СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛИНОМОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.622 DOI 10.24147/2222-8772.2020.3.31-54

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛИНОМОВ

М.М. Чернявский

аспирант, кафедра инженерной физики, e-mail: [email protected]

Витебский государственный университет им. П.М. Машерова, Витебск, Республика Беларусь

Аннотация. В статье осуществлён сравнительный анализ двух критериев устойчивости полиномов. Они не требуют получения какой-либо информации о корнях, а позволяют судить об устойчивости непосредственно по коэффициентам полинома. На конкретных числовых примерах рассмотрены особенности их применения. В статье также в символьном виде получены выражения связи между коэффициентами полиномов шестой и четвёртой степеней для случаев, когда между корнями этих полиномов существует линейная или определённая нелинейная связь. В этих случаях алгебраическое уравнение шестой степени можно разрешить в радикалах.

Ключевые слова: многочлен, критерий Гурвица, матрица Гурвица, теория устойчивости, алгебраические уравнения, решение в радикалах..

При исследовании дифференциальных уравнений и их систем, возникающих, например, в математической теории устойчивости, часто важным требованием со стороны исследователя выступает необходимость расположения всех корней характеристического уравнения в левой половине комплексной плоскости [1]. Важной задачей является разработка способов проверки требуемого расположения корней без их непосредственного вычисления. Наибольший практический интерес представляют те способы, которые дают информацию о расположении всех корней путём простого анализа коэффициентов многочлена. Такую задачу называют проблемой Рауса-Гурвица, далее в статье она будет рассмотрена подробнее.

Цель статьи — провести сравнительный анализ двух различных критериев устойчивости полиномов, не требующих получения дополнительной информации о их корнях.

1. Известные результаты из теории устойчивости полиномов

Рассмотрим полином п-й степени

/ (z) = ао + aiz + a2z2 + ... + anzn (1)

с произвольными действительными коэффициентами, где а0 > 0, ап = 0.

Определение 1. Известно, что полином (1) называется полиномом Гурви-ца, если все его корни обладают отрицательными действительными частями Яе < 0 (] = 1, 2, ..., п) [2, с. 95]. В теории устойчивости полиномы Гурвица называют устойчивыми полиномами.

Математическая проблема Рауса-Гурвица заключается в том, чтобы, не находя корни конкретного многочлена, непосредственно по коэффициентам выяснить, устойчив он или нет [3].

Также стоит напомнить о справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Если полином вида (1) является полиномом Гурвица, то все его коэффициенты положительны.

Определение 2. Матрицей Гурвица для полинома (1) называется квадратная матрица порядка п, имеющая следующий вид:

( а1 ао 0 0. .0 \

а3 0,2 а1 ао . .0

М; = а5 а4 а3 а2 . .0

\ &2п-1 0>2п-2 0>2п-4 . . 0"п /

где а3 = 0 при ^ < 0 и в > п.

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица

Д1 = а1, Д2

а3 <12

Дп @"ПДП— 1

иногда просто называют определителями Гурвица.

Первым критерием устойчивости полиномов, который рассматривается в статье, является условие Гурвица, которое формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 2. (Теорема Гурвица). Для того чтобы полином вида (1) являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица Mf.

Доказательства данной теоремы достаточно объёмны, одно из наиболее простых приведено в известном классическом учебнике Б.П. Демидовича по теории устойчивости [2].

Стоит также отметить, что для применения критерия Гурвица на практике можно пользоваться другой теоремой, исторически доказанной позже, чем само условие Гурвица, и позволяющей снизить число проверок детерминантных неравенств. Эту теорему называют теоремой Льенара-Шипара [4, с. 96].

Теорема 3. (Теорема Льенара-Шипара). Многочлен f (г) вида (1) нечётной (чётной) степени с положительными вещественными коэффициентами тогда и только тогда устойчив, когда положительны его определители Гурвица чётного (нечётного) порядка.

Продемонстрируем применение критерия Гурвица на конкретных числовых примерах.

Пример 1. Пусть

/1 (г) = г4 + 16/ + 99г2 + 280г + 300;

/2 (г) = г4 + 16/ + 99/ + 20z + 300; /з (г) = г5 + 17/ + 117/ + 405/ + 700г + 500; /4 (г) = г5 + 17/ + 117/ + 405/ + 50г + 500.

Для каждого из представленных полиномов составим матрицу Гурвица:

/ 280 300 0 0 > 20 300 0 0

= 16 0 99 1 280 16 300 99 ; м/2 = 16 0 99 1 20 16 300 99 ;

V 0 0 0 1 ) 0 0 0 1

/ 700 500 0 0 0 \ / 50 500 0 0 0 \

117 405 700 500 0 117 405 50 500 0

= 1 17 117 405 700 ; = 1 17 117 405 50

0 0 1 17 117 0 0 1 17 117

V 0 0 0 0 1 ) V 0 0 0 0 1 /

Ниже построчно приведём значения определителей Гурвица для каждого полинома из примера, начиная с Д2:

Д2 (/1) = 22920; Д3 (/1) = Д4 (/1) = 288320;

Д2 (/2) = 15000; Дз (/2) = Д4 (/2) = -45520;

Д2 (/з) = 225000; Дз (/з) = 18345000; Д4 (/з) = Д5 (/з) = 226440000;

Д2 (/4) = -38250; Дз (/4) = -4492750; Д4 (/4) = Д5 (/4) = -60710500.

Таким образом, согласно теореме Гурвица многочлены /1 (г) и /з (г) являются устойчивыми, а /2 (г) и /4 (г) неустойчивы, несмотря на визуальное сходство полиномов между собой.

Критерий Гурвица является не единственным способом установления устойчивости полинома. Вторым рассматриваемым в настоящей статье критерием устойчивости является упоминаемый в уже ставшей классической монографии В.В. Прасолова [3] способ, впервые предложенный в статье [5]. Данный критерий формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть

р (г) = гп + а^71-1 + ... + ап-1г + ап — многочлен с вещественными коэффициентами,

Я (г) = гт + Ъ^™-1 + ... + + Ьт,

где т = п (п — 1) /2 — многочлен, корнями которого служат все суммы пар корней многочлена р (г). Многочлен р (г) устойчив тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочленов р (г) и я (г) положительны.

Несмотря на простую формулировку этого решения проблемы Рауса-Гурвица на настоящий момент не существует общих аналитических формул перехода от коэффициентов полинома р (г) к коэффициентам полинома я (г). Можно говорить лишь о частных случаях при конкретном значении п. Для случаев п = 2 и п =3 задача решается несложно, поэтому в данной статье рассматривать их не будем. В следующих двух разделах статьи будут представлены соответствующие формулы связи для случаев п = 4 и п = 5.

2. Установление наличия линейной связи между корнями полиномов четвёртой и шестой степеней

В данном разделе установлены и доказаны необходимые и достаточные условия, связывающие коэффициенты полинома комплексного аргумента шестой степени вида (2)

Рб (г) = г6 + С1Х5 + C2Z4 + сзгз + с^2 + сб^ + се (2)

с коэффициентами полинома четвёртой степени вида (3)

Q4 (г) = г4 + а1г3 + а2г2 + а3г + а4 (3)

при наличии линейной связи между корнями этих полиномов. Коэффициенты полиномов (2) и (3) в общем случае являются комплексными.

Обозначим корни полинома (3) через р1, р2, р3, р4 и, кроме того, обозначим попарно их суммы

Я1 = Р1 + Р2, Я2 = Р1 + Рз, Яз = Р1 + Р4, Я4 = Р2 + Рз, Я5 = Р2 + Р4, Яб = Рз + Р4.

