CC BY
9
МЕХАНИКА
УДК 539.9
Динамическая термоустойчивость геометрически нерегулярной пологой оболочки постоянного кручения в сверхзвуковом потоке газа
Г. Н. Белосточный, О. А. Мыльцина
Белосточный Григорий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры математической теории упругости и биомеханики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83, belostochny@mail.ru
Мыльцина Ольга Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и стохастического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83, omyltcina@yandex.ru
Рассматривается нагретая до постоянной температуры геометрически нерегулярная пологая оболочка (ГНО) постоянного кручения, обдуваемая сверхзвуковым потоком газа со стороны одной из основных поверхностей. За основу взята континуальная модель термоупругой системы «оболочка-ребра». Сингулярные дифференциальные уравнения динамической термоустойчивости ГНО содержат слагаемые, учитывающие «растяжение - сжатие» и «сдвиг» подкрепляющих элементов, тангенциальные усилия, вызванные нагревом оболочки, и поперечную нагрузку, стандартным образом записанную по «поршневой теории». Тангенциальные усилия предварительно определяются на основании решений сингулярных дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости в перемещениях с учетом неоднородных краевых условий и содержатся в уравнениях в форме Рейсснера. Решение системы сингулярных уравнений динамической термоустойчивости разыскивается в виде двойного тригонометрического ряда, с переменными по временной координате коэффициентами, для функции прогиба и многочленов для тангенциальных компонент поля перемещений. На основании процедуры Галёркина определяется система дифференциальных уравнений для коэффициентов аппроксимирующего ряда, которая сводится к одному дифференциальному уравнению
четвертого порядка. Решение определяется во втором приближении, что соответствует двум полуволнам в направлении скорости потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении. С использованием стандартных методов анализа динамической устойчивости ГНО определяются критические значения относительных скоростей потока. Количественные результаты представлены в виде таблиц, иллюстрирующих влияние геометрических параметров упругой системы и температуры на величины критических скоростей.
Ключевые слова: динамическая термоустойчивость, пологая оболочка, сверхзвуковой поток газа, сингулярность, аэродинамика, критические скорости, ребра жесткости.
Поступила в редакцию: 14.05.2019 / Принята: 30.06.2019 / Опубликована: 02.12.2019 Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY4.0) DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-4-397-408
В современных авиационных конструкциях используются элементы в виде пологих оболочек, основные поверхности которых имеют кусочно-гладкую структуру — так называемые геометрически нерегулярные оболочки (ГНО). Общая проблема расчета таких оболочек представляет сложную математическую задачу, если речь идет о решениях в замкнутом виде или решениях на основе приближенных аналитических методов высшего анализа.
Обращение к дискретной модели в задачах статической и динамической термоупругости ГНО приводит к непреодолимым математическим трудностям по причине необходимости интегрировать совокупности систем дифференциальных уравнений, связанных между собой условиями сопряжения, где число систем дифференциальных уравнений и количество условий сопряжения зависит от числа подкрепляющих оболочку элементов [1]. Использование континуальной модели типа «конструктивная анизотропия» [2-4] малопригодно в задачах термоупругости ГНО, так как основные положения этой модели формулируются на основе атермической теории упругости. Вторая континуальная модель, позволяющая трактовать такие оболочки как оболочки переменной толщины (на очень узких участках), основные уравнения и положения которой содержатся в работах [5-9], является чрезвычайно эффективной при решениях статических и динамических задач связной и несвязной термоупругости ГНО. Термоупругий анализ ГНО на основе этой модели сводится к интегрированию систем сингулярных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами в виде функций Хевисай-да и их производных до второго порядка включительно. При интегрировании таких систем можно применять точные и приближенные аналитические методы высшего анализа [8-12].
В данной работе на основе континуальной модели ГНО решается задача динамической термоустойчивости пологой ГНО постоянного кручения, обдуваемой со стороны одной из ее основных поверхностей сверхзвуковым потоком газа. На основании приближенного аналитического решения по пространственным координатам и точного по временной координате проводится анализ влияния геометрических параметров и температуры на величину предельной относительной скорости газового потока.
