CC BY
13
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ висячих мостов ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ ВЕТРОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
М.А. ПАПАЕВ, инж. МГУПС (МИИТ), г. Москва
В 1940 году внимание инженерного сообщества привлекло крушение висячего моста близь города Такома (США). Причиной разрушения моста явились неустойчивые колебания, вызванные пульсациями скорости ветрового потока.
Известно, что ветер представляет собой нерегулярное, турбулентное движение воздуха и, в связи с этим, скорость ветра является пространственно-временной случайной функцией.
В настоящей статье рассматривается влияние статистических временных характеристик скорости ветра на устойчивость висячего моста.
Уравнения колебаний пространственной модели висячих мостов, сечение которых имеет две оси симметрии, записываются следующим образом [1]
ш(о + 2дио + со^о)=1и(о,а}, 1[а + 2д<х + со2<х)=Ь&(р,а), (1)
где V, а - вертикальное перемещение и угол закручивания модели, тп, I ~ масса и крутильный момент инерции модели, д0, д - коэффициенты демпфирования при вертикальных и крутильных колебаниях соответственно, со„, со - собственные частоты вертикальных и крутильных колебаний модели, Ь„(о, а), Ьв(ь, а) - аэродинамические подъемная сила и крутильный момент.
На рис. 1 показана схема поперечного сечения пролетного строения висячего моста в исходном и отклоненном при действии ветра состоянии.
Если пренебречь вертикальными перемещениями модели и сосредоточить основное внимание на крутильных колебаниях, то в уравнениях (1) можно ограничиться рассмотрением только второго уравнения. Правую часть его запишем в соответствии с экспериментальными данными [1] и тогда уравнение крутильных колебаний принимает вид
/(¿¿ + 2■£-б)-а + а)2 -а)=
()С
где 1/(1) - скорость ветра, Ха, —~ - аэродинамические постоянные, Хта{1 - т) -
да
функция, которая определяет значение крутящего момента в момент времени 1 в зависимости от приращения угла атаки в предыдущие моменты времени т, р -плотность воздуха, В - ширина пролетного строения.
Будем рассматривать скорость ветра в виде суммы постоянной и и пульса-ционной составляющих и ■ , т.е. и = м[1 + £(?)].
Исходное дифференциальное уравнение второго порядка (2) преобразуем в систему дифференциальных уравнений первого порядка, для чего введем функцию Хта(1) [2]: Хта(0 = 1 + С,^'1 + С2е-г>', (3)
где С1, С2, у/, У2 - аэродинамические параметры.
Введем новые переменные: Х}=а - угол закручивания пролетного строения, Х2~ а - скорость изменения угла закручивания.
Преобразуем правую часть уравнения (2), вводя переменные Х3 и Х4:
Рис. 1. Схема висячего моста с одним главным пролетом (а) и поперечное сечение моста
Х3 = } [1 H{r)Y-Cx= } [l^(r)f -C2
-00 ОТ -ОС ОТ
от
<1т —
= [a,[1 + #(г)Г • [С, ■ e^) + C2 ■ e^pMdT = Xi+X,.
Функции A3, Xi, удовлетворяют дифференциальным соотношениям X3=Cr[\ + М2 ■Х2-ух-Хъ- X, = С2 • [1 + £(/f -Х2-г2-Х4.
В итоге, уравнение (2) можно представить в виде системы 4-х дифференциальных уравнений первого порядка:
Xj — Х2\
Х^а1С2-[1 + ^)]2-Х2-г2-Х4,
при этом а, - р-и2 В2 (дСм /да)/1.
Рассмотрим поведение системы в случае детерминированного воздействия, т.е. когда пульсационная составляющая ветровой нагрузки представлена периодической функцией £(0 = С • sin(© • i), (5) где С - безразмерная амплитуда колебаний скорости ветра, ©- частота.
Решение системы дифференциальных уравнений (4) четвертого порядка выполнено методом Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования. Алгоритм решения реализован на языке программирования Visual Basic.
При различных скоростях ветра положение равновесия системы может быть устойчивым и неустойчивым. Для оценки устойчивости движения воспользуемся максимальным показателем Ляпунова X, определяемым выражением
1 IM'l
Л = lim - In тг—т^-Tjr, (6)
И'о!
где = J^j xj (/) - норма вектора X в Евклидовом пространстве, X, - компоненты вектораХ, jj_Ä"(V0 - норма вектора X в начальный момент времени t0.
Если при изменении какого-либо параметра системы максимальный показатель Ляпунова оказывается положительным X > 0, то положение равновесия системы неустойчиво, а если X < 0 - асимптотически устойчиво по Ляпунову. Значению X = 0 соответствует критическая величина параметра системы.