Теорема 5. Числа Яз (] = 1, 2, ..., 6) являются корнями полинома (2) тогда и только тогда, когда разрешима относительно аи (к = 1, 2, 3, 4) система уравнений

с1 = 3а1, (4)

С2 = 3а1 + 2а2, (5)

Сз = + 4а1Й2, (6)

с4 = 2а2а2 + ^а3 + а2 — 4а4, (7)

с5 = а1 (^а3 + а2 — 4а4) , (8)

сб = ^а2а3 — а2 а4 — а2. (9)

В свою очередь необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости системы уравнений (4) — (9) относительно аи = 1, 2, 3, 4) являются соотношения

2 5

сз = з С1С2 — — 4 (10)

С5 = 81 с1 — 27 СзС2 + 3 ^^ (11)

61 б 5 4 1 2 /,л\

Сб = 46656 С1 — 1296 С1С2 + 36 С1С4. (12)

При этом

С1 1 2 . 1

а1 = —, а2 = —с-, +— с2, 1 3 ' 2 6 1 2 2'

13 4 1 2 1 2 1

аз = — 216 С1 + 12С1С2, а4 = — 2592 С1 — 144 ^ + 16 С2 — 4 С4

Доказательство. Необходимость. Пусть числа qj (7 = 1, 2, ..., 6) являются корнями полинома (2), тогда данный полином представим в виде

Рб (¿0 = (^ — Р1 — Р2) (^ — Р1 — Рз) (^ — Р1 — Р4) х х (г — Р2 — Рз) (^ — Р2 — Р4) (^ — Рз — Р4),

следовательно, коэффициенты данного полинома будут иметь вид

С1 = —3 (р? + р2 + Рз + Р4); С2 = 3 (р2 + р2 + рз + р^) +8 (Р1Р2 + Р1Рз + Р1Р4 + Р2Рз + Р2Р4 + РзР4) ; Сз = — (Р1 + Р2 + Рз + Р4) х

х (6 (Р1Р2 + Р1Рз + Р1Р4 + Р2Рз + Р2Р4 + рзр4) + (р? + р2 + рз + р4)) ;

С4 = 30р?Р2РзР4 + [2 (Р?Р2 + Р?Рз + Р1Р4 + Р1Рз + Р1Рз + Р1Рз + РзРз + +Р2Р4 + Р2Рз + Р2Р4 + РзР4 + РзР4) + 13 (р?Р2Рз + Р2Р2Р4 + Р2РзР4 + +Р1Р2Рз + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р2 + Р1Р2Р4 + Р1РзР4 + Р1РзР2 + р2рзр4+

+р2рзр4 + р2рзр4) + 5 (р?рз + р2р4 + р^2 + р?р2 + р2р2 + рзр2)] ;

С5 = — (Р1 + Р2 + Рз + Р4) [(6р?Р2РзР4 + (Р2Р2 + Р?Р2 + Р?Р2 + р2рз +

+р2р4 + Р2Р2) + 3 (р2Р2Рз + Р2Р2Р4 + Р2РзР4 + Р1Р2Рз + Р1Р2Р4 +

+Р1Р2Р2 + Р1Р2Р4 + Р1РзР4 + Р1РзР2 + Р2РзР4 + Р2РзР4 + Р2РзР4)] ;

7

1

Се = (р1р1рЗ + р\р2р4 + Р31Р2Р23 + Р31Р2Р1 + р31р2Зр4 + р\рЗр1 + р1р1рЗ+

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 12 2 1 +Р1Р2Рз + Р1Р2Р4 + Р1РзР4 + Р1Р2Р4 + Р1РЗР4 + Р1Р2Р2 + Р1Р2Р4 + Р1Р2Рз+

+Р1Р2Р1 + р^р1 + р2р3р4 + р2р1р\ + р1р1р1 + р1р1р\ + р11р^2>рА+

+р2рзр4 + рЫрА) + [2 (рЫр2 + рЪЫ + р1 рЫ + р2М) +

+2 (Р1Р1Р3Р4 + Р\Т2РЪР4 + Р1Р2Р3Р4 + Р1Р2Р1Р1) + 4 (р^р^М + Р^РиР^

+Р1Р2Р2Р1 + р1р2рЗр4 + Р1Р2Р2Р4 + Р21Р2РЗР1)] .

Равенства (4), (5) и (6) получаются непосредственно из соотношений Виета для полинома четвёртой степени.

Суммы, стоящие в круглых скобках в выражениях с4, с5, с6, представляют собой симметричные полиномы от переменных и, согласно известной теореме ([6, с. 322]) о возможности их представления через элементарные симметрические полиномы, могут быть выражены через коэффициенты полинома (2). Проделав соответствующие преобразования, получаем оставшиеся уравнения системы (7) — (9).

Проведём анализ этой системы. Из первого уравнения выражаем а1 = с1/3 и подставляем его в оставшиеся уравнения исходной системы. Получим систему

/2

у - 2«2 + ^2 = 0, (13)

1 4

- 27^ - 3а2°1 + Сз = 0, (14)

21

а2С1 - а2 - о аз°1 + 4^4 + С4 = 0, (15)

9 3

-1 ^10^ - 1 а3с2 + 4С1а,4 + с5 = 0, (16)

-1 а,2а3С1 + 1 а4С21 + а2 + с6 = 0. (17)

39

Из уравнения (13) однозначно выражается коэффициент а2: а2 = -с2/6+ +с2/2. Подставим его в оставшиеся уравнения (14) — (17) и получим:

5 2

27с? - 3С1С2 + Сз = 0, (18)

^с! + ^^с1с2 - 1 с2 - 1 азС1 + 4^4 + С4 = 0, (19)

1 5 1 1 1 2 1 2 4 /гч/"ч\

- 108С1 + 18^1^2 - 12^1^2 - 9азС2 + 3°1а4 + °5 = 0, (20)

т1 а3с31 - 1 а3С1С2 + 1 а4С21 + а2 + с6 = 0. (21)

18 6 9

Из уравнения (18) сразу получаем первое условие разрешимости системы (4) — (9). Это соотношение (10). Выразим из уравнения (19) коэффициент а4:

1 4 1 2 1 2 1 1 а4 = - 432С1 - 72+ ^^ - 4С4 + 12

Подстановка данного выражения в формулу (20) даёт в точности второе условие разрешимости системы (4) — (9). Это соотношение (11).

Если подставить выраженное а4 в формулу (21), то получим квадратное уравнение относительно коэффициента аз, корнями которого являются числа

7 1 1 /-

аз,1 = ——сз + — С1С2 + —л/61с? — 180с?с2 + 1296с2с4 — 46656сб; (22) 216 12 216

7 1 1 I-

аз,2 = ——сз + — С1С2 — 2т6\/61сб — 180с?с2 + 1296с? С4 — 46656сб. (23)

Проанализируем подкоренное выражение в формулах (22) и (23). Подставим в него с?, с2, с4 и сб из уравнений (4), (5), (7) и (9) исходной системы. После преобразований получим

61сб — 180с? С2 + 1296с? С4 — 46656сб = 729 (а^ — 4а?а2 + 8аз)2. Следовательно,

7 1 27 ,

аз =--с? +--с1с2 ±-|а? — 4а?а2 + 8аз1 . (24)

з 216 1 12 1 2 216 1 1 1 з|

Из уравнений (4) и (5) выразим а? — 4а?а2 = 7с?/27 — 2с?с2/3 и подставим в уравнение (24), откуда однозначно получаем значение а3:

7 з 1 °3 = — 216 С1 + 12С1С2.

Таким образом, мы фактически доказали, что дискриминант квадратного по а3 уравнения (21) равен нулю. Выражение коэффициента а4 через коэффициенты полинома (2), приведённое в формулировке теоремы, следует автоматически. Подставляя а3 в уравнение (21), после упрощений получаем в точности условие (12).

Достаточность. Пусть выполнены равенства (10) - (12) и коэффициенты уравнения (2) выражаются через аи (& = 1, 2, 3, 4) в соответствии с системой (4) — (9). Полагая

«1 = — (Р1 + Р2 + Рз + , «2 = Р1Р2 + Р1Рз +Р1Р4+Р2РЗ +Р2Р4+РЗР4,

«3 = — (Р1Р2РЗ + Р1Р2Р4 + Р1РЗР4 + Р2РЗР4) , «4 = Р1Р2РЗР4, получаем, что коэффициенты полинома (2) выражаются следующим образом:

С? = — (З? + ^2 + ... + 9б) , С2 = ^2 + ^3 + ... + ОЗДб, . . . , Сб = д^Зф^б,

т. е. в силу теоремы Виета числа д?, д2, .. . , дб являются его корнями.

