Теория организации очереди для мультифрактального каскадного процесса Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.396.67

Теория организации очереди для мультифрактального каскадного процесса

А.В. Осин, О.И. Шелухин

Рассмотрены мультипликативные каскадные процессы, обладающие глобальным показателем масштабирования при использовании их в рамках теории эффективной пропускной способности для получения соотношений производительности при построении очередей; приведены результаты анализа построения очередей

Multiplicative cascades processes are consider to possess a global scaling exponent. It used in the context of effective bandwidth to obtain relations for the performance of queueing systems. Results of the queueing analysis are presented.

Постановка задачи

Мультипликативные каскадные процессы (МКП) могут рассматриваться как процессы, обладающие глобальным показателем масштабирования Heff, сходные с монофрактальными процессами [1], так что результаты анализа очередей, предложенные Норросом [3], могут быть обобщены. Поскольку мультифрактальные процессы описываются глобальным показателем масштабирования Heff (в смысле ограничения или асимптотически), на макроуровне его можно моделировать, используя процесс фрактального броуновского движения (fBm). Хотя это и очень грубая аппроксимация, не учитывающая всей сложной структуры масштабирования, которая присутствует в мультифрактальном процессе, она часто используется для аналитической оценки параметров очереди.

Типичным требованием к сетевым приложениям является параметризация вероятности того, что объем работ в системе превышает определенный уровень QoS (х) не более чем на параметр в. Оценка функционала, задаваемая как B=P[V(t)>x], в данном случае очень важна. Оценка явного отношения между расчетными параметрами х (требуемым объемом буфера), C (скоростью обслуживания) и р= m/C (коэффициентом использования), получена в виде [3]

( Г с(н-V2) 1 (л „\ 1-н А

P [V (t)> x] = s = f

(1 -P)

,1/2 H

1/2 H

.(1)

нимания динамики поведения очереди с входным процессом определенного типа. Выражение для определения длины очереди на основе глобального показателя масштабирования Иеа- можно записать следующим образом [3]:

Heff

1-Heff

x

= K (pP"« ) ( -p

- Heff 1-Heff

(2)

где К - константа.

Можно сделать интересное наблюдение об интенсивности изменения длины буфера относительно Иейй. Как видно из (2), производная х относительно Ией получается как

dx

dHf

1

(1 - H eff )2

,2(-Hef

) ) \_Heff_

'(1 -p)l-Heff log

Ур

1-P

.(З)

Интенсивность изменения длины буфера имеет гораздо большую значимость при анализе, когда р>0,75. Кроме того, она в высокой степени зависит от Иейй. Даже небольшое изменение показателя масштабирования влечет за собой огромные изменения интенсивности изменения требуемой длины буфера.

Как и в случае определения длины буфера, выражение для скорости обслуживания очереди может помочь при проектировании, когда в зависимости от заданного верхнего предела длины буфера и задержки требуется оценить необходимую скорость обслуживания очереди. Скорость обслуживания может параметризоваться в соответствии с выражением [3]

Параметры QoS, подобно задержке пакетов, непосредственно связаны с объемом буфера. Поэтому исследование изменения длины буфера при изменении скорости обслуживания и интенсивности поступлений имеют большое значение для по-

Heff (Heff-1) - ч. Heff-l2

с = KP (1 -p)

(4)

Распределение длины очереди дает информацию относительно поведения очереди. Отклонение от пуассоновского либо марковского поведения также важно, поскольку влияет на проектирование

и алгоритмы управления буфером. Распределение длины очереди может быть определено в виде

р [V (t)> х] =

I -1 I 1-т | | 1

= ехр<

2am I H

1 - H„

x

2(1-Heff) I _

= exp

-1

(1 - m )(1 - H eff)

2am (1 - Heff )2 I H,

x

2(1-Heff) I

(5)

Видно, что (5) описывается соотношением вида exp(-yx^), где в < 1, что соответстствует распределению Вейбулла. Этот важный результат иллюстрирует отличие данного распределения очереди от наблюдаемого в случае пуассоновского входного потока, а также доказывает, что распределение зависит от показателя входного процесса Heff. Дополнительное распределение длины очереди также имеет более тяжелый характер хвоста, чем экспоненциальный (как в случае пуассонов-ского либо марковского процессов поступлений.) Глобальный показатель масштабирования дает возможность расширить результаты исследований на управление и оценку пропускной способности самоподобных процессов, а также для каскадных процессов.

Оценка эффективной пропускной способности для обеспечения QoS

Пусть Х(т) - процесс с постоянными приращениями X(i), обозначающими количество трафика, прибывшего в 7-й момент времени, т.е.

т

Х(т) X(7) - нагрузка, поступающая к ресурсу

7

за интервал [1, т]. В этом случае эффективная пропускная способность определяется выражением

\ (0, т) = 0-logМ x 0т

,еЕТ=1 X (7

(6)

нарен по характеру и его энергетическии спектр не может быть определен. Более того, нет связи между спектральной плотностью потока трафика и входнои нагрузкои в системе построения очереди. Общепринято считать, что низкочастотные компоненты функции автокорреляции в первую очередь отвечают за заполнение буфера системы построения очереди и что медленно спадающая функция корреляции подразумевает долговременную зависимость. Новый метод описания трафика заключается в использовании эффективной пропускной способности. Понятие эффективной пропускной способности предложено при рассмотрении стохастических моделей для статистического распределения ресурсов. Функция эффективной пропускной способности выделяет понятие нагрузки, прибывающей в очередь, а не маргинальное распределение и автокорреляцию трафика.