Решение системы уравнений (4) выполнено в следующих вариантах: без учета аэродинамического демпфирования (вариант I); с учетом аэродинамического демпфирования пропорционально квадрату скорости ветра (вариант И); с учетом аэродинамического демпфирования пропорционально квадрату скорости ветра и в виде интегрального слагаемого (вариант III).
Рассмотрим поведение системы в случае детерминированного воздействия, т.е. когда пульсационная составляющая ветровой нагрузки представлена периодической функцией. Решение уравнения (2) выполнено при следующих исход-
2 Ж"*
ныхданных: / = 8900000 ¿> = 1.226-^-,—^- = 0.93,5 = 16.4 м,
м/ сек м да
со - 0.74 С, =1.64, С2 = -51.61, ух =0.38—, у2 = 19.74-с В В
Рассмотрим случай, когда аэродинамическое демпфирование не учитывается. На рис. 2 приведены графики траектории угла закручивания, полученные при решении уравнения (6) для случая, когда средняя скорость ветра и меньше критической (кривая 1) - при этом пролетное строение совершает затухающие колебания с постоянной частотой; для случая, когда и соответствует критическому параметру системы X = 0 (прямая параллельная оси времени 2); для случая, когда скорость ветра превышает критическую (кривая 3). Стоит отметить, что по мере увеличения постоянной составляющей скорости ветра и, частота крутильных колебаний уменьшается, и стремиться к нулю, когда скорость ветра стремиться к критическому значению. Для данного случая, полагая 0 = 0, преобразуем уравнение (2) к виду
а + 2 ■ £ ■ со ■ а + со1
■а — р 2
(2 В
лдС
и
да I
-а-0
и найдем корни характеристического уравнения
К2 +2-С-СО-К +
\ОС
со
■и*)-
и и
= 0.
(7)
а, рад
При докритических скоростях потока от (0 до 126.63 м/с) уравнение (7) имеет два комплесно-сопряженных корня (значения для 100 м/с):
Л1 = —7.4 Ю-3 -0.454/; Я, = -7.4-Ю-3 +0.454/. При превышении критической скорости потока (и >126.63 м/с) корни уравнения (7) становятся действительными (значения для и = 127м/с): Я, =-0.454; Хх =0.450. Видно, что при решении уравнения (2) без учета аэродинамического демпфирования наблюдается дивергентная форма потери устойчивости, на что указывает действительный положительный корень уравнения (7) и монотонное увеличение угла закручивания от положения равновесия (рис.
2, кривая 3). Стоит отметить, что при 0 = 0 критическая скорость не зависит от коэффициента конструкционного демпфирования £
В случае, когда аэродинамическое демпфирование учитывается только пропорционально квадрату скорости ветра при значении параметра и меньшем критического, наблюдаются затухающие колебания с постоянной частотой (рис.
3, а). При значении параметра и равном критическому колебания происходят с постоянной амплитудой, а по мере дальнейшего увеличения средней составляющей скорости ветра происходят с нарастающей амплитудой (рис. 3, б).
Для данного случая при частоте пульсационной составляющей 0 = 0 уравнение (2) записывается в виде:
Рис. 2. Траектории угла закручивания для случая, когда аэродинамическое демпфирование не учитывается.
а + 2-£о -¿У0 -а + сОд
■а — р 2
•М
и2
да I
а-0,
где со0 =у[о)2 - а, ; =(2а>^-а1АГв)/2о0
Характеристическое уравнение в этом случае запишется следующим обра-
зом:
К2 +2-£0-а0-К +
\дС.
й)02 - — р- {¡¿В2 )• 0 2 'да
и
= 0.
(8)
При докритических скоростях потока от (0 до 16.87 м/с) уравнение (8) имеет два комплесно-сопряженных корня с отрицательными действительными частями (значения приведены для щ = 10 м/с и (= 0.01):
Я, = -4.805-1(Г3 -0.738/; = -4.805-10"3 +0.738/.
При скорости потока щ= 16.88 м/с действительная часть корней обращается в нуль: Я, = -0.738/; Я2 - 0.733/.
В этом случае модель совершает гармонические колебания с частотой
СУ = 0.733 1/с.
При средней составляющей скорости ветра больше критической действительная часть корней становится положительной (значения приведены для щ = 30 м/с и = 0.01): Лх =0.016 + 0.719/; Я2 =0.016-0.719/.
Таким образом, при учете аэродинамического демпфирования наблюдается флаттерная форма потери устойчивости модели моста.
а
1.5
а, рад
-1.5
а, рад
Рис. 3. Траектории угла закручивания для случая, когда аэродинамическое демпфирование учитывается пропорционально квадрату скорости ветра Корни уравнений (2) для данного варианта учета демпфирования и при ® = 0 определим из системы уравнений (4), преобразовав ее к виду
Хх = Х2
_ =-{2<-©-а,-Ха)-Х2-У-а1\-Х1 +Х3 +Х4
^з = а\с1
= а1С2 -Х2-у2-Х4
(9)
Решение системы дифференциальных уравнений (9) сводится к решению уравнения 4-ой степени. Опуская выкладки, приведем его корни.