Теорема 5 доказана. ■

Таким образом, если требуется проверить на устойчивость полином четвёртой степени (г) вида (3), то можно вычислить по формулам (4) - (9)

коэффициенты соответствующего полинома Р6 (z) и проверить их положительность. Например, сделаем это для полиномов /1 (z) и /2 (z) из примера 1. Для /1 (z) формулы (4) — (9) дают значения

ci = 48; С2 = 966; Сз = 10432; = 63769; С5 = 209296; Се = 288320.

Для /2 (z) аналогично находим с1 = 48; с2 = 966; с3 = 10432; с4 = 59609; с5 = 142736; с6 = -45520.

Для второго полинома значение с6 < 0, что свидетельствует о его неустойчивости. Действительно, /2 (z) имеет два корня с положительной действительной частью, а у /1 (z) таковых корней нет.

Отметим, что кроме проверки полиномов четвёртой степени на устойчивость теорема 5 может быть использована для ответа на вопрос, являются ли корни заданного полинома шестой степени Р6 (z) попарными суммами корней некого полинома четвёртой степени Q4 (z). Кроме того, если такой полином существует, то по представленным в теореме 5 формулам можно найти его коэффициенты, а затем и корни, причём в радикалах. Приведём пример, описывающий данную ситуацию.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

ж6 + 12ж5 + 34ж4 - 48ж3 - 359ж2 - 540ж - 252 = 0.

Для коэффициентов этого уравнения выполнены условия связи (10) - (12). По формулам для au (fc = 1, 2, 3, 4) вычислим соответствующие значения коэффициентов и получим выражение для полинома четвёртой степени:

Qa (ж) = ж4 + 4ж3 - 7ж2 - 22ж + 24.

Его корнями являются числа р1 = 1; р2 = 2; р3 = -3; р4 = -4. Тогда 9i = 3; Ç2 = -2; 93 = -3; 94 = -1; 95 = -2; 96 = -7.

Путём подстановки данных чисел в исходное уравнение убеждаемся, что все они являются его решениями.

3. Установление наличия линейной связи между корнями полиномов пятой и десятой степеней

В этой части статьи приведены необходимые и достаточные условия существования линейной связи между полиномами пятой и десятой степеней.

Пусть дан полином

Р10 (z) = Z10 + C1Z9 + C2Z8 + C3Z7 + C4Z6 + C5Z5 + C6Z4 + C7Z3 + CsZ2 + C9Z + C10. (25)

Установим связь его коэффициентов с коэффициентами полинома пятой степени

Q5 (z) = z5 + a1Z4 + a2Z3 + a3Z2 + a4Z + a5 (26)

при наличии линейной связи между их корнями.

Обозначим корни полинома (26) через р1, р2, рз, р4, р5 и запишем коэффициенты полинома (25), используя соотношение Виета для коэффициентов многочлена пятой степени:

а-1 = - (Р1 + Р2 + Р1 + Р4 + Р5);

0.2 = Р1Р2 + Р1Р1 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Р1 + Р2Р4 + Р2Р5 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р4Р5;

= - (Р1Р2Р1 + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5 + Р1Р1Р4 + Р1Р1Р5 +

+Р1Р4Р5 + ^^^ + Р2РЪР5 + Р2Р4Р5 +Р1Р4Ръ) \ 0*4 = Р1Р2Р1Р4 + Р1Р2Р1Р5 + Р1Р2Р4Р5 + Р1Р1Р4 Р5 + Р2РЗР4Р5] аъ = -Р1Р2Р1Р4Р5.

Кроме того, обозначим все суммы корней полинома (26):

Я1 = Р1 + Р2, Я2 = Р1 + ^ <21 = Р1 + Р4, Я4 = Р1 + Р5, Я5 = Р2 + ^, ?6 = Р2 + Р4, Я7 = Р2 + Р5, Я8 = ^ + Р4, = ^ + Р5, Я10 = Р4 + Р5.

Теорема 6. Числа (] = 1, 2, ..., 10) являются корнями полинома (25) тогда и только тогда, когда разрешима относительно аи (к =1, 2,..., 5) система уравнений

сл = 4аь (27)

С2 = 6а1 + 3а2, (28)

сц = 4а1 + 9а1 а.2 + а3, (29)

с4 = а[ + 9а\а2 + 4а1а1 + 3а2 - 3а4, (30)

с5 = 3<х\а2 + 5а1а1 + 6а1а2 - 5а1а4 + 2а2а1, - 11а5, (31)

с6 = 2а1а1 + 3а2а2 - 2а1а4 + 6а1а2а1 - 22а1а5 + а2 - 2а2а4 - а1, (32)

с7 = 4а^а2^ + а1а2 - 16а1а5 + а^аз - 4а2а5 - 4а^а4, (33)

с8 = -4а1а5 + а1а2а4 + а^а^

+2а1а2а1 - 9а1а2а5 - 3а1а1,а4 - а2а2 + а!а4 + 7а1,а5 - 4а4,

2 2 2 2 2 1 с9 = -4а2а2а5 + а^а2 + а^^ + 4а1а1а5 - 4а1а4 — 0,20,5 — Оц + 4а4а5, (35)

с10 = -а^а^ - а1а2а5 + а1а2а1,а4 + + а2а1,а5 - а1а4 - а^. (36)

В свою очередь необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости системы уравнений (27) — (36) относительно аи (к =1, 2,..., 5) являются соотношения (37):

Г = — А г6 + 5 Г4Г — 1 г1г — 19 Г2Г2 _ 1 г2г + с6 = 64 Ч + 16 Чс2 8 16 Чс2 4 Чс4 +

+"У1 С1С2С'1 + 1С1С5 - 27с^ + 2С2С4 - с1;

(34)

Г = — -21 г7 + з9 _ 49 „4 „ _ 181 „з „2 + + X + 415 „ +

= з52 С1 + 88 С1С2 88 Чсз 198 С1С2 + 11 С1С4 + 22 С1С5 + 198 +

94 з 4 2 104 41 2 4 4

+297 С1С2 — з с?сз —99 с? С2С4 — 99 с2сз + зз С2 С5 + з СзС4;

_ = _ 1229 _8 I__7_ г6 + з757 _ _40Э_ __Г4Г _ Э40з _4 „2 + 1Э +

4505б С1 + 1024 С1 + 1б89б 1408 128 бззб + 44 +

+1 ^г + 929 я „ _ X_ 221 „2 „ _ + _799_ „2„з _ 145 „2„2 _ Э01 „ 9 + + з2 С1°з + 792 Чс2Сз 44 С?С5 198 С1С2С4 + 2з7б С?С2 198 С?Сз 5д4 С^Сз^

+ ?Иг с?сзс4 + ?? С1С2С5 — 27 с4 + 27 с2с4 + ?? С2С2 — ?? сзс5 — 4 с4;

(37)

С9

1з499 9

? С1

72089б ? з27б8 ?

