СТАТИЧЕСКОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПОД ДЕЙСТВИЕМ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРНО-СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

«Труды МАИ». Выпуск № 82

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Статическое и динамическое поведение пологих оболочек под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий

Белосточный Г.Н.*, Мыльцина О.А.**

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, СГУ, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия *e-mail: belostochny@mail.ru **e-mail: omyltcina@yandex.ru

Аннотация

На базе несвязанной термоупругости получены решения краевых задач для

пологих оболочек двоякой кривизны и постоянного кручения в условиях

конвективного теплообмена через основные поверхности с внешней средой. В

случае оболочки двоякой кривизны быстропеременное, по пространственной

координате, температурно-силовое воздействие происходит на границе. Оболочка

постоянного кручения, со стороны одной из основных поверхностей, подвергается

воздействию, на малом временном интервале, сосредоточенной силы и на этом же

временном интервале происходит скачкообразное изменение температуры

окружающей среды, что приводит к кратковременному перепаду температуры по

толщине термоупругой системы. Решения теплопроводности и термоупругости

получены методами одинарных и двойных тригонометрических рядов с

переменными коэффициентами. Выражения для коэффициентов рядов

записываются в замкнутом виде. На основании решений получены трехмерные

изображения термических поверхностей и функции прогиба, а также изображения частотно-амплитудных характеристик в зависимости от параметров геометрического толка, числа Био, интенсивности силовых и температурных нагрузок.

Ключевые слова: конвективный теплообмен, термоупругость, пологие оболочки, обобщенные функции, статика, динамика, амплитуда, частота.

1. Рассмотрим пологую оболочку двоякой кривизны, перекрывающую прямоугольный план в координатной плоскости Юу, со сторонами а и ь, с теплоизолированными основными поверхностями под действием линейного по толщине температурного поля ®(х.у./) = °„ (°„, 0! - const). Два противоположных

края оболочки, расположенные по координатным прямым у= о, у = ь, шарнирно оперты и нагружены быстропеременными по пространственной переменной «л» усилиями и моментами:

где н(х->д - функция Хевисайда, неопределенная, но ограниченная в точке л;.

Два других края оболочки могут быть закреплены любым из известных способов.

Неоднородные краевые условия (1) перепишутся в компонентах поля перемещений й{и, V, и») в виде

(1)

т

при 7=0, у=Ь\ и= 0, ц2 = а(1 + у)60 + —

л4

х л;

Щх-ъ), 1Г=0,

IV. = —

а(1 + у)а М°(х х^'

Ь 1 £>

уа а,

Щх-ъ)

о „ ЕЬ „ ЕЙ

Здесь в=--, £> = —7—-т.

1-у2 ' 12(1-V2)

Решение несвязной термоупругости пологой оболочки двоякой кривизны будем разыскивать в виде, тождественно удовлетворяющим всем краевым условиям (2)

«(*> У) = X "Л*) ■>

кк у Т° ( х \ ^

у) = X ^(л)С08—— + —

к Ь В

Ка а;

Н(х- х1 )у+ а90(1 + у)у+ Дл)

(3)

У) = х У)К|П -1(у - Ьу)

а(1 + у)0 Л£_

Л 1 £>

/ \ 4

У

где подлежащая (в дальнейшем) определению функция, как решение

дифференциального уравнения

Н(х- л;)—

Ка а

, =--12-

¿й2 В а

Т

и имеет вид Дл) = -—

г л4

х л;

Ка ау

Н(х- х1) — + О0 + Б^х.

На основании стандартных процедур метода одинарных тригонометрических рядов получим систему обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов 1, (л), п,(л)

<Рщ 1-У

^ кк^2

сIА2 2

V Ь;

1 + V кк с1ук

~2

г V

' X ^

бх

а

1 + у кк дик ~2

кк

СЬ;

1-у <?у„ , \кк

-ук + Ю-^ъ =

V + 1 2 й^

- ~В2к--ВЪк

а

Г V

х х1

ка а ,

Н(х-х1)--Вл

Г V

х х1

ка а;

Я(х-х1)-^ а

( 2 с?21Г, (ккЛ

+

1 ь) [ь J

+ + + К )щ - ^ {к + +% (н + ^ )■у ^

.¿71

а

г V ча а.

« V- л;) —+Я

у л4

А" л; ка а.

« V- л;) —+Д, —. 5 <2

Здесь обозначено

г

а,2, = (у^+4)а(1 + у)-аеД,

л

сил \ГгЬ о / / . / \ а Ь д

В а И а И

'Ь

Определяя частные интегралы первых двух уравнений системы (4)

/ \ 5 < Л 4 \ еЛ

Ск Н(х- -Л), ^ = А" А

,а а. V а, У

У' / > 4 \

щ = 4 А + А X Н{х- -л)

ч ■3, а. У

Н{х-х,) + Рк,

(5)

(6)

решение, с помощью подстановок:

1-у

\2

йх

1-У

14 = "2"

кк ~Ь ;

с!2Ф,

(V)

1-У

ж.

