CC BY
104
УДК 681.3.053
Мультифрактальный анализ видеосигналов стандарта H.264/AVC
О.И. Шелухин, д.т.н., профессор Российского государственного университета туризма и сервиса
(РГУТиС), г. Москва, e-mail: sheluhin@mail.ru
А.В. Арсеньев, аспирант РГУТиСа, e-mail: a.arseniev@mrsnet.ru
А.Е. Перегняк, аспирант РГУТиСа, e-mail: svyazist-ubiyza@mail.ru
Проанализированы доступные данные о видеосигналах, закодированных с помощью кодека H.264/AVC; показано, что более высокая степень сжатия приводит к расширению мультифрактальных спектров (МФС), а также к существованию аддитивных компонентов в видеосигналах, вызванных I -, P - и B - последовательностями, и их специфическому влиянию на результирующий спектр.
Available information about video signals encoded with H.264/AVC codec is being analyzed. It is shown the higher compression rate leads to spreading of the multifractals spectrum (MFS) and presence of additive components caused by I, P, B sequences and their specific influence on the result spectrum.
Ключевые слова: видеокодирование, стандарт H.264/AVC, видеосигнал, MPEG-4, мультифрактальный анализ, мультифрактальный спектр.
Key words: video coding, H.264/AVC standard, video, MPEG-4, multifractal analysis, multifractal spectrum.
Постановка задачи
Ранние стандарты кодирования видеоинформации, такие как ITU-T H.261 и стандарт ISO/IEC MPEG-1, были разработаны для случаев, когда необходимо обеспечить постоянный уровень качества [1, 2]. В дальнейшем были разработаны масштабируемые видеокодирующие схемы, в которых кодирование видеосообщения осуществлялось один раз при самом высоком качестве, в то время как адаптивное декодирование осуществлялось в зависимости от скорости и качества видеоприложений. Такие кодирующие схемы разрешают передачу видеосигнала по каналам с переменной шириной полосы пропускания как в проводных, так и в беспроводных сетях [3 - 5].
Известный стандарт MPEG-2 (идентичен ITU-T H.262) был первым стандартом, который содержал инструменты, обеспечивающие масштабируемость. Более поздний мультимедийно -ориентируемый стандарт MPEG-4 (более точно, ряд различных версий этого стандарта) имеет даже более гибкие инструменты масштабируемости. Известно много особенностей стандарта MPEG-4, используемых в мультимедиа: кодирование в объектных плоскостях, кодирование, основанное на модели, включая ОСШ (отношение сигнал/шум), масштабируемость с высокой степенью детализации и т.д.
Стандарт MPEG-4 версии 10, обозначаемый как стандарт H.264/AVC (от англ. - advanced video
coding), представляет собой усовершенствованное видеокодирование), которое не предъявляет требований ни к самой низкой скорости передачи данных, ни к самому высокому качеству видео [3]. Основными задачами при разработке стандарта H.264/AVC было достижение повышенной эффективности компрессии и обеспечение удобного для транспортировки по различным сетям представления видео как для приложений.
Видеотрассы закодированных видеосигналов в стандартах MPEG-4, H.261, H.263, H.264/AVC были изучены во многих работах [8 - 12, 14]. В статье используются результаты измерений видеосигналов, полученные в этих работах.
Особенности сжатия видеосигнала в стандарте H.264/AVC
Кодированная видеопоследовательность в H.264/AVC состоит из последовательности кодированных изображений [15]. Кодированное изображение может представлять собой или целый кадр, или одно поле, как это было в случае видео MPEG-2. Изображение делится на макроблоки фиксированного размера, которые охватывают прямоугольные области изображения 16х16 отсчетов яркостной компоненты и 8х8 отсчетов каждой из двух цветно-стных компонент. Это деление на макроблоки было принято во всех предшествующих стандартах видеокодирования начиная с Н.261.
Изображение может быть разделено на один или несколько «слайсов». Слайсы представляют
собой последовательности макроблоков, которые обрабатываются в порядке сканирования растра, если не используется гибкое упорядочивание макроблоков (от англ. - flexible macroblock ordering, FMO). Изображение в H.264/AVC, таким образом, является набором из одного или более слайсов.
Каждая слайсовая группа - это множество макроблоков, определенное с помощью таблицы распределения макроблоков по слайсовым группам.
