Полное описание стабильных элементов свободной нильпотентной группы f 2,12 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

© А. И. Ковыршина

ПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ СТАБИЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ F2>i2

Настоящая работа посвящена поиску стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих в свободной нильпотентной группе ранга 2 ступени 12. Изучены автоморфные образы коммутаторов с неоднородным вхождением образующих. Доказана теорема о том, что среди нетривиальных линейных комбинаций таких элементов нет стабильных. Рассмотрен случай построения стабильного элемента, состоящего одновременно из базисных коммутаторов, как с однородным, так и с неоднородным вхождением образующих.

Ключевые слова: нильпотентные группы, автоморфизмы групп, неподвижные точки.

©А I. Kovyrshina

FULL DESCRIPTION OF STABLE ELEMENTS OF FREE NILPOTENT GROUP F2,12

This paper deals with the search for stable elements with inhomogeneous appearance of generators in free nilpotent groups of rank two and stage 12. The automorphic images of commutators with inhomogeneous appearance of generators are studied. We proved the theorem about non exist stable elements among nontrivial linear combinations of such elements. We considered the case of construction of stable element, consisting of the basic commutators with homogeneous and inhomogeneous appearance of generators.

Keywords: nilpotent groups, automorphisms of groups, fixed points.

Введение

Элемент g группы G называется стабильным, если для любого автоморфизма ф е Aut(G) выполняется условие (f>(g) = g.

Вопросами о существовании нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах занимались В.В. Блудов, А. Папистас, Е. Форманек.

Так, в 1998 году В.В. Блудов [1] доказал, что в свободных нильпотентных группах ранга 2, ступени 4k, k>2. такие элементы существуют и тем самым ответил на вопрос, поставленный А. Мясниковым в электронном проекте MAGNUS

(http://www.sci.ccny.cuny.edu/~shpil/gworld/problems/probnil.html): Пусть G - свободная нилъпотентная группа конечного ранга г. Пусть

элемент g е С неподвижен относительно всех автоморфизмов группы С. Верно ли, что g = 1 ?

В 2001 году А. Папистас [9] и Е. Форманек [7], на основании работ Ф. Вефера [10] и М. Барроу [5,6], указали необходимые и достаточные условия существования нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах. Однако, такие элементы достаточно сложно найти. Примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп впервые привел В.В. Блудов [1]. В 2010 году автором [2] был разработан метод нахождения нетривиальных стабильных элементов группы Ргс - свободной нильпотентной группы ранга г и ступени с . Данный метод был использован при доказательстве единственности нетривиального стабильного элемента группы 1<2 8 (с точностью до его степеней) [4], а для группы 1<212 позволил найти

подгруппу ранга 9, любой элемент которой является стабильным элементом этой группы [3]. Отметим, что при построении этой подгруппы рассматривались только базисные коммутаторы с однородным вхождением образующих. С целью получить полное описание стабильных элементов в группе 1<212 в данной работе будут рассмотрены базисные коммутаторы с неоднородным вхождением образующих.

1. Вспомогательные сведения

В работе мы будем использовать базисные коммутаторы, определение которых можно найти в [8]. Для более наглядного восприятия формул для умножения элементов используем знак + и квадратные скобки заменяем на круглые.

Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы 1<212 со свободными образующими а ,Ъ :

д\2 : а —> а + Ь, Ъ —»6;

ср21\а—>а, Ь^-а + Ь;

а,:ао-а, Ь —>Ь;

а2 :Ь <г> -Ь , а —> а.

Известно, что стабильные элементы лежат в центре группы. Далее, пусть элемент g - центральный элемент группы 1<2 ]2. равный линейной

комбинации базисных коммутаторов и6, с целыми коэффициентами т6,. Справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Для того чтобы элемент g = ^ был стабильным относительно автоморфизмов а{, / = 1,2, необходимо и достаточно, чтобы число вхождений каждого из образующих в коммутаторы и8 было четным.

Утверждение 2. Для того чтобы элемент g был стабильным, необходимо и достаточно, чтобы g был неподвижен относительно автоморфизмов (ри и (р21 .

