Сравнительный анализ решения линейного дифференциального уравнения 1- го порядка с запаздыванием методом шагов и методом графовых моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем с запаздыванием.-М.: Машиностроение, 1978.

2.Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. - М.:Наука, 1980.

3. Кадыров А. А. Топологический расчет систем автоматического управления. Учебное пособие. Ташкент: ТашПИ, 1979.

Ubaidullaeva of Shahnaz Rahimdjanova, Ph. D., associate Professor, Ataeva Zarina Juraeva, assistant

Bukhara branch of Tashkent Institute of irrigation and melioration Bukhara, Republic of Uzbekistan

USING THE METHOD OF DYNAMIC GRAPH MODELS FOR THE CALCULATION OF LINEAR DELAY SYSTEMS

The graph modeling of linear systems with delay on the basis of the cumulative application of the theory of differential equations with deviating argument, apparatus dynamic graphs and examination systems from the standpoint of the dynamic structures and processes allows us to obtain the algorithm of calculation of processes in systems of this class, easily implemented on any of the modern programming languages of high level. We problem of determining of the output process in the control system in the tank mixing based on the use of the method of dynamic graph models.

сравнительный анализ решения линеиного дифференциального уравнения 1- го порядка с запаздыванием методом шагов и методом графовых моделей Убайдуллаева Шахноз Рахимджановна, к.т.н., доцент, Атаева Зарина Джураевна, ассистент Бухарский филиал Ташкентского института ирригации и мелиорации,

г.Бухара, Республика Узбекистан

В работе выполнен сравнительный анализ решения линейного дифференциального уравнения 1- го порядка с запаздыванием методом шагов и методом графовых моделей. Использование графовой модели в значительной степени упрощает описание и анализ системы, исключает непосредственное интегрирование дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.

Требуется определить выходной сигнал системы, описываемой

дифференциальным уравнением [1]:

йх

-= - ах (t) - Ьх (t - т ) + и (t)

для всех моментов времени t > t0, причем в момент времени t0 на вход системы подается воздействие и^)= 1 (I). Значения параметров а=1, Ь =1.

Вариант 1. Решение с использованием метода шагов. Рассмотрим вначале формирование выходной величины на отрезке времени г0, г0 + т. На этом отрезке в реальной системе с нулевыми начальными условиями с выхода цели обратной связи сигнала не будет, т.к. он задерживается звеном запаздывания на время, равное величине запаздывания. Таким образом,

г е [г0 , г0 + т ]

выходной сигнал х(г) для 1 0' 0 J определим, решив неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка

йX . . , — = - ах (г) +1

йг (1) Для решения уравнения (1) используем один из известных методов, например, вариацию параметров. Решение однородного уравнения находим

Х к = С 1 е

- г

из характеристического уравнения г+1 =0, отсюда г=-1,

г йи -г - г -г л йи _х

Предполагая, хр = ие-г, —е - ие =-ие +1, —в = 1

г

и = | е'йг = ег

о

получим частное решение Хр = ие = 1.

Общее решение уравнения (1) будет иметь вид х = хк + х = С1е- г +1,

С

где 1 - постоянная интегрирования, характеризующая состояние системы в момент времени г=0 .

При нулевых начальных условиях получим С1 = -1 и

х = хх(г) = 1 - е-г (2), где ге[0,т].

Из выражения (2) найдем мгновенное значение сигнала х при г = т: х(т) = 1 - е-т. Функция х(г) полностью определяет выходной процесс на отрезке времени г е [0, т].

Сигнал х(г) = х1(г), проходящий через звено запаздывания, будет воздействовать на вход системы уже на отрезке времени [т, 2 т] и исходное

йх ч ,

уравнение системы можно записать в виде: — = -х - х1(г -т) +1, или

йг

=- х + е -(г-т) (3).

йг

Найдем значение сигнала х(г) для г е [т,2т].

Решение, удовлетворяющее однородному уравнению — + х = о, следую-

йг

щее хк = С2е (г т). Частное решение находим посредством вариации пара-

—(t—т)

метров. Предполагая, что хр = ие , имеем частное решение

хр = ие-(т) = (х — т)е—(т).

Общее решение имеет вид х = х, + хр = С2е (t т) + (t — т)е (t т). Где

С 2

2 - постоянная интегрирования, характеризующая состояние системы в момент времени t = т .

тл х (т) = 1 — е—т

Из решения на предыдущем отрезке мы имели у 7 , откуда

С = 1 — е—т

2 следовательно, на промежутке времени t е [т,2т] на выходе

системы получим х(/) = х2(/) = (1 — е т)е (t т) + (/ — т)е (t т) и значение выходного сигнала при ^ = 2т .

