Оценка самоподобия видеотрафика вейвлет-методом с автоматическим определением границ масштабирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.67

Оценка самоподобия видеотрафика вейвлет-методом с автоматическим определением границ масштабирования

К.Ю. Окулов, К.Е. Федоров

Представлены результаты исследования самоподобных свойств видеотрафика с помощью вейвлет-анализа, приведены экспериментальные значения параметра Херста для различных видеопотоков.

This paper describes the method for proper estimation of Hurst parameter for video traffic with multiracial features.

Ключевые слова: самоподобные свойства, видеотрафик, вейвлет-анализ, параметр Херста, границы масштабирования.

Оценка самоподобия трафика с помощью вейвлет-анализа

Вейвлет-анализ [6] выполняется путем разложения выборки Х(0: {х(^), х(^),..., х(^)} объема

п0 = 2/тах (п0 < N на функции детализации различного масштаба. Здесь /тах=[^^1 - максимальное число масштабов разложения; [^N1 - целая часть числа ^2Ж

Значение индекса масштаба у=0 соответствует случаю максимального разрешения - самой точной аппроксимации, которая равна исходному ряду Х(0, состоящему из п0 отсчетов. С увеличением у (0 < у < /тах) происходит переход к более грубому разрешению. При заданной скей-линг-функции ф и материнском-вейвлете у коэффициенты аппроксимаций ау,к и коэффициенты деталей ау,к дискретного вейвлет-

преобразования для процесса X(0 определяются следующим образом:

ад ад

а]Л = |х ( )р},к ( К ам = | X ( ( )а/,

—ад —ад

где у = 2—1 /2^(2—и — к); ум = 2—1 /2у(2—^ — к).

В соответствии с положениями вейвлет-анализа известно, что временной ряд Х(0 может быть представлен в виде

/

X (/) = X/ (/) + ^ Dj (/),

1=1

п0/2/ —1

где X/ (/)= ^ а/кф/к (/) - функция начальной

к=0

аппроксимации, соответствующая масштабу / (/< /тах), а/к = (X([),^/^ - масштабный коэффициент, равный скалярному произведению исход-

ного ряда X(t) и масштабной функции «самого грубого» масштаба /, смещенной на к единиц масштаба вправо от начала координат;

п0 / 21 —1

^ (о = 2 ёукуук (/) - функция детализации

к=0

у-го масштаба, = ^ (0,^-,к) - вейвлет-

коэффициент масштаба у, равный скалярному произведению исходного ряда X(t) и вейвлет масштаба у, смещенного на к единиц вправо от начала координат.

Материнский вейвлет у(^ можно представить в виде полосового фильтра с граничными частотами а>1 и а>2, которые являются соответственно нижней и верхней отсечками частоты для

у(0. Квадрат процесса деталей d2,к грубо измеряет энергию около момента времени t = 2кД и частоты 2"у ю0, где Д - принятый единичный интервал времени; со0 = (ю1+ю2)/2.

Дисперсии процессов деталей dj на всех масштабах {2у} (когда такие процессы являются стационарными) это характеристики 2-го порядка процесса X(t), которые определяют вид «вейвлет-спектра» и могут быть найдены из уравнения [4]

М [а у к2] = | f (2)2у |Т(2у 2) IV (1)

где Д2) и ^(2) — спектр мощности V для преобразования Фурье и вейвлет-функции у0 (•) соответственно.

На основании (1) получаем

М [а у к2] ~ 2у (2Н—1 с^( Н ,у,), (2)

где С(Н, у) —постоянная, зависящая от Н и ц/0 .

Если длина выборки V равна п, то доступное число вейвлет-коэффициентов в октаве у

равно пу = 2 уп. В результате

Л

1

=М а,к2] -—2^ |2.

(3)

у к=1

Здесь величина /лу является несмещенной и

состоятельной оценкой для М[аа )2] .

Как показано в [10], можно найти взвешенную оценку а для а на интервале [Д; у2]:

“=2 , (4)

;=2

(5)

где у у = ^( Лу) — 8 у, =У(Пу / 2)/1п2 — ^ П /2);

(^2 — х2 к

^2 — А

время этот вопрос еще до конца не исследован [1]. Проанализируем выбор шкалы для оценки параметра Херста с помощью имеющихся математических средств.

