CC BY
32
Положим для ß = (ßj,ß2,...,)T e Rd (
f
и к = s +1, n, s k (ß) =
' Kd;
d Л
. 0
а0 + £ß
V i=1
гаг
■Ук
- (хк, а о)-X (*к, ü )ßi, 9(ß)= S I s к (ß)|.
i=i
к=s+1
Тогда
Ф
Л
(а0 + S ßa = S
i=1 У к=1
f d
а0 +Sß ü i =1
d
\
хк,а = 0, т. е. (хк,а) = 0 Для всех
V ¿=1 У
ае кег(Хх). Хорошо известно [2], что хк будет
линейной комбинацией х1,...,х5, и, следовательно, гапк(Х) = гапк(Х5 ) < 5 < г -1, что противоречит условию гапк(Х) = г. Получаем гапк(Х0 ) > 1, и по уже доказанному найдется Р* такое, что ф(р*) = тЪ ф(Р) и |{к|| е к (Р*) = 0}|> 1. Пола-
S
к=s+1
Поэтому
( d а0 +SßiAi
V i=1
S ISк(ß)|= Ф(ß).
к=s+1
ф(а0) = min ф(а) < min ф
а0 +
Sßi
i=1
= min ф(Д) < ф(0) = ф(а0)
гая а = а +
Yfia» где ff -АГ,
i=1 *
получаем ф(а ) = ф(ß ) = min фф) = min ф(а),
ß а
sk (а*) = 0 для к = 1, s, s к (а *) = s к (ß*) для
к = s +1,n. Поэтому {к| sk(а ) = 0} = {1, ...,s} и и{к| Sк(ß*) = 0} и |{к| sk(а*) = 0} |> s +1. Тео-
и,
следовательно, ф(а0) = min ф(а) = Рема доказана.
= min ф(р). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Обозначим через Х0(п - s) х d -матрицу 1. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные
z _ s + \ п j = ]~d Если задачи с линейными ограничениями. - Л.: Изд-
во Ленингр. ун-та, 1984. 176 с.
rank(X0) = 0, то для любого к = s + 1,п получаем 2 Карманов В.Г. Математическое программ-
^ --мирование. - М.: Наука, 1975. 272 с.
(х , aj ) = 0, j = 1, d, и, следовательно,
=
(x, üj)
d
n
S
к
d
*
n
n
d
а
а
УДК 624.131 Плотникова Анастасия Юрьевна,
магистрант, Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск, Россия, e-mail: [email protected]
СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ БАЛКИ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
A.Y. Plotnikova
A BEAM IN ELASTIC HALF-SPACE STATIC CALCULATION
Аннотация. Изложен способ расчета балок на линейно деформируемом упругом полупространстве. Для расчета балки используется метод конечных элементов. Определены отпор основания, прогибы (осадки) и углы поворота, формулы для вычисления изгибающих моментов и перерезывающих сил. Приведены примеры статического расчета балки на упругом полупространстве с учетом собственного веса основания на действие постоянной нагрузки.
Ключевые слова: модели основания, упругое тяжелое полупространство, ядро основания, отпор основания, внутренние усилия.
Abstract. The way of beams on linearly de-formable in elastic half-space calculation is stated. For beam calculation the finite element method is used. Bearing reaction, deflections (sets) and rotation angles, the formula for calculation of the bending moments and transverse forces are defined. Examples of static calculation of a beam in elastic half-space
G (r ) =
1 -у2 ж-E ■ r
(1)
где r = J x2 + x *
1 I ^ , хь х2 - декартовы оси координат, направленные по поверхности основания, Е -модуль деформации, V - коэффициент Пуассона грунта основания.
Модель основания - упругое основание с учетом собственного веса грунта основания («тяжелое» основание)
Ядро «тяжелого» основания при статических воздействиях приведено в [1] и задается в виде
G(r) =
где
l = ■
1 -у2 ж- E
E
ж
27
rr H о( у ) - N о( J )
-, Е - модуль деформации, у 2(1 -у2) ^р
- коэффициент Пуассона, р - плотность грунта
taking into account a basis body weight on action of constant loading are given.
Keywords: model of base, elastic heavy halfspace, cores of foundation, bearing reaction, internal forces.