17 8 + 4087 7 + + оокоя °2 +

22528 5 „4 „2

4з гбг 12288 °?°2

?9з1 к 8448 °?°з

58787 г5„2 + 101з7б °1°2 +

1з

+ _587_ „5 „__„5 „__^ „4 „2 + „4 „ + 74Э „__?+ „ +

+ 8448 С1С4 з84 С1Сз 7б8 С1С2 + з84 С1С4 + 528 с1с2Сз 22 С1С5 + 144 Чс2Сз +

I з91з г,зг,з _ 17Э^з^2 _ 51 пз п п 1 п | з5г'2п п I 1 , .2, .з _ 1 /2,. п _

+ бззб С1С2 198 С1Сз 17б ЧС2С4 + б С?С2С5 + 99 С?СзС4 + 4з2 С?^ ?44 С?С2С4

8з5 „2 „2 „ + _ Г2Г — -95_г г4 + 245г г ^2 _ 1б „ „2 _ Xг г г +

з9б с1с2сз + ?з2 С1С2С4 з5б4 С1С2 + 99 с1с2^з дд С1С4 зз С?СзС5 + + 91 СзСз — зз С2С5 — 99 с2сзс4 — С^ + зз С4 С5;

С10 = —

б1 10

15488 С? + 7744 С?С2

711 „5 „ _ + + 1207„4 „ _ ,__„ _ 17819 +

19зб С1С2Сз + + 5808 С?С2 1452 С1С2С4 + 1452 С1С2С5 2б1зб С1С2Сз +

з2з 8

51 7

ГТъ- 10595 гбг2 + гб__г5 +

9б8 °?°з б9б9б °?°2 + 19зб °?°4 9б8 °1°5 +

+_з9? „ + 2178 °1°зс4

817 „2 „4 + + 2809 __„2„2__7_ „ +

^1^2 + + ?з0б8 С1С2С4 ?089 С?С4 72б С?СзС5 +

1з0б^^2

з 2 577 8 7 1 з 2021 2 4

+ 242 с? С2 С5 — с?С2СзС4 + збз С1С4С5 — з^з С2СзС5 — ? СзС? — 472l сзС4 + +

8б5 „2„2„ _ J03 „2 „2 + 1 „2 „__^ „2

1089 6зс1с2 ?089 Сзс2 + з СзС4 121 С5.

При этом

а?

с?

4 ;

Й2

+

8 + 3 ;

аз = 32с?— 4 с?с2 + сз;

17 4 13 2 1 2 1 1 а4 = 256 С1 — 48С1С2 + 9 С2 + 3С1Сз — 3 С4;

(38)

53

Й5 = —

11264

5 21 з С1 + 704 С?С2

17

396

с?с2

17

2

528 С?Сз + 33 С2Сз + 132 С?С4 — 11С5.

Доказательство. Доказательство осуществляется по тому же алгоритму, что использовался при доказательстве теоремы 5. Промежуточные вычисления являются достаточно громоздкими, читатель может их проделать в системе компьютерной математики. В статье приведены только важные опорные моменты.

Пусть числа qj (7 = 1, 2, ..., 10) являются корнями полинома (25). Запишем коэффициенты этого полинома, используя соотношение Виета для коэффициентов полинома десятой степени, а затем подставим туда числа qj (] = 1, 2, ..., 10). Таким образом мы получим выражения коэффициентов полинома десятой степени через корни полинома пятой степени (26).

С1 = — (?1 + <72 + <7з + <74 + <75 + 9б + <77 + <?8 + <79 + 910) ^

С? = — 4 (р? + Р2 + Рз + Р4 + Р5) .

5

1

Используя соотношения Виета для коэффициентов полинома пятой степени, получим формулы (27) — (36). Для коэффициента с1 имеем с1 = 4а1. Для остальных коэффициентов выражения более сложные.

С-2 = Я1Я2 + ^ + Я1Я4 + Я1Я5 + Я1Я6 + д1Я7 + дт + д^ + д1 дю +... + дядю;

С2 = 6(^1 + Р2 + ^ + Р4 + Р5)2 + 3 (Р1Р2 + Р1^ + Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Р1 + +Р2Р4 + Р2Р5 + Р1Р4 + ^5 + Р4Р5) = 6а1 + 3а,2.

С1 = - + + д1д2д5 + ... + ^«мю + Q7Q.9Q.10 + д8д9дю).

^ С1 = -(4 (Р1 + Р2 + ^ + Р4 + Р5) 1 + 9 (Р1 + Р2 + ^ + Р4 + Р5) (Р1Р2 + рт +

+Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Р1 + Р2Р4 + Р2Р5 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р4Р5) + (ЛК^ + Р1Р2Р4 + +Р1Р2Р5 + ^1^4 + ^1^5 +Р1Р4Р5 + Р2Р1Р4 + ^^^ + Р2Р4Р5 + Р1Р4Р5)) =

= 4а1 + 9а1а2 + а^. С-4 = + д^ФФ + ... + ^Ф^Ю.

^ С4 = (р1 + Р2 + ^ + Р4 + Р5)4 + 9(р1 + Р2 + ^ + Р4 + Р5)2 (Р1Р2 + Р1Р1 + +Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Р1 + Р2Р4 + Р2Р5 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р4Р5) + 3 (Р1Р2 + Р1Р1 + +Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Р1 + Р2Р4 + Р2Р5 + ^4 + ^5 + Р4№)2 + 4 (р1 + Р2 + Р1 + +Р4 + Р5) (р^^ + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5 + РтР4 + £>1^5 + Р1Р4Р5 + ^2^4 + +^2^5 + Р2Р4Р5 + Р4Р5) - 3 (Р1Р2Р1Р4 + Р1Р2Р1Р5 + Р1Р2Р4Р5 + +Р1Р1Р4Р5 + Р2РИР4Р5) = Оч + 9а1а2 + 40^1 + 3а2 - 3а4.

С5 = - (QlQ2QзQ4Q5 + QlQ2QзQ4Q6 + ... + Q6Q7Q8Q9Qlo) .

^ С5 = -(3(Р1 + Р2 + ^ + Р4 + й) 1 (Р1Р2 + Р1Р1 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Р1 + +Р2Р4 +Р2Р5 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р4Р5) + 6 (Р1 + Р2 + ^ + Р4 + Р5) (Р1Р2 + Р1Р1 + +Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Ръ + Р2Р4 + Р2Р5 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р4Р5)2 + 5 (Р1 + Р2 + ^ + +Р4 + Р5)2 (Р1Р2Р1 + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5+ РтР4 + Р1Р1Р5 + Р1Р4Р5 + Р2Р1Р4 +

+Р2Р1Р5 + Р2Р4Р5 + Р1Р4Р5) + 2 (р1 Р2Р3 + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5+ Р1Р1Р4 + +Р1Р1Р5 +Р1Р4Р5 + Р2Р1Р4 + Р2Р1Р5 + Р2Р4Р5 + Р1Р4Р5) + Р1Р1 + Р1Р4 +

+Р1Р5 + Р2Р1 + Р2Р4 + Р2Р5 + Р1Р4 + Р1Р5 + Р4Р5) - 5 (Р1 + Р2 + + Р4 + Р5) X X (Р1Р2Р1Р4+ Р1Р2Р1Р5 + Р1Р2Р4Р5 + РтР4Р5 +Р2Р1Р4Р5) - 11Р1Р2Р1Р4Р5) .

с5 = 3а1а2 + 5а21а1, + 6а1а2 - 5а1а4 + 2а2а1, - 11а5. С6 = д1д2д1д4д5д6 + д1д2д1д4д5д5 + ... + д5д6д7д8д9дю

Сб = 3(Р?Р2 + Р1Рз + Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Рз + Р2Р4 + Р2Р5 + РзР4 + РзР5 + Р4Р5)2 X X (р? + Р2 + Рз + Р4 + Р5)2 + 2 (р?Р2Рз + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5 + Р1РзР4+ Р1РзР5 + +Р1Р4Р5 + Р2РзР4 + Р2РзР5 + Р2Р4Р5 + РзР4Р5) (Р1 + Р2 + Рз + Р4 + Р5)з + + (Р1Р2 + Р1Рз + Р1Р4 + Р1Р5+ Р2Рз + Р2Р4 + Р2Р5 + РзР4 + РзР5 + Р4Р5 )з + +6 (р? + Р2 + Рз + Р4 + Р5) (Р1Р2Рз + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5 + Р1РзР4 + Р1РзР5 + +Р1Р4Р5 + Р2РзР4 + Р2РзР5 + Р2Р4Р5 + РзР4Р5) X (р?^ + Р1Рз + Р1Р4 + Р1Р5 + +Р2Рз + Р2Р4 + Р2Р5 + РзР4 + РзР5 + Р4Р5) — 2(р? + Р2 + Рз + Р4 + Р5)2 X

X (Р1Р2РзР4 + Р1Р2РзР5+ Р1Р2Р4Р5 + Р1 РзР4Р5 + Р2РзР4Р5) — (Р1Р2Рз + +Р1Р2Р4 + Р1Р2Р5 + Р1РзР4 + Р1РзР5 + Р1Р4Р5 + Р2РзР4 + Р2РзР5 + Р2Р4Р5 +

+РзР4Р5) — 2 (р?Р2РзР4 + Р1Р2РзР5 + Р1Р2Р4Р5 + Р1РзР4Р5 + Р2РзР4Р5) X X (Р1Р2+ Р1Рз + Р1Р4 + Р1Р5 + Р2Рз + Р2Р4 + Р2Р5 + РзР4 + РзР5 + Р4Р5) — — 22р?Р2РзР4Р5 (Р1 + Р2 + Рз + Р4 + Р5) .