Автоматическое определение нижней границы масштабирования

Метод обнаружения начала масштабирования основан на использовании устойчивости и отчетливости перехода на графике выборочной

функции <3 (у ) = 1 — ^—2 (К(/1)) от «зоны стремительного роста» до «нулевого равновесия» и нахождении масштаба у\ , соответствующего такому переходу [7]. Здесь F/-2 — дополнительная функция хи-квадрат распределения случайной переменной с т степенями свободы. В выражении для выборочной функции / = у2 — у1 +1 — ширина масштабного диапазона;

х=21/к 2; х=2 у к2; х2=2 /к',

у=j1 у= у'1 у= j1

к2 = 2/(пу 1п22) , пу - число коэффициентов-деталей

на соответствующем уровне разложения (у).

При практическом использовании изложенной процедуры оценки показателя Херста должна быть определена нижняя граница масштабирования. Аппарат для оценки параметра Херста на основе вейвлет-анализа предложен в [1] и основывается на оценке спектра при усреднении времени ^х^к)!2 на данной шкале:

10И2 Лу ~ (2Н — 1)у + с = ау + с.

Линейное отношение между ^2 Л и у в диапазоне шкал у у2] указывает на наличие ДВЗ. Для оценочного значения Н как параметра Херста можно выполнить линейную регрессию для 1og2 л на шкале у в диапазоне [у 1, у2]:

1оИ2 Л у = (2Н — 1) у + с. (6)

Формула (6) описывает возможный способ оценки показателя Херста в процессе с ДВЗ, где C=const. Это означает, если V(t) имеет ДВЗ с показателем Херста Н, тогда график зависимости 1og2(Лj) от у, называемый логарифмической диаграммой (LD), имеет линейный наклон 2Н — 1 и масштабный показатель а = (2Н — 1) может быть получен путем оценки наклона графика функции ^2 Л] от у.

Для асимптотической оценки параметра Херста важно правильно определить диапазон временной шкалы |уь у2]. Однако в настоящее

V(у1 ^2 (уу — (ау + ^к2,

(7)

у=Л

где оценки се и с определяются соотношениями (4) и (5) соответственно.

Ограничение числа степеней свободы величиной / — 2 обусловлено наличием двух налагаемых связей: наклона а и смещения с .

Детерминированная величина V описывает взвешенный квадрат расстояния подбора логарифмической диаграммы, который учитывается при вычислении 3 е [0;1]. В результате оценка V (у) является хи-квадрат случайной переменной с / — 2 степенями свободы.

Такая концепция удобна для практической реализации, так как тест критерия согласия может быть без труда применен к данным и явление резкого роста устойчиво к статистическим вариациям.

Алгоритм определения границы масштаба перехода у может быть представлен следующим образом:

Ш а г 1. Определяется диапазон у[1, у^] в котором 3(у1) является неуменьшающейся функцией. Если у'ко=1, тогда устанавливаем у\ =1, иначе 1.

Ш а г 2. Вычисляется коэффициент наклона r^=Q(/■)/Q(/■ - 1) для каждого уе [2, уж].

Ш а г 3. Выбирается некоторый коэффициент fac, названный «коэффициентом стремительного роста», и находится наибольшее у, такое, что Гу > fac. Если такого у не существует, тогда устанавливается у 1 = 1. Если такое у сущест-

ву =

=

■ * тз

вует, тогда ]1 приравнивается ему. В итоге уста* *

навливается ]1 = ]1 +1.

Экспериментальным путем показано [7], что при выборе коэффициента fac достаточно ограничиться значением 10, так как дальнейшее его увеличение оказывает слабое влияние на получаемый результат, а значения меньшие 10 приводят к неустойчивости результата и, следовательно, не могут быть выбраны.

Результаты оценки параметра Херста

Для практической оценки параметра Херста реальных трасс был использован пакет прикладных программ MATLAB. Различные трассы для исследования, такие как мультипликационные фильмы, новости, а также видео с камер наблюдения, представляющие собой кадры с разными степенями динамики, были получены с доступного сетевого ресурса, в которых оцифровка видеорядов производилась со скоростью 256 кбит/сек. Для построения и нахождения «точки равновесия» для выбранных трасс и выявления границ перехода использовалась специально разработанная для этих целей программа, написанная в среде МА^АВ [13]. Результаты обработки видеотрасс сведены в таблицу, где представлены оценки показателя Херста для видеотрасс, выполненные без и с учетом выбора начальной границы масштабирования.

Приведена сводная информация по полученным результатам с 95%-ными доверительными интервалами, которые описываются отклонениями со знаком Херста как на всей области логарифмической диаграммы, так и в зоне масштабирования, начало которой определено в соответствии с приведенным выше автоматическим алгоритмом.

