CC BY
4
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 769-779 188№ 2310-7081 (опИпе), 1991-8615 (ргт!) с1 https://doi.org/10
УДК 517.958:539.3(1)
Статическая термоустойчивость пологой геометрически нерегулярной оболочки из ортотропного термочувствительного материала
© М. В. Вильде, О. А. Мыльцина,
С. А. Григорьев, Г. Н. Белосточный
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет), Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83.
Аннотация
Рассматривается пологая ортотропная геометрически нерегулярная оболочка (ГНО) постоянного кручения, термомеханические параметры которой линейно зависят от температуры. При достижении температуры определенного значения происходит скачкообразно смена формы равновесия, что вызывает изменение первоначальной геометрии оболочки. Эти значения температур называют критическими.
Для практики значительный интерес представляют соотношения, связывающие критические температуры с геометрическими и термомеханическими параметрами ГНО. Решение задач статической термоустойчивости ГНО, как правило, начинается с анализа их исходного безмомент-ного состояния. Тангенциальные усилия, вызванные нагревом оболочки, определяются как решения системы сингулярных дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости. Эти усилия содержатся в формах Брайена или Рейсснера в уравнениях статической термоустойчивости, и от их структуры существенно зависит успех в дальнейшем решении задачи.
В работе решение сингулярной безмоментной термоупругости найдено в элементарных функциях. Уравнения моментной термоупругости,
Краткое сообщение
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Вильде М. В.,Мыльцина О. А., Григорьеве. А., Белосточный Г. Н. Статическая термоустойчивость пологой геометрически нерегулярной оболочки из ортотропного термочувствительного материала // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, №4. С. 769-779. https://doi.org/10.14498/vsgtu1784. Сведения об авторах
Мария Владимировна Вильде © https://orcid.org/0000-0001-8198-3368
доктор физико-математических наук; профессор; каф. математической теории упругости
и биомеханики; e-mail: mv_wilde@mail.ru
Ольга Анатольевна Мыльцина А https://orcid.org/0000-0003-4718-2772 кандидат физико-математических наук; доцент; каф. теории функций и стохастического анализа; e-mail: omyltcina@yandex.ru
Степан Андреевич Григорьев; аспирант; каф. математической теории упругости и биомеханики; e-mail: kafedramtuibm@yandex.ru
Григорий Николаевич Белосточный © https://orcid.org/0000-0001-6949-4174 доктор технических наук, профессор; профессор; каф. математической теории упругости и биомеханики; e-mail: belostochny@mail.ru
.14498/vsgtu1784
© Самарский государственный технический университет
769
записанные в компонентах поля перемещений, методом функции перемещений сведены к одному сингулярному дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка. Решение записывается в виде двойного тригонометрического ряда, коэффициенты которого на основании процедуры Галёркина определяются как решения линейной однородной алгебраической системы уравнений. Из равенства нулю определителя этой системы (в первом приближении) получено алгебраическое уравнение пятой степени для относительной критической температуры, наименьший положительный действительный корень которого и есть искомая температура. Проводится количественный анализ влияния геометрических и термомеханических параметров ГНО на величины критических температур.
Ключевые слова: ортотропность, термочувствительность, статика, термоустойчивость, сингулярность, пологая оболочка, кручение, температура.
Получение: 12 мая 2020 г. / Исправление: 14 октября 2020 г. / Принятие: 16 ноября 2020 г. / Публикация онлайн: 21 декабря 2020 г.
Введение. В известных областях современной техники используются конструкции, содержащие элементы в виде геометрически нерегулярных оболочек (ГНО), выполненных из ортотропных чувствительных к нагреву материалов.
Штатные условия эксплуатации предусматривают в ряде случаев сохранение их первоначальной геометрии при воздействии температурных и силовых факторов со стороны рабочей среды. Это одна из основных причин, требующая предварительного предельно точного анализа статической и динамической термоустойчивости объектов указанного класса — геометрически нерегулярных ортотропных пологих оболочек, обширный класс которых образуют ребристые оболочки. Несмотря на значительное число научных работ, посвященных гладким оболочкам, информация о термоустойчивости ГНО в открытой печати практически отсутствует.
