CC BY
29
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ИЗГИБЕ БАЛКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ.
Кузнецов А.А., Золотов А.Б., Акимов П.А.
В последнее время с появлением новых строительных конструкций возникла необходимость в более точных и надежным расчетах связанных с ними. Весомая часть этих расчетов приходится на конструкции лежащие или соприкасающиеся с каким-либо основанием (грунт, песок, упругое полупространство и т.д.). Чтобы правильно рассчитать такую конструкцию нужно знать по какому закону распределяется реактивный отпор основания и, что самое важное, уметь определять прогиб конструкции (аналитически или численно). Но не всегда возможно произвести расчет конструкции, пользуясь только классическим математическим аппаратом, как, например, в случае балки лежащей на упругом полупространстве. В данной работе мы будем рассчитывать такую балку, т.е. искать ее прогиб, используя аппарат обобщенных функций и их регуляризацию.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ.
Формула для определения вертикального перемещения поверхности основания для упругого полупространства имеет вид:
7 (х) = | г (£)К (х ЧК
поверхности
основания,
где 7 - в данном случае вертикальное перемещение г = г (£) - закон распределения реактивного отпора основания,
К (х - - интегральное ядро, определяется как прогиб основания в точке х от действия единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке £ (рис.1).
Для основания в виде упругого полупространства имеем: 1-ц2 1
К (х-£) = ■
лЕ |х
где
1
- сингулярная функция, понимается в смыс-
ле обобщенной функции, т.е. имеется ввиду ее регуляризация, Е - модуль упругости, ц - коэффициент Пуассона полупространства.
^ 1
Для простоты положим: С = ——, тогда
кЕ
7=с !г й5
Рис. 1
При наличии балки лежащей на линейно упругом основании при свободных концах имеем (рис.2):
,, а2 а2 г(х)=ц0 (х)-— ^йх^7, где
3 - момент инерции балки, д0 (х)- распределенная нагрузка, действующая на балку (как правило, она задается), г(х)- реактивный отпор основания, б(х)- характеристическая функция области, в данном случае
11, если х < I
е = е(х ) = ■! , где
10, если х > I
I - полудлина балки.
125
х
Рис. 2
Так же надо учитывать тот факт, что производная от 9(х) понимается как обобщенная функция. Тогда общее уравнение прогиба балки и осадки основания имеет вид:
й %
У = С |
й 2 й 2
д0 ЦУ-^т6Е/—-г-У ; йI2 йI2
, хе
или У = С^-г *
х
' ч й2 й2 * <хвЕ,йг У
где (*) - знак свертки функций, т.е. если у нас есть две функции / и 8 ,то
I * 8 =) I (^8 (х -$й I
С СС^^,./ й 2 й ^
Раскроем скобки: У = д0 (х)—л-*—2®—ТУ х х йх йх
Для удобства положим: С1 = СЕ/ , а д0 (х) = Р8 (х -а), где Р - единичная сила, 8 (х - а) - сдвиг дельта-функции Дирака, т.е. считаем, что сила приложена не в центре балки, а сдвинута от него вправо на а ,
8(х) = ИшПh, где Пh =
1 I I ь —, \х\ <— , й 1 1 2
0, |х| >Ь .
2
Свертка с 8(х - а) является операцией сдвига, т.е.
I (х)*8(х- а) = I (х - а), значит У = — С*9У .
|х - а |х| йх2 йх2
йп йп йп Если у нас есть функции I и 8 , то — I * 8 = I * ~8 =— (I * 8),
йх йх йх
тогда имеем У =
РС „ й2 (
I 1 йх2
А *0у "
х
Рассмотрим (97)": (97)" = (9'7 +97')'= (8Г7 +97')'= 8Г7 +8Г7'+97". где 9' = ^^ = 8Г - дельта-функция границы, 8Г = 8 ^х +1 ^ - 8 ^х -1 ^ . В конце получаем: 97" = (97") - 8ГУ - 8ГУ', следовательно
й 2 (
У + С-
йх2
у^*[(97)"-8г7-8г7']
СР |х|
Теперь детально рассмотрим одну из важных функций входящих в последнее уравнение, а именно I (х) = I1. Эта функция является сингулярной, т.к. в точке х = 0 (сингулярная точка) неинтегрируемая
в обычном смысле и в смысле Коши. Чтобы выяснить поведение сингулярных функций в малых окрестностях особенных точек (х = 0), их нужно рассматривать как обобщенные функции, т.е. их регуляри-
зацию. Регуляризация - это совокупность таких последовательных действий, проделанных с обобщенной функцией, которая дает полное представление о том, как ведет себя исследуемая функция в особенных (сингулярных) точках, т.е. дает возможность приближенного поточечного построения графика обобщенной функции в сингулярных точках и их окрестностях. В основе регуляризации лежат два основных принципа: 1) любая сингулярная функция является п - производной от обычной (не имеющей
особенностей ) функции, т.е. если ¥ (х)- сингулярная функция и ¥ (х) = О^ (х), то при х = а (а - особенная точка) ¥ (а ) = а О (а )= Ь , где Ь - число; 2) любая обобщенная сингулярная
функция является пределом последовательности обычных функций.