Рассмотрим изотропную пологую ГНО постоянного кручения, перекрывающую прямоугольный план в координатной плоскости xOy, со сторонами a и b. Система сингулярных дифференциальных уравнений динамической термоустойчивости ГНО
в перемещениях, в которой тангенциальные усилия Т0П, Т012, Т022, вызванные нагревом оболочки, содержатся в форме Рейсснера [13], запишутся
1 - V 1 + V . ,7
и,11 +--— и,22 +--— <,12 -(1 - V)&12ад,2 +
+61 \^ (^'22 +<,12 -2^12^,2 ) 5(х - Хг) = 0,
г
1 + V 1 - V ^ Ч7
—и,12 +<,22 +--<,11 -(1 - V)к12^,1 +
+62 \аг (^,22 +VU,12 )5(х - Хг) = 0,
г
2В(1 - V)7 2 В(1 - V)7 ,
v2v2' + - ^2' - кп ^12 (и,2 +^,1) -
-В ((Т11 ',1 +Т12',2 ),1 +(Т22',2 +Т 12',1 ) ,2 ) -
(1)
- \ аг (Т22 ',2) ,2 5(х - ) + ^ ^^ аг Фзг ',2222
гг
5(х - хг
кЛ 3
+ 2(1 - V) ^ аг Фзг ',122
а5 2В(1 - Vк ?2 .
— +---- > —агки'5(х - хг) =
ах В к
г
Тк Л кг ч \ ик кМ
^В ( 1 + Хаг5(х - хг^ -•
Здесь обозначено: р0',2 — относительная интенсивность поперечной нагрузки, вызванная прогибом оболочки, стандартным образом записана согласно «поршневой теории» [14-19]; М = ^ — число Маха; — невозмущенная скорость набегающего потока газа; с0 — скорость звука на бесконечности; и, V, ' — компоненты поля перемещений; ^ — относительная высота ¿-го ребра, число которых п; аг — ширина ¿-го ребра; к12 — параметр кручения оболочки; В = 12(Е—2); V — коэффициент Пуассона; Е — модуль Юнга; 7 — удельный вес; д — интенсивность поля
тяжести; Фзг = 1 + 3^ + 3 (; М — коэффициент демпфирования; 5(х - хг) —
обобщенная 5-функция Дирака; е^- (7 = 1, 2) — знаковые числа, равные 1 и 0; Т0П, Т012, Т022 — тангенциальные усилия, вызванные нагревом оболочки до постоянной температуры 00, определяемые на основании решений сингулярных дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости ГНО в перемещениях:
0 1- V 0 1 + V 0 0
и,?1 + — и,02 + —<,(12 -(1 - V)к12',0 +
+ ^ X] ^аг (и,02 +<,12 -2к12',0 ) 5(х - хг) = 0,
г
и,02 +<',02 V,?! -(1 - V',0 + £ \а,(г.,°2 +^и,?2 )5(х - х) = 0, (2)
г
<,0 +и,0 -2к12 '0 - 2^1^ к аг '0 5(х - хг) = 0.
к
г
Решения сингулярной системы (2) при неоднородных краевых условиях:
при x = 0, x = a: +v,1 —2k12w0 = 0, u,1 +vv,0 = a(1 + v)00; при y = 0, y = b: п,2 +v,1 —2k12w0 = 0, v0 = 0; запишутся в элементарных функциях
u0 = a(1 + v )00, v0 = 0, w0 = 0. (3)
На основании (3) тангенциальные усилия примут вид
T11 = T012 = 0, T022 = —Eha^, (4)
где a — коэффициент линейного расширения материала оболочки. Следует отметить, что эти усилия нечувствительны к параметру кручения оболочки и имеют тот же вид в случае цилиндрической оболочки или пластинки [20,21].