Обозначим через V - множество всех базисных коммутаторов веса 12, в которые образующий а входит ах раз, а образующий Ь входит а2 раза. Очевидно, что аг +а2 =\2 .

Утверждение 3. Пусть £ = ^ я?л?;л - линейная комбинация базисных коммутаторов их из аг, т, е 7, . Тогда автоморфные образы элемента g определяются следующим образом: «1

g'Pl2 = g+ , где wk~ линейная комбинация коммутаторов,

к=1

полученных из и6, заменой к вхождений образующего а на Ъ ;

а2

g'Pll = g+ 's^JVk , где Ук- линейная комбинация коммутаторов,

к=1

полученных из и6, заменой к вхождений образующего Ъ на а .

При этом, если и-, или V, отличны от нуля, то элемент g является

нестабильным.

Множество всех базисных коммутаторов веса 12 мы разобьем на подмножества Aj коммутаторов одного вида в зависимости от расположения коммутаторных скобок. Для этого введем обозначения для расположения скобок в базисных коммутаторах. Считаем по определению, что все левонормированные базисные коммутаторы [лгг,..., лгт ] веса т, где х1,...,хт е {о,б}, имеют вид (т). Пусть и^ коммутатор вида (к1). / = 1......V . Тогда считаем, что коммутатор

[м1,..., ит ] имеет вид (кг,..., ). Через М1 обозначим множество базисных коммутаторов вида (12), М2 — множество базисных коммутаторов видов > гДе кх+к2=\2 и кх > к2 > 1.

Справедливо утверждение:

Утверждение 4. Если в представление элемента g<^F212 входит линейная комбинация элементов из М1 или М2, то существует

автоморфизм (р, под действием которого Ф g .

Рассмотрим следующие виды коммутаторов: <5! = (8,2,2); 52 = (5,2,5); <53 = (7,2,3); <54 = (6,2,4); ¿>5 = (6,3,3); 86 = (3,3,6); 8, = (4,2,6); <58 = (4,4,4); <59 = (6,2,2,2); <510 = (4,2,2,2,2); 8п = (4,3,5); <512 = (3,2,2,5); ¿>13 = (5,2,2,3); 8и = (3,2,2,2,3); <515 = (5,3,4); <516 = (3,2,3,4);

¿>i7 = (4,2,3,3); <518 = (3,3,3,3); <519 = (4,2,2,4); <520 = ((4,2), (4,2)); ¿>2i = ((6Д), (3,2)); S22 = ((4,3), (3,2)); <523 = ((5,2), (3,2)); ¿>24 = ((3,3), (4,2)); S25 = ((3,3), (3,3)); <526 = ((3,2,2), (3,2)).

Множество базисных коммутаторов вида S-, j = 1,...,26, обозначим через А ■. Количество элементов множества А ■ обозначим через г -. Нетривиальную линейную комбинацию элементов u(j\ из А обозначим

rj

через Ujipiто есть = '^jm<¡J>u<¡J> , где -

i=1

целые числа, одновременно не равные нулю, А ■.

Рассмотрев все возможные варианты базисных коммутаторов из А ■, 7 = 1,...,26, получаем, что элементы из А- в результате одной замены

какого-либо образующего на другой переходят в сумму коммутаторов из Аг, где i зависит от /. Так, например, элементы из Aj переходят в сумму коммутаторов из Аг, i = 1,9,12,13,19,20,23, что записываем в виде Aj —» Aj + А9 + Д12 + А13 + А19 + А20 + А23. Далее устанавливаем такие же связи для остальных А ■, 7 = 1,.. .,26: А2 -> А2 + А12 + А23; А3 —» А3 + А13 + А16 + Д17 + Д22 + Д24 ; Д4 -> Д4 + Д16 + Д19; Д5 -> Д5 + Д6 + Д17 + Д18 + Д25; Д6 ^ Д6 + Д24 + Д25; Д7 ^Д7+Д20+Д24; Д8^Д8; Д9 ^ Д9 + Д10 + Д14 + Д26; Д10 ^ Д10; А„ ->Д„ +А22;

Д12 Д12 + Д26; Д13 Д13 + Д14; Д14 ^ Д14; Д15 ^ Д15 + Д16; Д16 -> Д16;

Д17 Д17 + Д24 ; Д18 -> Д18 + Д25; Д19 ^ Д19;

А20 -> А20; Д21 Д21 + Д22 + Д23; Д22 ^ Д22; Д23 ^ Д23 + Д26;

Д24 ^Д24; Д25 ^Д25; Д26 ^Д26.