На рис. 1 - 10 представлены результаты обработки видеопоследовательностей. Результат работы алгоритма автоматического определения нижней границы масштабирования изображен на рис. 1, в - 10, в. Сплошной линией показана «зона стремительного роста», а пунктиром «зона нулевого равновесия». Так как при вычислении функции Q для начальных масштабов ] = 1, 2, 3 были получены очень маленькие значения, то их логарифмы были усечены до -10. Горизонтальные линии на рис. 1, в - 10, в соответствуют значениям Q = 0,01; 0,05 и 0,1.

Ромбом на графиках отмечена найденная в результате работы алгоритма точка начала области масштабирования ]\ . По этой точке можно судить о нахождении «границы раздела» между кратковременными и долговременными корреляциями в данных. Так как при оценке показателя Херста учитываются только долговременные корреляции, а наличие сильной кратковременной составляющей может только исказить оценку, то точка ]\ выбиралась в качестве начальной при аппроксимации логарифмической диаграммы.

Результаты, представленные в таблице, подтверждают, что если производить оценку по всем доступным масштабам, то оценка показателя Херста будет подвержена сильному влиянию кратковременных корреляций (Н > 1), но данное правило находило отражение не для всех трасс. Однако, как только при оценке учитывалась найденная граница раздела между кратковременными и долговременными корреляциями, показатель Херста принимал значения в диапазоне 0,6...0,8. Как видно из таблицы, вейвлет-оценка является чувствительной к выбранному диапазону ]ь ]2], который должен охватывать участок, включающий в себя ДВЗ.

Таблица. Значения параметра Херста, полученные экспериментальным путем

Название фильма Во всем диапазоне разложения При автоматическом выборе границ масштабирования

Alpin Ski (1 - 16) 0,837 ± 0,008 (6 - 16) 0,844 ± 0,054

ARDNews (1 - 9) 0,841 ± 0,02 (4 - 9) 1,089 ± 0,07

DieHanffll (1 - 12) 0,751 ± 0,008 (3 - 12) 0,884 ± 0,007

Formulal (1 - 11) 0,795 ± 0,011 (6 - 11) 0,698 ± 0,85

Jurasik Park (1 - 15) 0,668 ± 0,005 (8 - 15) 1,031 ± 0,073

News (1 - 12) 0,615 ± 0,05 (8 - 12) 1,1 ± 0,09

Office Cam (1 - 11) 0,842 ± 0,12 (3 - 11) 0,754 ± 0,027

Parking Cam (1 - 11) 0,758 ± 0,011 (7 - 11) 0,689 ± 0,137

SouthPark (1 - 10) 0,731 ± 0,025 (1 - 10) 0,731 ± 0,025

Alladin (1 - 12) 0,796 ± 0,06 (5 - 12) 0,972 ± 0,005

Рис. 1. Результаты вейвлет-анализа и оценки параметра H для видеоряда «Alpin Ski»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка H для выбранного диапазона масштабирования

Sooffi

o'--------1------1-------1-------1-------1------

ft ggio щ)о дао 4gtS sogj eogj Отсчеты а)

і

j

б)

і

Рис. 2. Вейвлет-анализ и оценка параметра Н для видеоряда «ARDNews»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка Н для выбранного диапазона масштабирования

14000 12000 Ь 10000

ю

1 8000 £

| 6000

2 4000 2000

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

а)

\

в)

}

б)

j

г)

Рис. 3. Вейвлет-анализ и оценка параметра Н для фильма <«31еНаг<1 Ш»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка Н для выбранного диапазона масштабирования

Рис. 4. ВейвлетВейвлет-анализ и оценка параметра Н для записи соревнований «Формула 1»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка Н для выбранного диапазона масштаби-

Рис. 5. Вейвлет-анализ и оценка параметра Н для фильма «Тш^с Рагк»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка Н для выбранного диапазона масштабирования

16000 14000 12000

s

'°, 10000 р

| 8000 &

S 6000

рц

4000 2000 о

0 1 2 3 4 5 6 7

Отсчеты х 1 04

а)

о

-2

Q -4

а

Jf -6 -8

-10

0 2 4 б 8 10 12

j

в)

j

б)

j

Рис. 6. Вейвлет-анализ и оценка параметра H для новостей «News»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка H для выбранного диапазона масштабирования

Отсчеты

а)

j

j

б)

j

Рис. 7. Вейвлет-анализ и оценка параметра H для новостей «Office Cam»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка H для выбранного диапазона масштабирования

а)

\

в)

j

б)

j

г)

Рис. 8. Вейвлет-анализ и оценка параметра H для новостей «Parking Cam»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка H для выбранного диапазона масштабирования