Для докритической скорости потока (при и = 10 м/с и С= 0.01): Я, =-12.022; Я2 =-0.234; Я3 =-0.011 + 0.735/; Я4 =-0.011-0.735/.
Для критической скорости потока (при и = 23.37 м/с и £ = 0.01): Я, =-28.107; Я2 =-0.562; Л3 =0.714/; Л4 =-0.714/.
Для закритической скорости потока (при и = 30 м/с и С, = 0.01): Я, =-37.268; Я2 =-0.756; Я3 =0.012 + 0.702/. Я4 =-0.012-0.702/.
Наличие комплексной части корней при скоростях потока, превышающих критическую, указывают на флаттерную форму потери устойчивости.
На рис. 4 приведены графики, отображающие зависимость критического параметра и от частоты © при ¿"=0.01 и С~ 0.05 для случая решения уравнения (2), когда аэродинамическое демпфирование не учитывается (а), когда учитыва-
ется только пропорционально квадрату скорости ветра (б) и в виде интегрального слагаемого (в).
U, м/с
Гц
1.80
Гц
1.80
Гц
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80
Рис. 4. Зависимости критической скорости ветра от частоты пульсационной составляющей скорости ветра: а) для решения уравнения (2) по варианту I; б) по варианту И; в) по варианту III.
Видно, что по мере приближения частоты пульсационной составляющей скорости ветра к частотам кратным собственным крутильным колебаниям пролетного строения (со - 0.74 1/с) наблюдается резкое уменьшение значения критического параметра и. Причем это явление наиболее заметно при первом варианте решения уравнения (2), т.е. когда аэродинамическое демпфирование не учитывается и наименее заметно в случае, когда аэродинамическое демпфирование учитывается пропорционально квадрату скорости ветра и в виде интегрального слагаемого.
Далее рассмотрим случай, когда пульсации ветрового потока имеют стохастическую составляющую в виде гауссовского стационарного процесса с корреляционной функцией в виде экспоненты
К{т) = <
(10)
где сг2 - дисперсия процесса, б - параметр, характеризующий масштаб корреляции случайного процесса. Этот стационарный процесс может быть получен как результат прохождения центрированного гауссовского белого шума через линейный фильтр первого порядка [4]
£,(/)=-¿-£,(0+4,. (11)
где А0 = ад^), - гауссовский «белый» шум.
На рис. 5, а представлен график корреляционной функции, построенной по формуле (10) (кривая 1) и полученный в результате обработки 1000 реализаций случайного процесса при а2= 1 и 5 = 0.05. На рис. 5, б представлена гистограмма случайного процесса в некоторый момент времени.
Вводя новую переменную Х5 (/) = (г) запишем систему уравнений, опи-
50
100
150 Т
9 10
Рис. 5. Статистические параметры стохастического процесса: а - корреляционная функция; б - гистограмма случайной функции в некоторый момент времени
сывающую динамику модели в стохастической постановке
\хл = Х2,
Х2 =-¡2-C-0J-ai ■Xe-iUíitf}-*! -I®2
Х4=а]С2-[1 + ^)]2-Х2-у2-ХА,
(12)
X^S-Xs+Aofa
пвичем £Ít\ = С ■ sin (F)t + f ít).
*. ^ \ / ^ M \ /
При численном решении системы уравнений (11) методом Рунге-Кутта выражение ЛоО) записывается следующим образом
А^ = 4о2 ■ 25 ■ sin(2я • г{)■ 2ln(r2)Д/д1.
Здесь Г\,г2~ случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1], Ai - шаг по времени, используемый при решении уравнений (8).
а U, м/с
100 50 0
40 30 20 10 0
1
-—_ /
3 ........... ..... - г- ......... "J
0.00 U, м/с
0.50
1.00
1.50
Гц
^........ 1
t— Ч i
0.00 и, м/с
0.50
1.00
1.50
Гц
40 30 20 10
1 ;
Ч2 . . .
0.00
0.50
1.00
1.50
е,
Гц
Рис. 6. Зависимости критической скорости ветра от частоты пульсационной составляющей скорости ветра (кривая 1 соответствует о = 0; кривая 2 - а2 = 0.25; кривая 3 - о2 = 0.50): а) для решения уравнения (2) по варианту I; б) по варианту И; в) по варианту III
На рис. 6 приведены графики зависимостей критического параметра систе-
мы и для различных вариантов учета демпфирования и трех значений дисперсии случайного процесса при <5 = 0.1 с '.
