Мультифрактальные свойства трафика реального времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРАФИКА РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

О.И. Шелухин, А.В. Осин

Проведен мультифрактальный анализ трафика реального времени с помощью функций разбиения и спектров Лежандра; в качестве основных типов трафика реального времени были выбраны источники речевой и видео информации.

A multifractal analysis of the real-time traffic by partition function and Legendre spectrum is performed, as general real-time traffic sources voice and video sources were selected.

Постановка задачи

Последние исследования фрактальных величин и структур показали, что фракталы приобрели огромную значимость для многих отраслей науки и техники. Например, случайный процесс фрактального броуновского движения (ФБД) является фракталом или содержит высоко изменчивые наблюдения, что применимо к моделированию сетевого трафика, турбулентности и текстур и т.д.

Однако для многих приложений ФБД является слишком однородным или монофракталь-ным, т.е. его локальная степень непрерывности Гельдера одинакова для всех моментов времени ¿. Напротив, большинство реальных процессов обладают мультифрактальной структурой, что означает сильное изменение показателя Гельдера во времени [1, 2, 5, 7].

Трафик в сетях с пакетной передачей данных принято считать фрактальным [2]. Поэтому представляется важным более глубокое исследование структуры масштабирования в сетевом трафике. В некоторых источниках показано, что трафик данных в пакетных сетях хорошо описывается мультифрактальными моделями, однако известно очень немного работ, рассматривающих трафик реального времени, к которому традиционно относят речевой и видео трафик. В данной статье исследованы мультифрактальные свойства реальных измерений для видео и речи. Мультифрак-тальная структура процесса исследуется, используя мультифрактальный спектр Лежандра.

Основные определения

В отличие от самоподобных процессов многомасштабные или мультифрактальные процессы обеспечивают более гибкий закон масштабного поведения. Класс мультифрактальных процессов включает все процессы со свойством масштабирования, в том числе и самоподобные, мономас-штабные и многомасштабные процессы.

Определение. Стохастический процесс Х(0 называется мультифрактальным, если он обладает стационарными приращениями и удовлетворяет равенству

М [| X (г )р ] = с(дУ(д )+1 для некоторого положительного qeQ, [0,1]с0, где т^) является масштабной функцией и мо-ментный коэффициент с(^) не зависит от I.

Класс мультифрактальных процессов включает и монофрактальные, и самоподобные случаи. Мультифрактальный трафик определяется как расширение самоподобного трафика за счет учета характеристик 2-го и высшего порядков. Напомним, что при описании точно самоподобного в широком смысле процесса, такого как ФБД, рассматриваются только его ковариационная функция. Если найти свойства 3-го порядка, то потребуется рассмотреть моменты маргинального распределения 3-го порядка и корреляции 3-го порядка, например, совместную корреляцию между выборками X- Х+и и Х+к2 для всех пар задержек (£ь£2). Тогда, вместо того чтобы искать дисперсию агрегированного процесса Х(т) как функцию от т (график изменения дисперсии), потребуется найти зависимость коэффициента асимметрии (3-го центрального момента) для Х^т) как функцию от т. Для точно самоподобного процесса соответствующий «график изменения асимметрии» будет иметь вид прямой линии с наклоном 3р/2.

Существуют различные подходы, пригодные для моделирования мультифрактальных процессов. Впервые в качестве мультифрактальных моделей для трафика были использованы мультипликативные каскады [4, 5]. Этот класс моделей является самым известным среди мультифрак-тальных процессов. Самым простым примером мультифрактального процесса является биномиальный каскад, который определяется при помо-

щи бинарной древовидной структуры [3, 5]. Совмещая этот процесс с ФБД, можно определить новый класс фрактальных броуновских движений в мультифрактальном временном пространстве [3]. Полученный в результате процесс обладает несколькими уникальными свойствами. В частности, он в состоянии охватить ДВЗ и мультифракталь-ное масштабирование независимо друг от друга.

Простейшие мультифракталы обычно строились при помощи итеративной процедуры, называемой мультипликативным каскадом [6,7]. Рассмотрим единичный интервал, связанный с единичной массой. На этапе k = 1 поделим единичный интервал на два равных подынтервала и свяжем с ними массу г и 1-г соответственно. Составная часть г называется множителем. Такое же правило применяется к каждому подынтервалу и связанной с ним массой.

