Модели мультифрактальности сетевого трафика Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Модели мультифрактальности сетевого трафика

О. И. Шелухин

Предложена математическая модель мультифрактального трафика на основе комбинации мультипликативных каскадов и с учетом статистических характеристик телекоммуникационного трафика.

In this paper we consider analytical and numerical methods for the fractal stochastic process modeling with target probability function. Examples showing the practical realizability proposing algorithms are presented.

Постановка задачи. Для описания структуры самоподобного трафика в настоящее время разработано большое число моделей трафика - фрактальное броуновское движение(ФБД), ON/OFF и др. Вместе с тем существуют различные процессы, которые могут быть описаны только с помощью мультифрактальных моделей. Мультифракталь-ный трафик определяется как расширение самоподобного трафика за счет учета статистических характеристик 2-го и выше порядков.

Напомним, что при описании точно самоподобного процесса в широком смысле, такого, например, как ФБД, стационарность рассматривается только на уровне корреляционного анализа. Если описать свойства стационарности на уровне 3го порядка, потребуется рассмотреть моменты маргинального распределения 3-го порядка и корреляции 3-го порядка (например, совместную корреляцию между выборками Xi X+ к и X+k для

всех пар задержек (кьк2)). Тогда, вместо того, чтобы искать дисперсию агрегированного процесса X(m) как функцию от m (график изменения дисперсии), потребуется найти коэффициент асимметрии (третий центральный момент) для X(m)

как функцию от. Для точно самоподобного процесса соответствующий график изменения асимметрии будет иметь вид прямой линии с наклоном 3р/2.

Предположим, что существует кумулянт m-го порядка - cumm (Y(t)). Тогда из теории самоподобных процессов следует, что

cum m (Y (t)) = tmH cumm (Y (1)),

т.е. зависимость log|cumm (Y(t))| от log(t) является

линейной с коэффициентом mH. Это свойство, обычно называемое монофрактальностью, также переходит и на приращения.

Кумулянты порядка m могут быть выражены при помощи центральных моментов меньшего или

равного порядка чем m. Например, кумулянты 6-го порядка определяются как cum1(Y) = MY;

cum2 (Y) = C2(Y); cum3 (Y) = C3Y); cum4(Y) = C4(Y) - 3C2(Y); cum5 (Y) = C5(Y) - 10C2(Y )C3(Y); cum6(Y) = C6(Y) - 15C4(Y )C2(Y) -

-10C3(Y )2 + 30C2(Y )3, где C1(Y) = M (Y - MY)1 - центральные моменты порядка l.

Таким образом, стационарный процесс Х(к) является мультифрактальным, если

log comm (X(п))(к)) = e(m)log(n) + c(m),

где P(m) - некоторая (возможно не линейная) функция от m; X(п)(к) агрегированные ряды, определяемые как

1 ”-1

X(п) (к) = - У X (кп - j), к е N .

" i=0

То есть все моменты показывают одинаковое масштабное поведение и поэтому log-log график момента любого порядка от m будет давать такое же значение показателя Херста.

Подкласс мультифрактальных процессов, для которых P(m) является линейной функцией называется монофракталом. Если X^) - ряды приращений для самоподобного процесса со стационарными приращениями H-sssi (Self-similar process with Self-similarity parameter H with Stationary Increments), тогда P(m) = m[H -1], т.е. является линейным по отношению к m, а сам процесс - мо-нофрактальный.

В отличие от самоподобных процессов, многомасштабные или мультифрактальные процессы обеспечивают более гибкий закон масштабного поведения. Класс мультифрактальных процессов

включает все процессы со свойством масштабирования, в том числе и самоподобные, мономас-штабные и многомасштабные процессы. Самые очевидные примеры многомасштабных процессов

- мультипликативные каскады.

Определение. Стохастический процессX(t) называется мультифрактальным, если он обладает стационарными приращениями и удовлетворяет условию

М [| X (t)\q ] = c(q)tT(q )+1

для некоторого положительного q е Q,[0,1] с Q,

где x(q) называется показателем массы (масштабной функцией) и коэффициент момента c(q) не зависит от t.

Очевидным следствием из этого определения является то, что x(q) является выпуклой функцией. Если x(q) линейно зависит от q, то процесс называют одномасштабным или монофрактальным, в противном случае - мультифрактальным. Можно показать, что в частном случае самоподобного процесса с показателем Н, получается

z(q) = qH -1 и c(q) = M X(1)q . Класс мультиф-

рактальных процессов включает и монофракталь-ные и самоподобные случаи.

