CC BY
19
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И.В. НАБАТОВ, аспирант
Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
127994, Москва, ГСП-4, ул. Образцова, 9, стр.9; i_nabatov@,mail.ги
В настоящей статье на примере балки жесткости вантового моста рассмотрена задача моделирования движения линейной системы, находящейся под действием детерминированной и стохастической параметрической нагрузки. Анализируется аэродинамическая устойчивость подобных систем. Сравнивается два случая, когда пульсационная составляющая ветра является гауссовским случайным стационарным процессом со спектральной плотностью Давенпорта и спектральной плотностью Кеймала.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: аэродинамическая устойчивость, линейная система, стохастическая параметрическая нагрузка, стационарный процесс.
Взаимодействие упругой конструкции с потоком воздуха является важной задачей при анализе поведения летательных аппаратов, высотных зданий, радиомачт, вантовых и висячих мостов [1, 2]. Среди этих задач особое место занимает проблема аэродинамической устойчивости систем.
Изначально эта проблема изучалась авиаконструкторами при анализе поведения летательного аппарата в воздухе. Серьезное изучение аэродинамической устойчивости сооружений берет свое начало с катастрофы Такомского висячего моста в США, которая произошла в 1940 г. [3]
Влияние ветровой нагрузки на прочность и надежность гибких конструкций, в частности конструкций вантового моста, анализируется при «продувке» моделей балки жесткости в аэродинамической трубе. Модель балки, поперечное сечение которой имеет, по крайней мере, одну (вертикальную) ось симметрии, совершает взаимосвязанные вертикальные и крутильные колебания. Уравнения, описывающие колебания такой модели можно записать в виде:
.. . 2 1 . .
у+ 2£у у+ = — Lv (у, у, ©, ©)
m (1) . . 2 1 . .
©+ 2£®+ с2© = - L& (у, у, ©, ©)
где у, у - вертикальное перемещение балки и скорость вертикального перемещения, ©, © - угол закручивания балки жесткости и скорость изменения угла закручивания, т - масса модели,
I - погонный момент инерции масс, - коэффициенты демпфирования при вертикальных и крутильных колебаниях соответственно,
сс ,с - собственные частоты вертикальных и крутильных колебаний модели,
Ьу (у, у, ©, ©), Ь© (у, у, ©, ©) - аэродинамическая подъемная сила и крутильный момент (линейные зависимости).
Здесь и далее точкой обозначается производная по времени t.
Произведя замену искомых переменных у = х^ у = х2; © = х3; © = х4, эту систему можно представить в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка
Х1 = х 2
■ 2 1
х2 = -2^х2 -С0сХ1 л--Lv(Х1„.Х4)
т
х 3 = х 4
■ 2 1
х 4 =-2£х4 - с х3 л— L@ (х^.х4) 3 I
Решение этих уравнений, которое должно удовлетворять начальным условиям х1 (0) = х|0 (I = 1,...4), описывает невозмущенное движение модели.
Для исследования устойчивости решения уравнений (2) рассмотрим уравнения возмущенного движения (3), которые имеют вид
5 х1 = 5х 2
о ■ ^ о 2Х , 1 V (х1...х4)о
5 х2 = -2дл,5х2 - Сс 5х1 л--^---5х^
т I=1 дх{
(3)
5 х з = 5х
4
с- ■ „гс 2? 1 4 дL& (х1...х4) 5 х 4 = -2д5х4 - с 5х3 л—> ---5х{
3 11=1 дх1
Функции 5х1 должны удовлетворять начальным условиям 5х1 (0) = 5х10 ■
Далее под устойчивостью невозмущенного движения системы понимается устойчивость в смысле Ляпунова [4, 5].
Для анализа устойчивости системы воспользуемся понятием максимального показателя Ляпунова
1 ||5х(0||
X = lim - 1п ^-^,
't \5х(10)
где ||5х(/)|| = ¿5гг2(/) - норма вектора 5х в Евклидовом пространстве, 5х - комЫ 1
поненты вектора 5х, ||5х(/0 )|| - норма вектора 5х в начальный момент времени
При X > 0 - система неустойчива, при X < 0 - асимптотически устойчива, значению X = 0 - соответствует критическая величина параметра системы.
Для численного решения уравнений (1), (2) воспользуемся методом Рунге-Кутта четвертого порядка, реализованного в программном комплексе Ма^аЬ.
Для получения оценки максимального показателя Ляпунова применим метод Беннетина [6]. Решение уравнений (2) выполняется при начальных условиях таких, что ||5х(/0 )|| = 1. На следующем шаге по времени I вектор 5х(/) получает
значение 5х(^). Длину вектора 5х(?1) обозначим ^. Далее решение уравнений продолжим с другого начального условия 5х *(/1) = 5х(/1)/d1 . Значения неизвестных в момент времени г2 обозначим 5х(г2), а длину вектора 5х(г2) - d2.
I
0
В результате многократного применения описанной процедуры получим последовательность чисел di, где /'=1,2,3.. .N=1^ (причём h - шаг интегрирования). Тогда оценка максимального показателя Ляпунова определяется выражением [6]
X = lim
1 N
1 I Ind
NN ■ hj=i
Зависимости L@(xb.x4), Lv(х1...х4)и их производные зависят от скорости ветра, которую можно представить в виде суммы постоянной u и пульсацион-ной составляющих u ■ £(t): U = u[1 + %(t)].
Сравним два случая, когда пульсационная составляющая ветра является га-уссовским случайным стационарным процессом со спектральной плотностью Давенпорта, и спектральной плотностью Кеймала [8].