з 2 2 2 з 2

сб = 2а?аз + — 2а?а4 + 6а?а2аз — 22а?а5 + а^ — 2а2а4 — аз.

Аналогичным образом при помощи системы компьютерной математики получаем оставшиеся соотношения (33) — (36).

Выражая поочерёдно коэффициенты а?, а2, аз, а4, а5 из системы уравнений, получаем выражения (38). Путём подстановки их в уравнения (32) - (36) выходим на условия (37). ■

Таким образом, используя формулы (27) - (36) из теоремы 6, можно проверить полином пятой степени с действительными положительными коэффициентами на устойчивость. Сделаем это для /з (г) и /4 (г) из примера 1, представленного в первой части настоящей статьи. Для /з (г) формулы (27) - (36) дают значения

с? = 68, с2 = 2085, сз = 37958, с4 = 454345, с5 = 3735736, сб = 21363351,

с7 = 83868526, с8 = 31665730, с9 = 190864200, с10 = 226440000, а для /4 (г) —

с? = 68, С2 = 2085, сз = 37958, С4 = 456295, С5 = 3790986, Сб = 21891151,

С7 = 84921526, С8 = 16165180, сд = 200735750, с?0 = — 60710500.

Для /4 (г) значение с10 < 0, что свидетельствует о его неустойчивости согласно теореме 4. Действительно, /4 (г) имеет два корня с положительной действительной частью, а у /з (г) таковых корней нет.

Условия (37) можно использовать для ответа на вопрос, существует ли для заданного полинома десятой степени Р10 (г) полином пятой степени (г), такой, что корни полинома Р10 (г) будут являться в точности попарными суммами корней полинома (г). Приведём конкретный пример.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

х10 + 12ж9 - 15ж8 - 564ж7 - 1089ж6 + 4980ж5+

+ 12587ж4 - 8316^ - 21852х2 + 3888ж + 10368 = 0.

Для полинома, стоящего в левой части этого уравнения, условия (37) выполнены. Поэтому по формулам (38) находим коэффициенты соответствующего полинома Q5 (х), который примет вид

Я5 (ж) = ж5 + 3ж4 - 23Х1 - 51ж2 + 94х + 120.

Находим его корни. Это числа р1 = -1, р2 = 2, р1, = -3, р4 = 4, р5 = 5. Их попарными суммами являются числа

Я1 = 1, Я2 = -4, д1 = 3, д4 = 4, ^ = -1, д6 = 6, д7 = 7, д8 = 1, ду = 2, дт = 9.

Подставляя поочерёдно их в исходное уравнение десятой степени, убеждаемся, что все они являются его корнями.

Подытожим результаты, приведённые во второй и третьей частях статьи. При увеличении на единицу степени полинома, который требуется проверить на устойчивость, значительно возрастает сложность получения формул для выражения коэффициентов полинома степени п (п - 1) /2 через коэффициенты полинома степени п. Несомненно, доказательства теорем, аналогичных теоремам 5 и 6 настоящей статьи, для случаев п > 5 представляют собой развитие фундаментального знания, однако применение таких теорем в качестве критерия устойчивости полиномов становится менее целесообразным по сравнению с другими существующими способами, в частности, условием Гурвица.

4. Анализ коэффициентов полинома шестой степени, корни которого представимы в виде попарных произведений корней некоторых полиномов четвёртой степени

Во второй части настоящей статьи были доказаны необходимые и достаточные условия связи между коэффициентами полиномов шестой и четвёртой степеней для случая, когда между корнями упомянутых полиномов существует простая линейная связь (теорема 5). Естественным будет вопрос, можно ли получить некие аналогичные условия связи между коэффициентами этих полиномов в случае, когда между их корнями существует определённая нелинейная связь? Четвёртая и пятая части статьи посвящены изучению данного вопроса.

В этом разделе установлены и доказаны необходимые и достаточные условия, связывающие коэффициенты полинома комплексного аргумента шестой степени вида (39)

Р (г) = г6 + сЛг5 + сцх4 + ^г1 + С4г2 + С5^ + С6

(39)

с коэффициентами семейства полиномов четвёртой степени вида (40)

^4,г (¿0 = / + «1,г/ + «2,г/ + «3,г^ + «4,г (40)

при наличии связи между корнями этих полиномов, о которой далее пойдёт речь. В общем случае коэффициенты рассматриваемых полиномов могут быть комплексными.

Обозначим корни г-го полинома из семейства (40) через р?», р2», рз», р4» и, кроме того, обозначим все возможные их произведения:

91 = Р1гР2г, 92 = Р1гР3г, 93 = Ри Р4г, 94 = Р2гР3г, 95 = Р2гР4г, 9б = Р3г Р4г.

Теорема 7. Числа щ = 1, 2, ..., 6) являются корнями полинома (39)

тогда и только тогда, когда разрешима относительно ак (& = 1, 2, 3, 4) система уравнений

с? = —«2, (41)

а?аз — а4 — с2 = 0, (42)

2а2 а4 — а^ — а3 — сз = 0, (43)

а?аза4 — а2 — с4 = 0, (44)

С5 = — «2 (45)

Сб = а4. (46)

В свою очередь необходимым и достаточным условием разрешимости системы уравнений (41) — (46) относительно ак (& = 1, 2, 3, 4) являются соотношения

С5 = (|)2С1, (47)

« = (I )' (48)

При этом решением системы (41) — (46) являются ровно 4 различных набора чисел ак (& = 1, 2, 3, 4), в которых все а2 и а4 определены единообразно:

С4

«2 = —с?, а4 = —, С2

у/2 1 ТТ 2 А с2 + с4 а?,? = --л/с4с2 (—2С1С2С4 — с2сз + й), аз,? =-;

а элементы а?,к и аз,& связаны соотношениями:

2С4С2 ' ' «1ДС2

«1,2 = — «1,1, «3,2 = — «3,Ъ

у/2 1 Г 2 а с2 + С4

«1,3 = ^-у —С4С2 (2С?С2С4 + с2сз + й); аз,з =-;

2С4С^ «1,зС2

«1,4 = — «1^ «3,4 = — «3^

где й = л/с2 (4с?с2с4 + 4с?с2сзс4 — 4с2с4 + с2с3 — 8с2с4 — 4с4).