Независимо от использования FMO каждый слайс может кодироваться следующим образом:
1) I-слайс - слайс, все макроблоки которого закодированы с использованием внутреннего (intra) предсказания;
2) P-слайс - помимо типов кодирования I-слайса, некоторые макроблоки могут быть закодированы с использованием однонаправленного предсказания;
3) B-слайс - помимо типов кодирования P-слайса, некоторые макроблоки могут быть закодированы с использованием двунаправленного предсказания.
Описанные выше три типа кодирования очень близки к типам, использующимся в предшествующих стандартах видеокодирования, за исключением опорных кадров. Кроме того, имеются дополнительно два новых типа кодирования:
1) SP-слайс - так называемый переключаемый P-слайс, который кодируется таким образом, что становится возможным эффективное переключение между различными заранее кодированными изображениями;
2) SI-слайс - так называемый переключаемый I-слайс, который делает возможным точное совпадение макроблоков в SP-слайсе для произвольного доступа и восстановления ошибок.
Для удобства использования в различных приложениях и разнообразных сетях H.264/AVC разбит на два уровня: уровень видеокодирования (Video Coding Layer, VCL), предназначенный для эффективного представления видеоконтента, и уровень сетевой абстракции (Network Abstraction Layer, NAL), который форматирует представление видео VCL и обеспечивает заголовочную информацию в виде, подходящем для передачи на различных транспортных уровнях или средствах хранения.
Фрактальные свойства видеопоследовательностей
Для одномерных сигналов описание долговременной зависимости данных (т. е., фрактальной приро-
ды) характеризуется показателем Херста H [20]. На рис. 1 иллюстрируется поведение видеосигнала как функции числа фреймов в течение одного часа кинофильма «Starship Troopers» с 25 фреймами в секунду (90 000 фреймов). Видеосигнал сжат в соответствии со стандартом ITU-T H.264/AVC с масштабом квантования qp = 31 [14].
Численная оценка параметра Херста, характеризующего монофрактальные свойства видеосигнала при различных уровнях агрегирования k приведена на рис. 2.
В табл. 1 приведены численные данные показателя Херста Н для видеопоследовательностей «Starship Troopers» различных длин, описанных числом видеофреймов и сжатых согласно стандарту H.264/AVC.
Таблица 1. Значения показателя Херста H видеопоследовательности «Starship Troopers» для различных весов квантования qp и степени сжатия CR
Число видео фреймов qp = 5 CR = 3,5 qp=15 CR = 15,9 qp = 25 CR = 79,0
500 0,7802 0,94298 0,75985
800 0,78637 0,78477 0,80582
1000 0,79554 0,79481 0,80701
3 000 0,80417 0,8041 0,79143
5 000 0,80282 0,80181 0,69483
10 000 0,81522 0,82934 0,80202
20 000 0,81245 0,83263 0,8018
30 000 0,81538 0,84327 0,80451
50 000 0,81421 0,81227 0,81262
70 000 0,81219 0,84631 0,81308
90 000 0,8953 0,85598 0,80762
Рис. 1. Экспериментальная трасса видеосигнала кинофильма «Starship Troopers» (уровень агрегирования k=1).
Рис. 2. Оценка парамера Херста с использованием R/S статистики при уровнях агрегирования: а - к =1H; б - к =100H; в - к = 500H
Статистическая величина R/S вычислена для логарифмического пространства уровня агрегирования к при различных отправных точках. Кривая построенная log(R/S), как функция log(k), дает диаграмму R/S [9]. Индекс Херста оценен как наклон линейной регрессии. Видно, что в зависимости от уровня агрегирования оценки параметра Херста меняются, но сам фрактальный характер остается неизменным.
Показатели Херста оценивались для трех различных весов квантования qp. Во всех случаях наблюдался долговременный характер корреляции исследуемого сигнала, что подтверждается выполнением неравенства (0,5 <H <1). Исследования показывают, что показатель Херста меняется в зависимости от параметра квантования qp и, как следствие, со степенью сжатия CR.
Параметр qp используется для определения уровня квантования коэффициентов преобразования в H.264/AVC. Параметр может принимать 52 значения. Эти значения расположены таким образом, что увеличение параметра квантования на единицу означает увеличение шага квантования примерно на 12% (увеличение на шесть соответствует увеличе-
нию шага квантования в 2 раза). Можно заметить, что изменение шага квантования приблизительно на 12% в первом приближении означает уменьшение битовой скорости примерно на 12%. На рис. 3. представлены плотности распределения вероятностей байтовой видеопоследовательности фильма «Star-ship Troopers» для различных параметров квантования. Видно, что по мере увеличения параметра квантования наблюдается смещение и одновременно сужение распределения.