Приведенное выше определение описывает мультифрактальность на основе моментов процесса и может привести к лучшему пониманию муль-тифрактальности.

Использование мультифракталов для моделирования сетевого трафика достаточно ново и на данный момент получено лишь несколько результатов. В частности, в [7] показано, что хоть само-подобность и адекватна для LAN-трафика, трассы WAN-трафика обладают мультифрактальными свойствами, потому что в WAN на малых/средних масштабах времени влияние сетевой динамики может преобладать над поведением пользователей. Также показано, что масштабное поведение, выявленное в WAN-трафике может быть воспроизведено при помощи каскадной конструкции, т.е. мультипликативного процесса, который назначает вес на последовательно уменьшающихся временных интервалах в соответствии с некоторым распределением (зависящим от уровня деления). В пределе (т.е. по мере того как число уровней устремится к бесконечности), такая процедура позволит генерировать мультифрактал [9].

Впервые в качестве мультифрактальных моделей для трафика были использованы мультипликативные каскады [4, 5]. Этот класс моделей

является самым известным среди мультифрак-тальных процессов. Самым простым примером мультифрактального процесса является биномиальный каскад, который определяется при помощи бинарной древовидной структуры [3, 5]. Совмещая этот процесс с ФБД можно определить новый класс фрактальных броуновских движений в мультифрактальном временном пространстве [3]. Полученный в результате процесс обладает несколькими уникальными свойствами. В частности он охватывает долговременную зависимость (ДВЗ) и мультифрактальное масштабирование независимо друг от друга.

Рассмотрим мультифрактальную модель сетевого трафика являющуюся комбинацией мультипликативного каскада со случайным процессом имеющим одномерное логнормальное распределение. Полученная в результате модель обладает всеми важными свойствами, наблюдаемыми в реальном трафике, включая ДВЗ, мультифракталь-ность и логнормальность.

Модель является достаточно гибкой, чтобы охватить все мультифрактальные характеристики трафика, включая масштабную функцию х(д) и моментный коэффициент с(^).

Мультипликативные каскады. Простейшие мультифракталы обычно строились при помощи итеративной процедуры, называемой мультипликативным каскадом. Рассмотрим единичный интервал, связанный с единичной массой. На этапе к = 1 поделим единичный интервал на два равных подынтервала и свяжем с ними массу г и 1 - г, соответственно. Составная часть г называется множителем. Такое же правило применяется к каждому подынтервалу и связанной с ним массой. Итеративная процедура каскадной конструкции показана на рис. 1.

Множители г выбираются в виде независимых случайных переменных Я, расположенных на

интервале [0;1] с функцией распределения вероятностей FR(x), М[К] = 1/2. Выбор г и 1 - г делается так, чтобы получилась симметричная функция распределения. На к-ом этапе диадный интервал длины Д^k = 2 - k, начинающийся в момент времени t = 0, ..., обладает массой (мерой):

М(ДЧ) = R(nl,к,nk ),

где R(nг■ ,---,пк) отражает множитель /-го этапа;

Пг,к,Пк =^П/2-/ .

Поскольку множители являются независимыми и одинаково распределенными, то легко показать, что мера ц удовлетворяет соотношению масштабирования:

М[ц(&к )д = (М[Rq ])к =Ык- 1о§М[ ^ ] ,

которое определяет мультифрактальный процесс с функцией масштабирования

То(д) = -1о§2М[^] .

Кроме того, если итерация сохраняет массу только по среднему значению, т.е. множители при каждом делении массы также являются независимыми и одинаково распределенными, но обладают средним значением 1/2, то соответствующая мера называется канонической [3].

С точки зрения сетевого моделирования интерес представляют консервативные каскады. Биномиальные каскады исключаются из рассмотрения сами собой из-за их детерминированной структуры. Канонический каскад не может быть использован, так как он является независимым случайным процессом, в то время как потоки сетевого трафика являются долговременно зависимыми. В этом исследовании консервативный каскад использовался в качестве кирпичика при построении модели трафика.

Модифицированный метод оценки муль-тифрактальных функций. Для полного описания мультифрактальной модели достаточно масштабной функции т0(д), и моментного коэффициента с(д). Метод оценки, основанный на абсолютных моментах, обеспечивает простой способ проверки масштабных свойств, а также оценки масштабной функции. Поскольку, для анализа необходим мо-ментный коэффициент, то предлагается ввести некоторые изменения в модель мультифракталь-ного каскада.