Решения системы (1) (в которой отсутствуют инерционные слагаемые в тангенциальной плоскости [22]), тождественно удовлетворяющие условиям шарнирного закрепления всех сторон оболочки постоянного кручения:
x = 0, x = a : u,2 +v?1 — 2k12w = 0, u?1 +vv,2 = 0, w = 0, w,n = 0,
y = 0, y = b : u,2 +v?1 —2k12w = 0, v = 0, w = 0, w,22 = 0, (5)
запишутся в виде
u(x, y, t) = U(í)u1 (x)u2 (y), v(x, y, t) = v(í)v1 (x)v2 (y);
, nx ny nx 2ny
w(x, y, t) = w11 (t) sin — sin — + w12(t) sin — sin ——, (6)
a b a b
где U1 (x) = (x)4 — 2 (a)3 + (x)2, П2(y) = — 2 (f)3 + (f )2, * (x) = (x)4 — 2 (a)3 + (x)2, V2(x) = f (f — ^.
Первые два уравнения системы (1) на основании подстановок (6) с последующим применением процедуры Галёркина приводятся к виду
бцU(t) + б12й = (1 — v)k12an (wn/4 + 2w12/5),
e21 u + 622v = (1 — v)k12an^ (wn/9 + w^/10), (7)
a
где
b 1 — va 1 — va ai 2 f x,\
611 = -/1 + —Г— -/2 + £1^—Tg^ v X-u2 — ,
a 2 b 2 b ^ ha V a /
i
1 + v , 1 — v v^h ai fxi \ f xi \
612 = —z— /3 + G2 V x —v1,1 — U1 — ,
2 2 ^ ha Va/ Va/
1 + v hi a
621 =
/3 + 62 vG3 V ~r — u1ц ( — ) v1 ( — ) , 2 ^ ha Va/ Va/
i
a 1 — vb a hi ai 2 f x, \
б22 = т/г + -h + T-M - ,
11 11
X = x, Y = b, /1 = U1,11U1 u2 dXdY, /2 = п2U2,22 dXdY,
0 0 0 0
11 11
/3 = J J v1 ?1 u1 u2u2 dXdY, /4 = J J sin(nX)u1 cos(nY)u2 dXdY,
0 0 0 0 1 1
/.5 =
J J sin(nX )u1 cos(2nY )u2 dXdY,...,
00
11 11
/13 J J sin(nX)cos(2nY)sin(nY) dXdY, /14 = y J sin(nX)u sin(2nY)u,2 dXdY,
0 0 0 0 1 1 1
/15 = J J sin(nX )v1,1 sin(2nY )v2 dXdY, /15 = ^ sin(2nY ) cos(nY ) dXdY,
0 0 0 1 111
G1 = J u2,22 u2 dY, G2 = J v2,2 u2 dY, G3 = J u2,2 v2 dY, G4 = J v2,22 v2 dY. 0 000
На основании решений алгебраической системы (7) функции u(t), £(t) запишутся
и(^) = _(1—v)k12an j (622/4 - e12/9) wn + ( e22/5 - 612^/10) W12 ) U1U2,
eue22 - 612621 V V a J J (o)
(1 - v )k12 an ( ( b T \ ( b T \ \ ()
nt) =- -en/9 - e21 /4 wn + -eu/10 - 2e21 /5 W12 V1V2.
eue22 - e12e21 \\a ) \a ) )
Из третьего уравнения системы (1) путем аналогичных преобразований получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов
W11 (t) и W12(t):
Си [W11 (t)] + bW12(t) = 0, W11 (t) + 62 [W12(t)] = 0, (9)
где С11, С22, С12 и С21 — дифференциальные операторы и числа:
=1+2 £ *) ê+^1+/„(<.-,. .<0.? ).