Целью настоящей работы является решение задачи статической термоустойчивости ортотропной ГНО из термочувствительного материала на основании строгой континуальной модели [1, 2]. Уравнение для критической температуры получено в предположении линейной зависимости термомеханических параметров от температуры.
Количественные результаты представлены в виде таблиц, наглядно иллюстрирующих влияние геометрических и термомеханических параметров на величины критических температур.
1. Методика решения задачи статической термоустойчивости ГНО из термочувствительного материала. Рассмотрим геометрически нерегулярную пологую ортотропную оболочку постоянного кручения, уравнение срединной поверхности которой имеет вид [3, 4]
Жэ(Ж1,Ж2) = ~7 Х1Х2, ао
где 5 — наибольший подъем оболочки над ее прямоугольным планом в координатной плоскости (х\,х2) со сторонами a и Ь. Оболочка выполнена из термочувствительного материала, модули упругости и коэффициенты линейного расширения линейно зависят от постоянной температуры д [5, 6]:
Е3 = Ejo(l - Ъв), (Xj = ajo(1 + fíв), j = 1,2.
Здесь Ejo и ajo — соответственно модули упругости и коэффициенты линейного расширения материала при нулевой температуре; jj, fíj —известные постоянные.
Тангенциальные усилия Т13, возникающие в ГНО при нагреве до постоянной температуры в, когда она находится в безмоментном состоянии, удовлетворяют сингулярным дифференциальным уравнениям [7-10]:
п
ТЦ + + Е ^228(х1 - х\) = 0,
= (1) 722 + + Е Коы - х\) = о, т12 = о,
г=1
где Т11 = В1[й, 1 + V21!,2 - (а1 + У2<у,2)9\, Т22 = В2[ь,2 + щи, 1 - (а2 + ща1)0], Т12 = СЪ(и,2 + V,^ - 2к12й), 5(х1 - х\) — сдвинутая ¿-функция Дирака,
Еф Е2к 7
В1 = --, В2 = --, к12 = Х3,12 = —Т,
1 - 1 - и1и2 ао
Т12 = СЫи,2, Т22 = Е2Ъг(у,2 - а2в); аг — ширина г-того ребра, Ъ — высота г-того ребра, п — число ребер, — коэффициенты Пуассона, ] = 1,2; й(й,ь,'ш) — компоненты поля перемещений в безмоментном состоянии ГНО, С — модуль сдвига.
Решение сингулярной системы (1) в случае краевых условий
и = 0, Т12 = 0 при х1 = 0, х1 = а, 7 = 0, Т12 = 0 при Х2 = 0, Х2 = Ь
запишется в элементарных функциях [11, 12]:
7 = 0, Т12 = 0, Т11 = -В1 (а.1 + Р2а2)в, Т22 = -В2(а.2 + ъац)0. (2)
Тангенциальные усилия (2) содержатся в сингулярных уравнениях статической термоустойчивости ГНО, которая в компонентах поля перемещений имеет следующий вид:
СЪ ( СЪ \ СЪ1
и, 11 + —и,22 + [V2 + 12 - 2 — к12т,2 = 0,
СЪ ( СЪ \ СЪ1
V,22 + 11 + + — )и, 12 - 2—к12Ы, 1 = 0,
В1-ш, 1111 + 2(В1^1 + 2В)т, 1122 + В2-Ш, 2222 + 4СЪк212-ш- (3)
-2СЬкХ 2(и,2 + Ь}1) + V (Е2^ №,2222 + Т22№, 22)5(Х! -Х\) +
г=1
+ТП№,П + 2Т12№,12 + Т22№,22 = 0.