Для получения реализаций этой случайной функции воспользуемся методом канонических разложений [7]. Известно, что всякий стационарный процесс, математическое ожидание которого равно нулю, на конечном промежутке времени [ 0, T] может быть представлен конечной суммой с достаточно большим числом членов n
n
%(t) = I(Uj sinG)jt + Vj cosG)jt), 0
где Uj, Vj - некоррелированные нормально распределенные случайные величины, (Uj ) = (Vj > = 0, U j = j aj = j ■Аю, Аю = 2ж/ T . Дисперсии Uj = Vj случайных величин Uj, Vj выражаются через спектральную плотность процесса £(t).
Рассмотрим поведение модели вантового моста на о.Русский через пролив Босфор Восточный в г. Владивостоке, общий вид которого показана на рис. 1.
Рис. 1 Общий вид.
Длина главного пролета, I Ширина балки жесткости, Ь Погонный момент инерции масс, I Погонная масса, т Плотность воздуха, р
Коэффициент демпфирования при вертикальных колебаний, ^ Коэффициент демпфирования при крутильных колебаний, £ Собственные частота вертикальных колебаний, сс Собственные частота крутильных колебаний, с Коэффициент подъемной силы, Сь Коэффициент крутильного момента, См
Аэродинамическая подъемная сила:
1104 м 29.2 м 1424385 кг-м4/м 22786 кг/м 1,19 кг/м3 0,005 0,005 0,173 Гц 0,474 Гц 4,56 1.17
L=
ClpV^B . 2 '
С оУ 2 В 2
Крутильный момент: = -.
и 2
Для нашего примера рассмотрим 100 реализаций случайного процесса. Постоянную составляющую ветра примем равную 20м/с, а среднеквадратическое отклонение пульсационной составляющей скорости ветра- 1,5 м/с. В результате расчетов получим соответствующее число значений показателя Ляпунова при спектральной плотности Давенпорта, и при спектральной плотности Кеймала. По этим данным строим гистограммы (рис. 3, 4), располагая которыми можно оценить вероятность устойчивого движения модели.
Спектральная плотность Давенпорта определяется выражением
2
£(ю) =_аую_, где а2 - дисперсия процесса.
3(1 + ю2)43
Расчет спектральной плотности Кеймала осуществляется по формуле[8]
соБу (г,ю) 6,8fL (г,ю) .
Бц (z, ю) = -
ау (1 +10,2 fL (г, ю))53
где Бу (z, ю) - односторонний дисперсный спектр ветра;
fL (г,а) = (г) - безразмерная частота, определяемая по собственной частоте
^т(г)
крутильных колебаний сооружения ю = ю1 х Гц, средней скорости ветра ут (г) и
масштабу длины турбулентности L( z).
Масштаб длины турбулентности L( z) представляет среднюю величину порывов естественного ветра. Для высоты z ниже 200 м (в нашем случае z = 72м) масштаб длины турбулентности рассчитывают по формуле:
7
L(7) = Ц (—)а при 7 > zmin , L(7) = L(zmin ) при 7 ^ zmin
принимая базовую высоту = 200 м, базовый масштаб длины = 300 м, а = 0,67 + 0,051п(70) и параметр шероховатости у моря г0 = 0,003 м. Минимальная высота у моря г тй = 1м.
График изменения оценки показателя Ляпунова во времени для спектральной плотности Давенпорта представлен на рис.2. Для спектральной плотности Кеймала зависимость X и Т имеют аналогичный вид.
Рис. 2 Показатели Ляпунова при спектральной плотности Давенпорта
Рис. 3 Гистограмма распределения показателя Ляпунова при спектральной плотности Давенпорта
Рис. 4 Гистограмма распределения показателя Ляпунова при спектральной плотности Кеймала
По результатам расчета можно оценить вероятность неустойчивого движения системы, которая в случае Давенпорта Р = 0.05, в случае Кеймала P = 0.02.
Выводы
В работе предложена методика оценки устойчивости линейных систем при стохастическом воздействии, основанная на каноническом представлении исходных случайного стационарного процесса и на определении максимального показателя Ляпунова для каждой реализации.
Рассмотрены два случая, наиболее часто используемых в мостостроении, когда пульсационная составляющая ветра является гауссовским случайным стационарным процессом со спектральной плотностью Давенпорта, и спектральной плотностью Кеймала.
Л и т е р а т у р а
1. Мхитарян А.М., Лазнюк П. С., Максимов В.С. Динамика полета. - М., «Машиностроение», 1971, 368с.
2. Петропавловский А.А., Крыльцов Е.И., Богданов Н.Н. Вантовые мосты. - М.: Транспорт, 1986. 224с.
3. Дмитриев Ф.Д. Крушения инженерных сооружений. Стройиздат, М,: 1953. -188с
4. Potapov V. D. Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems. Wiley, Chichester, 1999. 276 p.
5. Потапов В.Д. Устойчивость упругих и вязкоупругих систем при стохастическом параметрическом возбуждении// Изв. РАН, МТТ, 2005, № 3. - C. 123 - 136.
6. Benettin G., Galgani L., Giorgolly A., and Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a Method for Computing All of Them. P. 1, 2// Meccanica, 1980, Vol. 15. - Р. 9-20, 21-30.
7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.
8. Еврокод 1 EN 1991-1-4:2005, IDT.
STABILITY OF LINEAR STOCHASTIC SYSTEMS
Nabatov I.V.
In this paper the problem of modeling the movement of the linear system under the influence of determined and stochastic parametric load had been studied by the example of cable-stayed girder. The aerodynamic stability of similar systems had been analyzed. There are two cases compared when pulsation wind component is Gauss random stationary process with a spectral density of Davenport, and spectral density of Kaimal.
KEYWORDS: aerodynamic stability, linear system, stochastic parametric load, stationary process.