Р0an ~ P0KMa3 anr Я /7 ч S12 = 8-^--^^13 - f12(k12), Ç21 = 2-^--- /n (k12),
с=ah? ('+2£ *) é+la41+/» (*» )•
в которых обозначено:
/..=(•*+( an )*)*+96(1 - v ) ( a )2«)■ -
_ „,a,-a (h) -12(1 - v2) (h)■ (ОЛ)2(1 + 2£if) +
an)4 of ч 2 (an
y) +4(1 - v)n4T
+2( f)^ +4(1 - v )п 2( f)2^ + 48(1 - v )( h)2 (fcl2a)^ ff,
f12 = 48(1 - V)2(k12а)- -
а ( а \2 L3 /11 + L4/12 a
b U/ ene22 - б12б21 '
f12 = (п2 + )2) + 96(1 - V ) ( а)2 (k12 а)2 -
12(1 - V2 ) ( а )2 ( 2ап )2 1+2 Ç в?) +
,0/1 ч2/7 ч2 а /а\2 L3/14 + L4/15a
-48(1 - v)2(k12a)2- - п-a
b Vh/ ene22 - e12e21
4 ( ) 2
+2^) Ев' +4(1 - vWÇ) + 48(1 - v)(|) 2 (fc12a)^ в/,
^ ' i ^ ' i i
r ,0/1 \2/7 \а (а)2 L1 /14 + L2/15a f12 = 48(1 - v)2(k12а)- г а
b vh/ ene22 - e12e21 ' Система дифференциальных уравнений (9) подстановкой
W11 = -É12 Ф(^), W12 = $11 [Ф(*)]
(10)
сводится к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка, которое, в случае отсутствия демпфирования (^ = 0), запишется
ЕЦ)У£ + £ ЕЦ) ,;„ + ;„)
gD
dt2
+ ( ff - ( ^^ 8 аП/1з - /12) 2 аП/1б - /и!! Ф = 0. (11)
D
b
Из условия, когда дискриминант характеристического уравнения для дифференциального уравнения (11) больше нуля, определяется предельная скорость потока, начиная с которой, прогиб ГНО неограниченно увеличивается со временем:
y
D /£12/11 + Р11 /12
(P12f11 + P11 f)2 -4pnp12 i/11 /12 -/11 /12 +
c0 p0 к а
2p11 P12
(/11+/12
4
2pn P12
В случае когда ^ = 0, дифференциальное уравнение для функции Ф(£) примет
вид
где
d4 Ф n d3 Ф d2 Ф dФ ^ „
14 + 2e1 dt^ + e3 ^ + e4 â + e5 Ф = 0,
(12)
e1
Mg
e4 =
Y (1 + 2£ i в/
^ghg^4 (/11 + /12) (Yhr (1 + 2Eiв')):
e3
e5 =
7ha4
1+^ i в/ (/11 + /12 ) +
^ha4 D
YhD (1 + ^ i в/
/11 /12 - -M/13 + /12 -M^/16 + /11
(1 + 2 Ei в'))
+
2
При учете демпфирования возникает вопрос об устойчивости системы (9), которая сведена к одному дифференциальному уравнению (12). В этом случае значение предельной скорости потока определяется на основании критерия Гурвица [23]:
Дх = 2в1 > 0, = 2в1 ез - > 0, Лз = 2е1ез - е2 - 4е?е5 > 0.
Условие, при котором хотя бы один из четырех корней характеристического уравнения для дифференциального уравнения (12) будет положительным, определяет предельное значение относительной скорости потока газа v/c0, при котором прогиб термоупругой системы растет во времени:
D IP12 fil + Pli fl2 +
Со Po К йМ 2pii P12
(Р12/11 + Р11 /12)2 - 4Р11Р12 (/11/12 - /11 /12 + (^ (1+2 Ег ) 2 Я
2рхх Р12
0 . 2ап 8ап 2е^е4 - е|
Здесь обозначено рп = —— /15, Р12 = —— /13, Я =-—2-.
Ь Ь 4е1
Кривизна пологой оболочки постоянного кручения задавалась в виде к12 = Д-
аЬ
[24], где 5 — наибольший подъем оболочки над планом. Параметр относительной
кривизны к12 запишется к12 = к12а = , где 5 £ [0, 5] [25].
Н Ь а Н
Количественные результаты представлены в табл. 1-4. Вычисления проводились при следующих значениях параметров: Н/а = 0.01, аг/а = 0.01, ^ = 0.01,
а = 23 ■ 10-5пЪ.
