Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 20-23.

УДК 519.4

А.И. Ковыршина

Восточно-Сибирская государственная академия образования

СТАБИЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В СВОБОДНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ РАНГА ТРИ

Исследуются элементы свободной нильпотентной группы ранга три ступени нильпотентности 12 неподвижные относительно всех автоморфизмов группы. Дается их полное описание.

Ключевые слова: свободная нильпотентная группа, автоморфизм, стабильные элементы.

Элементы группы, неподвижные при всех её автоморфизмах, называются стабильными элементами. Стабильные элементы свободных нильпотентных групп тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Условия существования инвариантов Ли были найдены в работах Вефера (1949 г.) [9] и Барроу (1958 г.) [4, 5] (см. также [7]). Это давало основание считать, что в свободных нильпотентных группах также могут существовать нетривиальные стабильные элементы при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы.

Отметим, что вопрос о существовании таких элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS (http://www. grouptheory.org/group-theory.org/projects-and-problems, вопрос № 1): Пусть G - свободная нильпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g е G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = I Р Отрицательный ответ на этот вопрос был получен В.В. Блудовым [1] в 1998 году, который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп ранга 2.

В 2001 году, независимо друг от друга, А. Папистас [8] и Е. Фор-манек [6], основываясь на работах [4, 5, 9], классифицировали все пары (г, п), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга г и ступени п. Так, для г = 3 наименьшая ступень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы, равна 12. При этом конкретный вид стабильных элементов в работах [6, 8] не был указан. Вопрос нахождения стабильных элементов относительно всех автоморфизмов нильпотентной группы ступени 12 рассмотрен автором. Первые примеры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга 3 появились в 2004 году [2].

Для нахождения стабильных элементов используется представление элементов в виде суммы линейных комбинаций базисных коммутаторов определенного вида. Наш метод заключается в разбиении

©А.И. Ковыршина, 2010

множества всех базисных коммутаторов на подмножества коммутаторов определенного вида и установлении связей между этими подмножествами.

В представленной работе приведены классификационные теоремы, описывающие строение стабильных элементов. На основании этих результатов получено полное описание всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах ранга 3, ступени 12 (в терминах базисных коммутаторов). Найдены все базисные коммутаторы и их коэффициенты, с которыми они входят в представление стабильных элементов. Общее количество этих коммутаторов - 2011.

1. /'з - обозначает свободную группу ранга 3, /'з 12 - свободную нильпотентную группу ранга 3 ступени нильпотентности 12, Aut(F^) — группу всех автоморфизмов^, /А (/'з) - группу всех IA-автоморфизмов, т. е. автоморфизмов, которые действуют тождественно на факторгруппе /'з /| /'з. /'з |, Л'/^з (Z) — специальную

линейную группу степени 3 над Z.

Элементы, неподвижные относительно внутренних автоморфизмов, образуют центр группы, поэтому все рассматриваемые нами элементы лежат в центре. В связи с этим для умножения элементов используем знак +. В нашей статье рассматривается группа /'з 12 со свободными

образующими £7|, Ü2, а3. Так как

Aut(F3)/IA(F3) = Aut(F3 /[F3,F3]) = SL(Z) , то можно ввести обозначения для следующих автоморфизмов группы *3, 12 , соответствующих порождающим элементам группы SL^(Z), которая действует на ,3

Z с базисом aj, ct2 , 03:

(Pij '■ а,-

• а,- + а

J

ak^ak>

при j,k ^7, 7 = 1, 2, 3;

(1)

Гу : а, < > а j

“к “к-

при к Ф /', j, /', j = 1, 2, 3; (Xj \ cij ? d^ ^ d^,

при к Ф i, i = 1, 2, 3.

Множество автоморфизмов </>| 3. <р2 \. с/>,2 и «г , 7 = 1,2,3 является системой порождающих группы Л'/^з (Z).