Доказательство. Необходимость. Пусть числа ^ (] = 1, 2, ..., 6) являются корнями полинома (39), тогда при любом фиксированном г коэффициенты данного полинома будут иметь вид

С1 = - (Р1Р2 + PlPз+PlP4+P2Pз+P2P4+PзP4) \

С2 = 3Р1Р2Р1Р4 + (р2'Р2Р1 + Р21Р2 Р4 + рЬММ + Р1Р2Р1+ Р1Р22Р4 +

+Р1Р2Р1 + Р1Р2Р4 + Р1Р1Р4 + Р1Р1Р24 + Р22Р1Р4 + Р2Р1Р4 + Р2Р1Р4) ; ^ = - (Р2Р2Р-1Р4 + Р1Р2Р1Р4 + ртр^ + Р1Р2Р-1 Р4) - (р2Р2Р2 + Р22Р2>Р4+

+Р\Р2Р1 ) - 2 (р\р2р?,р4 + Р?1Р2Р2Р4 + Р2Р2РзР2 + P1P'2,P23P4+ Р^^Р2 + Р1Р2Р2Р24) ;

С4 = Р1Р2Р1Р4 (3Р1Р2Р1Р4 + (Р1Р2Р1 + Р2Р2Р4 + Р?Р1Р4 + Р1Р22Р1 + +Р1Р2Р4 + Р1Р2Р1 + Р1Р2Р2 + Р1Р1Р4 + Р^Р2 + Р2Р1Р4 + Р2Р1Р4 + Р2Р1Р24)) ;

С5 = (Р1Р2 + Р1 Ри +Р1Р4 +Р2РИ +Р2Р4+Р1Р4) ;

1114

С6 = Р^Р^4.

Равенства (41), (45) и (46) следуют непосредственно из формул Виета для полинома четвёртой степени.

Суммы, стоящие в скобках для выражений с2, сз, с4, представляют собой симметричные полиномы от переменных р^ (] = 1, 2, 3, 4) и, согласно известной теореме о возможности их представления через элементарные симметрические полиномы, могут быть выражены через коэффициенты полинома (40) [6, с. 322]. Проделав нужные преобразования, получаем оставшиеся уравнения системы (42) — (44).

Проведём анализ этой системы. Из первого уравнения выражаем а2 и подставляем его в оставшиеся уравнения системы. На втором шаге из уравнения (42) выражаем а3:

«з = («4 + ^2) /а1. Подставим его в уравнение (44) и получим однозначное выражение

а4 = С4/С2.

Тогда из формул (45) и (46) сразу вытекают равенства (47) и (48). Теперь осталось выражение

а4 + С2 С4 + с2

аз =-=-

а? а?с2

подставить в уравнение (43), которое превратится в биквадратное по переменной а?:

4 , Л , ^"2^3 \ 2 , (С4 + с2)2

а\ + 2ci + — К + —-— = 0.

С4 ) с2 С4

Решая данное уравнение, получаем в точности формулы, приведённые в формулировке теоремы.

Достаточность. Пусть выполнены равенства (47) и (48) и коэффициенты многочлена (39) выражаются через ак (& = 1, 2, 3, 4) в соответствии с системой (41) — (46). Полагая

«1 = — (Р1 + Р2 + Р3 + Р4) , «2 = Р1Р2 + Р1Р3+Р1Р4+Р2Р3+Р2Р4+Р3Р4, «3 = — (Р1Р2Р3 + Р1Р2Р4 + Р1Р3Р4 + Р2Р3Р4) , «4 = Р1Р2Р3Р4,

получаем, что коэффициенты полинома (39) выражаются следующим образом:

с? = — (91 + 92 + ... + 9б) , С2 = 9?92 + 919з + ... + 959б, ... , Сб = 91929з94959б,

т. е. в силу теоремы Виета числа д?, 92, ... , 9б являются его корнями.

Теорема 7 доказана. ■

Пример 4. Рассмотрим уравнение

жб + 7ж5 — 112ж4 — 1204ж3 — 2688ж2 + 4032ж + 13824 = 0. (49)

Для коэффициентов этого уравнения выполнены условия связи (47) и (48). По формулам для ак (& = 1, 2, 3, 4) вычислим значения коэффициентов интересующих нас четырёх полиномов четвёртой степени:

^4 ? (ж) = ж4 + ^^ж3 — 7ж2 — + 24, (50) 6

^4 2 (ж) = ж4 — ж3 — 7ж2 + + 24, (51) 6

д4,з (ж) = ж4 + 4жз — 7ж2 — 22ж + 24, (52)

^4,4 (ж) = ж4 — 4жз — 7ж2 + 22ж + 24. (53)

Ниже построчно приведём значения корней полиномов (50) — (53) соответственно:

£ ^ —76; 276 — 7, , 76;

1, 2, —3, —4; —1, —2, 3, 4.

Несложно убедиться в том, что попарное умножение корней полиномов (50) — (53) даёт один и тот же результат, а именно числа:

д? = 12; 92 = 2; 93 = —8; ^4 = —6; ^5 = —4; ^ = —3.

Путём подстановки данных чисел в исходное уравнение (49) убеждаемся, что все они являются его решениями. Таким образом, можно сделать вывод, что из четырёх наборов формул для коэффициентов полинома четвёртой степени (40) можно выбирать любой, например дающий в конкретном примере менее громоздкие выражения, либо корни которого находятся проще.

5. Анализ связи между коэффициентами полиномов

шестой и четвёртой степеней в случае иной конкретной нелинейной связи между их корнями

Данная часть статьи посвящена установлению и доказательству необходимых и достаточных условий, связывающих коэффициенты полинома шестой степени над полем комплексных чисел вида

Рб (г) = / + с?г5 + с^4 + сз/ + С4/ + С5^ + Сб (54)

с коэффициентами семейства полиномов четвёртой степени вида

^4,г (¿0 = / + «1,г^3 + «2,г^2 + «3,^ + «4,г (55)

при наличии определённой нелинейной связи между корнями этих полиномов, о которой далее пойдёт речь. В общем случае все коэффициенты рассматриваемых полиномов могут быть комплексными.

Обозначим корни г-го полинома из семейства (55) через р?», р2», рз», р4», а все попарные комбинации их сумм и произведений через

91 = Р1гР2г (Р3г + Р4г) , 92 = PliPзi (Р2г + Р4г) , 93 = Р1гР4г (Р2г + Р3г) , 94 = Р2гР3г (Рн + Р4г) , 95 = Р2гР4г (Рн + Р3г) , 9б = Р3гР4г (Рн + Р2г) .

Теорема 8. Числа ^ = 1, 2, ..., 6) являются корнями полинома (54)

тогда и только тогда, когда разрешима относительно ак (& = 1, 2, 3, 4) система уравнений

с? = 3аз, (56)

2а2 а4 + 3а2 — с2 = 0, (57)

аз (4а2а4 + «2) — сз = 0, (58)

а4 (а?аза4 + а2а4 + 2а2а3 — 4а4) — с4 = 0, (59)

аза4 (а?аз + а2 — 4а4) — с5 = 0, (60)

а4 (а^ — а?а2аз + а3) + сб = 0. (61)

В свою очередь необходимым и достаточным условием разрешимости системы уравнений (56) — (61) относительно ак (& = 1, 2, 3, 4) являются соотношения

5 2

Сз = — 27 с3 + 3 С?С2, (62)

С5 = 3 С?С4 + -1 С5 — -7 С3 С2. (63)

При этом решением системы (56) — (61) являются ровно 6 различных наборов чисел ак (& = 1, 2, 3, 4), в которых все аз определены единообразно

С1

аз = з?,

0,4 1 = — 32916с2 - 234с? - 324с?с2 - 11664С4 + 5; 36 2 1 1

а4,2 = ^ (-1 + 32916с2 - 234с? - 324с2с2 - 11664С4 + 5;

а остальные элементы находятся по формулам:

1

36

1

72

а4, 3 = — (-1 - ^2916с2 - 234с? - 324с2с2 - 11664с4 + 5;

а4, 4 = ^ 32916с2 - 234с4 - 324с?с2 - 11664с4 - 5;

«4,5 = ^ (-1 + г^э) ^2916с2 - 234с4 - 324с2с2 - 11664С4 - 5;

«4,6 = ^ (-1 - г^э) 32916с2 - 234с? - 324с?с2 - 11664С4 - 5, где в = 18^61с8 - 180с?с2 + 1296с4с4 - 46656с?с6;

3с2 - с? с? + 432аЦг + 6с2с2 - 27с2 + Ю8С4 ,

^2,^ = -; а?,г = -, о6г ^2- (% = 1, 2, ..., 6).