Таблица 1 / Table 1
Значения vy/c0 при 60 = 1 и a/b = 1 [The values of vy/c0 for 60 = 1 and a/b = 1]
hi/h 2.5 5 2.5 5
к 12 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05
n £1 = £2 = 0 £1 = £2 = 1
1 2.75 4.23 6.90 3.71 5.11 7.75 2.75 4.23 6.90 3.71 5.11 7.75
2 3.22 4.66 7.32 5.78 7.11 9.73 3.22 4.66 7.32 5.78 7.11 9.73
3 3.67 5.07 7.71 7.59 8.85 11.45 3.67 5.07 7.71 7.59 8.85 11.45
Таблица 2 / Table 2 Значения vy/c0 при 60 = 2 и a/b = 1 [The values of vy/c0 for 60 = 2 and a/b = 1]
hi/h 2.5 5 2.5 5
k12 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05
n £1 = £2 = 0 £1 = £2 = 1
1 2.51 3.99 6.64 3.45 4.85 7.48 2.51 3.99 6.64 3.45 4.85 7.48
2 2.96 4.40 7.05 5.48 6.81 9.41 2.96 4.40 7.05 5.48 6.81 9.41
3 3.41 4.80 7.43 7.21 8.51 11.10 3.41 4.80 7.43 7.21 8.51 11.10
Таблица 3 / Table 3
Значения vy/c0 при 60 = 14 и a/b = 1 [The values of vy/c0 for 90 = 14 and a/b = 1]
hi /h 2.5 5 2.5 5
0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05
n £l = £2 = 0 £l = £2 = 1
1 1.04 2.51 5.07 1.93 3.27 5.81 1.04 2.51 5.07 1.93 3.27 5.81
2 1.43 2.81 5.37 3.62 4.90 7.45 1.43 2.81 5.37 3.62 4.90 7.45
3 1.81 3.13 5.67 5.05 6.35 8.93 1.81 3.13 5.67 5.05 6.35 8.93
Количественный анализ обнаружил ряд закономерностей влияния геометрических параметров и температуры на величину относительной предельной скорости потока, начиная с которой, прогибы термоупругой системы «оболочка-ребра» увеличиваются со временем.
1. Существенное влияние на относительную предельную скорость потока оказывают параметры относительной высоты ребер — ^/Д, их число п и отношение сторон плана оболочки а/6. Путем подбора этих параметров в каждом конкретном случае можно значительно увеличить предельную скорость потока (см. табл. 1-4).
2. Во всех случаях нагрев оболочки уменьшает величину предельной скорости потока, и тем сильнее, чем больше относительная высота подкрепляющих элементов — ^/Д. Этот факт объясняется тем, что прогибы тонкостенной нагретой гладкой оболочки значительно меньше прогибов подкрепленной оболочки при прочих равных условиях [24].
3. С увеличением параметра относительного кручения оболочки предельная скорость потока существенно возрастает (см. табл. 1-3). Эта закономерность зависит от отношения сторон плана оболочки. При а/6 > 2 предельные скорости потока становятся малочувствительными к изменению параметра к12. При этом их значения значительно увеличиваются — оболочка становится динамически устойчивой при весьма больших скоростях потока (см. табл. 4).
4. Удержание в первых двух дифференциальных уравнениях динамической термоустойчивости (1) слагаемых, учитывающих (на языке дискретно-континуальной модели) «растяжение - сжатие» ребер и их «сдвиг» в тангенциальной плоскости (эти слагаемые содержатся в уравнениях системы со знаковыми числами), практически не влияет на предельные скорости потока и, следовательно, учитывать их в уравнениях нет необходимости. Этот факт отмечается и в случае цилиндрической оболочки [21].
Следует отметить, что при значениях параметров к12 = 0, а^/а = 0, 0о = 0 полученные выше решения принимают вид решений, приведенных в книге [26].
Таблица 4 / Table 4 Значения vy/с0 при 90 = 2 и a/b = 2
The values of vy/c0 for 0o = 2 and a/b = 2
hi/h 2.5 5
fcl2 0.01 0.03 0.05 0.01 0.03 0.05
n £l = £2 = 0
1 11.74 12.57 14.14 20.14 20.81 22.12
2 14.77 15.52 16.97 32.47 33.09 34.32
3 16.66 17.37 18.77 39.83 40.44 41.66
n £l = £2 = 1
1 11.74 12.58 14.17 20.14 20.83 22.17
2 14.77 15.54 17.02 32.47 33.11 34.39
3 16.66 17.39 18.82 39.84 40.47 41.72
Благодарности. Работа выполнена по теме государственного задания Минобр-
науки России (проект № 9.8570.2017/8.9).