Мультифрактальный анализ видеопоследовательностей
Параметр Херста - только один из возможных показателей фрактального поведения. Более полно фрактальные структуры могут быть оценены с использованием техники покрытия наблюдаемой структуры а-размерными коробками (ячейками) размера е и подсчете число занятых коробок N(e). В результате фрактальная размерность Хаусдорфа оценивается как
7 ln(e)
(1)
0.0004 0.00035 0.0003 0.00025 а 0.0002 0.00015 0.0001 5е-05 0
дро!
1 1 1ПРгНлП1 П й'ЭЭО1! 1
1
1 1
11 1
1 Н| &
■1 ир н- 1
12500
25000 37500 размер кадра, байт а)
50000
62500
0.0004 0.00035 0.0003 0.00025 й 0.0002 0.00015 0.0001 5е-05 О
рР05
--------¿п^шп-(;Ш533}-|__________1.__________
ля Ъ_и_1_\_
12500 25000 37500 50000
размер кадра, бант б)
Рис. 3. Плотности распределения байтовой видеопоследовательности в зависимости от параметра квантования: а - др = 1; б - др =5; в - др = 15; г - др = 25
Для одномерных сигналов фрактальная размерность и показатель Херста соотносятся как [26, 27] = 2 - И. (2)
Часто наряду с обобщенными фрактальными размерностями для характеристики муль-тифрактального множества используют так называемую функцию мультифрактального спектра ^а) (спектр сингулярностей мультифрактала). Рассмотрим кратко подход к ее определению.
Одной из основных характеристик мультифрактала является зависимость вероятности (меры) рг от размера ячейки е. Эта зависимость имеет степенной характер: р.(е)хеа', где аг представляет
собой некоторый показатель степени, который отличается для разных ячеек г (в литературе по отношению к нему часто используются термины «показатель сингулярности» или «экспонента Гельдера»). Чем меньше значение аг, тем более сингулярной является мера. Известно, что для регулярного (однородного) фрактала все показатели
степени аг одинаковы размерности В:
и равны фрактальной
= 1/ N (б);
Однако для такого более сложного объекта, как мультифрактал, вследствие его неоднородности вероятности заполнения ячеек рг в общем случае неодинаковы и показатель степени аг для разных ячеек может принимать различные значения. Как будет показано ниже, достаточно типичной является ситуация, когда эти значения непрерывно заполняют некоторый закрытый интервал (атт, а^), причем
Р т
Рт
Б
Несложно показать, что
йт\ йх\
— = О = а — = О = а
1 д^+да да Ш1П' , д^-да -да шах
ад1 ац1
т.е. интервал возможных значений а определяется предельными значениями (при д ^ ±ю) обобщенных фрактальных размерностей Вч .
о
Б
а
Б
Если £ имеет тенденцию стремиться к нулю, то грубая экспонента удерживания - к ограниченному значению а в наблюдаемой точке:
а = Иш(а ). (4)
Параметр а зависит от фактического положения на фрактале и описывает местную регулярность структуры. В целой структуре обычно есть много коробок с тем же самым параметром а.. Можно найти распределение этого количества по подмножествам, охарактеризованным а, как
f (Ч) = -
ln( NM )) ln(£) :
(5)
где -Щаг) является числом коробок содержащих специфическое значение аг-.
Из (5) можно получить ограничивающее значение:
/ (а) = Иш(Х (а,)), (6)
0
известное как размерность Хаусдорфа распределения а, или мультифрактальный спектр. Эта функция описывает глобальную регулярность наблюдаемой структуры [7, 23 - 28].
Таким образом, физический смысл функции Да) заключается в том, что она представляет собой размерность Хаусдорфа некоего однородного фрактального подмножества Са из исходного множества С, характеризуемого одинаковыми
вероятностями заполнения ячеек р « £а. Поскольку фрактальная размерность подмножества, очевидно, всегда меньше или равна фрактальной размерности исходного множества О0 , имеет место важное неравенство для функции Да):
/(а)< В.
В результате можно сделать вывод, что набор различных значений функции Да) (при разных а) представляет собой спектр фрактальных размерностей однородных подмножеств Са, на которые можно разбить исходное множество С Отсюда становится понятным термин «мультифрактал». Его можно понимать как некое объединение различных однородных фрактальных подмножеств Са, каждое из которых имеет свое собственное значение фрактальной размерности Да). Независимо от специфической техники получения а и Да) они описывают как локальную, так и глобальную регулярность процесса. Следовательно, анализ МФС может использоваться в широком классе проблем обработки сигналов как метод для описания и/или
извлечения некоторых свойств, вероятно скрытых в большом количестве данных.