Для демонстрации влияния дисперсии случайного процесса составим сводную таблицу (табл. 1) в которую занесем значения критической скорости ветра при частоте © = 0.2 Гц. По данным табл. 1 построены графики, приведенные на рис. 9, отражающие влияние дисперсии случайного процесса на значение критического параметра системы.
Таблица 1
Критические скорости ветра при различных значениях дисперсии
Варианты решения уравнения (2) Коэффициентг конструкционного демпфирования
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
с2= 0
Вариант I 64.0 65.0 66.0 67.0 68.0
Вариант II 14.5 20.0 24.5 28.0 31.0
Вариант III 21.0 24.3 27.3 30.0 32.0
2 п л? о = и.^5
Вариант I 47.0 51.0 54.0 56.0 58.0
Вариант II 13.0 18.0 22.4 26.0 29.0
Вариант III 20.0 23.0 25.8 28.0 30.0
о2 =0.5
Вариант I 43.0 47.0 49.0 51.0 53.0
Вариант II 11.8 16.7 20.5 23.8 27.0
Вариант III 19.5 22.5 24.8 26.8 28.5
Видно, что при увеличении дисперсии о случайной составляющей скорости ветра от 0 до 0.5 критическое значение ее постоянной составляющей уменьшается при разных вариантах учета демпфирования от 10 до 50 %.
а
иКР, м/с
иКР, м/с
30
20
10
30
20
10
0.05
0 0.05 0
Рис. 7. Влияние дисперсии случайного процесса на величину критической скорости
ветра при 6 = 0.2 Гц
Как явствует из графиков, приведенных на рис. 7 наиболее заметным влияние случайной добавки оказывается в случае, когда аэродинамическое демпфирование не учитывается и менее заметным в противоположном случае независимо от того, учитывается ли демпфирование только пропорционально квадрату скорости ветра или учитывается и интегральное слагаемое.
Следует обратить внимание на то, что при учете аэродинамического демпфирования критическое значение постоянной составляющей скорости ветра существенно уменьшается, т.е. аэродинамическое демпфирование может оказывать существенное дестабилизирующее влияние на устойчивость висячих сис-
тем как при детерминированной, так и при стохастической постановке задачи.
В отсутствии аэродинамического демпфирования и постоянной скорости ветра пролетное строение обнаруживает дивергентную форму потери устойчивости, в то время как при его учете - флаттерную, на что подтверждается результатами аналитического решения уравнения (2).
1. Scanlan R.H., Тотко J.J. Air foil and bridge deck flutter gerivatives// Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 1971, Vol. 97. - P. 1717 - 1737.
2. Ibrahim R.A. Parametric random vibration. Research Studies Press LTD, John Wiley & Sohn INC, NY, Chichester, Toronto-Brisben-Singapure, 1985. - 342 p.
3. В.Д. Потапов, M.A. Папаев. Об устойчивости висячих и вантовых мостов, находящихся под действием ветровых нагрузок, в детерминированной и стохастической постановках// Строительная механика и расчет сооружений -2007. -№ 5. -С. 30-37.
4. Пугачев B.C., Синицын КН. Теория стохастических систем. - М : Логос 2000. - 1000 с.
5. Симиу Э., Скатан Р. Воздействие ветра на здания и сооружения /Пер. с англ. Под ред. Б. Е. Маслова. - М.: Стройиздат, 1984. - 360с.
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ БЕЗОПАСНОСТИ СООРУЖЕНИЙ ПРИ УДАРНЫХ, ВЗРЫВНЫХ И СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
AISSE GBAGUIDI GERARD LEOPOLD Maitre-Assistant des Universités. EPAC/UAC, Bénin
Рассматриваются некоторые вопросы о применении метода конечных элементов в перемещениях для оценки безопасности сооружений с фундаментом и грунтовым основанием при ударных, взрывных и сейсмических воздействиях. Задачи решаются в двумерной плоской постановке. Исследуемые задачи решаются с помощью комплекса программ, который разработан для персональных компьютеров.
Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализы результатов решения динамических задач при ударных, взрывных и сейсмических воздействиях наиболее полно рассмотрены в работах Мусаева В.К., например, в статьях [1-3].
В последние годы все большее внимание во многих странах уделяется проблемам безопасности территорий с учетом объектов производственной и социальной сферы при чрезвычайных ситуациях природного и техногенного характера. Разрушение крупных сооружений может привести к материальному ущербу, во много раз превосходящему стоимость самого сооружения, большим человеческим жертвам, тяжелым экологическим последствиям.
Целью создания системы защиты территорий от природных и техногенных чрезвычайных ситуаций является повышение точности и достоверности прогноза на основе объединения интеллектуальных, информационных и технологических возможностей различных ведомств и организаций.
Мониторинг может быть рассмотрен как информационная, диагностическая и прогностическая система. Для достижения указанной цели решаются
Литература