Библиографический список
1. Рассудов В. М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости // Учен. зап. СГУ. Вып. механический. 1956. Т. 52. С. 51-91.
2. Ростовцев Г. Г. Расчет тонкой плоской обшивки, подкрепленной ребрами жесткости // Труды ЛИИГ ВФ. 1940. Вып. 20. С. 14-18.
3. Новожилов В. В. Расчет напряжений в конструкциях корпуса подводных лодок с учетом влияния поперечных переборок. М. : Оборонгиз, 1945. 60 с.
4. Прокопов В.К. Скелетный метод расчета оребрённой цилиндрической оболочки // Научно-техн. информ. бюл. Ленингр. политехн. ин-та. 1957. № 12. С. 18-29.
5. Абовский Н. П. О вариационных уравнениях для гибких ребристых и других конструктивно-анизотропных пологих оболочек // Теория пластин и оболочек. М. : Наука, 1971. С. 4-7.
6. Жилин П. А. Общая теория ребристых оболочек // Труды ЦКТИ. Вып. 88 : Прочность гидротурбин / ред. Н. Н. Ковалев. Л. : Изд-во ЦКТИ, 1968. С. 46-70.
7. Белосточный Г. Н., Ульянова О. И. Континуальная модель композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 182-192.
8. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 4. С. 150-166.
9. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Континуальная модель термочувствительной ортотропной системы «оболочка-ребра» с учетом влияния больших прогибов // Механика деформируемых сред : сб. ст. Саратов : Изд-во Сарат. политехн. ин-та, 1983. Вып. 8. С. 10-22.
10. Белосточный Г. Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Акад. воен. наук. 1999. № 1. С. 14-26.
11. Карпов В. В., Сальников А. Ю. Вариационный метод вывода нелинейных уравнений движения пологих ребристых оболочек // Вестн. гражд. инженеров. 2008. № 4 (17). С. 121-124.
12. Михайлов Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 196 с.
13. Геккелер И. В. Статика упругого тела. Л. ; М. : ОНТИ, Гос. технико-теорет. изд-во, 1934. 287 с.
14. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. М. : Наука, 1979. 320 с.
15. Амбарцумян С. А., Багдасарян Ж. Е. Об устойчивости ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. № 4. С. 91-96.
16. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Выпучивание и установившийся флайер термически сжатых панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке // Инж. журн. 1961. № 2. С. 8296.
17. Мовчан А. А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ. 1956. Т. 20, № 2. С. 211-222.
18. Дун Мин-дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, № 4. С. 726-729.
19. Болотин В. В. Температурное выпучивание пластин и пологих оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Расчеты на прочность : сб. М. : Машгиз, 1960. Вып. 6. С. 190-216.
20. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Устойчивость нагретой ортотропной геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Вестн. ПНИПУ. Механика. 2017. № 4. С. 109-120. ЭО!: https://doi.org/10.15593/perm.mech/ 2017.4.08
21. Белосточный Г. Н., Мыльцина О. А. Динамическая устойчивость геометрически нерегулярной нагретой пологой цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22, № 4. С. 750-761. 001: https://doi.org/10.14498/vsgtu1653
22. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1963. 419 с.
23. Егоров К. В. Основы теории автоматического регулирования. М. : Энергия, 1967. 648 с.
24. Рассудов В. М., Красюков В. П., Панкратов Н. Д. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1973. 155 с.
25. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Л. ; М. : Стройиздат, 1966. 304 с.
26. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Наука, 1967. 984 с.