6^4 1 3661^4^

Доказательство. Необходимость. Пусть числа qj (] = 1, 2, ..., 6) являются корнями полинома (54), тогда данный полином представим в виде

Р6 (г) = (г - рхр2 (ра + Р4)) (г - рхра (р2 + Р4)) (г - ргр4 (р2 + рз)) X

X (г - Р2Р1 (р? + Р4)) (г - Р2Р4 (Р1 + Рз)) (г - РзР4 (Р1 + Р2)).

При любом фиксированном г коэффициенты данного полинома будут иметь вид

с? = -3 (Р1Р2Р3 + Р1Р2Р4 + Р1Р3Р4 + Р2Р3Р4);

С2 = 3 (р?1 р^рЦ + р^р2 + '1?21?1Р\ + р2рЦр2) +

+8Р1Р2Р3Р4 (Р1Р2 + Р1Р3 + Р1Р4 + Р2Р3 + Р2Р4 + Р3Р4) ;

Сз = - (Р1Р2РЗ+Р1Р2Р4+Р1РЗР4+Р2РЗР4) [(Р?Р2Р2 + Р?1Р2Р1 + р?р1р1 + р2рЗр1) + +6р 1Р2Р3Р4 (Р1Р2 + Р1Р3 + Р1Р4 + Р2Р3 + Р2Р4 + Р3Р4)] ;

С4 = Р1Р2Р1Р4[2 (р?1 рЫ + р?р2р4 + р?1р^р31 + р?р2р3 + P?P3P1 + р1р2р4 + р?р3р1+ +р?р2р4 + р\р1 р4 + р1р1р1 + р2р1р4 + р2р1 р\) + 5Р1Р2 Р3Р4 (р??р2 + рЪЛ + P2P1 + +р2р2 + р2р4 + р2р4) + 30р?р2р2р4 + 13Р1Р2Р3Р4 (р?р2 р3 + Р2Р2Р4 + Р2РзР4+

+Р1Р2Рз + Р1Р^Р4 + Р1Р2Р2 + Р1Р2Р2 + Р1Р2Р4 + Р1РзР2 + р2рзр4 + Р2Р\Р4 + Р2РзР2)] ;

С5 = -р?р2р2р4 (Р1Р2Р3 + Р1Р2Р4 + Р1Р3Р4 + Р2Р3Р4) [(р2р2 + р2р2 + P2P1 + +Р2Р2 + Р2р4 + Р^) + 6Р1Р2Р3Р4 + 3 (Р?Р2Рз + р\р2р4 + Р2РзР4+ Р1Р2Рз + +Р1Р22Р4 + Р1Р2Р2 + Р1Р2Р2 + Р1РЗР4 + Р1РзР2 + Р2РЗР4 + Р2Р2Р4 + Р2РзР4)] ;

се = р^р^рзр3 [(Р1Р2Р3 + р1 + р^рз + Р?Р2Р2 + р1 рзр4 + р?рзр2 + р?р2рэ +

2 3 23 23 23 23 32 32 23 23

+Р1Р2Р4 + Р1Р2Р3 + Р1Р2Р3 + Р1Р3Р4 + Р1РЗР3 + Р1Р3Р2 + Р1Р2Р4 + Р1Р2Р3 + Р1Р2Р3 +

+р1рзр4 + Р1Р2Р3 + р2рзр4 + р2рзр2 + р2рзр4 + р2рзр4 + р2рзр4 + р2рзр4+

+2 (р2р2р2 + р1р2р2 + р2р2р4 + р2рзр2 ) + 2р1р2РзР4 (р1 + р2 + р2 + р1) + +4Р1Р2Р3Р4 (Р1Р2 + Р1Р3 + Р1Р4 + Р2рз + Р2Р4 + рзР4)] .

Равенство (56) следует непосредственно из формул Виета для полинома четвёртой степени. Суммы, стоящие в скобках для выражений оставшихся коэффициентов полинома, представляют собой симметричные полиномы от переменных грк = 1, 2, 3, 4) и, согласно известной теореме [6, с. 322] о возможности их представления через элементарные симметрические полиномы, могут быть выражены через коэффициенты полинома (55). Проделав нужные преобразования, получаем оставшиеся уравнения системы (57) — (61).

Проведём анализ этой системы. Из первого уравнения выражаем а3 = с1/3 и подставляем его в оставшиеся уравнения системы. Тогда получим

с2

-2а2^4 - ^ + С2 = 0, (64)

3

41

-зС1а2й4 - ^^с1 + сз = 0, (65)

12 - - а1а1с1 — а^а^ - - а4а2с2 + 4а4 + с4 = 0, (66)

3 9

-1 с2^«! - 3с^а2 + 4С1«4 + С5 = 0, (67)

я2«4 - 1 ^а^^ + 1 а^ + Се = 0. (68)

39

Теперь естественным будет выразить из уравнения (64) произведение а2а4:

С1 , С2 «2^4 = - — + —, 6 2

подставляя которое в уравнение (65), получим в точности условие (62)

5 3 2 С3 = - 27 С1 +3 С1С2.

Подставляя а2а4 в остальные уравнения системы (66) — (68), приведём их к виду

-1 «1«4с1 + щс4 + 18с1с2 - 4с2 + 4«4 + ^4 = 0, (69)

1 22 1 5 1 3 1 2 4 3 /^/-чч

9^^ - 108С1 + 18СзС2 - 12^ + 3^ + = 0, (70)

24 1 23 1 2 1 32

а1Й4 + Т77а1а4с1 - -а^с^ + -а4с1 + се = 0. (71) 18 6 9

Чтобы теперь получить условие (63), необходимо из умноженного на с1 уравнения (69) вычесть уравнение (70), умноженное на 3. Получим

1 5 1 3 С1С4 + 27С1 - 9СзС2 - 3С5 = 0

откуда сразу получается условие (63). Далее из уравнения (69) выражаем

= 3 * + 36 + ^ - 4 н! +12—

с1 36 6 4 с1 с1

и подставляем в уравнение (71), которое после умножения на с1 = 0 (в противном случае из формул (62) и (63) следует, что 1 = 3 = 5 = 0 и исходный полином простой заменой переменной сведётся к кубическому, что делает бесполезной нашу идею отыскания полиномов четвёртой степени) и упрощения примет вид:

^2+ ус1 + 72С4 - 18с2^ «4 + 9с4 - 1 ^сЗ + 16^4 + ^

144а6 + 2с1с2 + — с1 + 72С4 - 18 с| (¿4 + 9с4 — с1с3 + — с4 + -С1С2С4-

9 1 12 1 10 ^42 14

2С4С2 + С1Се + 432С1 + 72 С1 °2 - 12 С4С2 + 3 С4С4 = 0.

Полученное уравнение заменой а4 = £ сводится к квадратному по переменной , а значит разрешимо в радикалах. Для упрощения обозначим

5 = 18^61 с1 - 180сбс2 + 1296с4с4 - 46656с1се, тогда решения последнего уравнения запишутся в виде

а4 1 = — {/2916с2 - 234с1 - 324с1с2 - 11664с4 + 5; 36 *

«4,2 = 1 (-1 + г^э) 32916с2 - 234с4 - 324с2с2 - 11664С4 + 5;

а4,з = 1 (-1 - 32916с2 - 234с4 - 324с2с2 - 11664С4 + 5;

«44 = — Л/2916с2 - 234с4 - 324с2с2 - 11664С4 - 5; 36 у

а4>5 = 1 (-1 + 32916с2 - 234с4 - 324с2с2 - 11664с4 - 5; а4,е = 1 (-1 - 32916с2 - 234с4 - 324с2с2 - 11664с4 - 5 .

Осталось для каждого а4,» выразить из формул (64) и (66) соответствующие значения а2>г и а\

3С2 - с2 с4 + 432а4,г + 6^ - 27с2 + 108С4 .

«2,г = -; «1,г = -—-2- (« = 1, 2, ..., 6).

