CC BY
10
Svetlana G.Tankova - Cand. Tech.Sci., associate Professor (s.tankova@mail.ru)
at the Department of Mechanical Engineering Technology, Komsomolsk-on-Amur State Technical University, Komsomolsk-on-Amur, Russia
Oleg K. Dimitryuk, Cand. Tech.Sci., associate Professor at the Department of Mechanical Engineering Technology, Komsomolsk-on-Amur State Technical University, Komsomolsk-on-Amur, Russia
DEVELOPMENT TECHNIQUE AND ANALYSIS OF SCHEMES OF BASING
Abstract. The task of ensuring the required precision level during manufacture ofparts and units is accomplished by choosing the right processing datum axis. Following the study and a detailed analysis of the problem, the authors of the paper propose their method of achieving the goal.
Key words: precision, location, reference point, base.
УДК 681.5.01
ГРАФОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Убайдуллаева Шахноз Рахимджановна, к.т.н., доцент Бухарский филиал Ташкентского института ирригации и мелиорации,
Узбекистан
Графовое моделирование линейных систем с запаздыванием на основе совокупного применения теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, аппарата динамических графов и рассмотрения систем с позиций динамичности структур и процессов позволяет получить алгоритм расчёта процессов в системах данного класса, легко реализуемый на любом из современных языков программирования высокого уровня. В работе выполнен сравнительный анализ решения линейного дифференциального уравнения 1- го порядка с запаздыванием методом шагов и методом графовых моделей.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение 1- го порядка с запаздыванием, метод шагов, графовая модель системы, звено запаздывания, запаздывающий сигнал.
Требуется определить выходной сигнал системы, описываемой
дифференциальным уравнением [1]:
dx
-= - ax (t) - bx (t - т ) + u (t)
dt
для всех моментов времени t > t0, причем в момент времени t0 на вход системы подается воздействие п^)= 1 (I). Значения параметров о=1, Ь =1.
Вариант 1. Решение с использованием метода шагов. Рассмотрим вначале формирование выходной величины на отрезке времени t0, t0 + т. На
этом отрезке в реальной системе с нулевыми начальными условиями с выхода цели обратной связи сигнала не будет, т.к. он задерживается звеном запаздывания на время, равное величине запаздывания. Таким образом,
/,! г е [ г 0, г 0 + т ] выходной сигнал х(г) для 1 0' 0 J определим, решив неоднород-
dx . . .
— = - ах (г) +1
ное дифференциальное уравнение 1-го порядка . Для его
решения используем один из известных методов, например, вариацию параметров. Решение однородного уравнения находим из характеристиче-
хн = с1е
-г
ского уравнения г+1 =0, отсюда г=-1, . Предполагая,
г
х ие - г —г-г - ие-г = -ие-г +1 -г = 1 и = \ егШг = е
хр = ие dt dг о
, , , 0 , получим
1
хр = ие = 1
частное решение р . Общее решение будет иметь вид
х = хь + хр = схе-г +1 с,
^ , где 1 - постоянная интегрирования, характе-
ризующая состояние системы в момент времени г=0 . При нулевых нас =-1 х = х, (г) = 1 - в-г (*)
чальных условиях получим 1 и 147 (*), где
г е [0, т]
Из выражения (*) найдем мгновенное значение сигнала х при г = т: х(т) = 1 е . функция х(г) полностью определяет выходной процесс на
г е [0, т] С х(г) = х(г) й
отрезке времени ' J . Сигнал 4 7 1 , проходящий через зве-
но запаздывания, будет воздействовать на вход системы уже на отрезке времени [т, 2 т] и исходное уравнение системы можно записать в виде:
dx , ч ^ dx -(г-т)
— = -х-хх(г- т) +1 — = -х + е (г т) Ж , или Ш (**).
Найдем значение сигнала х(г) для г е [т,2т] Решение, удовлетворяю— + х = 0 х = с е-(г-т) щее однородному уравнению Шг , следующее ^ 2 .
Частное решение находим посредством вариации параметров. Предпола-
х р = ие-(г-т)
гая, что , имеем частное решение
хр = иег-т) = (г- т)е - (г-т)
р х Общее решение имеет вид
,-(г-т) , и ^ч^-(г-т)
. Где ^ 2 - постоянная интегрирования, характеризующая состояние системы в момент времени
х = х^ + хр = с2е-(г-т) + (г- т)е-(г"т) Г _ с.