Введение
При расчете балок на упругом основании очень важную роль играет факт выбора модели основания. В качестве модели основания может быть принята модель Винклера или ее модификация, в которой отпор пропорционален осадке основания. Недостатки такой модели хорошо известны [1] и определяются тем, что жестко связаны контактные давления и осадки основания, т. е. осадки имеются только в зоне контакта сооружения и основания. Вне зон контакта осадки сооружения равны нулю.
Другой моделью основания может быть идеально упругое полупространство. У этой модели отсутствует основной описанный выше недостаток, т. е. при использовании этой модели получаются приемлемые результаты расчета осадок основания как в зоне контакта сооружения и основания, так и вне этих зон.
Модель основания - идеально упругое
полупространство
Основание считаем заданным, если задано его ядро. Ядро основания представляет функцию осадок его поверхности от воздействия на него единичной силы, приложенной в начале координат и направленной в глубину полупространства.
Ядро основания при статических воздействиях:
основания, g - ускорение свободного падения, Н0(х) - функция Струве, Ш0(х) - функция Неймана. Задание отпора основания Рассмотрим балку, лежащую на линейно деформируемом основании. Ось х1 направлена вдоль оси балки, ось г перпендикулярна поверхности, ось х2 перпендикулярна осям г, х1.
Рис. 1. Нагрузки балки на упругом основании
На рис. 1 показана подошва балки, разбитая на отдельные участки. Длина каждого участка йк = Номера границ участков подписаны цифрами. Контактные давления будем считать линейно распределенным по участку - д(х), где х - ось балки. Заменим распределенное давление на балку узловыми сосредоточенными нагрузками Qk, Мк (рис. 2).
М,___М-JL М,
О-Ш-О.
1
' к
. 1 [, 1 . - 1 Xt Чп
Рис. 2. Замена распределенного отпора q(x) узловыми силами Qk, Мк
Эти силы определяются по формулам
й = й ■ (7 41 + 3д2),
20
d
(2)
Qk = — ■ (Ч-1 + + 34к+1),
йп+1 = й ■ (34п + 74п+1),
а2
М1 = — ■ (341 + 2Ъ), 60
М* =7ТТ (-24*-1 + 24*+1),
60 й2
Мп+1 =ТТТ (-24п - 34п+1), 60
к = 2, 3, ..., п. Определим осадку в точке \ от нагрузки на к-м участке (рис. 3):
^ = 0 54кй ■ , где О(т) определено формулой (1).
Рис. 3. К определению осадки ^ в точке I от контактного давления на к-м участке
Для случая, когда все йк = й, х7 = й(7 - 1), хк = й(к - 1):
Гк1 =4(хк -х,. + й/3)2 + (Ь/2)2,
г1к 2 =
где Ь - ширина балки, находятся перемещения в 7-м узле:
= ^ I
2л-Е
к=1
Чк
(к-1+3)2+(2Ьй>!
(3)
2., = £
2л-Е
к=1
Чк+1
(к -1+2)2 + (А )2
I Г 2й
а
о
• 1 1 ь Ч ■¿.1
Рис. 4. Расчетная схема балки с неизвестными перемещениями
Уравнения равновесия балки имеют вид
К - 2 + О + Р +М +М = 0,
(4)
Кп - 2Х + КХ2 - 22 + О + Р = 0,
К21 - 2 + К22 - ^ + мч + М = 0,
(5)
где 2 - прогибы, 22 - углы поворота сечений.
Для записи уравнений равновесия в форме (5) необходимо составить матрицы жесткости
К11 , К12 , К21 и К22 .
Элементы матрицы жесткости стержневого элемента, приведенные на рис. 5, вычисляются (так же, как единичные реакции в методе перемещений) по формулам:
ЬсМ,(х) - М (х)йх Р
Г = I т/ \ = IЩх№(х№}(х)йх, (6)
0 ЕЦх) 0
1
Е1(х)
где ^ (х), у"(х) - функции и их вторые производные по х, интерполирующие перемещения точек в пределах конечного элемента. Зададим эти функции в виде полиномов Эрмита:
¥1(х)=1 - 3-1 + 2
(х) = х| 1 -
Разделение неизвестных на прогибы и углы поворотов сечений
Расчет балки проводим методом конечных элементов. В качестве неизвестных принимаем перемещения 2к (первые к =1, ..., п - прогибы, а при к = п+1, ..., 2п - углы поворотов сечений балки). Схема балки показана на рис. 4.