6 а4,г 36 С1а4г

Достаточность. Пусть выполнены равенства (62) и (63) и коэффициенты многочлена (54) выражаются через аи (к = 1, 2, 3, 4) в соответствии с системой (56) — (61). Полагая

а\ = - (р1 + Р2 + Рз + Ра) , «2 = Р1Р2 + Р\Р3+Р1Р4+Р2Р3+Р2Р4+Р3Р4,

«з = - (Р1Р2Р3 + Р1Р2Р4 + Р1Р3Р4 + Р2Р3Р4) , а4 = р1 Р2Р3Р4, получаем, что коэффициенты полинома (54) выражаются следующим образом:

С1 = - (<21 + <?2 + ... + де), С2 = д1 д_2 + дщ-3 + ... + дъде, ..., се = ^Ф^Ф,

т. е. в силу теоремы Виета числа д1, д2, ... , де являются его корнями.

Теорема 8 доказана. ■

Для большей наглядности приведём конкретный числовой пример.

Пример 5. Рассмотрим уравнение

ж6 - 66ж5 + 1116ж4 + 4136ж3 - 240384ж2 + 1710720х - 3483648 = 0. (72)

Для коэффициентов этого уравнения выполнены условия связи (62) и (63). По формулам для а^ (к =1, 2, 3, 4; г =1, 2, ..., 6) вычислим значения коэффициентов интересующих нас шести полиномов четвёртой степени и построим их:

(х) = х4 + 4ж3 - 7х2 - 22х + 24; (73)

д4,2 (х) = х4 + (-2 + 2гл/3) ж3 + ( | ж2 - 22ж - 12 + 12г>/3; (74)

(-2 + 2г^э) х3 + ^

- (-2 - 2^) ^ + (? - Щ ,2

^4,3 (х) = х4 + (-2 - 2г^э) ж3 +---— ж2 - 22ж - 12 - 12г^3; (75)

^ , , 4 4054 ■ 41991/3 3 168 ■ 41992/3 2 ,/3

^4,4 (х) = х4 +-—-х3 - 4Ш х2 - 22х + 41991/3; (76)

^ , , 4 , 2027 ■ 41991/3 2027?^3 ■ 41991/3\ 3 ««М = ^ + I--4Й9— +-4199-] *"+

/84 ■ 41992/3 84г^3 ■ 41992/3\ 2 41991/3 ■ 41991/3 ^

+ -+--- ж2 - 22ж--+ —-; (77)

у 4199 4199 ) 2 2 ' v 7

^ . . 4 1 2027 ■ 41991/3 2027?^3 ■ 41991/3\ 3

«4,6 (Х)=ХА + (--_---4199- ^

(

/ 84 ■ 41992/3 84г^3 •

у 4199 4199 )" 2 2

84 ■ 41992/3 84г^3 ■ 41992/3\ 2 41991/3 ■ 41991/3 (78) + I -~Л-—-~л- I х — 22ж —-— -. (78)

Ниже построчно приведены значения корней полиномов (73) — (78) соот-

ветственно:

3 3 г /3 2 , 3 3 г /3

3 + 2 ■

1, 2, -3, -4;

^ 1 ¿/3 -1 + .А - 2 + ^,

1 г/3

— 1 — г/3,---

' 2

и

—и, —

и

38 и

и

13, 19;

и

26

2

и

17;

2 - 2 г /3;

2 + 2 г /3;

2(1 -, -38(1 -л3)• 26(1 -г/з), -34(1

и

где и = 41991/3.

Несложно убедиться в том, что комбинации этих корней в соответствии с формулами для qj = 1, 2, ..., 6) дают один и тот же результат, а именно числа:

<71 = -14; <72 = 4; <73 = 6; <74 = 16; <75 = 18; <7е = 36.

На практике при использовании исследуемого метода для отыскания корней полинома шестой степени с действительными коэффициентами не имеет особого смысла строить полиномы четвёртой степени с комплексными коэффициентами (в данном примере это ^4,2 (ж), ^4,3 (ж), ^4,5 (ж), ^4,е (ж)). В статье это сделано с целью проверки и подтверждения формул, представленных в теореме 8.

и

34 и

Заключение

Таким образом, в данной статье проведено сравнение двух различных критериев устойчивости алгебраических полиномов с действительными коэффициентами. Первый из них — на данный момент «классический» критерий Гурвица, второй — менее известный, простой в своём доказательстве, но требующий построения определённого полинома более высокой степени. Можно утверждать, что до широкого распространения систем компьютерной алгебры теорема 4 из настоящей статьи представляла лишь определённый теоретический интерес, но была бесполезной на практике. Действительно, без использования символьных вычислений на компьютере получать формулы выражения коэффициентов необходимых полиномов высоких степеней через коэффициенты того, что проверяется на устойчивость, крайне затруднительно.

На основе проведённого сравнительного анализа двух исследуемых способов проверки на устойчивость можно утверждать, что критерий Гурвица с упрощением в виде теоремы Льенара-Шипара является более универсальным и простым в применении на практике, поскольку имеет единый алгоритм применения для полиномов различных степеней, в том числе и достаточно больших.

В статье наглядно показано, что усложнение конструкций, возникающих в ходе применения метода из теоремы 4, происходит крайне быстро по сравнению с ростом сложности вычислений определителей Гурвица.

Разумеется, список существующих критериев устойчивости не исчерпывается двумя, рассмотренными в настоящей статье. Иные возможные способы решения проблемы Рауса-Гурвица в значительной степени не превосходят по эффективности критерий Гурвица и описаны, например, в [4].

Стоит отметить, что в случае выполнения условия теорем 5, 7 или 8 в конкретных примерах алгебраическое уравнение шестой степени может быть разрешено в радикалах, поэтому текст настоящей статьи может представлять интерес не только для специалистов в области дифференциальных уравнений, но и для всех, кто увлекается классической математикой.

Литература

1. Бойков И.В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. 244 с.

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости: учебное пособие. СПб. : Изд-во «Лань», 2008. 480 с.

3. Прасолов В.В. Многочлены. М. : МЦНМО, 2014. 336 с.

4. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М. : Едиториал УРСС, 2004. 176 с.

5. Strelitz Sh. On the Routh-Hurwitz Problem // The American Mathematical Monthly. 1977. V. 84, No. 7. P. 542-544.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учебник. СПб. : Издательство «Лань», 2013. 432 с.

COMPARATIVE ANALYSIS OF STABILITY CRITERIA FOR POLYNOMIALS

M.M. Chernyavsky

Postgraduate Student of the Department of Engineering Physics, e-mail: [email protected]

Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, Belarus

Abstract. The article provides a comparative analysis of two stability criteria for polynomials. They do not require obtaining any information about the roots, but allow us to judge stability directly by the coefficients of the polynomial. On specific numerical examples, the features of their application are considered. The article also provides symbolic expressions of the relationship between the coefficients of sixth and fourth degree polynomials for cases where there is a linear or definite nonlinear relationship between the roots of these polynomials. In these cases, an algebraic equation of the sixth degree can be solved in radicals.

Keywords: polynomial, Hurwitz criterion, Hurwitz matrix, stability theory, algebraic equations, solution in radicals.

References

1. Boikov I.V. Ustoichivost' reshenii differentsial'nykh uravnenii. Penza, Izd-vo Penz. gos. un-ta, 2008, 244 p. (in Russian)

2. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti: Uchebnoe posobie. SPb., Izd-vo Lan', 2008, 480 p. (in Russian)

3. Prasolov V.V. Mnogochleny. Moscow, MTsNMO, 2014. 336 p. (in Russian)

4. Postnikov M.M. Ustoichivye mnogochleny. Moscow, Editorial URSpp. 2004. 176 p. (in Russian)

5. Strelitz Sh. On the Routh-Hurwitz Problem. The American Mathematical Monthly, 1977, vol. 84, no. 7, pp. 542-544.

6. Kurosh A.G. Kurs vysshei algebry: Uchebnik. SPb., Izdatel'stvo Lan', 2013. 432 p. (in Russian)

Дата поступления в редакцию: 02.07.2020