Определение мультифрактальных процессов [1] накладывает условие стационарности для приращений. Следовательно, легко проверить следующее соотношение для моментов приращений:

М \7 (Д)|д = е(д)^)т(д)+1 =

= с(д)(М)То(ч\ д > 0, (1)

где 7(Д() обозначает процесс приращений для временной выборки ДЛ

Поэтому такое равенство также справедливо для т = 1,2,.

M

r(mAt)

= c(q)(mAt)T°(q).

(2)

В качестве единичного интервала выберем At,

тогда

log M

r(m)

= T (q) log m + log c(q), q > 0. (3)

В результате, метод оценки масштабной функции т0(д), и моментного коэффициента с(д)сводится к следующему. Зададим ряд процессов приращений Z2,., 7п и определим соответ-

ствующую ему действительную агрегированную последовательность {7(т)} при уровне агрегирования т:

7(т) = 7 +

Лк _ Л(к-1)т+1 +

+Z( к-1) m+2 + K Zкш,

к,m = 1,2,... . (4)

Если последовательность {7к} обладает масштабным свойством, тогда зависимость абсолютных моментов M[Z(m)]q от m на log-log графике в соответствии с (3) должна быть прямой линией. Наклон прямой дает оценку для T0(q), а отрезок, отсекаемый на координатной оси, является значением для log c(q). Иллюстрация этого метода показана на рис. 2.

Рис. 2. Оценка масштабной функции т(д) и моментного коэффициента с(д)

Отметим, что нет необходимости оценивать с(д) и т0(д) для всех положительных значений д, что в принципе является невыполнимой задачей. В действительности наибольшее значение для д следует рассматривать в зависимости от интересуемой конечной длины очереди связанной с вероятностью длины очереди.

Построение модели мультифрактального трафика. Предположим, что мультифрактальный анализ реальных данных, полученных в результате измерений сетевого трафика, обнаруживает его мультифрактальные свойства, описываемые масштабной функцией х0(д) и моментным коэффициентом с(д). Очевидной задачей каскадного моделирования является нахождение такого распределения вероятностей для множителей Я, чтобы

-log2 (M[Rq ]) = T0(q).

Однако, каскадная модель охватывает только мультифрактальные свойства, заданные при помощи масштабной функции т0(д), и не в состоянии предоставить какую-либо информацию, касающуюся моментного коэффициента с(д).

Основная идея предлагаемой модели трафика состоит в следующем:

Этап 1. Генерируется 2 искусственных данных ц(Д^) при помощи мультипликативного каскада с множителями, полученными при помощи случайно распределенной Я.

Этап. 2. Ряд данных длиной 2 из модели попарно перемножается на каскадный ряд и на независимые и одинаково распределенные случайные выборки положительной случайной переменной У той же длины.

Переменная У выбирается независимой от каскадной меры ц(Длг), поэтому полученный ряд, обозначаемый как Х(Д^), удовлетворяет равенству [1] М [ X (Д?0)д 1-

I- N\q+log2 M \Rq

--M[Yq]2 g2 L -

At

где Д?0 - единичный интервал времени смоделированного трафика.

В результате задача параметризации модели состоит в нахождении случайных переменных R и У, для которых справедливы выражения:

- log2 (M [Rq ]) = To(qX

M \Yq ] = c(q).

Предложенная модель связана с мультифрак-тальным сетевым трафиком по следующим причинам.

Во-первых, она основана на мультипликативной конструкции каскада, который при ближайшем рассмотрении выглядит похожим на механизмы функционирования протокола TCP/IP. Подобный механизм (как уже описывалось в различ-

ных исследования сетевого трафика [2, 4, 6]) является основной причиной мультифрактальности в трафике на малых масштабах.

Во-вторых, смоделированный трафик может быть представлен как произведение случайной пиковой скорости потока Y и меры пульсирующей структуры ц(А^) на моделируемом масштабе времени AtN.