Трафик интерпретируется как текучий источник с интенсивностью наполнения Я бесконечной очереди с постоянной интенсивностью обслуживания С. Вероятность пульсаций в трафике, поступающем с постоянной интенсивностью Я (Я > С) связана с вероятностью достижения в течение рассматриваемого периода времени некоторой длины очереди В (рис. 1).

Понятие эффективной пропускной способно-

где ве Я - пространственная шкала, байт-1, или ячейка-1; т - временная шкала, с.

Наиболее важные пространственные и временные области при оценке поведения и эффективности работы системы определяются на основе конкретных сетевых ресурсов и гарантированных показателей качества, которые, в свою очередь, получены с учетом эффективной пропускной способности трафика.

Автокорреляция характеризует спектральную мощность потока трафика. Однако в случае широкополосного трафика этот поток часто нестацио-

Рис. 1. Модель очереди

сти тесно связано с анализом больших отклонений в системах построения очередей, когда рассматривают вероятность больших длин очередей, возникающих в сети [2]. Преимущество использования эффективной пропускной способности в том, что она сама годится для анализа сети и с ее помощью могут быть выполнены эмпирические оценки.

Эффективная пропускная способность для МКМ-процесса

Пусть Х^) - МКМ-процесс поступления с глобальным показателем масштабирования Иец.

Предполагается, что на больших масштабах времени статистические характеристики соответствуют ®т и могут быть записаны как

М[Х(т)] = ц т о 2[Х (т)]= о2 т2 н еК.

Моментная производящая функция случайной переменной выражается в виде

(

ф(0) = exp /ЛТ0

т2 Hefa2021

(7)

V ■“ У

Эффективная пропускная способность задается соотношением 1

ebx (0,-) = —log^0) =

x 0-2 H‘*a20^

0-

/J.T0 -

= м-

0a2

В случае МКМ-процесса экстремумы могут быть найдены следующим образом:

/ (0,т) = т» 8ир^( В + Ст) -

-0-

м-

0а2

0>O

(S)

Для нахождения экстремума в*, дифференцируем ^в,т):

d f (0,-) = O ^ (B + C-)--M + 0*a2-2Heff = O, d0

и решая его, находим

B + -(C - м)

a2-2 Heff

(9)

Подставив величину в* в (8), получаем функцию т в виде

f (-)= -f B +a--CH-f; М (B + C-)-

B + -(C -м) тf + B + -(c-м)а2 -2Hf-1

a2-2 Hef

a2-2 Heff2

После упрощений получаем

. , C + t(C-м))

f (-) =if------

(10)

то 2ст/г/Н«'

Аналогично, для получения экстремума т* дифференцируем (10) и приравниваем его к нулю:

с1/(т) т-2Не1Г-1 ( 2 / ч2 / \

—— Г(С-и) (1 -Не„) +

ат о к + В (С-и)(1 - 2Н» )т-НВ2}. (11)

Квадратное уравнение для т, представленное в (11), можно решить относительно величины т* как

*

- = ■

-f (вf C, b, м) ,(12)

2 (C-м2 )(1 - H f )

где f (Heff, C, B, м) = -B (C - м) (l - 2 Heff )± ±{(C-м)2 (1 - 2 Heff )2 +

+4 (C-м)2 (1 - H eff )H eff B2 f.

Взяв положительное решение, имеем B H

*

- =

eff

C-м(1 - H eff )•

(13)

(14)

Эффективную пропускную способность определим в виде

(0,-) = -

log M [exp (0xkk )]

0-

(l5)

где в - пространственная шкала, байт" ; т - временная шкала, с; хтк, - нагрузка, прибывающая за интервал времени т :

t=к+Т

(16)

xk =

I —/V “Г L

Е xC).

t=k

Двумерная поверхность, описываемая выражением eb (0, т), может оцениваться как для диапазона величин ве {...,10"5,...,10-1} , так и для те {2,4,...,216}, в том числе иллюстрировать эмпирическую эффективную пропускную способность, полученную из мультиплексированных трасс.

Таким образом, получены приближенные соотношения при организации очереди для процессов мультипликативных каскадов посредством расширения результатов Норроса в случае фрактального броуновского движения, а также выражения для эффективной пропускной способности, основанные на глобальном показателе масштабирования Hett.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях/ Под ред. О.И. Шелухина. - М.: Радиотехника, 2003.

2. Sheluhin O.I., Smolskiy S.M., Osin A.V. Self-similar processes in telecommunications. - John Wiley & Sons, 2007.

3. Norros I. A storage model with self-similar input. -

Queueing Systems, 1994, № 16, pp. 387-396.

Поступила 10.05.2007 г.

l