Чтобы установить, входят ли, например, базисные коммутаторы из Д12 в стабильный элемент, надо сначала выполнить все необходимые вычисления для коммутаторов из А, и Д2, так как под действием автоморфизмов ах или а2 автоморфные образы элементов из Aj и Д2 содержат коммутаторы из Д12.

2. Основной результат

Нами были установлены связи между подмножествами базисных коммутаторов одного и того же вида в зависимости от автоморфных образов элементов этих подмножеств. Множества V^ , а, + а2 = 12.

также связаны посредством коммутаторов, получающихся в их образах

относительно автоморфизмов ср12 или ср21 . Согласно утверждению 1, мы рассматриваем коммутаторы из ^ для четных целых чисел ах и а2 . Из видов коммутаторов, являющихся элементами множеств А ■, 7 = 1,...,26, следует, что число вхождений каждого образующего в эти коммутаторы не меньше 3. Следовательно, коммутаторы из У210 и У102 входят только в М1 или М2, а значит, согласно утверждению 4, всякая их нетривиальная линейная комбинация не является стабильной. Поэтому, нас интересуют следующие распределения числа вхождений образующих а и Ъ в базисные коммутаторы: один из образующих входит 4 раза, а другой - 8 раз и каждый из образующих входит одинаковое число раз. Таким образом, в разложении элемента g могут входить базисные коммутаторы множеств У4 8, У84, У66.

Пусть £ = ^ я?л?;л . Если коммутаторы и>; принадлежат У48, то в образе элемента g под действием автоморфизма ср12, элемент является линейной комбинацией коммутаторов из У39. Если

коммутаторы и6, принадлежат Ун 4 . то в автоморфном образе gср'- элемент м>5 является линейной комбинацией коммутаторов из У39. Наконец, если коммутаторы и: принадлежат У66, то в автоморфном образе gcPl2 линейная комбинация коммутаторов из У3 9 задается элементом м>3. Таким образом, если в представление элемента g входят базисные коммутаторы из множеств У48, У84 и У66, то надо рассмотреть в gcPl2 линейные комбинации м>х, м?3 и м>5, соответственно для коммутаторов из множеств У48, У66 и У84, при условии равенства нулю линейной комбинации, полученной в результате замены одного вхождения образующего а на Ь в коммутаторах из У84. Подобным образом

проводим рассуждения и для автоморфизма ср21. Так, если в представление элемента g входят базисные коммутаторы из множеств У4 н. У8 4 и У66, то надо рассмотреть в gcPli линейные комбинации V',, V, и V-, соответственно для коммутаторов из множеств У84 , У66 и У48, при условии равенства нулю линейной комбинации, полученной в результате замены одного вхождения образующего Ъ на а в коммутаторах из У48.

Поэтому, чтобы найти стабильный элемент с неоднородным вхождением образующих, надо сначала установить линейные комбинации, полученные в результате замены одного вхождения образующего а на Ъ в коммутаторах из У84 ив результате замены одного вхождения

образующего Ъ на а в коммутаторах из У4 8. Проверить полученные

линейные комбинации на их равенство нулю.

Теорема: Среди линейных комбинаций базисных коммутаторов с неоднородным вхождением образующих в свободной нильпотентной группе 1^2 и нет нетривиальных стабильных элементов.

Доказательство: Пусть — целые числа, одновременно

не равные нулю. Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию

Ц, ^ базисных коммутаторов и(]]е А;- с неоднородным

¿=1

числом вхождений образующих. Выделим два случая:

Случай 1. Коммутаторы и(-]\ принадлежат множеству У84 . Рассмотрим множество А), оно содержит единственный базисный коммутатор и[]' = ((аЬЬааааа){аЬ){аЬ)), входящий в У84 . Указанный элемент и® не является стабильным, так как применив к нему автоморфизм ср]2 получим, что в разложение («¡1;1входит элемент ((аЬЬЬаааа)(аЬ)(аЬ)) с коэффициентом 5т(-г[ф 0.

