CC BY
7
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
УДК 512.54
doi: 10.18101/2304-5728-2016-1-3-8
© А. И. Ковыршина
К вопросу о стабильных элементах свободной нильпотентной
группы F3,12
Известно, что в свободной нильпотентной группе ранга 3 ступени 12 существуют нетривиальные стабильные элементы. При этом отличительной особенностью всех таких элементов является однородность вхождения образующих в эти элементы. В настоящей работе рассматривается характеристическая подгруппа данной группы, состоящая из элементов специального вида. Изучен вопрос о существовании в этой подгруппе стабильного элемента с неоднородным вхождением образующих.
Ключевые слова: нильпотентные группы, автоморфизмы групп, неподвижные точки.
© A. I. Kovyrshina To the problem of stable elements in free nilpotent group F3,12
It is known that there are nontrivial stable elements in free nilpotent group of rank 3 and stage 12. Herewith, the distinctive feature of all these elements is homogeneity entrance of generatrices in these elements. In the article we considered the characteristic subgroup of this group, which include elements of a special kind. We also studied the problem of existence stable elements with inhomogeneous generatrices entrance in the above mentioned subgroup.
Keywords: nilpotent groups, automorphisms of groups, fixed points.
Введение
Элемент g группы G называется стабильным, если для любого автоморфизма ф е Aut(G) выполняется условие (p(g) = g.
Вопрос о существовании нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах взаимосвязан с вопросом о существовании инвариантов Ли свободных колец Ли. Изучением последнего вопроса занимались Ф. Вефер (1949 г.) и М. Барроу (1958 г.), были найдены условия, при которых инварианты Ли существуют [6, 7, 11]. В работе [11] представлен явный вид одного из таких элементов.
В электронном проекте MAGNUS
(http://www.sci.ccny.cuny.edu/~shpil/gworld/problems/probnil.html) А. Мясников поставил вопрос: Пусть G - свободная нильпотентная группа конечного ранга r. Пусть элемент g е G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?
Примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп впервые привел В.В. Блудов [1]. В 2001 году А. Папистас [10] и Е. Форманек [8], на основании работ Ф. Вефера и М. Барроу доказали существование стабильных элементов в свободных нильпотентных группах, ступень и ранг которых удовлетворяют определенному условию. В 2010 году автором [2] был разработан метод нахождения нетривиальных стабильных элементов группы Fr с -
свободной нильпотентной группы ранга г и ступени с. Результатом применения данного метода является полное описание стабильных элементов в группах F2 8 [3] и F212 [4].
Отметим, что в группе F212 данный метод был обобщен на случай базисных коммутаторов с неоднородным вхождением образующих. Настоящая работа посвящена группе F312. Изучается подгруппа, порожденная базисными коммутаторами одного определенного вида. Рассматриваются как базисные коммутаторы с однородным вхождением образующих, так и с неоднородным. Доказано, что в разложении любого нетривиального стабильного элемента, принадлежащего этой подгруппе, не участвует ни один базисный коммутатор с неоднородным вхождением образующих.
1. Вспомогательные сведения
В соответствии с методом нахождения стабильных элементов, непосредственно сам элемент должен быть разложен по базисным. В работе мы будем использовать базис Холла, определение которого представлено в [9]. Для более наглядного восприятия формул для умножения элементов используем знак + и квадратные скобки заменяем на круглые.
Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы F312 со свободными образующими а , Ь и с :
р12 : а ^ а + Ъ, Ь ^ Ь, с ^ с; р23 : а ^ а, Ь ^ Ь + с, с ^ с;
ср31 : а ^ а, Ъ ^ Ъ, с ^ с + а; а1 : а о-а , Ъ ^ Ъ; с ^ с;
а2: Ъ о-Ъ , а ^ а, с ^ с; а3 : с о-с, а ^ а, с ^ с;
В соответствии с необходимым и достаточным условием неподвижности элемента g, равному линейной комбинации базисных коммутаторов, число вхождений каждого из образующих а, Ъ, с в эти коммутаторы должно быть четным. Для доказательства стабильности элемента g, мы будем проверять выполнение равенств р12 (g) = (р23 (g) = р31 (g) = g .