V йу

Ф,

тождественно удовлетворяющих первым двум уравнениям системы (4), сводится к интегрированию неоднородных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно функции фдл)

фт + ^ ф(6) + £ ф( 4) + ^ ф(2) + ^ ф^ = +

/ л2

х Л

а а

/ л6

X л

Н(х- х^а6

где

П =

кка

+

Vг , V кка

Ч Ъ ;

кгк^а -А:

г кка^

£ =6

<п

гккал*

ч Ъ ,

г кка^4

■ 12(1 ■

\2

= - 4

г кка^2

ч ^ /

+ 12

ч/'у

ч Ь у

А-12

(9)

ч/'у

+ Л, Ек.

Решения неоднородных дифференциальных уравнений (8) запишутся в виде

[1]

= + X ОРьЛ-*) + 4о + 45

/«= /»=1

/ Л

А" А;

+

(10)

/ N 4 / \

+ Д4 А" л; + 4е А" А

Ка а, У

Я(.\ - л;)/ .

Здесь сг - постоянные интегрирования, <р/ш(л) - фундаментальная система функций для однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (8), с^ - являются решениями неоднородных алгебраических систем [1]

ед = -4о^5, ¿?>(л)х =0, = -2! 42а5, = 0 ,

Е^(х)\х =-4! 4 4а\ ¿?>(л)|х = 0, =-&\а\ ¿?7>(л) [ = 0.

Здесь обозначено ад = £ Ор^а) , Д6 = , Д4 = 1 4„ = - 2!7М2 - 4!/;44 - 6!^4е) •

(П)

' 6! ~ ~ 1 Г 4!~ 6! ~ ^

Отметим, что в решении (10) коэффициент при функции Хевисайда в точке лг= ^ (где она не определена) обращается в нуль вместе со своими производными до 7-го порядка включительно.

Постоянные интегрирования с? определялись из граничных условий на двух противоположных краях оболочки, которые задавались в виде обеспечивающих непрерывность силовых нагрузок в угловых точках

при аг= о у= о, ^ = о, мп = о, №=о;

при х= а у= О, Тп = Т

г V

, ми = м°

Г V

1-А

(12)

ж=0

Подстановка решений (3) в (12) позволяет определить постоянные д и ц, которые содержит функция Да)

А

Окончательно выражение для функции прогиба примет вид

У.) = + + *

V 2 ч

. кк у

ЙШ—— -

Г V

X \

Л И

Н[х-х)

(13)

где ф^х) - частное решение дифференциального уравнения (8), щ - одно из частных решений первых двух уравнений системы (4). По этой же схеме определяются и тангенциальные компоненты поля перемещений.

2. Рассмотрим пологую оболочку постоянного кручения, перекрывающую в координатной плоскости прямоугольный план со сторонами а и ь. Внешняя и

внутренняя поверхности оболочки находятся в условиях конвективного

теплообмена с окружающей средой, а на краях оболочки поддерживается нулевая температура. В некоторый момент времени ^ внешняя поверхность испытывает воздействие сосредоточенной силы, которое продолжается до момента времени 4 и на этом же временном интервале -^«1 происходит «скачкообразное» изменение температуры окружающей среды на величину т? со стороны действия сосредоточенной силы q0albls(x-xl,y-yl\н(t-tl)-н(t-t2)), что приводит к кратковременному изменению перепада температуры по толщине термоупругой системы на указанном временном интервале.

Решение несвязанной термодинамической задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений

1-у 1-у / у Ь

">11 + —у ">22 + —у ^>12 -V1 - ^12 =

1 + у 1-у / у Ь

и,12 + к,22 + —цп -(1 - У)к12 = — ц„,

(14)

V2V2IУ+2|(l-y)^IУ-|(l-y)l12(^>l+«>2) = -f(l + v)V2el +

Б gD

где еДл;^?) - температурная функция [2, 3], которая является интегралом дифференциального уравнения

Р

и имеет вид

хъ

/ л агг, л „ ка а 1 --¡'^ _ка а

ь , 1 х л ^ у

—¡'^ ^ ка а /477

1 Л

кт

я. ь ^

" Р < Л --)

1-е "

1-е »

, . Алл" . /готу ) нт-нт-.

' а Ь

Здесь (/ = 1,2) - функции Хевисайда, неопределенные, но ограниченные в

точках г, временной оси, %, г - температуры сред с внешней и внутренней поверхностей оболочки, р - коэффициент температуропроводности, к коэффициент теплоотдачи. Температурная функция е, связана с температурным полем е(л-,7,*) равенством [2]

"(а. г.х/)=^0,(л. г./).