Рассмотрим множество А2. Его элементами, входящими в Ун 4 являются и(^>=({аЬааа)(аЬ)(аЬЬаа)) и и(2 >=({аЬЬаа)(аЬ)(аЬааа)). Применим к

элементу и2(т(2))=^т^2) автоморфизм <р]2. Запишем линейную

¿=1

комбинацию базисных коммутаторов, полученных из и]1), / = 1,2 заменой одного вхождения образующего а на Ъ и принадлежащих А2:

(3 т{2) + 3 т{2))((аЬЬаа)(аЬ)(аЬЪаа)) + 1т\2) ((аЬааа)(аЬ)(аЬЬЪа)) + + 2т(2> ({аЬЬЬа)(аЬ)(аЬааа)) Так как т21} Ф 0 или т[Т> Ф 0. то все коэффициенты полученной линейной комбинации одновременно не равны нулю. Рассмотрим множество А3. Базисные коммутаторы и(р, входящие в У>{ 4

есть и(^>=({аЬЬаааа)(аЬ)(аЬа)) и и(2 >=({аЬааааа)(аЬ)(аЬЬ)). Линейная комбинацию базисных коммутаторов, полученных из и(р, / = 1,2 заменой одного вхождения образующего а на Ъ и принадлежащих А3 равна

(т\ъ) + 5 т^ ){(аЪЪаааа){аЪ){аЪЪ)) + Ат\ъ) ((аЪЪЪааа){аЪ){аЪа)) + + 5т(2>({аЬЬаааа)(аЬ)(аЬЬ)).

Полученная линейная комбинация входит в автоморфный образ элемента а так как хотя бы одно из чисел т^ или т^ отлично от нуля, то элемент — нестабильный.

Рассмотрим множество Л4. Определим базисные коммутаторы и(4>, входящие в У84: и[4>=({аЬаааа)(аЬ)(аЬЬа)) и и(4>=({аЬЬааа)(аЬ)(аЬаа)). Тогда (4га1(4) + 2т'24))((аЬЬааа)(аЬ)(аЬЬа))

+ Ът(4> ({аЬЬЬаа)(аЬ)(аЬаа)) + + т[4>(аЬаааа)(аЬ)(аЬЬЬ)) - линейная комбинация базисных коммутаторов, полученных из и(4> (/ = 1,2) заменой одного вхождения образующего а на Ъ и принадлежащих Д4. В этой комбинации не все коэффициенты одновременно равны нулю, следовательно,

и4(т(4)) -

нестабильный элемент.

Аналогичным образом определяются линейные комбинации и ■ 5 < у < 26 и для каждой из них доказывается существование нетривиальной линейной комбинации базисных коммутаторов в автоморфном образе . что в свою очередь влечет

нестабильность £/,

относительно автоморфизма (р]2.

Случай 2. Коммутаторы и(-]\ принадлежат множеству У48. Для всех у = 1, ...,26 определяем элементы, одновременно принадлежащие А ■ и У4 8. Затем составляем линейные комбинации

и действуем на них автоморфизмом ср21. Заменив одно

вхождение образующего Ъ на а и разложив полученные коммутаторы по базисным, вычисляем коэффициенты линейной комбинации базисных

коммутаторов, входящей в образ ((/ , . Далее проверяем равенство

нулю всех найденных коэффициентов, зависящих от чисел т;\ 2-.. ..т'^ . одновременно не равных нулю. Приведем вычисления, например, для 7 = 15 . Определим элементы множества Д15, входящие в Г4Л : и?5)=((аЬЬЬЬ)(аЬЬ)(аЬЬа)), и^5)=((аЬЬЬЬ)(аЬа)(аЬЬЬ)),

и{Р=((аЬЬЬа)(аЬЬ)(аЬЬЬ)). Применим к элементу и15(т(15))=

г=1

автоморфизм ср21. Запишем линейную комбинацию базисных коммутаторов, полученных из и[15> (/ = 1,2,3 ) заменой одного вхождения образующего Ь на а и принадлежащих Д15:

