Оценка влияния фрактальности трафика на построение очередей телекоммуникационных сетей Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 693.548.58

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ФРАКТАЛЬНОСТИ ТРАФИКА НА ПОСТРОЕНИЕ ОЧЕРЕДЕЙ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

О.И Шелухин, А.В.Куюн, Д.А. Лукьянцев

Рассмотрено влияние моно- и мультифрактальности трафика на характеристики очередей телекоммуникационных сетей; получены аналитичесакие и численные оценки.

Impact of the traffic mono- and multifractality on the queueing performance in the telecommunication networks is considered. Analytical and numerical estimations are obtained.

При проектировании любой территориально распределенной телекоммуникационной сети приходится сталкиваться с ограничениями на пропускную способность каналов. В этих условиях оценка эффективной полосы пропускания и времени запаздывания становится одним из ключевых вопросов. Расчеты на основе классических методов теории очередей, ориентированные на некоррелированные потоки заявок, в условиях самоподобного трафика дают чрезмерно оптимистические результаты. После обнаружения фрактальной структуры в сетевом трафике анализ построения очередей для фрактального трафика на входе в рамках классической теории построения очередей становится проблематичным. К настоящему моменту опубликовано несколько важных результатов [1,2,3,4,5].

Исследование влияния фрактальности на построение очередей является важной задачей. Некоторые приложения сетевого проектирования, такие как задание размера буфера и управление трафиком, связаны с этим вопросом, что делает его чрезвычайно актуальным.

Модель построения очередей с трафиком в виде фрактального броуновского движения

Рассмотрим простую модель построения очередей. Очередь отдельного сервера рассматривается в непрерывном времени, дисциплина обслуживания задана как FIFO. Очередь обладает бесконечным буфером и постоянной интенсивностью обслуживания г. Обозначим через A(t) общий объем нагрузки, поступающей в очередь с момента времени (-t) в прошлом до настоящего момента времени (t = 0). Так называемый процесс нагрузки Q(t) является общим объемом нагрузки, хранимым в буфере на интервале (-t;0).

Определим текущую длину буфера очереди Q(t ,r), которая является длиной очереди в равновесном состоянии, когда система эксплуатируется в течение длительного интервала времени и начальная длина очереди не оказывает на нее никакого воздействия. Если такое состояние системы существует, т.е. справедливо предположение стационарности и эргодичности процесса нагрузки, и, кроме того, достижимо состояние устойчивости системы, то тогда

Q(t;г) = sup (A(t) - A(s) - г(t - s)). (1)

0<s<t

Здесь (A(t) - A(s)) - величина нагрузки, поступившей для обработки в течение интервала времени [s, t]; г(t - s) - величина нагрузки, которая обработана в этот же интервал времени.

Будем рассматривать входной процесс поступлений A(t) как фрактальный процесс вида

A(t) = Xt + 4aXZ(t), t е(-ж;»), (2)

где Z(t) - нормированное фрактальное броуновское движение (ФБД) с показателем Херста H е [0.5; 1] процесса Z(t) и интенсивностью обслуживания г >Х; X > 0 - средняя входная интенсивность; а > 0 - коэффициент изменения.

Видно, что уравнения (1) и (2) полностью характеризуются четырьмя параметрами: X, а, H и г.

Учитывая самоподобность процесса Z(t), можно получить из (2) более точное соотношение между параметрами сети - размером буфера L, пропускной способностью канала C и параметрами трафика г, а и Н для граничных значений.

Анализ построения одиночной очереди с ФБД на входе впервые был представлен в [4], где показано, что распределение для длины очереди может быть аппроксимировано распределением Вейбулла. В частности, в [4] найдено, что хвост

распределения очереди в случае ФБД для больших Ь на входе удовлетворяет равенству

log(P[Q > L])

-1 l2(1-h)r2H x 2

х(1 - Н)-2(1-Н)Н-2Н . (3)

На рис.1 представлены зависимости аппроксимации хвоста очереди от размера очереди Ь в log-log масштабе при фиксированных Н и г, позволяющие судить о закономерностях построения очередей, которые можно выразить следующей формулой:

log(P[Q > L]) = f (L) = -log

L

2(-H).

x r

2 H

(1 - h )

2(-H)

H

-2H

C = r +

{k (H )V-2ln є}

_L -(1-H) _L

H a 2H L H r 2H

(4)

где к(Н) = Нн (1 - Н)1-н .