Все базисные коммутаторы веса 12 порождают модуль над Z. Множество всех таких коммутаторов разобьем на классы коммутаторов одного и того же вида. Введем обозначения для расположения скобок в базисных коммутаторах (видах коммутаторов). Считаем по определению, что все левонормированные базисные коммутаторы |Х| .....хт | веса т,

где Х|.. ...хП1 е {а\. а2. «3}. имеют вид (т). Пусть и-, — коммутатор вида (к,), / =

Тогда считаем, что коммутатор \щ \ имеет вид {к\,...,к5).Через М\ обозначим множество базисных коммутаторов вида (12), М2 - множество базисных коммутаторов видов (¿| .¿2) > где

к\ +^2 = 12 е к\ > ^2 > 1- Далее, рассмотрим следующие виды коммутаторов:

¿! = (8,2,2); ¿2 = (5,2,5); ¿3 = (7,2,3)

¿4 = (6,2,4); ¿5 = (6,3,3); ¿6 = (3,3,6)

¿7 = (4,2,6); = (4,4,4); ¿9 = (2,2,2,6)

^10 = (6,2,2,2);

¿12 =(2,2,2,2,2,2);

¿14=((6,2),(2,2));

¿16=((6,1),(3,2));

¿18 = ((5,3),(2,2));

¿20 = ((5,2),(3,2));

¿22 = ((3,2,2),(3,2));

¿24 = ((3,2,3),(2,2));

¿26 = (4,3,5);

¿28 = (3,2,2,5);

¿30 = (3,2,2,2,3);

¿32 = (5,3,4);

¿34 = ((3,3),(2,2,2));

¿36 = ((4,4),(2,2));

¿38 =(2,2,4,4);

¿40 = ((4,2,2),(2,2));

¿42 = ((2,2,2,2),(2,2)); ¿43 = ((2,2),(2,2),(2,2));

¿„ = (4,2,2,2,2) ¿13 = (3,3,3,3) ¿15 = ((4,2),(4,2)) ¿17=((7,1),(2,2)) ¿19 = ((4,3),(3,2)) ¿21 =((3,3),(4,2)) ¿23 = ((2,2,3),(3,2)) ¿25 =(4,2,3,3) ¿27 =(2,2,3,5) ¿29 = (5,2,2,3) ¿31 =(2,2,2,3,3) ¿33 =(3,2,3,4) ¿35 =((3,3),(3,3)) ¿37 = (4,2,2,4) ¿39 = (2,2,2,2,4) ¿41 =((2,2,4),(2,2))

¿44 = ((2,2,2),(4,2));

¿45 = ((4,2),(2,2,2)); ¿46 = ((2,2,2),(2,2,2)).

22

А.И. Ковыршина

Через Аj обозначим множество базисных коммутаторов вида 8j. Таким образом, все базисные коммутаторы разбиты на 48 множеств: М\, М2 и А у , у = 1,...,46.

2. Вследствие действия автоморфизмов а,, одним из необходимых условий стабильности элемента является чётность числа вхождений каждого образующего в коммутаторы из А у .

Пусть теперь V — линейная комбинация базисных коммутаторов. Под действием автоморфизма щ элемент V переходит в сумму:

У + Щ+Иг2+Иг3+^4, где Щ- (к = — линейная комбинация

коммутаторов, полученных из коммутаторов, входящих в V, заменой к вхождений образующего аг на а ^.

Если линейная комбинация Щне равна нулю, то элемент V является нестабильным. Если Щ = 0 , то V становится кандидатом на стабильный элемент. Проверка выполнения условий

W2 =Wз =W4 =0 дает заключение о неподвижности элемента относительно автоморфизма (Ру .

Заменив в базисном коммутаторе и одно вхождение какого-либо образующего на другой, мы получим сумму базисных коммутаторов различных видов, определяемых коммутатором и. Рассмотрев все возможные варианты базисных коммутаторов из Аj, (у = 1,...,46), получаем, что

элементы из А j в результате одной замены какого-либо образующего на другой переходят в сумму коммутаторов из Аг-, где I зависит от у. Так, например, элементы из А | переходят в сумму коммутаторов из А,-, где / = 1,9,10,14,15,20,28,29,37, что записываем в виде Д1 —> Д1 + Д9 +

+Д10 ^14 ^15 ^20 ^28 ^29 ^37'

Далее устанавливаем такие же связи для остальных А у, у =2,...,46 (см. [3]).

Так, Ад-—»Ад-, при £ = 23,24,34,35,43,46, поэтому такие Ад- являются инвариантными относительно автоморфизмов (1).

Некоторые из них не содержат стабильных элементов, но их можно расширить до инвариантного подмодуля, в котором существуют стабильные элементы.

Лемма 1. Среди нетривиальных линейных комбинаций элементов из М\ и М2 стабильных элементов нет.

Данная лемма используется при доказательстве теоремы 1.

Теорема 1. Среди нетривиальных линейных комбинаций коммутаторов из Ад-при 1 < к < 17 стабильных элементов нет.