Здесь Б1 =
Еф3
Л
агк3
12(1 - У1У2)
, ®2 =
Е2к3
12(1 - У1У2)'
Б
СЬ3 12 ;
Тг22 = -Е2агЫа2д,
Обращаясь к методу функций перемещений [3, 4], система (3) подстановкой
П1 СЬ /Е2д3Ф д3Ф и = 2к12 — —^ - и2
В2УЕ1 дх'3 дх2дх2< СЬ /д4Ф /Е2
№ = + "ТГ -
П1 СЬ /д3Ф д3Ф
V = 2к12^[ -—^т - V2
в2\дх\ v с
2 2
д 4Ф дх\дх2
В2\дх3 дх1дх2 Е2 д4Ф ч
д х4
Е1
сводится к сингулярному дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно функции Ф(х1,х2):
д8Ф дх\
+
Е2 С
Е + 4(1 ^
С
Е1
д8Ф дх1дх2
+
+2
+
Е2
Е + ( ^ - 2 ^+2(1 - Е
Е2
- 21^2 ) Е2 С
+ 4(1 - у1у2) ^
С
д 8Ф дх\дх2.
+
Е2 д 8Ф /Е2 ч 2 д 8Ф Е дх2дх2 + ^~Е\) дЩ+
48 Е2 ( 5\2 д4Ф
+ — (1 - о +
+
п (
м
1=1 у
+
Е2'Ь Б1
гп22
-1 г
БЛ
а2 2 Е1 Ь
_+ \ д8Ф Е2 д 8Ф
дх\дх4 + V С иУ дх2дх6 + Е1 дх8
дх\дх2
д 8Ф
+
д6Ф /Е2 ч д6Ф Е2д6Ф дх\дх2 V~С - 2"2) дх2дх\ + Е ЩЦ
>6(х1 - х\)-
- —(тп— + 2Т'
Б^ дх\ дх1дх2
гд4Ф
12
д2
+ (—-Удх4Л Мс
(Е - "2)
+ 1р22_д^\ х дх2' д 4Ф
Е2 д4Ф дх2дх2 ' Е1 дх^
+
= 0. (4)
В этом уравнении тангенциальные усилия определяются соотношениями (2). Рассмотрим случай шарнирно-подвижного опирания краев оболочки:
и = 0, Т12 = 0, М11 = 0, т = 0 при х1 = 0, х1 = Ь, V = 0, Т12 = 0, М22 = 0, т = 0 при х2 = 0, х2 = Ь,
где М11 = -Б1(т,11 + ^№,22), М22 = -Б2(т,22 +
х
Краевые условия (5) перепишутся через функцию перемещений Ф(х1,х2) в виде
Е2 <93Ф <93Ф д4Ф д4Ф
--— У2- = 0 - — У2- = 0
Е1 дх3 дх\дх2 ' дх\ дх2хдх2 '
д4Ф (Е2 п \ с)4® Е2 д4Ф
— i - —
2 \ а*ф + Е2 ^ф =0 (6)
дх4 V G 2) 8x18x2 + Е\ 8х4 0 (6)
1 х -
д2 (с)4Ф f Е2 \ д4Ф Е2 с)4Ф\
Щ\д^П-g -2и2)щщ + жщ) =°, при=0,=а;
Е2 д4Ф д4Ф д3Ф <93Ф
- "2 „ 2„ 2 = 0, —т - U2-
Е1 дх4> дх2дх2 ' дх'3 дх\дх2
, тт„ \ я4л сг. я4
д4Ф (Е1_ 2 \ д4Ф Е2д4ф =
дх\ v g 2) дх2дх22 + Е\ дх4 0, (7)
д2 (д4Ф (Е2 \ д4Ф Е2 д4Ф\
щкд^:П-G -2и2)дЩдЦ + Ё[щ) =0, при Ж2 =0,Ж2 =
Функцию Ф(х\,х2), тождественно удовлетворяющую всем условиям (6), (7), зададим в виде двойного тригонометрического ряда с постоянными коэффициентами:
\ П ■ ■ тжх2 /ОЧ
Ф(Х1,Х2) = } Скт sin- sin—-—. (8)
^ a b
к,т
