Сравнительный анализ мультифрактальных спектров цифровых видеопоследовательностей стандарта MPEG4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Сравнительный анализ мультифрактальных спектров цифровых видеопоследовательностей стандарта MPEG4

О.И. Шелухин, д.т.н., профессор Российского государственного университета туризма и сервиса

(РГУТиС) г. Москва, e-mail: [email protected]

А.Е. Перегняк, аспирант РГУТиСа, e-mail: [email protected]

Проанализированы мультифрактальные спектры видеопоследовательностей стандарта MPEG4, а также I-, P-, В-фреймов в пределах GOP.

Multifractal spectrums of MPEG4 video sequences and I-, P- and B- frames components within GOP are analyzed.

Ключевые слова: мультифрактальный спектр, фрактальный анализ, вейвлет-коэффициенты, функция Реньи, функция разбиения, скейлинговая функция, мультифрактальный формализм, видеопоследовательность.

Key words: multifractal spectrum, fractal analysis, wavelet factors, Renyi function, decomposing function, scaling function, multifractal formalism, video sequences.

Мультифрактальный спектр

Из математики известно, что любая мера (например, распределение вероятности) может быть разложена на три компоненты: гладкую, которую можно описать плотностью, атомарную, сосредоточенную на счетном множестве точек, и «промежуточную» между ними сингулярную компоненту. Если мера определена в d-мерном пространстве, то хаусдорфовы размерности носителей гладкой и атомарной компонент равны d и 0 соответственно.

Формально это можно сделать следующим образом. Выберем точку x и накроем ее шаблоном А. Если мера этого шаблона степенным образом зависит от его диаметра, л(Л) ~ |Л|а, говорят, что в точке x мера л имеет сингулярность порядка а. Если порядок сингулярности меры равен размерности пространства d, то мера является гладкой, т. е. имеет плотность.

Множество $'а> всех точек х, в которых мера л имеет сингулярность порядка а, характеризуется своей хаусдорфовой размерностью fa) = dimff Sa). Функция fa) называется мультифрактальным спектром меры л. По заданной мере можно вычислить ее мультифрактальный спектр с помощью процедуры, которая получила название мультиф-рактального формализма.

Рассмотрим всевозможные покрытия области, где мера л определена шаблонами Лк размера L, и вычислим функцию Реньи:

RL(q) = mf , (1)

К

где inf берется по всем покрытиям с |Лк| = L.

При Ь —>0 функция Реньи может вести себя степенным образом:

Яь($) ~ Ьг(я\ (2)

Назовем функцию т($) скейлинговым показателем и вычислим, как она связана с мультифрактальным спектром Да). По определению мультифрактального спектра число шаблонов, на которых мера л имеет сингулярность порядка а, растет как ^(а)(Ь) = (Ь-1^а). Поэтому (3) принимает вид

^(ч)~ X~<а|(А|)АГ ~ X^-'“ ■

а а

При Ь —0 основной вклад в эту сумму дают слагаемые, отвечающие шт($а - /(а)). Эта формула выражает преобразование Лежандра функции /(а). Известно, что преобразование Лежандра обратно к самому себе: если функция /а) вогнута, то

/(а) = шт(да - т(ч)). (3)

ч

Последнее выражение является основной формулой мультифрактального формализма.

На практике скейлинговый показатель т($) функции Реньи часто может быть вычислен непосредственно по экспериментальным данным, поскольку функция Реньи по существу является корреляционной функцией случайного поля, заданного мерой л. В результате мультифрактальный формализм позволяет восстановить муль-тифрактальную структуру меры л.

Следовательно, преобразование Лежандра (3) можно использовать, чтобы восстановить мультифрактальный спектр по скейлинговому показателю т($).

В теории мультифрактальности параметр а имеет смысл порядка сингулярности меры л, а /(а) соответствует размерности соответствующего множества сингулярностей. Если функция т дифференцируема, то эти величины можно вычислить по формулам

“ = Лч)> /(“) = чЛч )-т(ч). (4)

Эти соотношения можно рассматривать как параметризацию мультифрактального спектра в терминах т($).

Результаты статистической обработки видеотрасс

Анализ поведения мультифрактального спектра /(а) различных трасс (рис. 1) показывает, что в точке а*= а(0) функция /(а), являясь выпуклой, имеет максимум. Значение функции в максимуме равно хаусдорфовой размерности мультифрактала.

Важное значение имеют границы интервала (аmln,аmax), в котором задана функция /(а). Заметим, что обращение функции /(а) в ноль на этих границах (как показано на рисунке) вовсе не обязательно и в ряде случаев /(а) в одной из этих точек (или в обеих) может быть и отлична от нуля. Обязательным условием, однако, является обращение в бесконечность производной /' (а) в этих двух точках.

Анализ данных, приведенных ниже в таблице, показывает, что для каждого спектра сингулярности его характеристические параметры принимают различные значения (а^ = 0,85 - 0,985; а^х =1,001 - 1,45; а* =1,001 - 1,03), где а* -обобщенный показатель, характеризующий положение максимума мультифрактального спектра; Ощж и а^ - минимальное и максимальное значение показателя Г ельдера - Липшица.