3. Используя связи между коммутаторами и теорему 1, определим четыре инвариантных подмодуля, порождаемых базисными коммутаторами. Так как

Л36 -^Л36 +Л4Ь Д37 Д37 + Д36 + Д38 + Д39 + Д40 + Д4Ь

Л38 Л38 +Л36 +Л4Ь

Д39 Д39 + Д41 +Д42; Д41 ^ Д41+Д43;

Л40 -> А40 + Д41 + Д42 + Д43;

А42 -> А42 + А43; А43 —» А43, то элементы множеств A i, 36 < 7 < 43 порождают инвариантный подмодуль, который обозначим через 11\. Далее, полагаем, что U2 порождается множеством Азд , а Uз порождается множествами Аг,

7 = 44,45,46. Остальные Аг-, (/' = 18,...,34) порождают t/4.

Доказательство того, что в каждом подмодуле f/y, у = 1,...,4 существуют нетривиальные стабильные элементы, проводится в следующей серии утверждений. Утверждение 1. Существуют целые

числа тид-, такие что элемент g = I muk,

к

Ufc е f/j является нетривиальным стабильным элементом группы /'з 12 •

Утверждение 2 [2]. Существуют целые числа тид-, такие что элемент

g = ’^Jmkuk, ик 2 является нетриви-

к

альным стабильным элементом группы

^3,12 .

Утверждение 3. Существуют целые числа тид-, такие что элемент g = I muk,

к

Ufc eUз является нетривиальным стабильным элементом группы *3, 12 .

Утверждение 4. Существуют целые числа nifc, такие что элемент g = Z mkuk,

к

Ufc е f/4 является нетривиальным стабильным элементом группы *3, 12 .

При доказательстве утверждения 1 получено, что коэффициенты базисных коммутаторов, при которых линейная комбинация этих коммутаторов является нетривиальным стабильным элементом, зависят от четырех свободных переменных. Таким образом, в подмодуле 11\ имеется 4 линейно независимых стабильных элемента, обозначим их через gi,...,g4 ■ При доказательстве утверждения 2 можно увидеть, что стабильный элемент представляется линейной комбинацией базисных коммутаторов, коэффициенты которых зависят от одной свободной переменной. Полагая эту переменную равной единице, получим gg. Из доказательства утверждения 3 следует, что коэффициенты базисных коммутаторов, входящих в представление нетривиального стабильного элемента, также зависят от одной свободной переменной. Полагая эту переменную равной единице, построим £5. При доказательстве утверждения 4 получено, что коэффициенты базисных коммутаторов, определяющих стабильный элемент, зависят от 27 свободных переменных. Таким образом, в подмодуле U4 имеется 27 линейно независимых стабильных элементов, обозначим их через £7,...,£33. Теперь из утверждений 1-4 следует основной результат работы.

Теорема 2. Существует подгруппа /7 </<312 ранга 33, любой элемент которой является стабильным элементом группы /'з 12 •

4. Замечание [3]. В представлении элемента gi используется 171 базисный коммутатор, g2 — 37 базисных коммута-

торов, g3-38, g4-39, g5-32, g6 - 22, £7 - 429, £8 -239, g9 - 323, g10 - 159,

gll-184, gi2-40, £13-246, £14 —113,

&15“84, £16“87> £l7“193, £18“180>

£19-165, £20-137, £21-48, £22-60,

£23 - 397, £24- 139, £25-168, £26-171, £27- 126, £28-29, £29 _44, £30 “42,

£31-89, £32 -96, £33- 24 базисных коммутатора.

Автор благодарен своему научному руководителю профессору В.В. Блудову за внимание к работе и помощь при её оформлении.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Блудов В. В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике : тез. докл. Часть 5. Новосибирск, 1998.

[2] Ковыршина А. И. Неподвижные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три // Вестник НГУ. Серия : Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8. Вып. 2. С. 85-91.

[3] Ковыршина А. И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три // Сибирские электронные математические известия (в печати).

[4] Burrow M. D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. 1958. V. 11. № 4. C. 19—431.

[5] Burrow M. D. The enumeration of Lie invariants // Communications on pure and applied mathematics. 1967. V. 20. C. 401-411.

[6] Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002. V. 30. C. 1033-1038.

[7] Магнус В. Комбинаторная теория групп. М.: Наука. 1974. 455 с.

[8] Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups // Communications in algebra. 2001. V. 29. C. 4693-4699.

[9] Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen // Mathematische Annalen. 1949. V. 120. C. 563580.