Подстановка (8) в уравнение (4) с последующим обращением к процедуре Галёркина приводит к однородной алгебраической системе уравнений относительно коэффициентов ряда (8) [13]. Из равенства нулю определителя этой системы получим алгебраическое уравнение относительно безразмерной величины в* = (a/h)2a\od. Наименьший положительный корень этого уравнения и есть искомая относительная критическая температура 0%г, при достижении которой возможен скачкообразный переход термоупругой системы к новой форме равновесия. В первом приближении это уравнение пятой степени запишется в виде
к5(ър)в5 + К4(ъР№ + [к'з (i) + к'3(ъР М +
+ [K2(j) + К'2(Ъ13 )]в* + [К[(1) + К'{(а)]в* + Ко = 0,
где
ts I Е20 . G Е20
Ко = ai 1 + ai 2— + ai 3—--+ ai 4-7;--+
G Ь\о Ь\о
Eio f E20 \ 2 / E20 \ 2 G ( E20 \ 2
+ -E2~) + M + ^^(тН ,
G \bi 0/ \bi о/ о V bi 0/
0
к[(7) = - 2an7i + ai2Щ20(271 + 72) + + auф0(71 + 72) +
G Ею Ею
G Е20
+ a15 ЕG0 (ЕЕ20) (272 +71 ) + 2а1б(ЕЕг0) 72 + a17
Е10 Е10
2
K''(a) = -12
11 + 12
Е20 Е20 Е20 2 Е10 Е20 2 --+ Ъ1з^т - buiiT-) + ^15—( —I +
Е10 a20
G
Е10
G Е10
-.20. , a20 Е20 , a20 Е20 .
+ 016--+ 017-"TT" + 018--TT" +
&10 &10 Е10 aw G
2п
a20 Е10 ( Е20\2 1 a20 ( Е20 \
+ Ь19--T^iT20! + Ь19- ТГ0
a10 G Е10 a10 Е10
K2(7) = au72 + a12 Е0 ( 71 + 2 7172) + au Е07172 +
Е10
G
+ a15 Е:г(Е0) (72 +27172)+a1^72,
K'2(7, ß) = -12 bu(ß1 - 271) + bu^(ß1 -71 - 72) +
Е20
Е10
(Е20^(ß1 - 272) +
+ b13~GT(ß1 - 271 - 72) + bu[ J
+ ^Е0 (¥)2(ß1 - 272 - 71) + Ы^(ß2 - 271) + G Е10 a10
a20 Е20 a20 Е20
+ b17-~Б (ß2 -71 - 72) + ^18---pr (ß2 - 271 - 72) +
aw Е10 aw G
+ b19 ^ G ( Е0 )2(ß2 - 272 - 71) + b10 ^ ( Е0 )2(ß2 - 272) a10 G \Е10J aw\E10^
K3(7) = -
Е20 2 Е10 Е20 2 2
a12~GT7i72 + a15~GG^{ЕЕ~) 7172
K'3(7, ß) = -12 \bn(72l - 271ß1) + b12Щ0(7172 - ß171 - ß172) +
Е10
+ b13Е0(7Ï + 27172 - 2ß171 - ß172) + bu(^^(7^ - 2ß^) + + b15(^)2(72 + 27172 - ß171 - 2ß172) + he a20 (72 - 271ß2)
+
G Е10 a20 Е20
a10
+
17
a10 Е10
(7172 -ß271 -ß272) + b18 — ^^ (71 +27172-271ß2 - ß272) +
a10 G
+ 619 ^ ЕЮ( Е20)2(722+27271 -2ß272-ß271)+b10 ^ ^ 7Î - 2ß272) a10 G Е10 2 a10 Е10 2
К4(ъР) = -12 Ъир^2! + ь 12^Ртъ + ь 13^(М2 + 20!ЪЪ - 7272) +
Ею С
(А72 + ^27172 - 717г) +
^ ЕЧ 2
+ Ь16 —Р271 + £>17— ^^$27172 + £>18 — (13271 + 2/327172 - 7272) + «10 «10 Ею «10 С