^(х) = ^ 12 -{|^3
¥<(х)=т (Р -1
(7)
где К - матрица жесткости, Р - вектор нагрузки, *у1 " Г11 Г12 Г13 Г14 _ " 21"
О - вектор контактных давлений. *у 2 Г21 Г22 Г23 Г24 2 2
Уравнение (4) представим в следующем ви- *уз Г31 Т '32 Г '33 Г34 2 3
де: *у 4 _Г41 Г42 Г43 Г44 _ _2 4 _
Рис. 5. Стержневой конечный элемент
По смыслу аппроксимирующие функции ц/¡ есть перемещения точек оси элемента при 27 = 1, 2] = 0, 1 * ] ■
После подстановки (7) в (6) и вычислений находим узловые силы упругости, равные узловым реакциям ^ :
(8)
где для EI(z)=Const [2].
2
3
х
2
X
к-ы-
2Е1
й3
6 - 6 3й 3й
- 6 6 - 3й - 3й
3й - 3й 2й2 й2
3й - 3й й2 2й2
(9)
2Е1 ' 6 - 6' 12Е1 ' 1 -1
й3 - 6 6 й3 -1 1
2Е1 ' 2й2 й2 ' 2Е1 2 1
й3 й2 2й2 й 1 2
Аналогично находим матрицы жесткости для стержневого элемента:
к12 -
6Е1
й2
1 1 -1 -1
к21 -
6Е1
й2
1 -1 1 -1
- 1 2 -1
12Е1
К11 - ¿3 0 -1 2 -1...
0 0 -1
~2 1 0 01
1 4 1 0
2Е1
К 22 - , й 0 1 4 1... 0
0 0 1 2
К12 -
6Е1
й2
К21 -
6Е1
й2
[ ]
" 1 1 0..... 0
-1 0 1..... 0
0 - 01... 0
0 0 -1 -1
1 -1 0..... 0
10- 1..... 0
01 0 - 1... 0
1 -1
- матрица жесткости стержневого элемента постоянной жесткости.
Левый верхний блок из четырех элементов соответствует прогибам:
к 11 -
Правый нижний блок из четырех элементов соответствует углам поворотов:
к22 -
Из второго уравнения (5) находим
.2 - -К-12 ■ (мч + м) - к-1 ■ к2! ■ . 1. (10)
Первое уравнение (5) принимает вид
К11 ■ . 1 - -Рч-Р+к 12 ■ к22 ■ (М, + М), (11)
в котором
К11 - К11 К12 ■ К22 ■ К21 . (12)
Связь отпора с прогибами
Из (3) следует матричное равенство:
- в ■ 4, (13)
в котором элементы матрицы В вычисляются по формулам:
Б,
(1 -У2) 2я--Е
1
(]-! + ^ + )2
2 й
Теперь несложно сформировать матрицы жесткости для всей балки. В случае когда балка разбита на равные участки и её жесткость Е1=СотР.
'1-10 ..... 0
0 0
Б,
(1 -У2) 2л ■ Е
(]-! + 2)2 + )2
3 2 й п-1.
/ = 1,2, ... п;у = 1, 2,
в - в¡д + [д\в
Поясним, как получена последняя формула. Из рис. 3 видно, что перемещения от сил, приложенных в точках 1 и 2, можно определить по формулам
2п=ВГЯлев, ^12 =В2-Ч„рав, в которых ^лев и Чправ - векторы, составленные
из сил Р1 - $ лее ■ й 2 и р2 - Я прав ■ й /2 \ Я лее
и Я прав - ординаты на эпюре отпора, взятые соответственно на левой и на правой границах участка. Полное перемещение определяется как г,=В, а +В, а
1 1 Млев 2 Мправ
В1 х
где X - любой вектор, дописанный справа к матрице в и слева к матрице в . В качестве вектора В выберем нулевой вектор, тогда
" $11 " 0 1
42 <?2
+х|в2.