Для практического использования (4) в качестве формулы, задающей размер канала, интересно рассмотреть ее чувствительность к а и Н. На рис. 2 показаны рекомендуемые пропускные способности каналов с различными значениями а и Н при г = 2 Мбит/с, є = 10_3 и для двух размеров буфера: Ь = 100 КБайт и 1 МБайт. Видно, что когда буфер является небольшим, требования к каналу меньше зависят от Н, чем когда буфер является большим. Наблюдаемый результат иллюстрирует известный факт - кратковременно зависимому трафику очень трудно наполнить большой буфер.

Рис. 1. Зависимость аппроксимации хвоста очереди от размера очереди Ь при фиксированных Н: а - г = 1;

б - г = 5

Наблюдаемая линейность графика иллюстрирует затухание вероятности по закону Вейбулла. Полагая, что вероятность P(Q > L) = s и р = г / C, можно решить (3) относительно пропускной способности С и найти, что QoS приблизительно достигается, когда

Рис. 2. Пропускная способность канала как функция от а при г = 2 Мбит/с и Н = 0,5 (кривые 1, 4); 0,7 (кривые 2, 5) и 0,9 (кривые 3, 6); верхние три кривые для Ь = 100Кбайт, нижние три для Ь = 1 МБайт

Полученные результаты показывают, что распределение очереди с ФБД на входе обладает гораздо меньшим затуханием, чем в экспоненциальном случае. Однако построение очередей с трафиком в виде ФБД на входе базируется на гауссовском свойстве входного процесса и не может быть распространено на другие процессы с масштабными свойствами. Существует всего лишь несколько результатов построения очередей для случаев, когда трафик обладает более сложным масштабным поведением, например процесс в виде фрактального движения Леви (ФДЛ).

Фрактальное движение Леви

Проведем аналогичный анализ для более общего случая, когда нагрузка в сети является самоподобной и устойчивой, а не гауссовской. Известно [6,7,8], что а-устойчивые модели относятся к наиболее проработанным с точки зрения теории

очередей реалистическим моделям самоподобного трафика.

Использование смещенного фрактального устойчивого шума в качестве модели трафика позволяет получить в явном виде выражения для очереди с соответствующим фрактальным входным потоком.

Рассмотрим очередь отдельного сервера с постоянной интенсивностью обслуживания г > 0 и бесконечным буфером, где в качестве входного процесса используется устойчивый самоподобный процесс - ФДЛ. Удачным свойством ФДЛ, позволяющим использовать данный процесс для моделирования сетевого трафика, является характер плотности распределения, полностью смещенный на положительную полуось. По аналогии с моделью Норроса, объем поступившего за период [0, t) в канал трафика равен

A(t) = mt + (__ m)1/a LaH (t). (5)

Здесь m > 0 - средняя входная интенсивность; a е (1; 2] - показатель устойчивого распределения, влияющий на его «весомость»; a > 0 - масштабный параметр, определяющий разброс значений трафика вокруг среднего значения интенсивности; H е [1/a, 1) - параметр Херста (этими четырьмя параметрами и задается модель трафика);

1 г

La,H(t) =-F7H-I)JdLa(T)(t-t)H-1/2 -

1 (H + 2) 0

ФДЛ-процесс, где La (t) является ординарным симметричным a-устойчивым движением Леви (ОДЛ) (ordinary symmetric a-stable L evy Motion (oLm)).

Процесс занятия буфера Q(t, г) на момент времени t (размер очереди или длина очереди), может быть записан аналогично (1):

Q(t; г) = sup (A(t) - A(s) - г(t - s)). (6)

0<s<t

Очевидно, что Q(t, г) в действительности является стационарным, дробным, устойчивым процессом, что является следствием стационарности, самоподобности и устойчивости приращений ФДЛ -процесса. Уравнение

s = P(Q(0; г) > L) = P(sup(A(t) - гт) > L) (7)

т>0

может рассматриваться как требование к качеству обслуживания (QoS), определяющее требование к емкости буфера L > 0 и связанное с вероятностью его переполнения. В [7] показано, что требование

QoS эквивалентно формуле распределения пропускной способности

-1/a (H —-+—) г = m + q (1,s)a 2 a x

-(3-Н--)/(Н-1+1) 1/(a(H-1)+1)

xL 2 a 2 a

m

(8)

и формуле задания размера буфера

-H H-

1-p

3 1_

2 a _______________

.H-l+i H-1+1

p

_1/a (H - 2+-1) -j - 2 a q l(1,є).

= a 2 “ q ‘(1,s). (9)

Здесь q(1, s) найдено из соотношения

q(L, s) = P(sup?>0(La,H (т) -st) > L) при L = 1; p = m / г - коэффициент использования очереди; г > m для обеспечения устойчивости.