Множители г выбираются как независимые случайные переменные R, расположенные на интервале [0;1] с функцией распределения вероятностей FR(x), M[R] = 1/2. Этот выбор делается так, чтобы получилась симметричная функция распределения, поэтому г и 1-г обладают одинаковыми маргинальными распределениями.

Пример построения каскада при различном числе шагов иллюстрируется на рис. 1.

Отметим, что рассмотренный выше мультифрактальный процесс также называется кон-

сервативным каскадом. Важное свойство случайного каскада заключается в его независимой структуре, получаемой в результате построения. Если множители, используемые при построении, обладают одинаковым фиксированным значением г0 (0<г0 <1), то полученная мультипликативная мера называется биномиальной.

Биномиальная мера является детерминированным каскадом. Его масштабная функция определяется как

го^) = - 1о§2 (^ + (1 - ^) +1.

Кроме того, если итерация сохраняет массу только по среднему значению, т.е. множители при каждом делении массы также являются независимыми и одинаково распределенными, но обладают средним значением 1/2, то соответствующая мера называется канонической [3].

С точки зрения сетевого моделирования интерес представляют консервативные каскады. Биномиальные каскады исключаются из рассмотрения сами собой из-за их детерминированной структуры. Канонический каскад не может быть использован, поскольку он является независимым случайным процессом, в то время как потоки сетевого трафика являются долговременно зависимыми. В этом исследовании консервативный каскад использовался в качестве кирпичика при построении модели трафика.

Рис. 1. Структура каскада при различном числе шагов: а - і =2; б - і = 5; в - і =10; г - і =15

Мультифрактальный анализ

Построение спектра Лежандра. Зададим ряд процесса приращений Z1, Z2, ..., Zn и определим соответствующую ему действительную агрегированную последовательность {Z^m)} при уровне агрегирования m:

Z( m) = 7 + 7 +

^k ~ (k-1)m+1 (k-1)m+ 2 + K

••• + Zm, k, m = 1,2,... .

Рассмотрим данные (Z¡ ) как дискретиза-

цию меры а на [0;1] с разрешением N=2n и определим сумму разбиения S^ (q) = SI Zkm I , где

k=1

Z - вектор данных, для которых строится муль-

—(т) m

тифрактальный спектр; Zk =S Z(k-1)n+¡ - дис-

i=1

кретизация меры а на масштабе ôm=m/N; m = 1, 2,

22,.,2n - размер блока суммирования.

В результате построения суммы разбиения в графическом виде получается семейство кривых, представляющих суммы разбиения для различных значений q.

Если log Sm (q ) при аппроксимации линейно

зависит от log(m), тогда говорят, что данные проявляют мультифрактальное масштабирование, т.е. Zj является мультифракталом. Наклон прямой аппроксимации обычно получают, используя линейную регрессию, и обозначают как i(q):

log sm ( q )~T( q ) log m+c ( q ).

Поскольку z(q) обладает небольшим наклоном, который изменяется очень незначительно, то обычно в диапазоне [1/2; 2] его график на вид может показаться почти линейным. Следовательно, более информативным будет преобразование Лежандра от Tq), обозначаемое fL. В результате мультифрактальный спектр fL(a) находится преобразованием Лежандра от функции разбиения Tq):

fL(a) = inf (aq -r(q)).

qeR

Таким образом, мультифрактальный спектр fL(a) представляет собой меру «частоты» показателя сингулярности a(t) (показатель Гельдера) к моменту времени t и показывает вероятность определенного значения показателя сингулярности. Соответственно

T(q) < 1nf(qa - fL(a)).

a

Такой метод называется «мультифракталь-ным анализом, основанным на приращениях».

Алгоритм вычисления функции разбиения

Шаг 1. В программу вычисления функции разбиения вводится массив исследуемых данных (data), диапазон изменения масштаба (m_begin; m_end) и шаг изменения (m_step). Если функция разбиения строится от m, то также выбирается значение момента (q), для которого она вычисляется.

Шаг 2. Исходная реализация разбивается на блоки, размер которых на первой итерации цикла выбирается равной левой границе интервала изменения m (m_begin).