Образец для цитирования:
Белосточный Г. Н., Мыльцина О. А. Динамическая термоустойчивость геометрически нерегулярной пологой оболочки постоянного кручения в сверхзвуковом потоке газа // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 4. С. 397-408. 001: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-4-397-408
Dynamic Stability of Heated Geometrically Irregular Shallow Shell of Constant Torsion in Supersonic Gas Flow
G. N. Belostochny, O. A. Myltcina
Grigory N. Belostochnyi, https://orcid.org/0000-0003-4471-6599, Saratov State University, 83 As-trakhanskaya St., Saratov 410012, Russia, belostochny@mail.ru
Olga A. Myltcina, https://orcid.org/0000-0003-4718-2772, Saratov State University, 83 Astrakhan-skaya St., Saratov 410012, Russia, omyltcina@yandex.ru
Heated until invariable temperature, geometrically irregular shallow shell of constant torsion blown by supersonic gas flow from one side of the main surfaces was considered. As the basis, a continual model of thermoelastic system "shell-ribs" was taken. Singular differential equations of dynamical thermostability of geometrically irregular shallow shell had summands containing "stretch-compression" and "shift'' of the ribs. Tangential forces caused by heating of the shell and transversal strain were recorded by "piston theory" in a standard way. Tangential forces were preliminarily defined on the basis of the solutions of singular differential equations of momentless thermoelasticity in displacements with inhomogeneous edge conditions and were contained in a Brian form. The solution of the system of dynamical equations of thermoelasticity of the shell was searched for in the form of the sum of the double trigonometric series with time coordinate variable coefficients for bending function and polynomials for the tangential components of the field of displacement. On the basis of Galerkin procedure the system of differential equations for the coefficients of approximated series was defined. Then it was reduced to one differential equation of the forth order. The solution was obtained in the second approximation, which corresponded to two half-waves along the flow and one half-wave in perpendicular direction. Critical values of relative flow rates were defined using standard techniques of the analysis of dynamical stability of geometrically irregular shallow shell. Quantitative results were presented in the tables showing the dependence of geometrical parameters of the elastic system and temperature on the values of critical rates.
Keywords: dynamic thermal stability, shallow shell, supersonic gas flow, singularity, aerodynamics, critical velocities, stiffeners.
Received: 14.05.2019 / Accepted: 30.06.2019 / Published: 02.12.2019
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution
License (CC-BY 4.0)
Acknowledgements: This work was supported by the Russian Ministry of Education and Science (project No. 9.8570.2017/8.9).
References
1. Rassudov V. M. Deformations of gently sloping shells supported by stiffeners. Uchenye zapiski SGU. Vyp. mekhanicheskiy, 1956, vol. 52, pp. 51-91 (in Russian).
2. Rostovtsev G. G. Calculation of thin flat skin reinforced with stiffeners. Trudy LIIG VF, 1940, iss. 20, pp. 14-18 (in Russian).
3. Novozhilov V. V. Raschet napryazheniy v konstruktsiyakh korpusa podvodnykh lodok s uchetom vliyaniya poperechnykh pereborok [Calculation of stresses in submarine hull structures taking into account the influence of transverse bulkheads]. Moscow, Oborongiz, 1945. 60 p. (in Russian).
4. Prokopov V. K. Skeletal method for calculating a finned cylindrical shell. In: Nauchno-tekhn. inform. byul. Leningr. politekhn. in-ta, 1957, no. 12, pp. 18-29 (in Russian).
5. Abovskii N. P. On variational equations for flexible ribbed and other structurally anisotropic flat shells. In: Teoriia plastin i obolochek [Theory of Plates and Shells]. Moscow, Nauka, 1974, pp. 4-7 (in Russian).
6. Zhilin P. A. General theory of ribbed shells. In: Trudy TsKTI. Vyp. 88: Prochnost' gidro-turbin [Proc. of the Central Turbine Boiler Institute. Iss. 88: Strength of hydraulic turbines]. Leningrad, Izd-vo TsKTI, 1968, pp. 46-70 (in Russian).
7. Belostochnyi G. N., Ul'yanova O. I. Continuum model for a composition of shells of revolution with thermosensitive thickness. Mechanics of Solids, 2011, vol. 46, iss. 2, pp. 184-191. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654411020051
8. Zhilin P. A. Linear theory of ribbed shells. Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekhanika Tverdogo Tela [The Proceedings of the USSR Academy of Sciences, Mechanics of Solids], 1970, no. 4, pp. 150-166 (in Russian).
9. Belostochnyi G. N., Rassudov V. M. Continuum model of orthotropic heat-sensitive "shell-ribs" system taking into account the influence of large deflection. Mekhanika deformirue-mykh sred [Mechanics of Deformable Media. Collected of Article]. Saratov, Izd-vo Saratov. polytekhn. in-ta, 1983. Iss. 8, pp. 10-22 (in Russian).