+ &19 ^ (Е0) (32722 + 2/27172 -71722) + Ь10 ^ (Е00У33272 аю С УЕю/ аюУЕю^
К5(7,3) = 12 Ь13!0Р17272 + Ь15Е0 (Ц+
«20 Е20 2 «20 Е20 2 2
+ Ь16--уг/27172 + Ь19- — 3327172
«10 С 1 «10 Е10 2
а11 = я
1 - 4 а)
а ч2
Ь
а12 = я
а13 = 4я2(1 - г/1 г/2) - 2, аи = 4я2(1 - г/^)^
а 2
а) +
2"»(а г
6
X
а14
*>( 4 [2 + 4(1 2) + 43( а) "( 5) 2 ^ +
Ъ\2{5\2
+ 24(1 -ицУ2)[1 - 2 Ц а) 2] Е £
г=1
1г . 2 ях\
аЬ3 а
а! 5 = .2( а )6
2{а\8 Л16 = я ш
1 + 24(1 - г/1 г/2) Е £
. 2 ях,
р ь3 ^—1
Е ^^ аЬ3 а
г=1
1 + 24(1 - г/1г/2) Ц2
1г . 2 ях%1 т? / Й1П -
Е1 аЬ3 а
г=1
"11=1 -2*(а)^ »,2=2
'а\2
а)2(1 - 2г/^) + У1
16 =
Ь13 = (?)2, 614=Ч?)6, 6
/а Ь.
15 = V1
а 4
У2-2^^2](1+ф), ^7=[ц^4+(а)2-2^о4](1+ф)
Ь18 = Ца)2(1 + Ф), Ь19 = (а)4(1 + ф), ЬЮ = (а)6(1 + Ф);
ф = Е
г=1
Ь (Ц . 2 ях1
---81П2 -.
Ь а а
Результаты расчетов. Значения относительных критических температур при различных величинах геометрических и термомеханических параметров приводятся в табл. 1, 2 для материала «стеклопластик КАСТ-Б»
Таблица 1
Величины относительных температур при различных значениях геометрических параметров оболочки [Relative temperatures for different values of the shell
geometric parameters]
S/h Ii/(ah3) в*г, b/a = 0.5 0Г, b/a = 0.9
п = 1
0 2.7531 1.2064
1 0.01 3.1801 1.2898
0.05 4.8912 1.6232
0 3.3985 1.6717
5 0.01 3.8226 1.7550
0.05 5.5366 2.0885
п = 3
0 2.7531 1.2064
1 0.01 3.6083 1.3781
0.05 7.0294 2.0400
0 3.3984 1.6717
5 0.01 4.2537 1.8384
0.05 7.6748 2.5052
Таблица 2
Величины абсолютных критических температур (в °С) для оболочки из термочувствительного материала [The absolute critical temperatures (in С) for
a thermosensitive shell]
a/h ß = 7 = 0 ß = 0, 7 = 0 ß = = 0, 7 = 0
ß 55.7989 7 56.9019
100 56.8054 2ß 54.8596 27 57.0024
3ß 54.6269 37 57.1073
ß 97.8897 7 101.2973
75 100.9874 2ß 95.1357 27 101.6312
3ß 94.4720 37 101.9925
ß 212.6090 7 228.8675
50 227.2217 2ß 201.0799 27 230.8364
3ß 198.4670 37 233.2451
(Ew = 213 ■ 108 Н/м2, Е20 = 121 ■ 108 Н/м2, G = 20.3 ■ 108 Н/м2, u2 = 0.19), везде ai/a = 0.01.
В табл. 2 приводятся значения истинных критических температур 0СГ при «замороженных» параметрах: Д = fj2 = fj, = j2 = 7, b/a = 0.5, h/h = 3.9, S/h = 2.5, п = 3.