Шаг 3. Для каждого из полученных блоков вычисляется сумма входящих в него значений реализации (sum).

Шаг 4. Полученные суммы возводятся в степень q и результат последовательно суммируется для каждого из блоков. В итоге суммирования по всем блокам, на которые разбили реализацию, получается ордината функции разбиения для заданного на шаге 2 значения m.

Шаг 5. Увеличивая m на величину m_step, изменяют масштабное разрешение исследуемой реализации и переходят к шагу 2. Итерации повторяют до тех пор, пока m не достигнет значения m_end. В результате будут получены ординаты функции разбиения для заданного диапазона масштабов.

Ниже выполним построение мультифрак-тальных спектров для данных, полученных в результате измерений речевого и видеотрафика в различных телекоммуникационных сетях.

Мультифрактальные свойства речевого трафика. Исследуем мультифрактальное масштабирование мультиплексированного речевого трафика для различного числа источников при помощи функции разбиения Sm(q) от m в двойном логарифмическом масштабе. Зависимости Sm(q), представленные на рис. 2, иллюстрируют присутствие мультифракталього масштабирования для всех q в случае, когда m выбиралось 10, 20,

30...1000. Если смотреть сверху вниз, то q изменяется от 10 до -10 с шагом 1.

На всех четырех графиках функция масштабирования носит линейный характер, и незначительное отклонение от линейности наблюдается только для очень детального разрешения log-log графика.

а)

б)

в)

г)

Для каждого случая, представленного на рис. 2, при помощи подбора взвешенной линейной регрессии получены функции Tq), которые при визуальном осмотре практически совпадают и выглядят линейными (рис. 3, в). Из рис. 3, б очевидно, что функция c(q) при малой степени объединения источников (< 25) носит ярко выраженный нелинейный характер, а с ростом степени мультиплексирования зависимость c(q) становится все более линейной. Чтобы более наглядно показать свойства мультифрактального масштабирования, для исследуемых данных был построен спектр ЛежандраfL(a) (рис. 3, а ).

а)

б)

Рис. 2. Мультифрактальное масштабирование для различного числа мультиплексированных источников: а -

10; б - 25; в - 50; г - 111

Рис. 3. Исследование мультифрактального масштабирования: а - мультифрактальный спектр Лежандра; б -функция с^); в - функция ^)

Приведенные на этом рисунке зависимости свидетельствуют о сужении мультифрактального спектра Лежандра с увеличением числа мультиплексированных источников, что свидетельствует об уменьшении области мультифрактального масштабирования при увеличении числа мультиплексируемых речевых источников.

Отметим, что для такого монофрактального процесса, как фрактальный гауссовский шум (ФГШ - процесс приращений фрактального броуновского движения) показатель сингулярности a(t) является постоянной величиной H для любого t. Поэтому такая ситуация может рассматриваться как вырожденный случай мультифрак-тальности. Соответствующая функция разбиения Tq) = qH-1 для ФГШ является линейной функцией от q .

Поскольку a(t) равняется H для каждого t в случае ФГШ, то его мультифрактальный спектр должен выглядеть как одна точка на плоскости

(H, 1).

Будем использовать ФГШ как «тестовый» процесс и сравнивать мультифрактальный спектр для реального и искусственного трафика. Для

мультифрактального процесса функция разбиения является выпуклой функцией от q и показатель сингулярности a(t) принимает широкий диапазон значений. Выпуклые кривые функции разбиения показывают, что реальный и искусственный трафики являются мультифрактальными процессами и функция разбиения для ФГШ является линейной функцией в результате своего мо-нофрактального поведения. Для реального трафика спектры Лежандра выявляют присутствие широкого диапазона показателей сингулярности с ненулевой вероятностью. При увеличении числа мультиплексируемых источников результирующий процесс все лучше описывается ФГШ.

Мультифрактальные свойства видеотрафика. Оценим мультифрактальные свойства видео-трафика с помощью спектра Лежандра в соответствии с методикой, изложенной выше.

В качестве тестовой реализации были выбраны данные для фильма «Star Wars», закодированные при помощи кодека MPEG-1. Результаты мультифрактального анализа для этой видеопоследовательности представлены на рис. 4.

