой, при тех же исходных данных и начальных условиях. Как видно из сопоставления этих данных, неустойчивая детерминированная система может быть стабилизирована наложением на внешнюю параметрическую периодическую нагрузку даже малой случайной составляющей в виде стационарного процесса.

Таблица 2

Оценки максимального показателя Ляпунова для стохастической постановки задачи (устойчивость почти наверное) при различных начальных условиях

и при т = 10 5

п £0г ¿£0г л

1 £01 = 1.0 ¿£01 = 1.0 - 0.095

1 £01 = 1.0 ¿£01 = 1.0 - 0.095

1 £01 =1.0 ¿£01 = ¿£001 = 1/72 -0.094

3 £01 = 1.0 ¿£01 = ... = ¿£003 = 1/7б - 0.095

5 £01 = 1.0 ¿£01 =. .. = ¿£00 5 = 1/710 - 0.092

5 £01 = £03 = 1.0 ¿£01 =. .. = ¿£00 5 = 1/710 - 0.095

5 £01 =-£03 = 1.0 ¿£01 =. .. = ¿£005 = 1/710 -0.095

Графики на рис. 6 иллюстрируют изменения оценок показателя Я для детерминированной (рис. 6, а, б) и стохастической (рис. 6, в, г) постановок задачи

при начальных условиях для невозмущенного движения = 1,0; ^02 =... = 602п = 0 и числе членов в разложении прогиба (2) равном 1 (рис. 6, а, в) или 3 (рис. 6, б, г). Эти графики показывают, что скорость приближения этих оценок к предельному значению при детерминированной постановке заметно выше, чем при стохастической постановке.

Рис. 6. Графики изменения максимального показателя Ляпунова для детерминированной и стохастической постановок задачи при п = 3

Как видно из табл. 1 и 2 значения X изменяются несущественно с увеличением n как при детерминированной, так и стохастической постановках задачи.

В заключение следует отметить, что в работе [1] было показано, что неустойчивая линейная детерминированная система, находящаяся под действием параметрической нагрузки, может быть стабилизирована путем наложения на параметрическую нагрузку стохастической составляющей в виде гауссовского широкополосного стационарного процесса.

В настоящей статье показано, что аналогичные результаты могут быть получены для нелинейной системы, когда ее решение представляется в виде разложения по собственным формам соответствующей линейной системы при различном числе членов в указанном разложении.

Л и т е р а т у р а

1. Потапов В.Д. Об устойчивости стохастических вязкоупругих систем // Проблемы машиностроения и теории надежности машин. - 2009. - №6. - С.85-90.

2. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение, 1986. 320 с.

3. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2000. -1000 с.

4. Benettin G., Galgani L., Giorgolly A., Strelcin J.M. Liapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a Method for Computing All of Them. P.1, 2 // Meccanica. - 1980. - V. 15. - № 1. - P.9-20, 21-30.

Stability of non-linear stochastic systems V.D. Potapov, V.A. Dibrov

This work presents the problem of modeling of the non-linear system movement under the action of determined and stochastic loads. On the example of an elastic beam laying on the non-linear base the numerical method of the problem solution is considered. The stabilization of the unstable motion of the beam by the addition of a random noise is possible

KEY WORDS: stability, non-linear, stochastic parametrical equations, numerical method, stabilization.