t = т тл х(т) = 1 - е
. Из решения на предыдущем отрезке мы имели у 7
откуда
С 2 = 1 - е
следовательно, на промежутке времени
t е [т,2т]
выходе
системы
получим
- (t-т)
и значение выходного
этом
на
х (г) = х2 (t) = (1 - е-т)е - (t-т) + (t - т)е 11 = 2т
сигнала при
Аналогично рассмотрим промежуток времени t е [2т,3т] . На
отрезке начальной функцией является сигнал х2т) на выходе цепи обратной связи. Следовательно, уравнение системы можно записать Следовательно, уравнение системы можно записать в виде
= - х - [(1 - е -т )е - -т) + (t - т)е - ('-т) ] +1
(***)
dt
¿х
— = + х = 0
Находим решение однородного уравнения ^ ,
хн = Сзе ( ) Частное решение ищем в виде
хр = ие - (t - 2т)
Общее решение имеет вид
х = хк + хр = С3е-(г-2т) + [(е-т -1)(1 - 2т) - ( -^ + ег-2т - 1]е-(г-2т)
Где С3 -постоянная интегрирования, характеризующая состояние системы в момент времени 1=2т . Его значение мы уже нашли из решения на предыдущем отрезке :
Сз х2 (2т)
Следовательно, на промежутке времени [2т,3т] выходной сигнал описывается функцией
х = е-('-2т) (1 - е-т + т)е-т + [(е-т -1) х
, „ ч и - 2т ) , 2т х (г- 2т) - --- + е2т
2
1]е
-(г-2т)
х^ (t), х2 (t), хз (t)
Найденные функции полностью определяют выход-
ной процесс системы на интервале времени от t=0 до t=3т.
Продолжая последовательно описанную выше процедуру можно получить решение на любом интересующем нас интервале времени.
Вариант 2. Решение с использованием графовой модели системы. Исходя из дифференциального уравнения системы и учитывая то, что звено запаздывания задерживает сигнал с выхода цепи обратной связи на время т,
граф, определяющий поведение системы на отрезке времени г е [0, т], можно изобразить в виде, представленном ниже рисунке (рис.1,а).
а)
и (0)
1/р
оУ(р) 1
1
х (0)
1
и (P)
1
p + a
х ( р )
г е [0,т]
и (т) 1/р
оУ(Р)
х (т)
р + а
г е [т,2т]
и (Р)
х ( р )
Рис.1
По графу можно определить выходной сигнал системы на отрезке
х (Р) =
1
Р (Р +1)
и (0) +
1
Р +1
х(0)
х (г) = Г 1[
1
Р (Р +1)
]и(0) = 1- е-г
х (г) = х1(г)
функция х1(г) определяет выходной процесс системы на отрезке вре-
г е [0, т] ^ г = т х(т) = 1- е-т ^ „
мени . При имеем . Так как сигнал х1(г)
проходит через звено запаздывания, то оно появляется на выходе цепи обратной связи в виде функции у(г) = х 1(г - т) на следующем отрезке
времени [т,2т] .
времени .
Сигнал х1(г-т) является начальной функцией, а мгновенное его значение - х1(т)= х(т) начальным условием на отрезке [т,2т]. Исходя из
этих соображений, строим граф для г е [т,2т] (рис.1,б). Из рассмотрения графа находим
х (Р) =
и (т) +
"х(т)
Р (Р +1) (Р + ^ Р (Р + ^ . Из последнего соотноше-
ния находим
х(г) = х2 (г) = (1 - е-т )е-(г-т) + (г - т)е
,-(г-т)
1
1
1
1
1
Значение выходного сигнала при t=2т равно х(2т) = х2(2т) = е (1 - е + т). функция х(^= х2(т) определяет выходной процесс на отрезке '' е [т,2т].
Рассмотрим далее промежуток времени t е [т,2т]. На выходе цепи обратной связи появляется сигнал у () = х2^), который является начальной
функцией, а мгновенное значение х2 (т) - начальным условием для этого промежутка времени. Для отрезка * е [т,2т], имеем
х(Р) = хз(Р) , 1 и(2т) + 1 х(2т) - , 1 х2(Р) Р(Р + 1) (р + 1) (р + 1) .
Выполнив обратное преобразование Лапласа для последнего соотношения, будем иметь
х = е-(г"2т) (1 - е+ т)е-т + [(е-т - 1)(t - 2т)
2т2)-1]е- (г"2т) +1
2
Выполняя последовательно указанную выше процедуру, можно получить решение и на последующих интервалах времени. Из рассмотренного примера налицо видно преимущество графового метода [2]. Использование графовой модели в значительной степени упрощает описание и анализ системы, исключает непосредственное интегрирование дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Список литературы
1.Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. - М.:Наука, 1980.
2. Кадыров А.А. Топологический расчет систем автоматического управления. Учебное пособие. Ташкент: ТашПИ, 1979.
Ubaydullaeva Shahnoz Rahimdjanovna,
associate professor Bukhara branch Tashkent Institute of Irrigation and melioration, Uzbekistan
COMPARATIVE ANALYSIS OF SOLVING LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DELAY, THE METHOD STEPS AND METHOD OF GRAPH MODELS
Abstract. A comparative analysis of solutions of a linear differential equation of 1st order with delay ,the method steps and method of graph models. The graph modeling of linear systems with delay allows obtaining the algorithm of calculation of processes in systems of this class.
Key words: differential equation of 1st order with delay, the method steps, the graph model of the system, the link delay, the trailing signal.