2. Основной результат
В группе F312 обозначим через G - подгруппу, порождающие элементы которой имеют вид (((* * *)(* * *))((* * *)(* * *))). Известно, что G содержит нетривиальный стабильный элемент, равный линейной комбинации ее базисных коммутаторов с однородным вхождением образующих
[5]. Вопрос о существовании в этой подгруппе стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих закрывает следующая теорема.
Теорема: Пусть G - подгруппа группы F312, порождающие элементы которой имеют вид (((* * *)(* * *))((* * *)(* * *))). Всякая линейная комбинация базисных коммутаторов из G с неоднородным вхождением образующих является нестабильным элементом.
Доказательство: Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию базисных коммутаторов вида (((***)(***))((***)(***))) с неоднородным числом вхождений образующих. Возможны следующие случаи.
Случай 1. Пусть образующий а входит 4 раза, Ь -2 раза, с - 6 раз в базисные коммутаторы. Все базисные коммутаторы обозначим следующим образом:
и1 = (((Ьса)(асс))((аса)(Ьсс))), и2 = (((асЬ)(асс))((аса)(Ьсс))), и3 = (((аса)(асс))((асЬ)(Ьсс))), и4 = (((аЬа)(асс))((асс)(Ьсс))), и5 = (((аса)(асЬ))((асс)(Ьсс))), и6 = (((аса)(Ьса))((асс)(Ьсс))), и7 = (((аса)(асс))((Ьса)(Ьсс))), и8 = (((аса)(асс))((ЬсЬ)(асс))), и9 = (((Ьса)(асс))((асЬ)(асс))).
Составим нетривиальную линейную комбинацию коммутаторов ui, 1 < i < 9, с целыми коэффициентами mi. Подействуем на эле-
9
мент g1 т1и1 автоморфизмом (р12 и запишем линейную комбинацию
г=1
базисных коммутаторов, полученных из ui, 1 < i < 9 , заменой одного вхождения образующего а на Ь :
(т1 + т2 -т8)(((ЬсЬ)(асс))((аса)(Ьсс))) + (-т1 + т7)х х (((аса)(Ьсс))((Ьса)(Ьсс))) + (т1 + т7)(((Ьса)(асс))((Ьса)(Ьсс))) +
+ (-т2 + т3)(((аса)(Ьсс))((асЬ)(Ьсс))) + (т2 + т7 - т9) х х (((асЬ)(асс))((Ьса)(Ьсс))) + (т2 + т3)(((асЬ)(асс))((асЬ)(Ьсс))) + + т4(((аЬЬ)(асс))((асс)(Ьсс))) + (т5 -т6)(((Ьса)(асЬ))((асс)(Ьсс))) + + (т5 + т6)(((аса)(ЬсЬ))((асс)(Ьсс))) + (т1 + т3 + т9) х х (((Ьса)(асс))((асЬ)(Ьсс))) + (т3 + т7 + т8) х х (((аса)(асс))((ЬсЬ)(Ьсс))) + (т8 + т9)(((Ьса)(асс))((ЬсЬ)(асс))) + - т9 (((асЬ)(асс))((ЬсЬ)(асс))). Подействуем на элемент g1 автоморфизмом р23, тогда автоморфный образ р23( g1) содержит единственный элемент (т3 + т4 + т5 - т8 )(((аса)(асс))((асс)(Ьсс))) .
Для стабильности элемента g1 относительно р2 и р23 коэффициенты полученных комбинаций должны быть равны нулю, а значит mi, 1 < i < 9 , удовлетворяют системе уравнений:
т1 + т2 - т8 = 0, - т1 + т7 = 0, т1 + т7 = 0, - т2 + т3 = 0, т2 + т7 - т9 = 0,
т2 + т3 = 0, т4 = 0, т5 - т6 = 0, т5 + т6 = 0,
т1 + т3 + т9 = 0, т3 + т7 + т8 = 0, т8 + т9 = 0, т9 = 0.