Аналогично рассмотрим промежуток времени / е [2т, 3т]. На этом отрезке начальной функцией является сигнал т) на выходе цепи обратной связи. Следовательно, уравнение системы можно записать в ви-

йх

де — = —х — [(1 — е—т)е—(г—т) + (t — т)е—(т)] +1 (4). й

Находим решение однородного уравнения ^х = + х = 0, х, = С3е (t т)

ж

Частное решение ищем в виде

хр = ие—(^2т)

Общее решение имеет вид

х = х, + хр = С3е—2т) + [(е—т — 1)(t — 2т) —+ е^2т — 1]е—(^2т) Сз -

постоянная интегрирования, характеризующая состояние системы в момент времени 1=2 т . Его значение мы уже нашли из решения на предыдущем отрезке :

С3 = х2(2т)

Следовательно, на промежутке времени [2т,3т] выходной сигнал описывается функцией

х = е—(^ 2т)(1 — е—т + т) е—т + [(е—т — 1) х

х^ — 2т)— ^ЦГ + е"2т — !]е—("т .

Найденные функции х^), x2(t), х3^) полностью определяют выходной

процесс системы на интервале времени от t=0 до t=3т. родолжая последовательно описанную выше процедуру можно получить решение на любом интересующем нас интервале времени.

Вариант 2. Решение с использованием графовой модели системы. Исходя из дифференциального уравнения системы и учитывая то, что звено запаздывания задерживает сигнал с выхода цепи обратной связи на время

т, граф, определяющий поведение системы на отрезке времени г е [0, т], можно изобразить в виде, представленном ниже рисунке (рис.1,а).

а)

u (0) 1/p

u (P)

0У(P) 1

X (0) 1 1

Р+a

г е[0,т]

х (Р)

и (т) 1/р

и (Р)

0У(Р)

х (т)

р+а

г е [т,2т]

х (Р)

Рис.1

По графу можно определить выходной сигнал системы на отрезке х(Р) =-1-и(0) + — X(0),X(г) = Г 1[ / 1 ]и(0) = 1 - е-г, х(г) = х1(г)

р (Р + Р +1 Р (Р + 1)

Функция х(г) определяет выходной процесс системы на отрезке времени г е [0,т]. При х(т) = 1- е-т имеем х(т) = 1-е-т. Так как сигнал х1(г) проходит через звено запаздывания, то оно появляется на выходе цепи обратной связи в виде функции у (г) = х 1( г - т) на следующем отрезке времени [т,2т].

Сигнал х1(г-т) является начальной функцией, а мгновенное его значение - х1(т)= х(т) начальным условием на отрезке [т,2т]. Исходя из этих соображений, строим граф для г е[т,2т] (рис.1,б). Из рассмотрения графа находим

х (Р) =

1

-и (т)

1

Р (Р +1) (Р +1) Из последнего соотношения находим

х (т)-

1

Р (Р+1)2

1

1

1

х ^) = х2^) = (1 — е—т)е—(т) + ^ — т)е—(^т). Значение выходного сигнала при t=2т равно

х(2т) = х2(2т) = е (1 е + т) . Функция х(^ = х2(т) определяет выходной процесс на отрезке t е [т,2т].

Рассмотрим далее промежуток времени t е [т,2т]. На выходе цепи обратной связи появляется сигнал у ^) = х2^), который является начальной функцией, а мгновенное значение —х2(т) - начальным условием для этого промежутка времени. Для отрезка г е [т,2т], имеем

х(Р) = х3(Р) , 1 1Ч и(2т) + 1 1Ч х(2т) — , 1 1Ч х2 (Р) . Р (Р +1) (Р +1) (Р +1)

Выполнив обратное преобразование Лапласа для последнего соотношения, будем иметь

х = е—('—2г)(1 — е+ т) е—т + [(е—т —1)( t — 2т)

(t- 2т2)

1] е-(t-2т) +1

2

Выполняя последовательно указанную выше процедуру, можно получить решение и на последующих интервалах времени. Из рассмотренного примера налицо видно преимущество графового метода [2]. Использование графовой модели в значительной степени упрощает описание и анализ системы, исключает непосредственное интегрирование дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Список литературы

1.Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. - М.:Наука, 1980.

2. Кадыров А. А. Топологический расчет систем автоматического управления. Учебное пособие. Ташкент: ТашПИ, 1979.

Ubaidullaeva of Shahnaz Rahimdjanova, Ph. D., associate Professor, Ataeva Zarina Juraeva, assistant

Bukhara branch of Tashkent Institute of irrigation and meliora-tion, the city of Bukhara, Republic of Uzbekistan

COMPARATIVE ANALYSIS OF SOLUTIONS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF 1ST ORDER WITH DELAY METHOD STEPS AND METHOD OF GRAPH MODELS

In work the comparative analysis of solutions of linear differential equations of 1st order with delay method steps and method of graph models. The use of graph model greatly simplifies the description and analysis of the system, precludes the direct integration of the differential equation with retarded argument.