Чтобы регуляризовать сингулярную обобщенную функцию, нужно брать от нее формально неопределенный интеграл столько раз пока не получим функцию, у которой нет особенностей в сингулярных точках, т.е. представить регуляризируемую функцию в виде п - производной от обычной функции:
¥ (х ) = О{п)(х)
Наша задача представить функцию / (х) = ^ в виде 2 - ой производной от обычной функции, т.е.
т1 = х|(¡и|х| -1)^ ', пусть ¥(х)= |х|^1п(|х| -подставим ее в последнее уравнение и получим: \х\
У + С14(¥(2) * [(97)8ГУ - 8ГУ']) = РС¥(2) (х),
йх
раскрываем скобки:
у + с, {¥ <2>*9у) +
1 йх^ ' 1 йх2
¥ <3> (х + ЛУ С -2 ] - ¥<3> Гх-Г )у Ю]
_ 1 2) 1 2 1 2, 12 )_
с—
йх2
7(2)
* + -)У'(-2)-¥'"(х-2)У 2
= РС¥ (2)(х)
преобразуем и получаем в конце выражение:
У + с1 (¥ (6)*9У) + с1 ¥ (5)
I
I
х+1 ]УI" 11 - Лх" -1У12
I
-с,
♦ 2 ) у( - 2 ) - ¥«( х - 2) У 2
= РС¥ (2)(х).
(1)
С помощью этого выражения находят прогибы балки, решая данную задачу методом конечных разностей.
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА.
Пусть задана некоторая конструкция, элемент (балка) длиной 21, лежащая на упругом основании, в заданном количестве точек (2N +1), в которых требуется определить значение прогибов У , I = -N,...,N (рис.3).
Вводим в рассмотрение две дополнительные законтурные точки х_ N _1 и xN+1 . Общее количество точек, таким образом Т = 2N + 3 . Определяем шаг табуляции интервала [-1 , I] по формуле:
А =1-N
Координаты точек табуляции принимаем х{ = I • А , I = - N -1,..., N +1.
У У X . X "* 1 ,\1 л ЛЧ
/1 и—* 1** / н У)
1
Рис. 3.
Приведем выражение (1) к виду удобному для решения методом конечных разностей:
-С1
(. (6)*9У) + С, .(5) х + -1У ( -1 ] - .(5) Г х -1 )у í1И
V И 1 _ 1 ' 2) 1 2 1 ' 2У 12 )_
.„и + 2) У. (- 1) _, _ 2) У. (2
= РС.(2)(х;) , где
УI -—I = У
= Ум - значение прогибов на концах балки,
У' | - 1 ] , У' | 1 ] - значение производных от прогибов на концах балки, они соответственно равны:
У'I _1 | — У-N+1 У-N 2 ] " к
У 'I 1 | — УN-1 УN . 2к
Выражения типа [. (х) * ф(х )] входящие в (1),могут быть приближенно вычислены по формуле:
[. (х)*ф(х)]. = . [х1 - х] )ф(х^) , I = - N -1, ..., N +1]
Один из наиболее эффективных подходов к регуляризации обобщенных функций заключается в замене их производных конечными разностями, т.е.
.(6) [х{) = -1 [. (х{ + 3к) -6. (х{ + 2к) +15. (х{ + к) - 20. (х{) +15.(х{ - к) -
. (5)|х +
-6. (х! - 2к) + . (х! - 3к) ]
I 1 1
к
.| х + 3к I-5.1 х + 5к 1 +10.1 х + 7к!-10.1 х + 9к | +
+5.| х + ук I-.I х +к
.(5)1 х -
1
к
. | х - у к^ - 5. ^ х - у к^ +10 . ^ х - 9 к^ -10. ^ х - 7 к^ +
+5. ^ х - 5 к^ - . ^х - 3 к .(4) I х +11 = ^[. (х + 6к) - 4. (х + 5к) + 6 . + 4к) - 4.(х; + 3к) + . + 2к) ],
.(4) I х -
А [ . (Х; - 2к) - 4. (Х; - 3к ) + 6 . (Х; - 4к) - 4. ^ - 5к ) + . ^ - 6к) ],
.(2) [х.) = 1-[. (х. + к) - 2. (х;) + . (х{ - к)].
Также надо учесть следующее:
, I = - N или I = N
к , - N < I < N 0 , Щ > N
Используя сделанные преобразования, составляем разностные уравнения и находим значение прогибов балки в каждой точке разбиения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. Москва. «Наука». 1965 г.
2. Золотое А.Б. , Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики. Издательство АСВ. 2004 г.
3. М.И. Горбунов-Пасадов, Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкции на упругом основании. Москва. Стройиздат.1984 г.
Публикуемая статья создана с использованием результатов выполнения работ на средства Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-1785.2006.8.
к
2