Чп-1 0 $п-1
0
0
Z1 = B1
" 0 "
Ч2 ч2
+ ов2-
Чп-1 Чп-1
0 _ Чп _
' Ч1' " Ч1"
q2 42
+ бв2-
Чп-1 Чп-1
_ ч„ _ _ ч„ _
: B1 0'
= Bx 0 + 0 B2 q = В q.
Так была получена формула (13). Из(13)находим
q = А 1 • Z1,
из (2) следует
л d Л, =--
1 20
Q = л, •q, Mq = Л2 • q ,
2 - ленточные матрицы
"7 3 0 0
3 14 3 0 0
03 14 3 0 0
0 .. 0 3 14 3 0
0 .. 0 3 14 3
0 .. 0 3 7
A =
60
3 -2 0
2 0
-2 0
0 ..
20
0. . 0 2 0 2 0
0. . .. 0 2 0 2
0. . .. .. 0 -2 -3
(14)
(15)
или
- P + K„ • K-1 • M
KAB • Zt =-P + Ki2 • K-1 • M
в котором
кав = К 11 + А1 ' А 1 - К12К212А2А 1. Из (16) находим прогибы балки (осадки основания):
11 = КА-в - (Р-К12 - К-1 - М) . (17) Контактное давление находим с помощью формулы (14):
Ч = В1г1, (18)
По (10), (15) находим углы поворота балки:
1 2 = -К-1 -А - Ч + К21 - ¿1 + М ]. (19) Таким образом, найдены необходимые величины для дальнейшего расчета: отпор
Ч(х) = ч(х) = Ч , прогибы х(х) = г1 и углы поворота сечений балки (р(х) = г2 .
Определение внутренних усилий Изгибающие моменты и перерезывающие силы в поперечных сечениях балки находим по правилам, известным из сопротивления материалов после замены распределенного отпора узловыми сосредоточенными силами (см. рис. 6).
Компоненты этих матриц получены по формуле
Г Ч -4
А . [лев, прав] = I ^ (х) - ^лев + "раа лл" - х) - Ох,
0 г в которой ^ (х) - кубические полиномы Эрмита. Подставим (15), (14) в (11), получим
кп - г1 = -А, - А- -г, + кКАА1 - ¿1 -
(16)
Рис. 6. Замена распределенного отпора q(x) узловыми силами Qk
Изгибающие моменты:
k
My (k) = -Mv + £(d(Q1_1 - P1_1) • (k- 1) -Mt) .
i=2
Перерезывающие силы:
QJ1) = о,
k
Qz(k) = YjQ-i-pi-i).
i=2
Примеры статического расчета балок на упругом полупространстве
На основе полученных в данной статье формул составлена программа статического расчета балок на упругом полупространстве под действием постоянной нагрузки с учетом собственного веса основания. Программа создана в программном пакете Maple 12.
В качестве примеров приведены результаты расчета двух балок. Схемы балок и нагрузки взяты из [2].
Схема № 1
Железобетонная балка длиной 9 м имеет прямоугольное сечение hb = 1,3'1 м2. Модуль деформации грунта E0 = 13 МПа, коэффициент Пуассона v0 = 0,3; модуль упругости железобетона
1
E0 = 26500 МПа. Показатель гибкости по классификации М.И. Горбунова-Посадова t = 0,21 < 0,5. Балка относится к категории жестких. Результаты расчета, взятые из [2] и полученные по программе: реактивные давления, изгибающие моменты и прогибы, показаны на рис. 7. На рис. 8 приведены перемещения границы полупространства вне области, занятой подошвой балки, из расчета в программе ^ учетом собственного веса грунта).
Схема № 2
Балка таврового сечения длиной 18,4 м нагружена как показано на рис. 9. Модуль деформации грунта E0 = 34 МПа, коэффициент Пуассона v0 = 0,35; ширина полки 1,7 м, ширина ребра 0,7 м, высота полки 0,275 м, расчетная высота балки 0,7 м; модуль упругости железобетона E0 = 26500 МПа. По классификации М.И. Горбунова-Посадова балка является длинной. Результаты расчета, взятые из [2] и полученные по программе, показаны на рис. 9.
