CC BY
76
УДК 621.396.67
Вейвлет-анализ параметров мультифрактального спектра цифровых видеопоследовательностей
О.И. Шелухин, д.т.н., профессор Российского государственного университета туризма и сервиса г. Москва, e-mail: [email protected]
К.Ю. Окулов, инженер, Центр космической связи «Дубна», e-mail: [email protected]
Найдены численные значения параметров аппроксимации скейлиноговой функции и масштабного коэффициента мультиф-рактальных спектров для широкого класса видеопоследовательностей, сжатых в соответствии со стандартом MPEG4.
Numerical values of approximation parameters of scaling function and scaling factor multifractal spectrums for wide class of video sequences compressed according to MPEG4 standard.
Ключевые слова: мультифрактальный спектр, фрактальный анализ, вейвлет-коэффициенты, функция разбиения, скейлинговая функция.
Key words: multifractal spectrum, fractal analysis, wavelet factors, decomposing function, scaling function.
Вейвлет-анализ самоподобных процессов.
Расчет фрактальной размерности и оценка параметров мультифрактального спектра производился различными методами. Доказано, что метод вейвлет-преобразований лишен многих недостатков, имеющихся в других известных методах.
Вейвлет-анализ позволяет выявлять количественные характеристики мультифрактальных систем, такие как спектр мультифрактальных размерностей ^(д), мульти-фрактальный спектр_Да) и др.
Определим вейвлет и масштабирующие функции самоподобного процесса {Х(0}, формирующие ортонормальный базис в Ь2 как
^(О = 2пу(2Ч - к), (1)
фк (0 = 2пф(2Ч - к), (2)
для j, к е ^ .
Тогда сигнал Х(0 может быть представлен как разложение для j, к е ^ :
ад
х(о=Ес^А0,к(о+ЕЕ^-,к^,к(о ’ (3) к к
где ^ соответствует самому грубому масштабу, используемому в разложении; коэффициенты с},к и й,к - соответствующие дискретному вейвлет-преобразованию (ДВП) сигнала,
с!,к =(х О ),ф ,кО)), (4)
= (х (0’ ,к О ^. (5)
Если J0 приближается к - ад, имеем:
X «) = Х к ((), (6)
],к
где ^:к - вейвлет-коэффициент.
В теории мультифракталов предпочитают использовать специальный подход, основанный на расчете обобщенных фрактальных размерностей как глобальных характеристик, по которым можно вычислить спектр сингулярностей fa). В рамках данного подхода вводится в рассмотрение так называемая функция разбиения (частичная функции, или обобщенная статистическая сумма), определенная как
м('. qHZI Cjdjk\4, (7)
k
где Cj - нормализованная константа; dj?k - вейвлет-коэффициент.
Сумма в (7) берется по тем точкам пространства, в которых модуль вейвлет-преобразования принимает максимальные значения (локальные максимумы модуля), так что выражение можно преобразовать к виду
м (j. q)=1/ I dx (j.k) |q • (8)
Функция )J.(j,q) представляет собой сумму q-x степеней локальных максимумов модулей вейвлет-коэффициентов, соответствующих масштабу j. При положительных значениях q функция log /J.(j,q) описывает скейлинг больших флуктуации и сильных сингулярностей, а при отрицательных q она отвечает за скейлинг малых флуктуации и слабых особенностей, проявляя тем самым свою чувствительность к разным аспектам динамики, лежащей в основе исследуемого сигнала.
Линейность логарифмических диаграмм при различном порядке моментов q говорит о масштабном свойстве ряда, т.е.
log2 м(/, q) = (log2 j)r(q) + log2 с (q). (9)
Оценка для скейлинговой функции z(q) представляет собой асимптотическое затухание функции разделения:
log Z (q,j)
r(q) = liminf
log
(10)
Функция r(q) может рассматриваться как масштабно-независимая мера фрактального сигнала. Ее нетрудно связать с размерностью Реньи, показателями Херста и Гельдера. С помощью (9) можно рассчитать зависимость r(q), используя линейную аппроксимацию, а по полученной зависимости r(q) найти мультифрактальный спектр fa).