Из диаграмм R/S (см. рис. 2, a) может быть выведено качественное описание мультифрактальной природы этого процесса. Поскольку показатель Херста оценен как наклон линейной линии регресса диаграммы R/S, то из рис. 2, a - в очевидно, что наклон отличается на различных уровнях масштабирования, указывая на то, что трасса «Starship Troopers», сжатая согласно стандарту ITU-T H.264/AVC, мультифрактальна.
Мультифрактальный анализ, будучи способным анализировать как локальные, так и глобальные особенности процесса, представляется наиболее соответствующим инструментом для анализа сжатого видео, а также и для анализа современного телетрафика. Результаты, полученные из анализа сжатого видео, могут поспособствовать более точному моделированию.
Более того, соответствующим выбором метода анализа можно выполнить «обратный» мультифрактальный анализ: обнаружение таких частей в реализации исходного сигнала, которые имеют специфические значения а и/или Да) [25 - 28]. Например, анализируя пару (a, Да)) видеопоследовательности, можно извлечь фреймы с высоким (или низким) местным фрактальным поведением (охарактеризованный высокими (или низкими) а-ценностями) и/или извлеченные фреймы, имеющие специфическое значение Да), которое является глобально редким событием (имеющим низкий Да)) или частыми в видеопоследовательности (имеющим высокий Да)).
Таким образом, используя прямой и обратный мультифрактальный анализ, можно более полно описать природу и структуру наблюдаемых видеопоследовательностей [25 - 28]. Результаты моделирования
Анализировалась видеопоследовательность (один час кино с 25 фреймами/секундами, содержащий 90,000 фреймов), сжатая согласно стандарту H.264/AVC [14].
На рис. 4, a представлены МФС, полученные для кино «Starship Troopers» во всех доступных случаях из базы данных [14], при всех параметрах масштаба квантования от qp = 1 до qp = 31. Нетрудно видеть, что, во-первых, для малых qp (qp = 1,5,10) спектр МФС является наиболее узким и почти симметричным, концентрируясь вблизи точки а = 1. Более высокие значения qp приводят к расширению спектров, указывая на более высокую мультифрак-тальность. По мере увеличения qp спектры становят-
ся более асимметричными, имея больше местных максимумов и местных особенностей.
Поскольку последовательности в видео H.264/AVC, так же как в стандарте MPEG-4, состоят из I -, P -, В - фреймов в пределах GOP (от англ. Group of picture - группа изображений), структурированных в отчете кодирования как 1ББРББРББРхБ1, то исследовались фрактальные свойства I-, Р-, В- фреймов.
Соответствующие МФС изображены на рисунках 3, б - г. Для I-фреймов МФС (см. рис. 4, б) сохраняет почти вогнутую форму для всех масштабов
квантования, с очень маленькими особенностями. Принимая во внимание, что эти фреймы предназначены для внутреннего кодирования, используя только пространственную избыточность между пикселами в пределах того же самого фрейма, такая особенность вполне объяснима, поскольку у 1-фреймов наименьший показатель сжатия и наименьшая изменчивость при изменении масштаба квантования. В то же время межкадровые Р- и В- фреймы используют главным образом временную избыточность и содержат обычно малое количество новой информации. Соответствующее содержание этих
Рис. 4. Мультифракгальные спектры для H.264 видео «Starship Troopers»: а - все фреймы; б - только I-ф В-фреймы [16]
; г - только
Рис. 5. Мультирекурсивные спектры для I -, Р -, В - фреймов при различных весах квантования: а - др = 5; б - др = 15; в - др = 25
фреймов будет изменено в зависимости от масштаба квантования.
Таким образом, дополнительное сжатие получено, что вызывает меньшие размеры фрейма и приводит к большей изменчивости (векторная ин-
формация движения сохранена неизменной).
Поскольку малые уровни квантования (др < 10) характерны для малых скоростей (СЯ < 7), муль-тифрактальные спектры последовательностей Р и В имеют довольно регулярную форму, немного более
Рис. 6. Огибающие МФС видеопоследовательностей «Starship Troopers» для различных qp (a) и их детализация вокруг максимумов (б)
широкую, чем соответствующие мультифракталь-ные спектры I- фреймов.