Система имеет единственное нулевое решение. Поэтому действие автоморфизма (р31 на элемент g1 проверять не надо.
Случай 2. В подгруппе G так же содержатся элементы, в которые образующий а входит 2 раза, Ь - 4 раза, с - 6 раз. Данный случай закрывается предыдущим, так как все базисные коммутаторы с таким распределением числа образующих могут быть получены из базисных коммутаторов, в которые образующий а входит 4 раза, Ь -2 раза, с - 6 раз, путем
Га -о- Ь
применения к ним автоморфизма х : \ . Таким образом, и среди не-
[ с ^ с
тривиальных линейных комбинаций коммутаторов с таким распределением числа образующих нет стабильных.
Случай 3. Пусть образующий а входит 4 раза, Ь - 6 раз, с - 2 раза в базисные элементы. Все базисные коммутаторы обозначим следующим образом:
v1 = (((Ьса)(аЬЬ))((аЬа)(ЬсЬ))), v2 = (((аЬЬ)(асЬ))((аЬа)(ЬсЬ))), V = (((аЬа)(аЬЬ))((аЬЬ)(Ьсс))), ^ = (((аса)(аЬЬ))((аЬЬ)(ЬсЬ))), v5 = (((аЬа)(асЬ))((аЬЬ)(ЬсЬ))), v6 = (((аЬа)(аЬЬ))((асЬ)(ЬсЬ))), v7 = (((аЬа)(Ьса))((аЬЬ)(ЬсЬ))), V, = (((аЬа)(аЬЬ))((Ьса)(ЬсЬ))). Составим нетривиальную линейную комбинацию коммутаторов vi,
1 < i < 8, с целыми коэффициентами п. Подействуем на элемент
8
g2 пV автоморфизмом р23. Опустив промежуточные коммутаторные
i=1
вычисления, коэффициенты линейной комбинации базисных коммутаторов, полученных из vi, 1 < i < 8 , заменой одного вхождения образующего Ь на с приравняем к нулю. Полученная система уравнений относительно п, 1 < i < 8 , имеет вид:
2п1 - п2 = 0, п3 + п4 = 0, п2 = 0, 2п3 + п6 = 0, - п3 + п7 = 0,
2п1 + п5 = 0, п5 = 0, 2п5 + 2п6 = 0, - п5 + 2п8 = 0, п6 + 2п4 = 0, - п4 + п7 = 0.
- п4 + п8 = 0, - п6 + 2п7 = 0, - п6 = 0.
Система имеет единственное нулевое решение. Действие автоморфизмов р2, р31 на элемент g2 проверять не надо.
Случай 4. Для всех коммутаторов, в которые образующий а входит 6 раз, Ь - 4 раза, с - 2 раза, проводим рассуждения подобные рассуждениям в случае 2, путем применения к коммутаторам, входящим в разложение элемента g2 автоморфизма х .
Случай 5. При помощи рассмотрений, аналогичных проведенным выше, получаем, что и среди элементов, в которые образующий a входит 6 раз, b - 2 раза, c - 4 раза, нет нетривиальных стабильных. В результате действия автоморфизма т на эти элементы получаем коммутаторы, содержащие образующий a два раза, b - 6 раз, c - 4 раза. Следовательно, среди нетривиальных линейных комбинаций коммутаторов с таким распределением числа образующих нет стабильных элементов. Теорема доказана.
Заключение
Показано применение метода нахождения стабильных элементов для поиска стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих на примере одной из подгрупп свободной нильпотентной группы ранга 3 ступени 12.
Литература
1. Блудов В. В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: тезисы докл. — Ч. 5. — Новосибирск, 1998.
