Научная статья на тему 'Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании'

Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
115
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
БАЛКА / УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО / СПЛОШНОЙ КОНТАКТ / ДИСКРЕТНЫЙ КОНТАКТ / УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО МЕТОДА / МАТРИЦА ВЛИЯНИЯ / ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Казей Игорь Сергеевич

В статье рассмотрена модель балки на упругом полупространстве, в которой сплошной контакт основания с балкой заменен дискретным контактом. Элементарные перемещения точек поверхности упругого основания находятся при помощи найденной матрицы влияния

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании»

Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании Казей И. С.

Казей Игорь Сергеевич /Kazei Igor Sergeevich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, факультет фундаментальных наук,

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва

Аннотация: в статье рассмотрена модель балки на упругом полупространстве, в которой сплошной контакт основания с балкой заменен дискретным контактом. Элементарные перемещения точек поверхности упругого основания находятся при помощи найденной матрицы влияния.

Ключевые слова: балка, упругое полупространство, сплошной контакт, дискретный контакт, уравнения смешанного метода, матрица влияния, элементарные перемещения.

Для балок, имеющих сравнительно малую ширину подошвы Ь0 = 2Ь по сравнению с их длиной,

рассмотрим важную для практических приложений модель основания в виде упругого полупространства.

По методу Б. Н. Жемочкина, описанному в его работе [3, с. 18], приближенный расчет балки проводят, заменяя в расчетной схеме непрерывную связь между балкой и основанием на «сосредоточенные» абсолютно жесткие стержни. Прогиб балки и осадка основания в местах установки стержней будут одинаковыми.

Предварительно длина балки L делится на m «отсеков» длины С = 2a = L / m . Жесткие связи ставим в центре «отсека». Нарушая эти связи и заменяя их реакциями, переходим к эквивалентной системе. Реакции в стержнях принимают равновеликими равнодействующей нагрузки, равномерно распределенной по площади «отсека» подошвы, соответствующей каждому стержню.

Перейти от эквивалентной системы к основной при помощи отбрасывания нагрузки с включенными в

нее неизвестными реакциями X1, X2 , ..., Xm не удается, поскольку получаемая система геометрически

изменяема. Воспользуемся смешанным методом строительной механики, описанным, например, в [2, с. 302], и введем в рассмотрение дополнительные связи.

В качестве таких связей удобно использовать линейный вертикальный стержень и заделку, установленные на левом торце балки. Таким образом, в качестве неизвестных принимаются усилия Хх,

X2 ,..., Xm в устраненных связях, вертикальное смещение Zm+l и поворот Zm+2 наложенных связей.

Канонические уравнения, содержащие два типа неизвестных, будут двух видов. Часть уравнений, как в методе сил, выражает мысль об отсутствии перемещений по направлению отброшенных связей. Другая часть, как в методе перемещений, говорит о равенстве нулю реакций во введенных в основную систему связях.

Введем традиционные для строительной механики обозначения: 8. - элементарные перемещения, Д. -

у

грузовые перемещения, Г - коэффициенты реакции, R - грузовые реакции. В нашем случае система

канонических уравнений смешанного метода имеет вид:

8,,X, + 8,,Х, + • •• + 8 X +8!

Ill 122 1mm 1.

,m+1Zm+1 + S1,m+2Zm+2 + Д ip

s„x* +SX, + •••+8 x + 8 ,z ,+s; jz 9 + д9

21 1 22 2 2m m 2,m+1 m+1 2,m+2 m+2 2 p

= o, = o,

8 X +8 X + •••+8 X +8' Z ,+S7 7Z ,

m1 1 m2 2 mm m m,m+1 m+1 m,m+2 m+2

г . .X, + г . nXn + ••• + г . X + г . .Z . + г . 9Z 9 + R ,

m+1,1 1 m+1,2 2 m+1,m m m+1,m+1 m+1 m+1,m+2 m+2 m+1,p

г r., X\ + г г. г. X n + ••• + Гг. X + г r. ,Z , + г r. r.Z 9 + R 9

m+2,1 1 m+2,2 2 m+2,m m m+2,m+1 m+1 m+2,m+2 m+2 m+2,p

= o, = o, = 0 •

(1)

Физический смысл величин, входящих в систему (1), общеизвестен и обсуждаться в данной статье не будет. Важно, что коэффициенты 8Г при неизвестных усилиях X , X2 , ..., Xm представляют собой

<

перемещения вдоль удаленных связей с номерами к = 1,•••,m элементарные перемещения состоят из двух частей и имеют вид:

8 = vkl + Уш. (2)

от единичных сил X = 1. Эти

Прогиб Vfa. в основной системе - есть прогиб левозащемленной балки в к -ой ее точке от силы X = 1. Он вычисляется по известным формулам строительной механики, приведенным в работе [1, с. 352]:

v,.

6EJ

w.., s

kl ’ i

2l -1 2

3

C

2k -1 2

W = st(3si

sk)+

0, k < i;

(sk -si)3, k >l-

Осадку основания определяют по формуле:

1 ~^° F

лЕпе

где Е и - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала основания; FM - осадка

поверхности основания в точке с номером k, от единичной силы

X = 1,

действующей в точке с номером

l вдоль X.

Значения элементов матрицы влияния

F = (FU )

V ki /п

вычисляются на основе решения соответствующей

задачи теории упругости. В практических руководствах делаются отсылки к таблицам, составленным для некоторых различных С = b / a.

В соответствии с классической работой А. И. Лурье [4, с. 102], формулу для определения элементов матрицы влияния F при любых С > 0 удается записать в форме:

Fk = t1ln

a +1

+ ^ln

a2 + 1 *2

+ln ({ax + tl){a2 + *2)),

(3)

где

^ _ 1 - 2|i - k| ^ _ 1 + 2|i -

*1 = , *2 =

С С

Вывод формулы (3) здесь не приводится. С помощью известной матрицы влияния F возможно нахождение перемещений X по соотношению (2).

kl

a1 = 4 *1+1 > a2 -4 *2+1.

Литература

1. Байков В. Н., Сигалов Э. Е. Железобетонные конструкции: Общий курс. М.: Стройиздат, 1991. 767 с.

2. Дарков А. В., ШапошниковН. Н. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986. 607 с.

3. Жемочкин Б. Н., Синицын А. П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1962. 240 с.

Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 492 с

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.