(3 т\15) + 2 тР)((аЬЬЬа)(аЬЬ)(аЬЬа)) + {т\15) + 2 т^5))((аЬЬЬЬ)(аЬа)(аЬЬа)) + + т?5\(аЬЬЬЬ)(аЬЬ)(аЬаа)) + (3 + т^5))({аЬЬЬа)(аЬа)(аЬЬЬ)) + + 2т(15>({аЬЬаа)(аЬЬ)(аЬЬЬ)). Так как т(-15\, т(-15\, т(-15\ одновременно не равны нулю, то хотя бы один из коэффициентов полученной линейной комбинации отличен от нуля. Действительно, предположив противное

3<5) + 2т^ = 0, + 2= 0, 3т(Р + = 0, т[15)= 0, 2<5)=0,

мы получим т(-15\=т(-151=т(-151= 0, что противоречит выбору последовательности чисел т(-15\, / = 1,2,3 .

Для остальных А ■ доказательство проводится подобным образом. При

этом, для каждого из множеств А ■ проверено, что среди линейных

комбинаций элементов этих множеств нет нетривиальных стабильных элементов.

С учетом результатов [3] получено полное описание стабильных элементов группы Р212, а именно, справедлива теорема:

Теорема: В свободной нильпотентной группе 1<212 существует всего 9 линейно независимых стабильных элементов.

Заключение

Показано применение метода нахождения стабильных элементов для поиска стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах ранга 2 ступени 12.

Автор благодарен профессору Блудову В.В. за постановку вопросов и внимание к работе.

Литература

1. Блудов В.В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных нильпотентных группах. //Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тез. докл. часть 5. Новосибирск, 1998.

2. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга три // Вестник Омского университета. -2010. - №4 (58). - С. 20-23.

3. Ковыршина А.И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга два // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т.З, № 4. -С.48-57.

4. Ковыршина А.И. О стабильных элементах в свободных нильпотентных группах ранга два // Вестник Бурятского государственного уни-

верситета. Серия: Математика и информатика. - 2015. - № 9. - С. 3-6.

5. Burrow M.D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. 1958. No. 11. Pp. 419-431.

6. Burrow M.D. The enumeration of Lie invariants //Communications on pure and applied mathematics. 1967. No. 20. Pp. 401-411.

7. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002. No. 30. Pp. 1033-1038.

8. Магнус В. Комбинаторная теория групп [Текст]/ В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. - М.: Наука, 1974. - 455 с.

9. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups //Communications in algebra. 2001. No. 29, Pp. 4693-4699.

10. Wever, F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen //Mathematische Annalen. 1949. No. 120. Pp. 563-580.

References

1. Bludov V.V. Fixed points with respect to all automorphisms in free nilpotent groups // Third Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Proc. rep. Part 5. Novosibirsk. 1998.

2. Kovyrshina A.I. Fixed points with respect to all automorphisms of the free nilpotent groups for three generators // Herald of Omsk University. 2010. No. 4(58). Pp. 20-23.

3. Kovyrshina A.I. Stable elements of free nilpotent class 12 groups with 2 generators // The Bulletin of Irkutsk State University. 2010. No. 4. Pp. 48-57.

4. Kovyrshina A.I. Stable elements in free nilpotent groups of rank two // Bulletin of Buryat State University. - 2015. - No.9. - Pp. 3-6.

5. Burrow M.D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. 1958. No. 11. Pp. 419-431.

6. Burrow M.D. The enumeration of Lie invariants //Communications on pure and applied mathematics. 1967. No. 20. Pp. 401-411.

7. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002. No. 30. Pp. 1033-1038.

8. Magnus W., Karras A., Solitar D. Combinatorial Group Theory. -Moscow: Nauka, 1974. - 455 p.

9. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups //Communications in algebra. 2001. No. 29, Pp. 4693-4699.

10. Wever, F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen //Mathematische Annalen. 1949. No. 120. Pp. 563-580.

Ковыршина Анна Ивановна, кандидат физико-математических наук, доцент Педагогического института Иркутского государственного университета, e-mail: annkow@mail.ru

Kovyrshina Anna Ivanovna, PhD, A/Professor of department of Pedagogical Institute of Irkutsk State University, e-mail: annkow@mail.ru