Подставляя p = m / г в (8), можно получить

формулу задания размера буфера.

Применим приведенные выше формулы к различным типам входного трафика.

1. Входной процесс моделируется при помощи ординарного броуновского движения, т.е. H = 1/2 и a = 2. В этом случае (9) сводится к уравнению

L = L(p) = const p(1 -p)-1. (10)

2. Входной процесс моделируется при помощи ординарного движения Леви, т.е. H = 1/2 и 0 < a< 2. В этом случае получаем

1 1_

L = L(p) = const pa-1(1 -p) a-1. (11)

3. Определяя из (9) размер буфера L при фиксированной интенсивности обслуживания г, a = 2

и H > '2, получаем

L = L(p) = const p1/(2(1-H)) (1 - p)-H/(1-H), (12)

что совпадает с результатом, полученным в [4].

Решая относительно г уравнение для распределения пропускной способности (8), при фиксированной L получаем

г = г(p) = const p1/(2H-1)(1 -p) ( 2). (13)

Решая (8) относительно размера буфера L, соответственно получаем

L = L(p) = const p1

_1/a (3 -^1-H)

x(1 -p) 2

■- -1 -H

(14)

4. В качестве входного процесса подаем ФДЛ, что является более общим случаем. Из (9) формируем требование к размеру буфера L как функции от использования р .

В результате для ФДЛ получена следующая зависимость требуемой интенсивности обслуживания в СМО вида ФДЛ/D/l от загрузки р:

_(H - -2+^

r = r(р) = const-р1/а( 1 )(1 -р) (H 1 , (15)

что можно рассматривать как обобщение широко известных соотношений Норроса [4] для фрактального гауссовского шума (ФГШ) (гауссовский случай - а = 2). При этом значение константы-коэффициента учитывает объем буфера и параметры качества сервиса. График зависимости (15) представлен на рис. 3, из которого видно, что при значительных загрузках канала негауссовский трафик требует существенно большей пропускной способности канала при одинаковой интенсивности и сохранении требований к QoS.

8 = P(Q(0; r) > L) >ДаL

-а(2- H - -1)

L —— & .

(16)

( ( 3

где Да = Ma ( а m)

(3 - H )а -1

а

а(H - 2) +1

\а (H - -2-)+1

|^(-| - H)а- 1j (r - m)

(17)

Л /Г а T1 / 1 \ ■ па

Ма =----------Г(а + 1)sin—.

ап 2

(18)

Требуемая интенсивность обслуживания r в СМО вида ФДЛ/D/1, удовлетворяющая критерию QoS, находится из решения (16) относительно r, в результате которого можно получить соотношение

r=m+(Ма / 8)

1/(а^-1)+1) 2)+1)

3 +1

Рис. 3. Зависимость интенсивности обслуживания от коэффициента использования при а = const

Асимптотическая нижняя граница для вероятности переполнения буфера

Определим асимптотическую нижнюю границу для распределения длины очереди в СМО с постоянным временем обслуживания и интенсивностью обслуживания, которая обеспечит требования к QoS . Из [1] известно, что асимптотическая нижняя граница для вероятности переполнения буфера определяется при помощи выражения

1/(а (H - 2)+1) H -1+1

xm 2 b 2 а . (19)

Сравнивая приведенное выше приблизительное требование с точным, полученным при помощи формулы распределения пропускной способности (4), наблюдаем, что они отличаются только

1/(а (H - 2)+1)

коэффициентом (Ма / 8) 2 . Для броунов-

ского случая, т.е. когда H = 1/2 и а = 2, выражение (16) сводится к хорошо известной асимптотике, полученной для экспоненциального распределения.

Таким образом, можно сделать важный вывод после рассмотрения соотношений для очередей и a-устойчивых моделей трафика - невозможно в общем случае описать поведение СМО с фрактальным входящим потоком, ограничиваясь только интенсивностью и параметром Херста.

При исследовании влияния на a-устойчивый трафик типового алгоритма ограничения скорости, применяемого в оборудовании передачи данных («leaky bucket»), получены примечательные результаты, касающиеся изменения параметров [8]. Процедура ограничения скорости приводит к тому, что любой исходный a-устойчивый трафик в «ограниченном» канале сводится к гауссовскому (а = 2), полностью сохраняя при этом фрактальные свойства: значение параметра Херста H практически не изменяется. Безусловно, при этом приложения испытывают существенную задержку за счет буферизации или отбрасывания пакетов.