(17)

Компоненты поля перемещений термоупругой системы «( и, V, и), тождественно

удовлетворяющие всем краевым условиям

АГ= о , х= а и = О , Т12 = 0 , \¥= 0 , Мп = 0 .

7=0,7=г> к=0, Т12=0, 1У=0, М22=0,

(18)

будем разыскивать в виде сумм двойных тригонометрических рядов с переменными, по временной координате, коэффициентами

н(л..г./)= X//,„,(/) мт

. ккх тку

Ъ

сой-

/ \ , ч ккх . тку / \ -г-! ... АЛЛ . шку /1 Г\

Ах> уч = Ъ СОй—йт —¡г ■> у>п = 2* йт—йт —¡г (1 у

. ккх . тку

Ъ

Ъ

)

После ряда стандартных процедур метода двойных тригонометрических рядов, с помощью подстановок

= 0 -

тка

(}1ф, „, ф

и ,я ^ кгп^кт

\ У

-(1 - у)]^2акк

' ¿ф л

„ - г2 I 3~у т г* ^фI Угй

с!? 2 с1г 2~

тождественно удовлетворяющих первым двум уравнениям системы дифференциальных уравнений относительно коэффициентов тЦ?), решение сводится к интегрированию обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно функций ф1п {/)

Якт + Лт \ V

1-е

лл

нк-ф-

г Г Р , Л^

(21)

УУ

Якт + Лт \ V

1-е

т-тто т Гг \2 ГтпаХ „ /, \2 /гота ~ ч2 /ила г \2

ГДе Ьы = (1тг) + —- , Еы = [ктг) - V —- , ^ = у(1тг)--— , Ькт = (кж) -

ч Ь ,

/ Л

/гота

ч Ъ J

г V пта

К Ъ ;

\2

тжа \ с_ \ylia2

Ъ )' \ ёВ>

2 Ва

1-у ^ 3-у

(

___л-—_—Т

кт ^ кт ^ ^т

4,-й-+ 2(1 -^12а)2 | + (1-у)2(Ы2А

V

5а

г° -1~У Т2

кт ~ 2 кт

ь\т ^+2(1 - к & - у)\киа)2 ыь:т

Ва

ч2 [ |

ч2 Л

\ Ь )

л -А+И-—Т бКаааАТкт А2 ~(\ + у)-—ь а\Т

^-Ьп-У-^У), 0 2Ькт° « , > Лкт ~ V1 + У) , 0 2 Ькта 1X1 к

п Ва А п 5кт п Ва

кт

^ Дйй 1 ^

1 - 6---

Я Ъ 5,

кт у

■я л \а Б Т ^ка а е, /г ¿ш Я /г

Интегралы уравнений (21) запишутся

= с^ СОЙ—+67 8111 — + С СОЙ—+ с ЙШ — + С СОЙ — + (У ЙШ — + ктК' в в в в в в

(22)

Отметим, что коэффициенты при функциях Хевисайда н^-^ обращаются в нуль

вместе со своими производными до пятого порядка включительно при г=гу (7=1,2),

так как постоянные д и ц являются решениями неоднородных алгебраических систем [1,4]

при ^

(1)

= 0, (п = 0,1,2,3,4,5) ;

при 1= 4

0, (п = 0,1,2,3,4,5) .

Постоянные интегрирования а (у = 1,2,3,4,5,6) определяются из начальных условий, которые задавались в виде и = о, и = о при ? = о.

Уравнения срединных поверхностей пологих оболочек ?= щ + т + >{.\.})с; двоякой кривизны и постоянного кручения при расчетах задавались, соответственно в видах [2, 5]

Ах}) =

Г { 2 V и2 Г у

оболочка двоякой кривизны

5 - оболочка пост оянного кручения аЬ

8 - наибольшая высота подъема оболочки над ее планом.

3. На основании полученных решений построены трехмерные изображения поверхностей прогиба и их сечений одной из координатных плоскостей для оболочки двоякой кривизны, а также графики изменений положений точек срединной поверхности оболочки постоянного кручения во времени, при различных значениях температурных величин, интенсивности силовых нагружений границ, температурного скачка, геометрических параметров и числа Био.

Изображения поверхности прогиба для оболочки двоякой кривизны при значениях параметров:

11.015

W(xJ,/2)

и.ош

■0.01Û

W(XJ)

I ,W(x,b/2)

- = 0,9901, л; = ^ , - = 0,005, An = -4^ , k22 = -4^ , b 4 a ab

Рис. 6. - = 3 , e0 = О, Г = 20, Q, = о, h

M0 =-100 .

Рис. 7. - = 5 , e0 = О, Г = 20, 0, = О, M0 = -100 . Рис. 8. - = 5 , 0О = О, Г = 20, 0, = о, h h

M0 =-100 .