По мере увеличения показателя сжатия, Р- и В- спектры расширяются, что свидетельствует о более высокой мульфрактальности этих последовательностей. Сравнивая рисунки 3, a и 4, г, можно заключить, что целое видео составлено из аддитивных компонентов I, Р, и В, а В-фреймы имеют наибольшее влияние на результирующий мультифрак-тальный спектр, особенно при высоких уровнях квантования.
Для лучшего сравнения I-, Р- и В- фреймов и их влияния на МФС в целом были выбраны три веса квантования qp: 5, 15, и 25. Их мультифрак-тальные спектры изображены на рис. 5, a - в [16]. Видно, что с увеличением уровня квантования спектры расширяются и становятся несимметричными (правосторонними), что указывает на большее количество аддитивных компонентов.
Мультифрактальные спектры 1-фрейма менее изменчивы с изменением в отличие от
В-фреймов. Перемещение к правой стороне спектров МФС выше qp указывает на увеличение местного рекурсивного поведения процесса.
Из анализа огибающих МФС, приведенных на рис. 6, можно сделать вывод, что более высокий показатель сжатия приводит к более широким спектрам и большему количеству особенностей.
0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
H.264, qp = 10, CR = 7 H.261var, CR = 17.47 H.263var, CR = 21.5
Рис. 7. МФС для различных стандартов сжатия
На рис. 7 приведен сравнительный анализ МФС различных алгоритмов сжатия [16].
На основе полученных результатов можно сделать вывод о том, что сжатое цифровое видео, независимо от специфики алгоритмов сжатия, показывает
врожденную фрактальность без взаимодействия с сетью или некоторыми другими источниками изменчивости.
Кроме того, такое видео характеризуется высокой (пульсирующая) изменчивостью скорости передачи данных, особенно при возрастании степени сжатия. Конечно, при передаче сжатого видео по реальной сети условия трафика влияют на сигнал и могут изменить его показатель Херста, увеличивая или уменьшая его, в зависимости от специфики телекоммуникационной сети.
Более детальный анализ видеопоследовватель-ностей показывает, что наибольшее влияние на спектр МФС оказывают В - фреймы, в то время как 1-фреймы оказывают наименьшее влияние. Это обясняет механизм сжатия: !-фреймы сжимают, используя пространственную избыточность между пикселами в пределах того же самого фрейма, и имея наименьшую скорость сжатия и наименьшую изменчивость для каждого масштаба квантования. Наоборот, Р- и B-фреймы используют главным образом временную избыточность и имеют более сильную пульсацию. При увеличении степени сжатия Р- и В-спектры становятся все более широкими и нерегулярными, что и приводит к большей муль-тифрактальности этих фреймов.
Сравнительный анализ видеопоследовательностей H.264/AVC с аналогичными сжатыми с использованием других стандартов кодирования, таких как Н.261, Н.263, показал, что более высокий показатель сжатия (Н.263уаг) приводит к более широкому мультифрактальному спектру. С увеличением уровня квантования цр мультифрактальные спектры расширяются и становятся несимметричными, что указывает на большее количество аддитивных компонентов. Статистические данные сжатого видео определенно связаны с нормой сжатия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rao K., Bojkovic Z., Milovanovic D., Multimedia Communication Systems: Techniques, Standards, and Networks, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA, 2002.
2. Wang Y., Osterman J., Zhang Y. Q., Video Processing and Communications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA, 2002.
3. Schafer R., Wiegand T., Schwarz H., "The emerging H.264/ AVC standard," EBUTechnical Review, No. 293, 2003.
4. ITU-T, H.263 Recommendation, ITU-T, Geneva, Switzer-
land, 2000.
5. Draft ITU-T Rec. H.264, ISO/IEC 14496-10, 2002 E.
6. Garrett M., Contributions toward real-time services on packet switched networks, Ph.D. thesis, Columbia University, New York, NY, USA, 1993.
7. Riedi R. Vehel J. L., "Multifractal properties of TCP traffic: a numerical study," INRIA Research Report 3129, IN-RIA, Rocquencourt, Le Chesnay Cedex, France, 1997; http://www.stat.rice.edu/%7Eriedi/cv publications.html.
8. Fitzek F. Reisslein M., MPEG-4 and H.263 video traces for network performance evaluation, TKN Technical Report TKN-00-06, Technical University Berlin, Berlin, Germany, 2000.