Мультифрактальный трафик

В [1] показано, что вероятности для асимптотик хвоста распределения очереди для модели построения очередей с одним сервером с обобщенным мультифрактальным процессом на входе для больших L точным образом аппроксимируются выражением

log( P[Q > L]) *

^minlog

g>0

c(q )

LTo(q) To( q)

r (q-To(q))

Lq q

q-To(q)

(20)

где q - порядок момента времени и т0 (q) = x(q) +1.

X

x

Масштабные функции x(q) и c(q) являются функциями, которые полностью определяют мультифрактальный входной процесс [10]. Рассматривая (20), можно наблюдать, что она имеет точный вид, и только заданный вид масштабной функции T0(q) и моментного коэффициента c(q) может дать окончательный результат. Анализ систем построения очередей с обобщенным мультиф-рактальным входным процессом показывает, что он может давать некоторые схожие обобщенные результаты в случаях монофрактальных входных процессов. Это означает, что не существует общего характера построения очередей для систем, как это имело место в случае гауссовских самоподобных процессов [4]. Реальная мультифрактальная модель будет определять, например, вероятности длины очереди для системы.

Гауссовский процесс с масштабным свойством является монофрактальным с параметрами

T(q) = 2 [(2) +1]-1,

•»'г( ^

+да

где Г (z) - J xz-1 exp-x dx, z > 0 - гамма-функция.

0

Для ФБД при q - 2 имеем c(2) -1 и т(2) - 2H -1.

Тогда получаем

x(q) - qH -1,

c(q) -17 Г( ir) • (21)

Откуда в гауссовском случае имеем

T>(q) -T(q) +1 - qH .

Подставляя найденные соотношения в (20), после преобразований получаем соотношение для больших L:

log(P[Q > L]) «-2l2(1-h v2H X

x(1 - H)-2(1-H)H-2H . (22)

Это соотношение совпадает с выражением, полученным в [4], что подтверждает положение о том, что ФБД является частным случаем мультифрак-тальных процессов.

Очереди в случае мультифрактального трафика на входе

Предположим, что входной процесс проявляет свойства мультифрактального масштабирования, а масштабная функция x(q) и функция c(q)

могут быть оценены из экспериментальных данных для нескольких возможных параметров д > 0. Следует обратить особое внимание на важность функции с(д) как на количественный коэффициент мультифрактального процесса. Масштабная функция т(д) определяет только качество мультимасштабности, и ее одной не достаточно для описания мультифрактальной модели, а, следовательно, и для анализа моделей построения очередей с муль-тифрактальными процессами на входе.

Учитывая интенсивность обслуживания г и множества (с(д)} и {Тд)}, используя (1), аппроксимация для \ogP\Q >Ь] может быть вычислена для каждого значения Ь.

В результате аппроксимация вероятностей хвостовой части распределения очереди (20) может быть переписана в следующем виде:

logP[Q > L] « min{logc(q) +

q>0 I

+x0 (q)iog

где T0 (q) - log2

- q log

Lq

q -T0(q)J

Ltq(q) r(q -To(q))

Г(а)Г(2а + q)

Г(а + q)Г(2а) ’

Г(а )Г (2а+q)

22 N q-log2 c(q) - emq+° q n2 ( Г(а+?)Г(2а)

Зависимость (24) представлена на рис. 4.

(23)

(24)

(25)

Рис. 4. Зависимость г0(д) от д

На рис. 5. представлена зависимость логарифма моментного коэффициента от д при N = 20, ст = 0,23 , т = 0,57 , д = 0 до 15:

(

ln c(q) -

(

q - log2

mq +

Г(а)Г(2а + q) V Г(а + q)Г(2а) ^

N ln(2),

(26)

Рис. 5. Зависимость ln c(q) от q

Используя (4), можно найти значение логарифма вероятности превышения^ размера буфера на хвосте распределения Ідлвх сооЦетугвующего значения размера очереди L при помощи численной минимизации log P[Q > L] с оцененными

множествами {c(q)} и {r0(q)}.

Мультифрактал и монофрактал

Рассмотрим мультипликативный мультиф-рактальный процесс с симметрично распределенным множителем Beta (a,a) [9]. Длярітого мультифрактала характеристические функции могут быть точно подсчитаны на конкретном уровне каскада.