Для мультифрактального трафика масштабная функция T0(q) и логарифм моментного коэффициента c(q) могут быть оценены, например, при помощи простого метода абсолютных моментов [1]. Обозначим эти оцененные функции как т0 (q) и

log c (q) соответственно. Тогда, с учетом (1) и (5)

при At0 =1, (6) может быть преобразовано к виду

-log2 (M |> ]) = f0(q), (7)

logM\Yq ] = log c(q) - q + log2 M Rq J N log 2 =

= log c(q) -[q -?0(q)] N log 2. (8)

Анализ различных трасс измеренного трафика с мультифрактальными свойствами показывает, что выбор R в виде симметричной случайной переменной с бета- распределением Beta(a,a), на интервале [0;1] - характеризующемся только одним параметром a >0, является достаточно точным для моделирования оцененной масштабной функции. В этом случае

Г(а)Г(2а + q)

To(q) = log2

(5)

1-uu

где Г( z) = J

xz 1e

Г(a + q)r(2a) ’

dx, z > 0 — гамма-функция.

(9)

Выберем случайную переменную У в виде случайной величины с логнормальным распределением с параметрами т и с:

W (Y) :=

1

exp

(б)

(ln Y - m) 20“

Y > 0.

Поскольку д-й момент логарифмически нормального распределения имеет вид

М [уд ] = етд +с2д2/2 то из (8) следует, что параметры т и с должны удовлетворять уравнению

2 2

mq + OL = log c(q) -

J r(a)r(2a + q) ,

T-lo82 r(a + q)r(2a) ^Nlog2.

(10)

Отметим, что распределение случайной переменной У может быть выбрано произвольно, однако это не изменит свойств модели. Логнормальное распределение было выбрано потому, что оно обладает наиболее простой лог-моментной функцией.

Полученная в итоге мультифрактальная модель имеет три параметра (а, т, с), полностью определяющие масштабную функцию т0(д) и мо-ментный коэффициент с(д) в виде следующих функций:

Г(а)Г(2а + д)

T0(q) = log2

Г(a + q)r(2a) ’

r(a)r(2a+q)

(11)

2 2 N q-log2-

c(q) = emq+CTq/22 ^ r(a+q)r(2a)>. (12)

Зависимости (11) и (12) представлены на рис. 3 и 4 соответственно.

Рис. 4. Зависимость lnc(q) при различных значениях а = const

Гауссовский процесс с масштабным свойством является монофрактальным и его параметры имеют вид

т(я) = 2 [(2) +1]-1,

-iq/2

c(q)=[2c(2)TV q+1

■v/п ^ 2

Для ФБД при q = 2 имеем т(2) = 2H -1. Тогда получаем:

c(2) =1 и

z(q) = qH -1,

( ) 2q/2 rf q +1

c(q)=IT 4-2-

Откуда, в гауссовском случае T(-) = T(q) +1 = qH .

(13)

Таким образом, процесс моделирования представляет из себя совмещение мультипликативного каскада и независимого, одинаково распределенного логнормального процесса. В результате полученная модель трафика в состоянии охватить все характеристики мультифрактальности, определяемые при помощи ее функции масштабирования и моментного коэффициента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Trang Dinh Dang. New results in multifractal traffic analysis and modelin, Ph.D. Dissertation, Budapest, Hungary 2002.

2. A. Feldmann, A. C. Gilbert, W. Willinger, Data networks as cascades: Investigating the multifractal nature of Internet WAN tra_c, ACM Computer Communication Review 28. 1998, pp. 42-55.

3. A. Fisher, L. Calvet, and B. B. Mandelbrot, Multifrac-tality of Deutschmark/US Dollar exchanges rates, Yale University, 1997.

4. A. C. Gilbert, W. Willinger, A. Feldmann, Scaling analysis of conservative cascades, with applications to network traffic, IEEE Trans. Inform. Theory 45 (1999), no. 3, pp. 971-991.

5. R. H. Riedi, Multifractal processes, Theory and Applications of Long Range Dependence (P. Doukhan, G. Op-penheim, and M. S. Taqqu, eds.), Birkh'auser, Boston, 2002.

6. R. H. Riedi W. Willinger, Toward an improved understanding of network traffic dynamics, Self-Similar Network Tra_c and Performance Evaluation (K. Park and W. Willinger, eds.), Wiley, 1999.

7. G. Samerc/d^ts^ M. S. Taqqu, Stable non-Gaussian processes: Stochastic models with infinite variance, Chapman & Hall, New York, One Penn Plaza, New York, NY 10119, 1994.

8. R. Hclley E.C. Waymire, Multifractal Dimensions and Scaling Exponents for StronglyBounded Random Cascades, Annals of Applied Probability, Vol 2, 1992. pp 819-845.

Поступила: 01.11.2005