Найденные численным способом функции x(q) и log2c(q) могут быть аппроксимированы полиномами вида
r(q) = -Со + с - с
q2
2!
+ С-
ql
3!
q 2
log c(q) = — a0 + a — a2^ + a
3!
(11)
(12)
Полученные аппроксимации могут использоваться при фрактальном анализе исследуемых случайных процессов.
Программное обеспечение
Для оценки функции разделениия, скейлингового показателя zo(q) и коэффициента c(q) на основе пакета прикладных программ MATLAB было разработано специализированное программное обеспечение. Внешний вид интерфейса MATLAB изображен на рис. 1.
Для выбора обрабатываемого файла, необходимо из меню “File” выбрать “Import Data...” и выбрать файл, содержащий записанные значения анализируемых данных. На экране появиться диалоговое окно «Import Wizard» (рис. 2.). После нажатия кнопки «Next» и «Finish» данные будут загружены.
Для запуска программы необходимо ввести следующую строку: WMEstimate (Arg1, Arg2, Arg3, Arg4, Arg5, Arg6, Arg7), где
WMEstimate - имя функции;
Argl - входные данные, представленные как векторы сигналов;
Arg2 - количество исчезающих моментов (для вейвлетов Добеши );
Arg3 - нижний предел шкалы масштаба;
Arg4 - верхний предел шкалы масштаба;
Arg5 - устанавливается в значение 1
для запуска инициализации рекурсии по методу МЯА (метод анализа по мультиразрешающей способности);
А^6 - при установке в 1 выводятся только положительные значения для т(д) и log2c(q) и подбираются значения полиномов для положительной части, при установке в 0 - выводятся отрицательная часть графиков и значения коэффициентов полиномов для всего диапазона;
А^7 - при установке в 1 выводится значение числа коэффициентов на октаве j.
Например: WMestimate (а11а&п,6,1,12,1,1,1).
На следующем шаге необходимо ввести диапазон рассчитываемых моментов (рис. 3).
В процессе работы программа находит для исходного файла вейвлет-коэффициенты Добеши путем свертки сигнала с характеристикой фильтра низкой и высокой частот и далее находит их среднее значение для каждой октавы. Кроме того, проводится оценка сумм произведения вейвлет-коэффициентов и коэффициентов детализации для диапазонов значений заданных моментов в выбранном ранее диапазоне.
Результаты работы программы выводятся в следующем виде:
• численные значения координат графиков;
• графики;
• численные значения коэффициентов полиномов выведенных линий графиков т(д) и ^2с(д).
Рис. 1. Интерфейс программы MATLAB.
Рис. 2. Импортирование файла «alladin» в качестве анализируемых данных
Рис. 3. Ввод значений параметра д в диапазоне от - 10 до +10
На рис. 4 приведен внешний вид результатов функции разбиения с пояснениями.
Далее с помощью графических интерфейсов (рис.5) выводятся зависимости г0(д) и ^2с(д).
Численные результаты
Примеры рассчитанных зависимостей т(д)и _Дк) приведены на рис. 6 и 7. Зависимость т(д) не является линейной, а спектр /(И) расширен по сравнению со спектром для броуновской кривой. Значение максимума спектра _ДИ) ~ 1, что свидетельствует о том, что носителем меры опять выступает прямая линия, а сама поверхность представляет собой самоаффинный мультифрактал.
Для каждого файла анализировались следующие данные:
• число байт в кадре: рис. 6 а, 7 а показывают пульсирующую природу видеотрафика, сгенерированного кодером. Нестационарность очевидна из трасс, представленных на рисунках.
функция разбиения: на рис. 6 б, 7 б виден наклон кривых, нелинейно увеличивающийся с увеличением q. Наблюдаемые искажения отражают особенности фрактального поведения рассматриваемого процесса. Ключевым моментом является то, что степень сжатия не затрагивает существования фрактального поведения видеосигнала.
• экспонента масштабирования z(q). Нелинейность кривой характеризует мульти-фрактальность анализируемого трафика. Прямая линия подразумевает точное самоподобие (монофрактальный процесс).
• масштабный коэффициент log2c(q). Нелинейность кривой характеризует дополнительную информацию мультифрактального поведения анализируемого трафика.