41 (x¿)

Рис. 15. — = 5

h

100, Г = 50 , 0, = 50. M0 =-100.

Рис. 16. — = 5

h

100, Т = 50 , 0, = 50. M0 =-100.

Рис. 17. - = 2 , - = 5 , е0 = 100, Г = 50 , 0, = 50. Ь 11

М° =-100.

Рис. 18. — = 2 , — = 5 , 0 = 100, Г =50 ь ъ

= 50, М° =-100.

Рис. 19. - = -, - = 5 , 0О = 100, Г =50, 0 = 50.

Ь 5 ' 11 ' 0

Рис. 20. - = -, — = 5 , 0 = 100, Г =50.

Ь 5 ' 11 ' 0

= -100 . 0, = 50, = -100 .

Количественный анализ выявил следующие закономерности:

- прогиб оболочки двоякой кривизны и конфигурация поверхности прогиба малочувствительны к изменениям параметров 0О и т° (Рис. 13-16);

- существенное влияние на прогиб и конфигурацию поверхности прогиба оказывают параметры 0, и м°. С увеличением указанных параметров, при прочих равных условиях, прогибы оболочки растут (Рис. 9-12);

- на конфигурацию поверхности прогиба значительно влияет параметр — (Рис. 17-

а

19).

Во всех рассмотренных случаях увеличение стрелы подъема оболочки над

планом ведет к росту величины прогиба во всех точках срединной поверхности оболочки, даже в случае «холодной» оболочки (е0 = о, 0, = о) (Рис. 1-8).

На основании полученных решений для оболочки постоянного кручения построены изображения изменений форм прогибов в различные моменты времени (внутри и вне временного интервала и графики движения точки срединной

поверхности оболочки с координатами л = -, у=- при значениях параметров: а = юо

2 2

см, 1 = 1, ^ = 0,005, ^ = 10-% ^ = 10-% л=|, /1=1 сек, ?:=Ш5 сек, г0=т-=жс,

Ь Ь а Ъ 2 2

материал типа «дюралюминий». На рис. 21-27 кривая 1 соответствует г = 1,0025,

кривая 2 соответствует г = 2, кривая 3 соответствует t = з.

Рис. 22. Вю= 20, - = 2,5, д0=-Ъ, = Ъ .

Рис. 23. Bio = 20, - = 2,5, д0 = 5, 7^=200.

РИС. 24. Bio = 20, - = 2,5, ?0=-5, 7^=200.

РИС. 25. Bio = 20, - = 2,5, ?0=5, 7^=50.

Рис. 26. Bio = 500, -=2,5, q= 5, Г = 50 h

Рис. 27. Bio = 500 , — = 5 , а, =5, r=50. h

' ь л

Рис.28. Вю = 500, -,- = 2>5> <70 = 5, 7^ = 200; а) м х,-а для различных значений времени: 1

V 2 у

- соответствует 1= 1,0015, 2 - 1,0025, 3 - г= 1,0045, 4 - г= 1,007, б)

и

'а Ь л

'а Ь Л

[0,999; 1,01], (?) И/ , ге [0,999; 1,04].

V 2 2 )

Количественный анализ показал:

- величины размахов колебаний незначительно уменьшаются с увеличением

относительной стрелы подъема оболочки - параметр —, этот процесс сопровождается увеличением частоты колебаний (Рис. 26, 27);

- при отсутствии перепада температуры по толщине колебания симметричны относительно временной оси и происходят с постоянной амплитудой (Рис. 23, 24). При этом, как и следовало ожидать, знак прогиба, при прочих равных условиях, зависит от направления сосредоточенной силы только при отсутствии температурного скачка (Рис. 21, 22);

- наличие скачкообразного изменения температуры (параметр т^) на временном интервале |1,4 - 1,о| сек нарушает отмеченную симметрию, колебания асимметричны и при /> 1,4 сек симметрия восстанавливается. С увеличением параметра Био размахи колебаний значительно возрастают (Рис. 25, 26) при той же частоте;

- после прекращения кратковременного температурно-силового воздействия прогибы оболочки продолжают расти в течение временного промежутка почти в 4 раз превосходящего временной интервал нагружения (Рис. 28).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (14-08-00644 А).

Библиографический список

1. Белосточный Г.Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек. Доклады Академии военных наук. №1. Поволжское межрегиональное отделение. Саратов. 1999. С. 14-25.

2. Рассудов В.М., Красюков В.П., Панкратов Н.Д. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек. Саратов. Изд-во Саратовского университета, 1973. 154 с.

3. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М., Изд-во МГУ, 1968. 520 с.

4. Мыльцина О.А., Белосточный Г.Н. Термоупругость подкрепленной пластинки под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий на границе // Вестник Московского авиационного института, 2014 г., том 21, № 2. с. 169-174.

5. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Москва -Ленинград, Стройиздат, 1966. 302 с.