9. Reisslein M., Lassetter J., Ratnam S., Lotfallah O., FitzekF., Panchanathan S., Traffic and quality characterization of scalable encoded video: a large-scale trace-based study, part 1: overview and definitions, Tech. Rep., Telecommunications Research Center, Department of Electrical Engineering, Arizona State University, Tempe, Ariz, USA, 2002; http: //peach. eas.asu. edu/index.html.
10. Reisslein M., Lassetter J., Ratnam S., Lotfallah O., Fitzek F., Panchanathan S., Traffic and quality characterization of scalable encoded video: a large-scale trace-based study, part 2: statistical analysis of single-layer encoded video, Tech. Rep., Telecommunications Research Center, Department of Electrical Engineering, Arizona State University, Tempe, Ariz, USA, 2002; http ://www.eas .asu.edu/trace.
11. Reisslein M., Lassetter J., Ratnam S., Lotfallah O., Fitzek F., Panchanathan S., Traffic and quality characterization of scalable encoded video: a large-scale trace-based study, part 3: statistical analysis of temporal scalable encoded video, Tech. Rep., Telecommunications Research Center, Department of Electrical Engineering, Arizona State University, Tempe, Ariz, USA, 2002; http://www.eas.asu.edu/trace.
12. Fitzek F., Zorzi M., Seeling P., Reisslein M., Video and audio trace files of pre-encoded video content for network performance measurements, Tech. Rep., Telecommunications Research Center, Department of Electrical Engineering, Arizona State University, Tempe, Ariz, USA, 2003; http://www. eas.asu. edu/trace.
13. Krishna M., Gadre V., Desai U., Multifractal Based Network Traffic Modeling, Kluwer Academic Press, Boston, Mass, USA, 2003.
14. www.acticom.de.
15. Дворкович А.В. Эффективное кодирование видеоинформации в новом стандарте H.264/AVC // Труды НИИР, 2005.
16. Reljin I., Samcovic A., Reljin B. H.264/AVC Video Compressed Traces: Multifractal and Fractal Analysis ,
Hindawi Publishing Corporation EURASIP Journal on Applied Signal Processing Volume 2006, Article ID 75217, pp. 1-13.
17. Reljin B., Reljin I., Multimedia: the impact on the teletraf-fic, in Book 2, N. Mastorakis, Ed., pp. 366 - 373, World Scientific and Engineering Society Press, Clearance Center, Danvers, Mass, USA, 2000.
18. Reljin I., Reljin B. Statistical and multifractal characteristics of H.263 compressed video streams, in Proceedings of 20th Symp. on New Technologies in Post and Tele-comm. Traffic, pp. 193 - 205, Faculty of Traffic Eng., Belgrade, Yugoslavia, December 2002.
19. Reljin I., Reljin B. Fractal and multifractal analyses of compressed video sequences," Facta Universitatis (NIS) Series: Electronics and Energetics, vol. 16, No. 3, pp. 401 - 414, 2003.
20. Taqqu M., Teverovsky V., Willinger W. Estimators for long-range dependence: an empirical study, Fractals, vol. 3, No. 4, pp. 785 - 788, 1995.
21. Peitgen H., Jurgens H., Saupe D. Chaos and Fractals, Springer, New York, NY, USA, 1992.
22. Evertsz C., Mandelbrot B. Multifractal measures. Appendix B, in Chaos and Fractals, H. Peitgen, H. Jurgens, and D. Saupe, Eds., pp. 849 - 881, Springer, New York, NY, USA, 1992.
23. Iannaccone, Khokha M., Eds., Fractal Geometry in Biological Systems, CRC Press, Boca Raton, Fla, USA, 1996.
24. Vehel L., Mignot P. Multifractal segmentation of images, Fractals, vol. 2, no. 3, pp. 371 - 377, 1994.
25. Vehel L. Introduction to the multufractal analysis of images, Tech. Rep., INRIA, Rocquencourt, Le Chesnay Cedex, France, 1996.
26. Reljin I., Reljin B. Fractal geometry and multifractals in analyzing and processing medical data and images, Archive of Oncology, vol. 10, No. 4, pp. 283 - 293, 2002.
27. Stojic, Reljin I., Reljin B. Adaptation of multifrac-tal analysis to segmentation of microcalcifications in digital mammograms, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 367, pp. 494 - 508, 2006.
28. Chhabra, Jensen R. Direct determination of the f(a) singularity spectrum, Physical Review Letters, vol. 62, No. 12, pp. 1327 - 1330, 1989.
Поступила 25.02.2009 г.