2. Ковыршина А. И. Стабильные элементы в свободных нильпотент-ных группах ранга три // Вестник Омского университета. — 2010. — №4(58). — С. 20-23.
3. Ковыршина А. И. О стабильных элементах в свободных нильпо-тентных группах ранга два // Вестник Бурятского государственного университета. — Вып. 9. Математика и информатика.— 2015. — № 9. — С. 3-6.
4. Ковыршина А. И. Полное описание стабильных элементов свободной нильпотентной группы F2,i2 // Вестник БГУ. Математика, информатика. — 2015. — № 2. — С. 7-15.
5. Ковыршина А. И. Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы: Дис. ... канд. физ-мат. наук. — Омск, 2011. — 113 с.
6. Burrow M. D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. — 1958. —No. 11. — P. 419-431.
7. Burrow M. D. The enumeration of Lie invariants //Communications on pure and applied mathematics. — 1967.— No. 20.— P. 401-411.
8. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. — 2002. — No. 30. — P. 1033-1038.
9. Магнус В. Комбинаторная теория групп / В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. — М.: Наука, 1974. — 455 с.
10. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups // Communications in algebra. — 2001. — No. 29. — P. 4693-4699.
11. Wever, F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen // Mathematische An-nalen. — 1949. — No. 120. — P. 563-580.
References
1. Bludov V. V. Nepodvizhnye tochki otnositel'no vsekh avtomorfizmov v svobodnykh nil'potentnykh gruppakh [Fixed Points with Respect to All Automorphisms in Free Nilpotent Groups]. Tretii Sibirskii kongress po prikladnoi i industrial'noi matematike - Third Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Novosibirsk, 1998. Part 5.
2. Kovyrshina A. I. Stabil'nye elementy v svobodnykh nil'potentnykh gruppakh ranga tri [Stable Elements in Free Nilpotent Groups of Rank Three]. Vestnik Omskogo universiteta - Bulletin of Omsk University. 2010. No. 4 (58). Pp.20-23.
3. Kovyrshina A. I. O stabil'nykh elementakh v svobodnykh nil'potentnykh gruppakh ranga dva [About Stable Elements in Free Nilpotent Groups of Rank Two]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika i informatika - Bulletin of Buryat State University. Ser. Mathematics and Computer Science. 2015. No. 9. Pp. 3-6.
4. Kovyrshina A. I. Polnoe opisanie stabil'nykh elementov svobodnoi nil'potentnoi gruppy F2,12 [Full Description of Stable elements in Free Nilpotent Group F2,12]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika i informatika - Bulletin of Buryat State University. Ser. Mathematics and Computer Science. 2015. No. 2. Pp. 7-15.
5. Kovyrshina A. I. Stabil'nye elementy avtomorfizmov svobodnoi nil'potentnoi gruppy. Diss. ... kand. fiz.-mat. nauk [Stable Elements of Automorphisms in Free Nilpotent Group. Cand. physical and math. sci. diss.]. Omsk, 2011. 113 p.
6. Burrow M. D. Invariants of Free Lie Rings. Communications on Pure and Applied mathematics. 1958. No. 11. Pp. 419-431.
7. Burrow M. D. The Enumeration of Lie Invariants. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1967. No. 20. Pp. 401-411.
8. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups. Communications in Algebra. 2002. No. 30. Pp. 1033-1038.
9. Magnus V., Karrass, A. Solitar D. Combinatorial Group Theory. New York: InterScience, 1966.
10. Papistas A. A Note on Fixed Points of Certain Relatively Free Nilpotent Groups //Communications In Algebra. 2001. No. 29, Pp. 4693-4699.
11. Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen. Mathematische Anna-len. 1949. No. 120. Pp. 563-580.
Ковыршина Анна Ивановна, кандидат физико-математических наук, доцент Педагогического института Иркутского государственного университета, e-mail: annkow@mail.ru.
Anna I. Kovyrshina, PhD in Physics and Mathematics, A/Professor, Pedagogical Institute, Irkutsk State University.