На величины критических температур существенное влияние оказывают параметры hi/h и S/h — абсолютные высоты ребер и кручение оболочки. С увеличением длины ребер их влияние заметно уменьшается. Учет зависимости термомеханических характеристик материала ГНО вносит в значения критических температур тем большие поправки, чем больше относительная толщина оболочки — параметр a/h.
Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Библиографический список
1. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1970. №4. С. 150-162.
2. Белосточный Г. Н., Ульянова О. И. Континуальная модель композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной// Изв. РАН. МТТ, 2011. №2. С. 32-40.
3. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Л., М.: Стройиздат, 1966.
4. Красюков В. П., Панкратов Н. Д., Рассудов В. М. Метод тригонометрических рядов в решении температурных задач теории пологих оболочек. Саратов: СГУ, 1974.
5. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наук. думка, 1976.
6. Коляно Ю. М., Кулик А. Н. Температурные напряжения от объемных источников. Киев: Наук. думка, 1983.
7. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Устойчивость нагретой ортотропной геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2017. №4. С. 109-120. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.4.08.
8. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Континуальный подход к термоустойчивости упругих систем «пластинка-ребра» / Прикладная теория упругости. Саратов: Сарат. по-литехн. ин-т, 1980. С. 94-99.
9. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М.: МГУ, 1958.
10. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М.: МГУ, 1963.
11. Белосточный Г. Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек// Доклады Академии военных наук, 1999. №1. С. 14-25.
12. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Термоупругость подкрепленной пластинки под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий на границе // Вестник Московского авиационного института, 2014. Т. 21, №2. С. 169-174.
13. Канторович Л. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физ-матлит, 1962.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 769-779
d https://doi.org/10.14498/vsgtu1784
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)
MSC: 74F05, 74K20
Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell made of orthotropic temperature-sensitive material
© M. V. Wilde, O. A. Myltcina,
S. A. Grigoriev, G. N. Belostochny
N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University),
83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russian Federation.
Abstract
A flat orthotropic geometrically irregular shell of constant torsion, whose thermomechanical parameters are linearly dependent on temperature, is considered. When the temperature reaches a certain value, the change in the shape of the equilibrium occurs abruptly, which causes a change in the initial geometry of the shell. These temperatures are called critical.
For practice, the relationships connecting the critical temperatures with the geometrical and thermomechanical parameters of the geometrically irregular shell are of considerable interest. The solution of the problems of static thermal stability of geometrically irregular shells usually begins with an analysis of their initial momentless state. Tangential forces caused by shell heating are defined as solutions of a system of singular differential equations of momentless thermoelasticity. These efforts are contained in the Brian or Reissner forms in the equations of static thermal stability and the further solution of the problem essentially depends on their structure.
In this paper, the solution of singular momentless thermoelasticity is found by elementary functions. Using the method of displacement functions, the equations of moment thermoelasticity, written in the components of the displacement field, are reduced to a single singular differential equation in partial derivatives of the eighth order depending on the temperature, which is assumed to be constant. The solution is written as a double trigonometric series. The coefficients of the series, based on the Galerkin procedure, are determined as solutions to a linear homogeneous algebraic system of equations. From the equality to zero of the determinant of this system, an algebraic
Short Communication
3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this paper in press as:
Wilde M. V., Myltcina O. A., Grigoriev S. A., Belostochny G. N. Static thermal stability of a shallow geometrically irregular shell made of orthotropic temperature-sensitive material, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 769-779. https://doi.org/10.14498/vsgtu1784 (In Russian). Authors' Details:
Maria V. Wilde © https://orcid.org/0000-0001-8198-3368
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics; e-mail: mv_wilde@mail.ru
Olga A. Myltcina&<B https://orcid.org/0000-0003-4718-2772
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Functions & Approxmation Theory; e-mail: omyltcina@yandex. ru
Stepan A. Grigoriev Postgraduate Student; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics; e-mail: kafedramtuibm@yandex.ru
Grigory N. Belostochny © https://orcid.org/0000-0001-6949-4174
Dr. Techn. Sci.; Professor; Dept. of Mathematic Theory of Elasticity & Biomechanics;
e-mail: belostochny@mail. ru
778
© Samara State Technical University
equation of the fifth degree is obtained for the relative critical temperature. The smallest positive real root of which is the desired temperature. A quantitative analysis of the influence of the geometrical and thermomechanical parameters of the geometrically irregular shell on the value of the critical temperature is carried out.