10. Belostochnyi G. N. Analytical methods for determination of closed integrals of singular differential equations of thermoelasticity of geometrically irregular shells. Doklady Akademii voennykh nauk [Reports of the Academy of Military Sciences], 1999, no. 1, pp. 14-26 (in Russian).
11. Karpov V. V., Sal'nikov A. Yu. Variation method of getting nonlinear equations of flat ribbed shells' movement. Vestnik Grazhdanskikh Inzhenerov [Bulletin of Civil Engineers], 2008, no. 4 (17), pp. 121-124 (in Russian).
12. Mikhailov B. K. Plastiny i obolochki s razryvnymi parametrami [Plates and shells with discontinuous parameters]. Leningrad, Leningrad Univ. Press, 1980. 196 p. (in Russian).
13. Gekkeler I. V. Statika uprugogo tela [Statics of an elastic body]. Leningrad, Moscow, ONTI, 1934. 287 p. (in Russian).
14. Vol'mir A. S. Obolochki v potoke zhidkosti i gaza [The shells in flow liquid and gas]. Moscow, Nauka, 1979. 320 p. (in Russian).
15. Ambartsumyan S. A., Bagdasaryan Zh. E. Of the stability of orthotopic plates streamlined by a supersonic gas flow. Izv. Akad. Nauk SSSR, OTN, Mekhanika i Mashinostroenie [The Proceedings of the USSR Academy of Sciences, Department of Engineering, Mechanics and Engineering], 1961, no. 4, pp. 91-96 (in Russian).
16. Bolotin V. V., Novichkov Yu. N. Buckling and steady-state flayer thermally compressed panels in supersonic flow. Inzhenernyi Zhurnal [Engineering Journal], 1961, no. 2, pp. 8296 (in Russian).
17. Movchan A. A. Oscillations of the plate moving in the gas. Prikladnaia Matematika i Mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics], 1956, vol. 20, no. 2, pp. 211-222 (in Russian).
18. Tung Ming-teh. The stability of an elastic plate in a supersonic flow. Dokl. Akad. Nauk SSSR [The Proceedings of the USSR Academy of Sciences], 1958, vol. 120, no. 4, pp. 726729 (in Russian).
19. Bolotin V. V. Thermal buckling of plates and shallow shells in a supersonic gas flow. Raschety na prochnost' [Strength Calculations]. Moscow, Mashgiz, 1960. Iss. 6, pp. 190216 (in Russian).
20. Myltcina O. A., Belostochnyi G. N. Stability of heated orthotropic geometrically irregular plate in a supersonic gas flow. PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no. 4, pp. 109-120 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.4.08
21. Belostochnyi G. N., Myltcina O. A. Dynamic stability of heated geometrically irregular cylindrical shell in supersonic gas flow. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 4, pp. 750761 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1653
22. Ogibalov P. M. Voprosy dinamiki i ustoichivosti obolochek [Questions of dynamics and stability of shells]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1963. 419 p. (in Russian).
23. Egorov K. V. Osnovy teorii avtomaticheskogo redulirovaniia [Fundamentals of the theory of automatic control]. Moscow, Energiia, 1967. 648 p. (in Russian).
24. Rassudov V. M., Krasiukov V. P., Pankratov N. D. Nekotorye zadachi termouprugosti plastinok i pologikh obolochek [Some problems of thermoelasticity of plates and flat covers]. Saratov, Izd-vo Sarat. un-ta , 1973. 155 p. (in Russian).
25. Nazarov A. A. Osnovy teorii i metody rascheta pologikh obolocher [Fundamentals of the theory and methods for designing shallow shells]. Leningrad, Moscow, Stroyizdat, 1966. 304 p. (in Russian).
26. Vol'mir A. S. Ustoichivost' deformiruemykh sistem [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka, 1967. 984 p. (in Russian).
Cite this article as:
Belostochny G. N., Myltcina O. A. Dynamic Stability of Heated Geometrically Irregular Shallow Shell of Constant Torsion in Supersonic Gas Flow. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform2019, vol. 19, iss. 4, pp. 397-408 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-4-397-408