При проведении мультифрактального анализа в дополнение к вышеописанным характеристикам и параметрам иногда выделяют следующие информационные элементы. Так, величина ^ащ^-ашт в некоторых случаях служит количественной мерой стохастичности системы.

Из данных, представленных в таблице, видно, что наименьшей шириной мультифракталь-ного спектра обладают видеопоследовательности

с наименьшей флуктуацией трафика - «Office-Com» и «Parking», в то время как наибольшей ш и риной мультифрактального спектра обладают видеопоследовательности «Alladdine» и «Jurasik park», обладающие наибольшей динамикой видео-трасс.

Поскольку видеопоследовательности в стандарте MPEG-4 состоят из I-, P-, В-фреймов в пределах группы кадров GOP (от англ. Group of Picture), структурированных в отчете кодирования как IBBPBBPBBPBI, то исследовались фрактальные свойства I-, P- или В-фреймов. Соответствующие мультифрактальные спектры изображены на рис. 2,а - 2,6.

Как видно, для I-фреймов мультифракталь-ный спектр сохраняет почти вогнутую форму для различных реализаций, с очень маленькими особенностями. Принимая во внимание, что эти фреймы предназначены для внутреннего кодирования, используя только пространственную избыточность между пикселами в пределах того же самого фрейма, такая особенность вполне объяснима, поскольку у I-фреймов наименьший показатель сжатия и наименьшая изменчивость при изменении масштаба квантования.

В то же время межкадровые фреймы (P и B) используют главным образом временную избыточность, и содержат обычно малое количество новой информации. Таким образом, дополнительное сжатие получено, вызывая меньшие размеры фрейма, проиводя к большей изменчивости (векторная информация движения сохранена неизменной).

Мультифрактальные спектры последовательностей P и B имеют регулярную форму, немного более широкую, чем соответствующие мультифрактальные спектры I-фреймов.

Таблица. Параметры мультифрактального спектра видеопоследовательностей

Трасса amin amax a* А amax amin

Aladdine 0,85 1,45 1,02 0,65

AlpinSky 0,884 1,03 1,005 0,146

ARDnews 0,95 1,115 1,01 0,165

Jurasik_park 0,85 1,43 1,03 0,58

OfficeCom 0,985 1,055 1,003 0,07

Parking 0,985 1,07 1,001 0,085

SouthPark 0,925 1,056 1,004 0,131

12000 -

10000 -

X104

а шт

а *

0.5

1.5

2.5

X10

3.5

4

а шт

а * ашах

х 104

ашт

а

а шах

ARDnews

7

1

2

3

4

5

6

а шах

2

3

2

3

4

5

6

Jurasic park

9000

8000

OfficeCom

14000

0.4

0.8

1.2

Parking

7 8 X 104

X 103

1.6

X 104

amin

a

amax

a min

a

a max

a min a

amax

l

2

3

4

5

6

2

14000

1

0.950.9 -0.853 0 8_1’

S—10.75--0.7--

0.65-- |

10

x 104

0.92 0.94 0.96 0

amin

1.02 1.04 1.06 a * a max

SouthPark

Рис. 1. Байтовые последовательности сжатого MPEG-4 - видео (слева) и их мультифрактальные спектры (справа)

4

6

8

2

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

л%

V-.

1 [/ V •

/ » \

1 § \ 1 1 • \ \

9 » 1 • i

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

Показатель Гельдера: а

■IPB

P

I

B

о,

н

и

а)

Показатель Гельдера : а

б)

- - B

— • I

....P

----IBP

Рис. 2. Мультифрактальные спектры I-, P-, В- и 1РВ-фреймов для кинофильмов: а - «Агент 007»; б - «ARDnews»

Численный анализ эксериментальных трасс показывает, что наименьшей шириной мультифрактального спектра обладают видеопоследовательности «OfficeCom» и «Parking» в то время как наибольшей шириной мультифрактального спектра обладают видеопоследовательности «Alladdine» и «Jurasik park».

Анализ I-, P-, В- фреймов в пределах GOP показывает , что наименьшей шириной мультифракталь-ного спектра обладают I-фреймы .

ЛИТЕРАТУРА

1. Шелухин О.И., Осин А.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы / Телекоммуникационные приложения / Под ред. О.И. Шелухина - М.: Физматлит, 2008.

2. Шелухин О.И., Окулов К.Ю., Матвеев С.Б. ка оценки влияния показателей обобщенного мультифрактального трафика на построение очередей // Электротехнические и информационные комплексы и системы» 2009, т. 5, №2 , С. 36 - 42.

3. Шелухин О.И., Урьев Г.А. Результаты экспериментальных исследований видеотрафика телекоммуникационной сети // Электротехнические комплексы и информационные системы, 2006, №1, С. 24 - 27.

4. Шелухин О.И., Осин А.В., Урьев Г.А. Самоподобие и моделирование видеопоследовательностей // Наукоемкие технологии, 2007, №2 - 3, С. 5 - 25.

5. Шелухин О.И., Осин А.В., Ахметшин Р.Р. Оценка са-моподобности видеотрафика с помощью вейвлетов // Наукоемкие технологии, 2007, №2 - 3, С. 26 - 34.

Поступила 20.02.2009 г.