Keywords: orthotropic, thermosensitive, statics, thermal stability, singularity, shallow shell, torsion, temperature.
Received: 12th May, 2020 / Revised: 14th October, 2020 / Accepted: 16th November, 2020 / First online: 21st December, 2020
Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship
and publication of this article.
Author's Responsibilities. We take full responsibility for submitting the final manuscript in print. We approved the final version of the manuscript.
Funding. This research received no specific grant from any funding agency in the public,
commercial, or not-for-profit sectors.
References
1. Zhilin P. A. The linear theory of ribbed shells, Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekh. Tverd. Tela, 1970, no. 4, pp. 150-162 (In Russian).
2. Belostochnyi G. N., Ul'yanova O. I. Continuum model for a composition of shells of revolution with thermosensitive thickness, Mech. Solids, 2011, vol. 46, no. 2, pp. 184-191. https:// doi.org/10.3103/S0025654411020051.
3. Nazarov A. A. Osnovy teorii i metody rascheta pologikh obolochek [Fundamentals of the Theory and Methods of Calculating Shallow Shells]. Leningrad, Moscow, Stroiizdat, 1966, In Russian pp.
4. Krasyukov V. P., Pankratov N. D., Rassudov V. M. Metod trigonometricheskikh riadov v reshenii temperaturnykh zadach teorii pologikh obolochek [The Trigonometric Series Method in Solving Temperature Problems in the Shallow Shell Theory]. Saratov, Saratov State Univ., 1974 (In Russian).
5. Podstrigach Ya. S., Kolyano Yu. M. Obobshchennaia termomekhanika [Generalized Ther-momechanics]. Kiev, Nauk. Dumka, 1976 (In Russian).
6. Kolyano Yu. M., Kulik A. N. Temperaturnye napriazheniia ot ob"emnykh istochnikov [Temperature Stresses from Bulk Sources]. Kiev, Nauk. Dumka, 1983 (In Russian).
7. Myltcina O. A., Belostochny G. N. Stability of heated orthotropic geometrically irregular plate in a supersonic gas flow, PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no. 4, pp. 109-120 (In Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.4.08.
8. Belostochny G. N., Rassudov V. M. Continuum approach to the thermal stability of the elastic "plate-ribs" systems, In: Prikladnaia teoriia uprugosti [Applied Elasticity Theory]. Saratov, Saratov Politekhn. Inst., pp. 94-99 (In Russian).
9. Ogibalov P. M., Gribanov V. F. Termoustoichivost' plastin i obolochek [Thermal Stability of Plates and Shells]. Moscow, Moscow State Univ., 1958 (In Russian).
10. Ogibalov P. M. Voprosy dinamiki i ustoichivosti obolochek [Problems in Dynamics and Stability of Shells]. Moscow, Moscow State Univ., 1963 (In Russian).
11. Belostochny G. N. Analytical methods for determination of closed integrals of singular differential equations of thermoelasticity of geometrically irregular shells, Dokl. Akad. Voen. Nauk, 1999, no. 1, pp. 14-25 (In Russian).
12. Myltcina O. A., Belostochny G. N. Thermoelasticity of the reinforced plate under influence of quick change for coordinate of thermal and force factors on the boundary, Aerospace MAI Journal, 2014, vol. 21, no. 2, pp. 169-174 (In Russian).
13. Kantorovich L. V., Krylov V.I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximate Methods of Higher Analysis]. Moscow, Fizmatlit, 1962 (In Russian).