4000 6000

Отсчеты

а)

А~

й

6)

А"

oS1

г)

Рис. 9. Вейвлет-анализ и оценка параметра H для мультфильма «South Park»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка H для выбранного диапазона масштабирования

i

в)

j

Рис. 10. Вейвлет-анализ и оценка параметра Н для мультфильма «А11а(1т»: а - трасса записанного видео; б - оценка Н для всей области масштабирования; в - автовыбор границы масштабирования; г - оценка Н для выбранного диапазона масштабирования

Сравнительный анализ полученных результатов показывает, что видотрафик может рассматриваться скорее как асимптотически самоподобный, но не строго самоподобный. Кроме долговременной зависимости, во всех рассмотренных видеотрассах наблюдается и кратковременная корреляция. Именно компонента КВЗ является причиной того, что линейность на каждом из рис. 1, б - 10, б наблюдается только на начальном интервале. Однако для правильного выбора диапазона октав [Д, j2] становится очень важно изучить эффект воздействия КВЗ на вейвлет-анализ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Leland W. E., Taqqu M, Willinger W., Wilson D. V. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic. Proc. SIGCOM93, 1993, San Francisco, California, pp. 183 -193.

2. Garrett M. W., Willinger W. Analysis, Modeling and Generation of Self-Similar VBR Video Traffic. Proc. ACM Sigcomm, London, September 1994, pp. 269 -280.

3. Kalden R., Ibrahim S. Searching for Self-Similarity in GPRS, Antibes Juan-les-Pins, France, PAM 2004, рр. 83 - 92.

4. Abry P., Flandrin P., Taqqu M.S., Veitch D. Wavelets for the analysis, estimation and synthesis of scaling data, to be published as a chapter to «Self Similar Network Traffic Analysis and Performance Evaluation, K. park and W. Willinger, Eds., Wiley, 1999.

5. Riedi R. H, Crouse M. S., Ribeiro V. J, Baraniuk R. G. A Multifractal Wavelet Model with Application to Network Traffic. IEEE Transactions on Information Theory, 45(3):992-1019, 1999.

6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

7. Veitch D., Abry P., Taqqu M. On the automatic selection of the onset of scaling, Fractals 11 (2003), pp. 377 -390.

8. Шелухин О.И., Осин А.В., Урьев Г.А. Экспериментальные исследования речевых потоков в VoIP-сетях // Электротехнические и информационные комплексы и системы, 2006, т. 2, №2, C. 54 - 59.

9. Осин, А.В., Ахметшин Р.Р. Сегментация речи с использованием вейвлет-преобразования // Электротехнические и информационные комплексы и системы, 2006, т. 2, №2, C. 30 - 32.

10. Шелухин О.И., Осин А.В., Ахметшин Р.Р. Оценка самоподобности телекоммуникационного трафика с помощью вейвлетов // Электротехнические и информационные комплексы и системы, 2006, т.2, №3, C. 28 - 34.

11. Шелухин О.И., Тенякшев А.В., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / Под ред. О.И. Шелухина. - М.: Радиотехника, 2003.

12. Шелухин О.И., Осин А.В., Невструев И.А., Урьев Г.А. Сравнительный анализ методов оценки стационарности самоподобных процессов // Электротехнические и информационные комплексы и системы,

2006, т.2, №1, C. 55 - 60.

13. Шелухин О.И., Осин А.В., Ахметшин Р.Р. Оценка самоподобности речевого трафика вейвлет-методом с автоматическим определением границ масштабирования // Электротехнические комплексы и информационные системы. /Известия ВУЗов - М., МГУС,

2007, №1, C. 11 - 20.

14. Шелухин О.И., Бургар А.С. Сравнительный анализ семейств вейвлетов, используемых для оценки самоподобия телекоммуникационного трафика // Электротехнические комплексы и информационные системы, 2008, т.4, №1, C. 99 - 102.

15. Шелухин О.И., Осин А.В. Фракталы и современные методы анализа качества информационных услуг // Теоретические и прикладные проблемы сервиса,

2008, №1 (26), C. 68 - 61.

16. Шелухин О.И., Матвеев С.Б. Вейвлет-анализ фрактальных свойств составляющих GPRS-трафика // Электротехнические комплексы и информационные системы, 2008, т.4, №3, C. 15 - 19.

17. Шелухин О.И., Разумов Я.М. Имитационные средства моделирования самоподобного трафика // Электротехнические комплексы и информационные системы, 2008, т.4, №3, C. 20 - 23.

Поступила 28.02.2009 г.