Предположим, что существует монофрак-тальный процесс с точно таким же моментным коэффициентом c(q), как и у мультифрактального, но обладающий одномасштабной фрактальной структурой T0(q) = qH . Тогда (20) преобразуется к виду ^J.Q

log Pл [Q > L] =

=log

q

л/п

q +1 2

LH

r (1 - H)

qH

L

1 - H

(27)

Зная характеристические функциифасштаб-ных процессов с(д) и т(д), оценку вероятностей на хвостах распределения для системы построения очередей можно вычислить для больших размеров очереди (интенсивность обслуживания устанавливается равной г = 2,0) с помощью численного метода. Результаты расчета по формулам (23) и (27) представлены на рис. 6 и рис. 7.

Можно наблюдать, что аппроксимированные вероятности длины очереди на хвосте распределения очереди в мультифрактальном случае гораздо выше, чем в монофрактальном (гауссовском) случае.

Рис. 6. Зависимость log P[Q > L] от значения размера очереди L при заданных значениях г: а - а -15 ш}б- 5

Рис. 7. Зависимости log P[Q > L] (1) и log P^[Q > L] от значения размера очереди L (/ -0,9 (2) I -0,8(5)): а - r = 5; б - r = 7

На рис. 8 представлена зависимость при L - const:

log P[Q > L] - f (q) - ln c(q) +

+To( q)ln

где To(q) - log2

LTo(q) r (q -To(q))

Г (а )Г (2а + q)

- q ln

Lq

q -To(q)

Г (а + 2)Г (2а)

ln c(q) -

mq +

+(q -To(q) )N ln(2)

Рис. 8. Зависимости log P[Q > L] от q при постоянных

L (1 - L = 105, 2 - L = 2-105, 3 - L = 4-105, 4 - L = 5105): а - r - 3,5; б - r - 5

Теоретическая вероятность хвостовой части распределения очереди для каждого значения размера очереди L является минимумом зависимости log P[Q > L].

Для нахождения минимума нет необходимости строить зависимость log P[Q > L] для каждого значения q. При помощи несложной программы эта процедура может быть реализована для всех соответствующих значений L.

Исследования механизма построения очередей для отдельного сервера с бесконечной емкостью буфера при постоянной интенсивности обслуживания, на которую подавался обобщенный -мультиф тальный процесс, показали, что может

на аппроксимация асимптотики вероятностей распределения длины очереди в устойчивом состоянии.

Показано, что аппроксимация приводит к хорошо изученному случаю распределения очереди по закону Вейбулла, когда в качестве входного процесса выбирается монофрактальное броуновское движение. Исследованы и представлены некоторые последствия мультифрактальности.

Полученные формулы дают корректные результаты при анализе как мультифрактального, так и монофрактального трафика.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brichet F., Roberts J., Simonian A., Veitch D., Heavy traffic analysis of a storage model with long range dependent on/off sources, Queueing Systems 23 pp. 197215, 1996.

2. Giordano S., O'Connell N., Pagano M., Procissi G., A variational approach to the queueing analysis with fractional brownian motion input traffic, 7th IFIP Workshop on Performance Modelling and Evaluation of ATM Networks (Antwerp, Belgium), June 1999.

3. Lui Z., Nain P., Towsley D., and Zhang Z.L., Asymptotic behavior of a multiplexer fed by a long-range dependent process, J. Appl. Prob. 36 1999, pp. 105-118.

4. Norros I., A storage model with self-similar input, Queueing Systems 16, 1994, pp. 387-396.

5. Tsybakov B. Georganas N.D., On self-similar traffic in ATM queue: Definitions, overflow probability bound, and cell delay distribution, IEEE/ACM Trans. on Networking 5 (1997), no. 3, pp. 397-409.

6. Willinger W., Taqqu M.S., Erramilli A., A bibliographical guide to self-similar traffic and performance modeling for modern high-speed networks, Stochastic Networks: Theory and Applications (Oxford) (F. P. Kelly, S. Zachary, and I. Ziedins, eds.), Royal Statistical Society Lecture Notes Series, vol. 4, Oxford University Press, 1996, pp. 339-366.

7. Laskin N., Lambadaris I., Harmantzis F.C., Devet-sikiotis M., Fractional Levy motion and its application to network traffic modeling. // Elsevier. Computer Networks, 40, 2002, p. 363-375.

8. Karasaridis A., Hatzinakos D., Network Heavy Traffic Modeling Using а-stable Self-Similar Process // IEEE Transaction on Communications, Vol.49 No 7, 2001. - pp. 1203-1214.

9. Trang Dinh Dang. New results in multifractal traffic analysis and modeling. Ph.D. Dissertation, Budapest, Hungary. 2002.

10. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях/ Под ред. О. И. Шелухина - М.: Радиотехника. 2003.

о

V4%P{Q>L]

Поступила 0^.11.2005 г, 2

3 53