а)

в)

а

б)

г)

Рис. 4. Мультифрактальное масштабирование: а - при помощи суммы разбиения Б„(д) от т в двойном логарифмическом масштабе (если смотреть сверху вниз, то q изменяется от 10 до -10 с шагом 1); б - мультифрактальный спектр Лежандра; в -функция с^); г - функция Тд)

Рис. 5. Мультифрактальный анализ последовательности кадров фильма «Jurassíc Park» для различных случаев кодирования: а,в - mpeg-4 low; б,г - mpeg-4 hí; д,ж - Н.2бЗ б4 Кбит/с; е,з - Н.2бЗ vbr

Рис. 6. Мультифрактальный анализ последовательности кадров мультфильма «Alladin» для различных случаев кодирования: а,в - mpeg-4 low; б,г - mpeg-4 hi; д,ж - H.263 64 Кбит/с; е,з - H.263 vbr

Из графика мультифрактального спектра Лежандра, а также нелинейного характера функций c(q) и Tq) видно, что видеотрафик обладает существенным мультифрактальным масштабированием.

Существенное влияние на мультифракталь-ных характер видеотрафика оказывает вид протокола, качество изображения, скорость передачи. На рис. 5 и рис. 6, это иллюстрируется на примере трасс фильмов «Jurassic Park» и «Alladin» для низкого и высокого качества изображения, режимов передачи CBR и VBR на примере протокола H263.

Видно, что наибольшей шириной мульти-фрактального спектра обладают VBR последовательности, а наименьшей, стремящейся к монофрактальному случаю, - СDR-последова-тельности. С улучшением качества изображения ширина спектра Лежандра возрастает.

В результате проведенного анализа трафика мультиплексированных речевых источников и трасс видеотрафика с различными способами кодирования показано, что все они обладают значимой мультифрактальной структурой.

Вследствие мультифраткального анализа мультиплексированного речевого трафика можно сделать вывод о том, что с ростом числа мультипликсированных источников муль-тифрактальный спектр трафика сужается, что подтверждает гипотезу о стремлении мультиплексированного трафика к ФГШ при неограниченном увеличении речевых источников.

Благодаря мультифрактальному анализу видеопоследовательностей различными методами кодирования становится ясно, что все исследованные видеоданные обладают муль-тифрактальными свойствами, которые сильно зависят от метода этого кодирования.

Наиболее широкий мультифрактальный спектр наблюдался для случая кодирования h.263 vbr, что объясняется высокой изменчивостью, которая вводится при кодировании данных таким способом.

Спектр Лежандра, с помощью которого были проанализированы мультифрактальные особенности данных, является простым и наглядным инструментом мультифрактального анализа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mandelbrot B. B., Intermittent turbulence in self similar cascades: Divergence of high moments and dimension of the carrier, J. Fluid. Mech., 62:331, 1974.

2. Шелухин О. И., Тенякшев А. М., Осин. А. В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях/ Под ред. О. И. Шелухина - М.: Радиотехника, 2003 .

3. Trang Dinh Dang. New results in multifractal traffic analysis and modelin, Ph.D. Dissertation, Budapest, Hungary, 2002.

4. Feldmann A., Gilbert A. C., Willinger W., Data networks as cascades: Investigating the multifractal nature of Internet WAN tra_c, ACM Computer Communication Review 28. 1998, pp. 42-55.

5. Fisher A., Calvet L., and Mandelbrot B. B., Multifrac-tality of Deutschmark/US Dollar exchanges rates, Yale University, 1997.

6. Gilbert A. C., Willinger W., Feldmann A., Scaling analysis of conservative cascades, with applications to network traffic, IEEE Trans. Inform. Theory 45 (1999), no. 3, pp. 971-991.

7. Riedi R. H., Multifractal processes, Theory and Applications of Long Range Dependence (Doukhan P., Oppenheim G., and Taqqu M. S., eds.), Birkh'auser, Boston, 2002.

8. Holley R., Waymire E.C., Multifractal Dimensions and Scaling Exponents for Strongly Bounded Random Cascades, Annals of Applied Probability, Vol 2, 1992. pp. 819-845.

Поступила 04. 04. 2006.