Рис. 8. Перемещения границы полупространства вне области занятой подошвой балки
Рис. 7. Результаты расчета балки, взятые из книги Горбунова-Посадова [2] и полученные по программе
Рис. 9. Результаты расчета балки, взятые из книги и полученные по программе
Результаты расчета совпадают с результатами, полученными М.И. Горбуновым-Посадовым [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Плотникова А.Ю. Инженерные модели упругого основания [Текст] / А.Ю. Плотникова, Ю.Г. Плотников // Новые идеи нового века - 2011: материалы 11 международной конференции ИАС. / ТОГУ. - Хабаровск, 2011. - С. 112 -116.
2. Горбунов-Посадов, М.И. Расчет конструкций на упругом основании [Текст] / М.И.Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1984. -679 с.
3. Клаф, Р. Динамика сооружений [Текст]: пер. с англ. / Р. Клаф, Дж. Пензиен. - М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.
УДК 621.778.1 Еремеев Валерий Константинович,
к. т. н., доцент, Иркутский государственный университет путей сообщения, е-mail: [email protected]
Цвик Лев Беркович,
д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: [email protected]
РАСЧЁТ И ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДИСКОВЫХ ПРАВИЛЬНО-ПОЛИРОВАЛЬНЫХ МАШИН
V.^ Yeremeev, L.B. Tsvik
THE DISK SHEET STRAIGHTENING AND POLISHING MACHINES MAIN PARAMETERS CONCEPT AND CHOICE
Аннотация. Рассмотрены технологические линии волочения круглого холоднотянутого проката с типа «серебрянка». Предлагаются математическая модель процесса волочения, кинематическая модель взаимодействия изделия с инструментом, а также новый профиль инструмента, позволяющие повысить скорость обработки проката. Даны рекомендации по расчёту параметров машин, описывается опыт их применения.
Ключевые слова: полировка, полировальные диски, правильно-полировальные машины.
Abstract: Production lines drawing round cold-rolled type «jewel» are considered. A mathematical model of the process of drawing a kinematic model of the interaction products with the tool, and a new profile tool, allowing to increase the speed of processing products are offered. Recommendations for calculating parameters of machines are given, the experience of their application is described.
Keywords: disk sheet straightening, buffing, glazing wheel.
Дисковые правильно-полировальные машины эксплуатируются в составе линий непрерывного волочения и отделки прутков из стали и цветных сплавов. На металлургических заводах СНГ установлены линии фирм «Шумаг» (ФРГ), «Дани-ели» (Италия), «Миязаки» (Япония), «ИЗТМ» (Россия). Назначение машин - окончательная правка прутков диаметром 5...30 мм после двух-плоскостной роликовой правильной машины и уменьшение шероховатости поверхности прут-
ков. Первоначальными промышленными исследованиями [1] установлено, что точность правки на дисковых машинах достигается не ниже 1 мм/м, а шероховатость поверхности уменьшается не менее чем на один класс.
Принцип работы машины следующий (рис. 1): пруток 1 по желобу 2 поступает в тянущие ролики 3, которые, смыкаясь на короткий промежуток времени, задают его в полировальные диски 4. Здесь пруток почти мгновенно приобретает вращение вокруг собственной оси и продольное перемещение от воздействия дисков. За счет относительной скорости между прутком и дисками и давления со стороны дисков происходит сглаживание микронеровностей поверхности прутка (полировка). Пруток центрируется между дисками с помощью линеек 5. Проходя в дальнейшем через установленные в опорах качения правильные фильеры 6, пруток правится за счет смещения с оси обработки второй и четвертой фильер или одной третьей фильеры по ходу движения. Частота перегибов прутка в фильерах равна частоте его вращения вокруг собственной оси. Вторая пара полировальных дисков 4, имеющая синхронную скорость с первой парой, производит окончательную полировку прутка и выдает его на стеллаж или желоб 7. Во все точки взаимодействия прутка с дисками и фильерами активно подается технологическая смазка на основе минеральных масел.
На действующих машинах линейная скорость обработки составляет 0,8...1 м/с. На современных непрерывных волочильных станах ско-