Представленные ниже в таблице значения коэффициентов аппроксимации могут использоваться при анализе построения очередей в телекоммуникационных сетях [2].
с шагом 2 а
41.48 ; 27.22 ; -4.83 ; 3.29 ;
30.39 ; 19.17 ; -5.94 ; 0.51 ;
19.29 ; 11.13 ; -7.01 ; -2.23
8.20 ; 3.12 ; -7.99 ; -4.89 ;
-2.76 -4.58 ; -8.61 ; -7.24
0.00 ; 0.00 ; 0.00 ; 0.00 ; 0.
20.35 ; 20.22 ; 19.95 ; 20.77
42.46 ; 42 .54 ; 42.47 ; 45.18
65.41 66.03 ; 66.54 ; 71.32
88.99 90.2 6 ; 91.35 ; 98.15
113.08 ; 114.90 ; 116.49 ; 125
0.03 ; 0.07 ; 0.
: 25.71 ; 26.05 ;
: 53.16 ; 54.15 ;
: 81.30 ; 83.02 ;
120.92
Рис. 4. График разложения моментов и их представление в численном виде, начиная с наименьшего
Рис. 5. Графические интерфейсы вывода зависимостей г0(д) и log2C(g)
Рис. 6. Вейвлет-анализ и определение параметров мультифрактального спектра трассы <«Тигазік Рагк»: а - число байт в кадре; б - функция разбиения; в - зависимость ^); г - зависимость 1(^2с(д)
Рис. 7. Вейвлет-анализ и определение параметров мультифрактального спектра трассы «Formula 1»: а - число байт в кадре; б - функция разбиения; в - зависимость z(q); г - зависимость log2c(q)
Таблица. Численные зависимости коэффициентов аппроксимации
Вид трассы Коэффициенты аппроксимации для функции z(q) Коэффициенты аппроксимации для функции log2C(q)
a0 a1 a2 c0 c1 c2
Alpin Ski 0,84620 0,28289 0,02612 0,41200 13,37411 - 0,06005
ARDNews 0,83111 0,83111 0,00767 0,20968 13,46437 - 0,23550
DieHardIII 0,86304 0,23917 0,02267 0,06072 13,11719 - 0,05988
Formulal 0,82813 0,16526 0,01450 0,00307 11,94866 - 0,16447
Jurasik Park 0,99534 0,40167 0,01155 0,62177 14,72874 - 0,15331
News 1,03792 0,33026 0,00841 1,28684 14,83373 - 0,10513
Office Cam 0,77132 0,29697 0,005352 - 0,06109 12,36105 - 0,02690
Parking Cam 0,32237 - 0,08476 0,05530 0,21706 9,86505 - 0,11443
SouthPark 0,92602 0,13726 0,00898 0,22414 11,77047 - 0,17373
Alladin 0,96983 0,37481 0,01212 0,46588 14,8168 - 0,13291
Таким образом, в статье изложена методика оценки параметров мультифрактального спектра с использованием программного обеспечения на базе пакета программ MATLAB. Найдены численные значения параметров аппроксимации скейлиноговой функции и масштабного коэффициента для широкого класса видеопоследовательностей сжатых в соответствии со стандартом MPEG4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шелухин О.И., Осин А.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения I Под ред. О.И. Шелухина. - М.: Физматлит, 2008.
2. Шелухин О.И., Окулов К.Ю., Матвеев С.Б. Методика оценки влияния показателей обобщенного мультифрактального трафика на построение очередей // Электротехнические и информационные комплексы и системы», 2009, т. 5, №2 С. 36 - 42.
3. Шелухин О.И., Урьев Г.А. Результаты экспериментальных исследований видеотрафика телекоммуникационной сети // Электротехнические комплексы и информационные системы, 2006, №1, С.24 - 27.
4. Шелухин О.И., Осин А.В., Урьев Г.А. Самоподобие и моделирование видеопоследовательностей // Наукоемкие технологии, 2007, №2 - 3.
5. Шелухин О.И., Осин А.В., Ахметшин Р.Р. Оценка самоподобности видеотрафика с помощью вейвлетов // Наукоемкие технологии, 2007, №2 - 3, С. 26 - 34.
Поступила 12.02.2009 г.
